2011년 10월 19일 수요일

미분 방정식의 의미(微分方程式, differential equation)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 적분법의 의미


[미분 방정식의 쉬운 예]

[그림 1] 미분 방정식을 이용한 열운동의 표현(출처: wikipedia.org)

미분 방정식(微分方程式, differential equation: DE)은 미지수(or 미지함수)를 구하기 위한 관계가 미분(微分, differentiation)으로 주어지는 방정식이다. 물리학에 나오는 대부분의 방정식은 미분 방정식으로 표현된다. 미분 방정식은 답이 아니라 답과의 관계를 표현하기 때문에 미분 방정식만 봐서는 전체특성을 알기 어렵다. 따라서, 설정된 미분 방정식을 풀어야 [그림 1]처럼 해당 개체의 변화특성을 정확히 예측할 수 있다. 예를 들면 뉴튼의 운동 법칙(Newton's laws of motion), 후크의 법칙(Hooke's law), 파동방정식(wave equation), 맥스웰 방정식(Maxwell's equations), 전송선 방정식(transmission line equation) 등은 미분 방정식으로 표현된다. 가장 일반적인 미분 방정식은 식 (1)에 제시한 미분 대수 방정식(微分代數方程式, differential algebraic equation)이다.

                       (1)

여기서 $F(\cdot), y$는 벡터(vector) 형태를 가질 수 있다. (예를 들면 $F = [F_1~F_2~\cdots~F_M]$, $y = [y_1~y_2~\cdots~y_N]$) 식 (1)에서 눈여겨 볼 것은 복잡해보이지만 독립 변수는 $x$ 하나인 것이다. 독립 변수가 여러 개이면 편미분 방정식(partial differential equation: PDE)을 도입해야한다.
너무 일반적인 식 (1)을 바로 풀기는 어려우므로 $F(\cdot), y$는 벡터가 아닌 일반 함수(예를 들면 $F = F_1(\cdot), y = y_1(x)$)로 생각할 수 있다. 이 경우 식 (1)은 1차 상미분 방정식(the first order ordinary differential equation(ODE): 1차 미분만 있는 평범한 미분 방정식이란 의미)이 된다. 식 (1)을 잘 분해해서 풀기 쉬운 식 (2)가 된다고 가정하자. 식 (2)는 상미분 방정식인 식 (1)의 표준형(normal form)이 된다.

                       (2)

여기서 $x_0, y_0$는 초기 조건(initial condition)이라 한다. 식 (2)는 신기하게도 조건만 잘 주어지면 풀리는 미분 방정식이 된다. 현재 상태에서는 식 (2)의 형태가 복잡해서 이게 잘 안보이지만 존재성(existence)과 유일성(uniqueness) 증명을 통해 식 (2)를 푸는 방법을 이해할 수 있다.

[3. 1차 상미분 방정식 해의 존재성과 유일성(existence and uniqueness of solution for the first DE)]

식 (3)이 성립하면 식 (2)는 반드시 해를 가지고 이 해는 유일하다.

                    (3)

여기서 $M, a, b$는 유한하며, $f(x, y)$는 연속(continuity)이다.

[증명]
먼저 식 (2)를 초기 조건을 만족하도록 적분하자.

                       (4)

사실 식 (4)은 식 (2) 미분 방정식에 대한 답이다. 문제는 어떻게 $y$를 구하는 방법을 보여줄 것인가이다. 그래서, 먼저 다음과 같은 반복법을 제안한다.

                       (5)

식 (5)는 피카르의 반복법(Picard's iteration method)이라 부른다. 이 방법은 프랑스 수학자 피카르(Charles Emile Picard)가 제안한 탁월한 기법이다.
식 (5)를 풀기 위해 테일러 급수(Taylor series)를 이용해 $f(x, y)$를 급수로 전개한다. $f(x, y)$는 연속이며 유한하기 때문에 테일러 급수 전개가 가능하다.

