2011년 10월 14일 금요일

미분 방정식의 만병 통치약: 그린 함수(Green's function for differential equation)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "그린 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 디랙 델타 함수
2. 맥스웰 방정식
3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식

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조금 공부해보면 알지만 미분 방정식(differential equation)은 우리가 알고 있는 단순한 방정식중 하나가 아니다. 방정식의 해답을 구하기가 매우 어렵고 답을 구하는 절차도 그때 그때 다르기 때문에 미분 방정식은 풀이법 자체가 매우 어렵다. 그래서, 방정식이란 이름이 들어갔다해서 미분 방정식을 1차 연립 방정식(simultaneous linear equation) 수준으로 생각하면 곤란하다.
물론 미분 방정식보다 더 어려운 방정식은 적분 방정식(integral equation)이다. 미분 방정식이 미지수를 미분한 형태로 표현되었다면 적분 방정식은 미지수를 정적분(definite integral)한 형태로 표현된다. 정적분으로 표현되기 때문에 식을 미분해서 적분 방정식을 미분 방정식으로 변환할 수는 없다. 왜냐하면 부정적분(indefinite integral)이 아닌 정적분이기 때문에 적분 기호 바깥에서 미분하더라도 적분이 없어지지 않는다. 이를 이해하려면 식 (10)을 한 번 미분해보라. 적분이 없어지는가? 없어지지 않는다.
적분 방정식보다는 수월하지만 여전히 복잡한 형태를 가진 미분 방정식을 해석적으로 푸는 표준적인 방법론은 푸리에 급수(Fourier series)/푸리에 변환(Fourier transform) 혹은 그린 함수(Green's function)이다. (어떤 특정한 적분 방정식도 푸리에 변환을 통해 풀어낼 수 있다.) 그린 함수의 '그린'은 색깔이 아니다. 전설적인 영국의 수학자 그린(George Green)이다. 그린이란 수학자는 수학사를 연구하는 사람들에게는 이해 못할 대상이다. 그린의 원래 직업은 빵을 만드는 제빵사(baker)와 밀을 빻는 방앗간 주인(miller)이었다. 그런 제빵사가 그린 정리(Green's theorem), 그린 함수 개념을 만든 것이다. 그린이 받은 정규 교육은 1년 정도가 전부다. 주변에 도서관도 없었고 이웃 도시 도서관을 간간이 이용했어야 할 정도로 교육시설도 열악했다. 그런데, 불현듯 35세에 그린 정리와 그린 함수 이론을 발표한 것이다.
이런 부분이 19세기 영국의 경쟁력이었다. 19세기 영국에서는 초등학교도 못나온 제빵사가 수학자가 되고(그린을 말한다) 초등학교도 못나온 제본기사가 실험과학자가 되고(패러데이(Michael Faraday)를 말한다) 지방출신에 지방대 나온 촌뜨기가 20대에 물리학 교수가 되고(맥스웰(James Clerk Maxwell)을 말한다) 성격 나쁘고 귀가 불편한 장애인이 이론물리 연구자로 성공하고(헤비사이드(Oliver Heaviside)를 말한다) 섬마을 술주정뱅이가 천문대장(해밀턴(Sir William Rowan Hamilton)을 말한다)을 했다. 19세기 영국과 비교해 대한민국은 얼마나 열린 사회인지 수학자 그린을 통해 다시 한 번 생각하게 된다.

페이저(phasor)를 이용하면 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이 아래의 헬름홀츠 방정식(Helmholtz equation)이 된다.

              (1)

                          (2)

여기서 $k$는 파수(波數, wavenumber)이다. 그린 함수를 써서 어떤 물리구조에 대한 식 (1)의 스칼라 포텐셜(scalar potential) 해를 구해보자. 먼저 디랙 델타 함수(Dirac delta function)를 이용해 전하밀도(electric charge density)를 적분으로 바꾸어보자.

                          (3)

식 (3)에 출현한 3차원 델타 함수는 아래로 정의한다.

                          (4)

식 (3)과 다음의 그린 함수 정의를 함께 고려해보자.

                          (5)

식 (5)를 잘 보면 그린 함수라는 것은 시스템의 임펄스 응답(impulse response)이다.
그러면 식 (1)의 해를 그린 함수 관점에서 아래처럼 쓸 수 있다.