                       (6)

증명을 편하게 하기 위해 $x_0 = 0, y_0 = 0$라 가정하자. (∵ 좌표계 원점은 마음대로 옮길 수 있기 때문에) 그러면 수열 $y_n$은 다음과 같이 표현된다.

             (7)

        (8)

식 (8)은 좀 복잡해보이지만 이항 정리(binomial theorem)를 이용하면 쉽게 증명된다. 식 (7)과 (8)이 성립하는 근본적인 이유는 식 (6)의 테일러 급수가 수렴하기 때문이다. (∵ $f(x, y)$가 연속이므로 테일러 급수의 수렴성에 의해 $m, l$이 증가할수록 각 항의 크기는 반드시 줄어들어야한다.) 식 (7), (8)과 같은 과정을 무한히 반복하면 $y_n$이 한 값으로 수렴해가는 것을 보일 수 있다. (∵ 테일러 급수의 수렴성으로 인해 식 (7)과 (8)에서 $n$이 커질수록 $R_n(x)$값이 계속 줄어드는 것을 볼 수 있다.) 즉, 해의 존재성은 증명이 되는 것이다.
해의 유일성을 증명하기 위해 해가 $y^{(1)}, y^{(2)}$ 두 개가 있다고 가정하자. 이 두가지 해는 피카르의 반복법으로 구했기 때문에 다음처럼 멱급수(power series) 형태를 가진다.

                      (9)

식 (9)의 둘째줄은 초기 조건으로 인해 당연히 성립해야한다. 다음으로 함수 $y$의 미분($dy/dx$)에 대한 초기 조건을 구해보자. 식 (2)로 인해 $y$의 미분도 초기 조건이 동일해야 한다. (∵ $y$의 초기 조건이 같기 때문에 식 (2)에 의해 그 미분도 같다.) 이를 사용하면 다음이 증명된다.

                      (10)

이런 방식으로 계산하여 고차 미분($d^ny/dx^n$)에 대한 경계 조건을 추적해보면, 식 (9)의 첫째줄에 있는 $y^{(1)}, y^{(2)}$ 대한 멱급수가 서로 같아진다. (∵ 식 (2)를 $x$에 대해 미분하면 $y$의 2차 미분 관계식($d^2y/dx^2$)을 만들 수 있고 그 초기 조건은 같아아 햔다. 식 (2)를 계속 미분하면 고차 미분의 초기 조건도 같다는 것을 보일 수 있다.) 즉, $y^{(1)} = y^{(2)}$가 반드시 성립해야 한다. 다시 말해 식 (2)가 제시되고 함수 $y$의 초기 조건이 정해지면, 그 해는 유일하게 딱 하나로 정해져야 한다.
______________________________

위에 나온 용어 중에서 초기 조건(initial condition)이나 경계 조건(boundary condition)은 미분 방정식에서 매우 중요하다. 초기 조건은 시간에 대한 미분인 경우 사용하고 경계 조건은 공간 편미분을 위한 것이다.
시간 미분은 아주 특별한 경우이고 보통은 공간 편미분을 사용하기 때문에 문제를 풀기 위한 미분 방정식의 조건은 경계 조건이라 부른다. 명칭에서도 알 수 있듯이 경계 조건은 보통 양 끝이나 바깥쪽(외곽) 값이다. 하지만, 함수가 유한하다든지 이런 것도 (경계값은 아니지만) 경계 조건이라 부른다. 따라서, 이 개념을 더 확장하면 미분 방정식을 풀기 위해 사용하는 조건이 경계 조건이다.

식 (5)에 있는 피카르의 반복법을 이해하기 위해 다음 미분 방정식을 고려해보자.

                       (11)

그냥 풀기는 어려우므로 식 (5)를 이용하자. 지수 함수(exponential function)의 테일러 급수인 식 (13)를 이용하면 식 (11)의 해를 쉽게 구할 수 있다.

                       (12)

                         (13)

식 (12)의 방법론은 단순하지만 강력하지 않은가? 피카르의 반복법은 정말 대단하다.

우리가 증명한 해의 존재성과 유일성은 식 (2)의 1차 상미분 방정식에만 적용된다. 이를 고차원으로 확장하는 방법은 없을까? 이 부분은 의외로 쉽다. 먼저 2차 상미분 방정식부터 살펴보자.

                      (14)

여기서 $(\cdot­)'$는 $x$에 대한 미분을 표현하기 위해 사용하였다. 식 (14)를 식 (2)와 같은 형태로 고치려면 역함수(inverse function) 개념을 활용하면 된다.

                       (15)

여기서 $h(x, y')$는 $g(x, y)$의 역함수라 생각할 수 있다. 식 (15)가 성립하려면 함수 $g(x, y)$가 존재해야한다. 원론적으로는 식 (16)을 풀면 함수 $g(x, y)$가 얻어진다.

                      (16)

하지만 식 (13)의 좌변과 우변에 $y'$가 있고 $y$의 미분이 $y'$가 되어 $g(x, y)$를 구하는 것이 쉽지 않다. 잘 보면 식 (16)은 식 (1)과 같은 형태이므로 식 (1)이 식 (2)로 항상 유일하게 변환된다면 $g(x, y)$의 존재성이 증명된다. 하지만 애석하게도 식 (1)은 식 (2)로 유일하게 변환되지 않는다. 예를 들면 $\sin(y'×y) = 0$는 삼각 함수(trigonometric function)의 주기(period) 때문에 유일하게 $y' = f(x, y)$로 표현되지 않는다.
그래서, 벡터 기반으로 피카르의 반복법을 새롭게 변환하자.

                   (17)

식 (17)의 마지막식을 이용해서 피카르의 반복법을 다시 정의하자.

                   (18)

따라서, 식 (18)은 식 (5)와 같은 형태이므로 해의 존재성과 유일성이 고차 상미분 방정식(higher-order ordinary differential equation)으로까지 확장될 수 있다. (∵ 벡터로 표현된 식 (18)을 각각의 적분식으로 분해하고 식 (5)를 증명하기 위해 썼던 식 (7), (8)의 방법을 이용해 꼬리에 꼬리를 물도록 식들을 배치하면 자연스럽게 식 (18)이 증명된다.) 이를 이해하기 위해 다음 미분 방정식을 고려해보자.

                   (19)

식 (19)를 식 (18)에 대입해서 피카르의 반복법을 써보자.

                   (20)

여기서 $z_1, z_2$는 삼각 함수의 테일러 급수를 비교해 얻은 것이다.
식 (20)의 최종결과를 식 (19)의 미분 방정식에 대입하면 식 (20)이 해인 것을 확인할 수 있다.

식 (19)에서 한가지 기억할 것은 임의의 함수값 두 개를 초기 조건으로 사용해서는 해의 유일성 조건을 만족 못시킬 수도 있다는 것이다. 해의 유일성이 성립하려면 식 (17)이나 (19)에 있는 초기 조건을 사용해야한다. 예를 들어 다음 문제를 고려하자.

                   (21)

식 (19)와 (21)을 비교하면 초기 조건이 약간 다르다. 식 (19)는 함수 $y$의 미분에 대한 초기 조건이 있으나 식 (21)은 없다. 식 (21)의 미분 방정식 해를 구하기 위해 식 (18)과 동일한 피카르 반복법을 사용하자. 다만, 함수 $y$의 미분에 대한 초기 조건이 없으므로 이 값을 $c$라고 두자.

                   (22)

다음으로 식 (22)에 있는 미정 계수(未定係數, unknown coefficient)인 $c$를 정하기 위해 사용하지 않은 초기 조건인 $y(\pi)$를 쓰자.

                        (23)

하지만, 운 나쁘게도 초기 조건 $y(\pi)$는 $c$를 결정할 수 없게 만든다. 따라서, 식 (21)을 만족하는 해는 무수히 많다. 해는 존재하지만 해의 유일성이 성립하지 않는 전형적인 예가 식 (21)이다.