                          (6)

물론 식 (1)은 미분 방정식이므로 식 (6)은 전하밀도가 존재하는 경우의 특수해(particular solution)가 된다.
식 (2)의 벡터 포텐셜(vector potential)도 동일한 방법으로 구할 수 있다.

                          (7)

식 (7)과 (5)를 고려하면 벡터 포텐셜은 아래로 표현된다.

                          (8)

여기서 $G_A(\cdot)$는 벡터 포텐셜에 대한 그린 함수이다. (그린 함수는 식 (5)와 경계 조건(boundary condition)을 이용해 결정하므로 스칼라 포텐셜과 벡터 포텐셜의 그린 함수는 다를 수 있다.)

만약 그린 함수만 알 수 있다면 그린 함수 개념을 이용하면 식 (6)이나 (8)처럼 모든 선형 미분 방정식(linear differential equation)을 풀 수가 있다. 문제는 그린 함수 구하는 것이 쉽지 않다는 것이다.
또하나 문제를 어렵게 만드는 것은 전하밀도 $\rho$나 전류 밀도(electric current density) $\bar J$를 모른다는 것이다. 실제 전자파 문제를 푼다는 것은 $\rho, \bar J$를 구하는 것이다. $\rho, \bar J$를 이용해 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)을 구하는 것은 정방향 문제(forward problem)라 하고 전기장과 자기장의 경계조건을 이용해 $\rho, \bar J$를 정하는 것은 역방향 문제(inverse problem)라 부른다.
역방향 문제는 대표적인 적분 방정식 문제이다. 적분 방정식의 의미를 이해하기 위해 식 (8)을 이용해 자기장과 전기장을 구해보자.

           (9)

예를 들어 물리 구조가 완전 전기 도체(完全電氣導體, PEC: Perfect Electric Conductor)라면 전기장의 접선 성분(tangential component)이 0이 된다. 그러면 전류 밀도 $\bar J$는 다음을 만족하도록 결정되어야 한다.

                (10)

식 (10)에서 그린 함수 $G_A$는 결정되어 있으므로 미지 함수인 $\bar J$를 조정해서 식 (10)을 만족시켜야 한다. 그런데, 이 과정이 쉽지 않다. (∵ 식 (10)을 한 번 풀어보라. 완벽하게 풀 방법이 있는가?)
수학적으로 완벽한 기법을 써서 식 (10)의 적분 방정식(integral equation)을 풀 수 있는 방법은 아직 없다. 그래서, 푸리에 급수(Fourier series)를 흉내낸 근사를 한다. 즉, 전류 밀도(current density) $\bar J$를 적절한 기저 함수(basis function)로 표현해서 식 (10)을 적분 방정식이 아닌 연립 방정식(聯立方程式, simultaneous equations)으로 만들어 전자파 문제를 근사적으로 푼다. 이런 접근법은 MoM(모멘트 기법, Method of Moments)이라 부른다. 모멘트는 어떤 형태나 특성을 표현하는 핵심 측정량(measure)을 의미한다. 물리학에서는 주로 수직한 길이를 모멘트라 하지만 반드시 이럴 필요는 없다. MoM에서 말하는 모멘트는 길이가 아니고 전류 분포이니 말이다.
MoM을 최초한 제안한 사람은 러시아 수학자인 갈레르킨(Galerkin)이다[1]. 갈레르킨이 1915년경에 MoM을 제안했지만 당시에는 컴퓨터가 없어 한동안 잊혀져 있다가 1960년경에 해링턴(Roger F. Harrington)에 의해 MoM이 재발견되었다[1].

[참고문헌]
[1] R. F. Harrington, "Origin and development of the method of moments for field computation," IEEE Antennas Propagat. Magazine, vol. 32, no. 3, pp. 31-35, June 1990.

[다음 읽을거리]
1. 1차원 자유공간 그린 함수
2. 2차원 자유공간 그린 함수
3. 3차원 자유공간 그린 함수
4. 프란츠 공식
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댓글 19개 :

  1. 수식이 너무 흐릿해서 알아볼수 없음

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  2. 구글 크롬으로 들어와서 보세요. IE 경우는 PNG 파일을 표시할 때 수식이 흐려지는 문제가 있는 버전이 있더군요.
    감사합니다.

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  3. 연구실에서 세미나를 준비중인데, 원서로 보려니 너무 막막한데요..