[다음 읽을거리]
1. 선형 상미분 방정식
2. 멱급수 기반 상미분 방정식
3. 1차 선형 상미분 방정식
4. 스투름-리우빌 이론

댓글 50개 :

  1. 미방 급수해법파트 공부중인데 피카르의 반복법 매우 유익할거 같네요. 단순한 문제에선 비효율적이겠지만 복잡하고 어려운 문제일수록 빛을 발할거 같네요! Kreyszig공업수학 공부중인데 이렇게 다양한 방법이 부족해 아쉽네요 ㅠㅠ(미정계수법은 정말 엉망) 또 배워갑니다 ㅎㅎ

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  2. 미분방정식은 실용적이면서도 수학적으로 우아합니다. 해의 존재성과 유일성이 있기 때문에 어떤 방식으로 답을 구해도 동일합니다. 무한급수를 이용하든지 계수를 맞추든지...

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  3. 얼마전 면접을 봤습니다. 공대편입 면접이었죠... 그런데 교수님께서

    (d^2 x)/(d t^2) + (dx/dt) = sint 의 해를구하고 회로를 그려라는데

    도저히 감이 안와서 여길 다시 찾았습니다.

    도움을 좀 주실수있겠나요

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    1. 미분방정식은 유형별로 풀 수 밖에 없습니다.

      위의 문제는 전형적인 구조라 초기조건에 따라 라플라스 변환이나 페이저를 쓰면 됩니다. 예를 들어 AC라는 조건이라면 sin(t) = Re[-j*exp(jt)]로 바꾸면 됩니다.

      아래 페이저 내용 보면서 답을 구해보세요. 페이저를 쓰면 미분이 복소수로 바뀝니다. 어렵지 않을 것입니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/phasor.html

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  4. I really appreciate for your stuff. Thanks!!

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    1. Thank you for your visit. May mathematics be with you!

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  5. 대전에서 26년 살다가 얼마전 미국으로 경제학 박사 학위 받으러 온 학생입니다.
    같은 대전분에게 먼 이곳에서 도움을 받아 더욱 감사드립니다.
    하시는 모든 일에 행복이 충만하시길 바랄게요.

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    1. 익명님, 반갑습니다. ^^ 저의 작은 글이 도움 되셨다니 기쁘네요.
      먼 미국땅에서 좋은 연구 성과 만드시길 빕니다.

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  6. 7과 8에서 y2, y3을 전개하는과정에서 앞에 y1이나 y2가 아니라 y0인것 같습니다.

    이 파트만 2시간째 보네요. ㅠㅠ 아직도 이해 다 못했습니다.

    감사합니다.

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    1. 다시 봤는데 식은 틀린 것이 없습니다. 식 (7)의 설명이 약간 부족한 것 같아 수식만 추가를 했습니다, 삽살이님. ^^

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  7. 피카르의 반복법이나 테일러 급수를 이용해서 해의 존재성과 유일성을 증명했는데, 다른 방법들을 이용해도 해가 유일하다는 게 증명된 것인가 하는 궁금증이 생기네요. 다른 방법을 이용하더라도 멱급수 형태가 되어서 결국 위의 증명을 따라간다든가, 그런 증명이 추가적으로 필요한 것이 아닌지...

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    1. 지식의 한계는 없으니 여러 가지 방법으로 증명할 수 있겠지요. 좋은 생각이나 문헌이 있으면 저에게도 알려주세요.

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    2. 아..제가 궁금한 것은, 위에서는 피카르의 반복법을 이용했기 때문에 멱급수 형태의 해가 나온다고 했고, 그 급수의 각 항들을 비교하는 방법을 쓰셨잖아요?그런데, 반드시 멱급수 형태의 해가 나온다고 할 수 있느냐는 거였어요. 그렇게 멱급수 형태로 나오겠지만, 다른 방법, 변수분리 등으로 풀어도 그렇다는 증명이 필요하지 않나, 그런 의문이 생겨서요.

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    3. 해의 유일성이 있기 때문에 어떤 방법으로 풀더라도 답은 같습니다. ^^
      문제는 멱급수 외에 어떤 쉬운 방법이 있을까 하는 것이지요.

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    4. 계속 똑같은 질문이라 죄송했어요. 제가 궁금한 것은, 유일성을 증명하는 과정에서 피카르의 반복법으로 구한 해니까 멱급수 형태를 갖는다고 하고 증명이 진행되는데, 그럼 이건 피카르의 반복법을 이용한 해의 유일성이지, 다른 어떤 방법을 적용해도 해가 유일하다는 것은 아니지 않나 이런 거였어요.
      하지만, 좀 더 생각을 해 보니, 주어진 조건에선 테일러 급수가 수렴하고 하나로 결정되니, 다른 방법으로 풀었다고 해도 같은 테일러 급수로 표현되니까 결국 멱급수의 계수 비교를 통한 증명도 성립되는 것 같은데 맞나요?

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    5. 예, 맞습니다.

      피카르의 반복법은 해의 존재성을 증명하기 위해 사용한 것입니다. 해가 존재하기 때문에 유일성을 보이는 것은 쉽습니다.

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    6. 감사합니다. 이제야 이해가 되었어요. 제가 배울 땐 그냥 기계적으로 해를 찾는 것만 배워서 이런 수학적인 것들은 생각조차 해보지 않고 넘어갔었네요. 좀 더 자세히 다뤄주면 좋을텐데..e-d도 안 가르쳐주니 말이죠 ㅠㅠ(그게 제겐 다행인 거 같기도 하지만요)

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  8. 미분방정식을 공부하고 있는 학생입니다.
    책을 보면 항상 해의 존재성과 유일성을 설명하는 부분이 잇는데, 그냥그냔 대충 넘겻는데 꼭 정리하고 넘어갈 내용일까요? 시험에서는 딱히 물아보진 않아서 남어갓는데.....

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    1. 내용의 완결성 때문에 들어간 것이라 빠르게 보려면 건너뛰어도 문제 없습니다.
      다만, 미분 방정식을 확실히 이해하려면 해의 존재성과 유일성은 필수적입니다. ^^

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  9. 이 포스트와 관계가 없는 질문일 수도 있지만 여쭤봅니다.

    linear constant coefficient ode를 시스템의 관점에서 보면 lti 시스템 즉 linear time invariant 시스템이잖아요?

    예를 들어 y'+y=x 이 때 x(t)는 input, y(t)는 output.

    그런데 위의 식에서 impulse response는 x(t)=d(t)처럼 input을 델타 함수로 넣었을 때 나오는 y(t)잖아요? 그런데 이 때 y(t)의 general solution은 없나요?

    위의 식에서 impulse response를 라플라스 변환을 통해 구하면 impulse response의 라플라스 변환이 1/(s+1)으로 나오거든요? 그러면 역라플라스 변환을 통해 구하면 roc 즉 region of convergence에 따라 impulse response가 2가지가 나오거든요?

    h(t)={e^(-t)}*u(t) 또는 {-e^(-t)}*u(-t)

    여기서 시스템이 causal, stable하다면 첫째, noncausal, unstable하다면 둘째가 impulse response가 되겠죠.

    그런데 궁금한 점이 있습니다. 라플라스 변환은 exponential order인 함수만 존재하는 것으로 압니다. 즉 어떤 함수가 t^t처럼 빠르게 증가하는 함수라면 라플라스 변환은 존재하지 않겠죠? 그래서 위의 미방에서 impulse response를 구한 함수들도 자세히 보시면 exponential order인 함수들만 보입니다.

    그런데 혹시 위의 미방에서 impulse response를 구할 때 y(t)가 exponential order인 함수 뿐만 아니라 다른 형태의 solution도 나올 수 있나요? 즉 input을 델타 함수로 주었을 때 y(t)의 general solution같은 것은 없나요? 만약 general solution이 있다면 위의 2가지 식 말고도 셀 수 없이 많은 impulse response를 구할 수 있지 않나요?