    번역서로 적분방정식과 모멘트법에 대한 책 추천 부탁드려요 될까요?

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    1. 번역서가 있을까요? 번역서에 대한 수요가 거의 없어 번역할 연구자들은 없을겁니다.

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  4. 안녕하세요. 글 잘 읽었습니다.
    한 가지 질문이 있는데요, 점 전하(point source)를 델타 함수로 놓는다는것의 물리적인 의미가 무엇일까요?
    델타함수라 함은 일단 x=0인 점에서 무한대의 값을 갖는 함수인데 이러한 함수를 전원(source)의 위치에 놓고 방정식을 풀었을 때 어떻게해서 물리적인 값이 나오게 되는거죠?
    인터넷을 검색해보니 이러한 문제가 특이점(singularity) 문제라고 나와있기는 한데 이를 해결할 수 있는 방법은 찾지 못하겠더라고요.
    ('해결'이라는 단어가 적합한지는 모르겠네요 ^^;)
    이러한 특이점 문제를 어떻게 해결할 수 있는지(혹은 어떻게 받아들여야 하는지 궁금합니다.

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    1. 델타 함수는 점을 표현하기 위한 수학적 표현식입니다. 델타 함수부터 출발하면 이해할 수 있을 것입니다.

      점전원이 모여 선전원, 면전원이 될 수 있어 점전원 문제만 풀면 모든 문제의 해를 얻을 수 있습니다. 이 점전원을 표현하는 것이 델타 함수입니다.

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    2. 답변 감사합니다. ㅎ
      그렇게 되면 적분 식 안에서의 x=0에서의 값은 의미가 없고 '적분 이후의 값'만 의미를 갖게 되는건가요?
      아직도 값이 '무한대'인 함수를 '점전원'으로 표현하는게 이해가 가지 않습니다.

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    3. 점을 표현할 때 $x=0$이라 할 수 있지만 수학적으로 아무런 진전이 얻어지지 않습니다. 이때 분포 기반의 델타 함수 정의가 새로운 돌파구를 만들어줍니다.

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    4. 답변 감사합니다 ^^

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  5. 그린 함수를 좀더 풀어보기 위해서,
    Laplacian(V)=-q/epsilon * delta(r-r') 을 대입하면
    그린함수 G를 특정하여 구할 수 있는 것 같은데 맞는 생각인가요?

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    1. DC 전압을 위한 미분 방정식을 디랙 델타 함수 형태로 질문처럼 기술할 수 있지만, 이 부분은 어디까지나 시작입니다. 좌표계와 경계 조건에 따라 그린 함수는 달라집니다. 그래서, 말씀하신 미분 방정식만으로는 그린 함수를 결정할 수 없습니다.

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  6. 예전에 연구하느라 바빠 몰랐는데, 이제야 이해가 됩니다. 정말 감사합니다.

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    1. 제가 도움이 되었다니 기쁘네요, 방문 감사합니다, 익명님. ^^

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  7. "수학적으로 완벽한 기법을 써서 식 (19)의 적분 방정식(integral equation)을 풀 수 있는 방법은 아직 없다."이라고 하셨는데 오타인 것 같습니다.

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    1. 에고, 오타가 있었네요. 지적 정말 감사합니다, 익명님. ^^ 바로 수정했습니다.

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  8. 좋은 글 잘 읽었습니다. 그린함수에 관한 이해에 도움이 많이 되었습니다.
    간단한 질문이 있는데.. 식 3번에서 부터 계속 나오는 적분변수 v'는 어떻게 이해하는게 좋을까요? 적분해야되는 함수 (밀도*디렉함수) 들은 모두 r에 관한 함수인데.. 혹시 r 이 존재하는 모든 영역을 표현한 변수 인가요?

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    1. 원천이 존재하는 모든 영역을 표현하는 부피가 $v'$입니다. 벡터적으로는 보통 $\bar r'$로 표시합니다.

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  9. 질문이 있는데... 달랑베르 방정식을 푼 결과에 retarded time 과 관련된 정보는 어디 들어있는지 알 수 있을까요? 해에는 잘 안드러나서...

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    1. 파동 방정식의 해에 이미 표현되어 있습니다. 예를 들면 1차원 경우는 해의 입력이 $x-ct$로 표현되어, 지연 시간이 이미 있습니다.

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