    제가 궁금한 건 "왜 impulse response를 구할 때 라플라스 변환을 통해 구한 impulse response가 적절한 해라고 생각하는 건가요? 만일 general solution이 있다면 라플라스 변환을 통해 구한 impulse response 말고도 다른 형태의 impulse response가 있을탠데 도대체 왜 라플라스 변환에서 구한 impulse response가 적절한 해라고 생각하는지 이해가 안됩니다."

    질문이 난잡해서 죄송합니다.

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    1. 좋은 질문 감사합니다, 익명님. ^^

      1. 미분 방정식을 풀 때는 일반해와 특수해를 반드시 구분해야 합니다. 질문하신 방정식에서 $x = 0$인 경우가 일반해입니다. 이건 초보적인 방법으로 쉽게 구할 수 있어 보통 생략합니다. 그래서, 문제풀 때는 특수해를 가지고 고민을 많이 합니다.

      2. 특수해 중에서 가장 인기 있는 경우가 입력이 델타 함수인 경우입니다. 이걸 쓰는 이유는 그린 함수(Green's function) 기법을 사용하기 위해서입니다.

      3. 미분 방정식의 해는 일반해와 특수해를 합쳐서 구합니다. 이때 일반해는 말 그대로 어떤 값이든 될 수 있어, 적분 상수가 붙어 있습니다. 이 적분 상수는 경계 조건이나 초기 조건을 이용해 구합니다.

      이상을 종합하면

      -> 말씀하신 미분 방정식도 원칙적으로는 일반해를 구해야 합니다. 하지만, 라플라스 변환을 한 경우, 초기 조건을 넣기 때문에 자연스럽게 일반해 부분까지 포함됩니다.

      -> 본문에도 설명되어 있듯이 미분 방정식의 해를 구하는 것보다, 이 해가 유일하냐 하는 것이 더 중요합니다. 유일성이 증명되어 있으므로 라플라스 변환이든, 일반해+특수해든 구하면 모두 동일한 답이 됩니다.

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  10. 식 (10) 에서 B_1=C_1 이라고 하셨는데.. 멱급수의 1번째 계수들을 말하는 건가요? 식 (10)이 만약 답이 2개라고 가정하면, 두 답의 1차 미분은 같다는 걸 보여주는건 이해했는데, 멱급수의 첫 째 계수와 어떤 연관이 있는지 이해를 못했네요 ..ㅠㅠ

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    1. 1. 네, 맞습니다.

      2. 멱급수를 미분해서 $x = 0$을 대입하면 $B_1 = C_1$이 증명됩니다.

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    2. 방학 중에 이 블로그 보고 공부하고 있어요!

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    3. 영광입니다, 이재님. ^^ 방학을 이 블로그와 함께 보내신다니.

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  11. 좋은 글 써주셔서 제가 감사하죠^^ 앞으로도 잘 부탁드립니다!

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  12. 혹시 아직 답변해주시려나요? 스툼리우빌 정리 이해하려다가 여기까지 오게 되어 질문드립니다.
    식 22에서 계산과정에 z2.n+1 = ....z1.n+1인데, z1.n이 아닌 이유가 잘 이해가 되지 않습니다. 복학하고 맘잡고 공부하려니까 제대로 알고있는게 하나도 없었단걸 깨닫는중입니다. 좋은 포스팅해주셔서 감사합니다

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    1. 식 (22)처럼 구성해야만 $n = 0$부터 값을 차례로 넣었을 때 꼬리에 꼬리를 무는 반복법이 구성됩니다. 하나 하나 넣어보세요, 김태홍님. ^^

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  13. 안녕하세요 처음 방문했는데 이런 식으로 잘 구성된(각각의 이론 항목에 대한 dependent 이론 항목들을 반가운 경고문구와 함께 같이 넣어주신) 블로그를 본 적이 없어서 감탄 한 마디 외치며 다녀갑니다. 주인장님 멋쟁이시네요

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    1. 김현영님, 방문과 칭찬 감사해요. ^^

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  14. 수시 준비를 하는 고3입니다만 어중간한 개념부터 다시 익히기 위해 아는 개념부터 하나하나 정독중입니다. 처음에는 필요한 부분만 알고 넘어가려 했는데, 계속해서 보게 되네요 ^^; 너무나도 큰 도움이 됩니다. 수준 높은 글 언제나 감사드리고, 블로그 활동 지속적으로 하시길 응원하겠습니다.

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    1. 방문 감사합니다, DaeJin님. ^^ 수시에서 좋은 결과 있기를 바래요.

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  15. 다시 보니 잘 이해가 되지 않아 질문 드립니다. 식 (20)의 두 번째 줄입니다.
    z2.n+1 = 0 - (적분식)
    에서 적분식 안의 수식이 f(x,z1.n,z2.n) = -z1.n 이 되어야 한다고 생각했는데, -z1.n+1이네요.. z2와 같은 n+1 번째 항인 이유가 궁금합니다.

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    1. 별 의미 없습니다. 좀전에 얻은 $z_1$을 미분해서 $z_2$를 정한다는 뜻입니다.

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    2. 피카르 반복법을 따른다면, 식(20)의 첫번째 줄과 같이 z2.n+1을 구하기 위해서는 (z2.n') = -z1.n 이 적분식 내에 들어가야 하는 것 아닌가.. 생각되어서 질문드립니다.
      즉, 첫번째 줄에는 z1.n+1을 구하기 위해 (z1.n'=z2.n)을 계산하는데 비해, 두 번째 줄에서는 z2.n+1을 구하기 위해 z2.n'이 아닌 z2.n+1'을 이용하는 이유가 궁금합니다.

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    3. 위 제 답글에서 미분 -> 적분이 되어야 하네요. (틀렸었네요. ^^)

      $z_1, z_2$의 관계는 서로 미적분 관계입니다. 현재 회수($n+1$)에서 얻은 $z_1$으로, 같은 회수($n+1$)의 $z_2$를 얻는 것이 맞습니다.

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    4. z2의 미분값이 -z1이 되는 것이 그 이유인가요? 피카르의 반복법이 이닌 단순한 적분이라면 앞에 0이라는 z2.0 값이 들어가는 이유가 궁금합니다.
      제가 부족한 점이 많아 아리송하네요...;;

      질문이 제대로 전달될지 몰라, 장황하지만 제 뜻을 길게 적겠습니다. 양해 부탁드려요..
      피카르의 반복법을 쓰게 되면, 식(20)의 첫번째 줄 z1,n+1 = z1,0 + (z1,n'의 적분)과 같이 n+1회수의 항을 구하기 위해 n회수의 값을 이용하는 것으로 알고 있습니다. 헌데, 두 번째 줄에는 피카르의 반복법 꼴 임에도 (z2,n'=-z1,n)이 아닌 (z2,n+1'=z1,n+1)의 값이 이용된다고 보여집니다. 이것이 피카르의 반복법이 아닌 단순한 적분이라면 z2,0의 값을 더하는 이유가 궁금해지고요.. ㅜㅜ

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  16. 안녕하세요. 피카르의 반복법을 쓴 후 최종적으로 함수를 유추할 때, 테일러 급수와 비교하여 유추하게 되는데, 이미 알고 있는 꼴이 아닐 경우에 식을 유추할 수 있는 방법이 있을까요?
    예를 들어, e^x의 테일러 급수 꼴을 모르는 상태에서 피카르의 반복법을 통해 식(12)와 같은 결과를 도출할 수 있을지 궁금합니다.

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    1. 멱급수(power series)는 많이 연구되어 있으니, 함수별로 멱급수를 모아놓은 표 같은 것을 보면 되지 않을까요.

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  17. 선생님 안녕하세요. 추운 날씨 잘 견디고 계시는지요.

    읽다가 궁금한 점이 있어서 이렇게 질문 남깁니다.

    식 17에서 벡터 형태로 표준형을 나타내고 피카르의 반복을 적용한다고 하셨는데,

    벡터의 성분들 사이에는 독립 조건이 필요가 없는 것인가요?

    유일한 표현법이 필요해서 벡터 기반의 표현 방식을 이용한다 하셨는데

    서로 독립이 아니면 저 표현 방법도 유일하지 않은 것으로 생각되지 않을까 합니다.

    항상 좋은 글 감사합니다!

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    1. 익명님, 선생님이 아니고 전파거북입니다. ^^

      1. 식 (17)은 산뜻한 표기법이라 생각해야 합니다. 꼬리에 꼬리를 무는 고차 상미분 방정식 해법을 잘 표현하기 위해 벡터를 도입했을 뿐입니다. (반드시 벡터일 필요는 없습니다.)

      2. 어쨌건 식 (17)에 제시한 벡터 성분은 서로 미분 관계이므로, 독립이 아닌 서로 종속 관계입니다.

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  18. 안녕하세요 전파거북이님 많은 도움이 되며 공부중인 대학원생입니다.

    저의 공부가 부족한 탓인지 모순점을 하나 발견하였습니다.

    전자기파의 유일성 정리에 의하면 경계 조건이 주어진 상황에서는 해가 유일하다고 하였습니다.

    그런데 식 (21)의 문제의 경우를 파동 방정식 관점으로 바라봤을때 평행 평면판에서

    x=0인 곳에서 전압이 1 x=pi인 곳에서 전압이 -1 이라고 본다면

    문제의 결과에 따라서 존재하는 파동이 무수히 많아야 합니다.

    이는 전자기파의 유일성 정리와 모순을 보이는데요 제가 어디에서 잘못 생각하였는지 궁금합니다.

    날씨가 아직 많이 춥습니다. 건강 잘 챙기시길 바랍니다.

    감사합니다.

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    1. 식 (21)의 $y$는 변수가 하나만 있고, 어떤 경우에도 $x = 0$에서 $y$의 미분이 고정되지 않습니다.
      하지만 전자파는 전기장과 자기장이 서로 얽혀있고 경계면에서 접선 전기장 혹은 자기장 경계 조건이 고정되어, 어떤 장 특성을 알면 다른 장 특성도 그냥 나옵니다. 그래서 식 (21)과 전자파는 동일한 조건이 아닙니다.

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  19. 좋은 글 감사합니다.
    궁금한게 있어서 여쭈어 봅니다.
    식7을 보면 첫째줄에서 둘째줄로 넘어갈 때
    적분기호와 시그마의 자리를 바꾸셨는데 바꾸어도 되는 근본적인 이유가 무엇인가요?

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    1. 원칙은 바꿀 수 없지만, 식 (6)을 정의하며 가정한 것이 함수 $f$가 유한하다입니다. 그래서 적분과 무한 급수를 바꿀 수 있습니다.

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  20. 헉...
    그렇군요;
    답변 감사합니다.

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  21. 안녕하세요 전파거북이님!
    논리적으로 흠 없고 간결한 글 항상 도움이 됩니다.
    이번 글에서는 흐름이 막힌다거나 그런 부분은 없었는데요 한편으로는

    피카르의 반복법의 형태를 통해 다항식의 차수를 점진적으로 확장시키는 과정에서
    반복하는 식의 형태가 주어진 적분형이라고 생각할 수 있었던 이유가 있었을까요?

    저 형태가 타당함을 밝히는 데에는 얻어진 해가 잘 맞는다만 주어진 것 뿐이여서 찜찜한 구석이 있습니다 ㅠ

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    1. 피카르는 저 형태를 어떤 아이디어에서 얻었는지가 궁극적으로 궁금합니다!

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    2. 해의 유일성이 있기 때문에 어떤 방법으로 구하더라도 결과는 동일합니다. 그래서 문제를 풀 때 존재성과 유일성을 계속 고민하는 것입니다.

      피카르가 아이디어를 얻은 방식은 저도 알 수가 없네요. ^^

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