2010년 7월 5일 월요일

평균값의 정리(平均値 定理, mean value theorem)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "평균값의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한의 의미
2. 미분법의 의미



[평균값의 정리(mean value theorem)]

코쉬(Augustin-Louis Cauchy)가 증명한 평균값의 정리는 미분의 심오한 특성을 보여준다.미분은 정의에서 분자와 분모가 0으로 가는 극한으로 식 (1)로 정의된다.

                        (1)

그런데, 나눗셈에서 분모가 0이 되면 의미없는 값이 얻어지므로 미분의 실체에 대해 의심하게 된다. 미분의 존재성을 명쾌하게 보여주는 것이 평균값의 정리이다.

먼저 롤의 정리(Rolle's theorem)부터 증명한 후 평균값의 정리를 살펴보자.

1. 롤의 정리


[그림 1] 롤의 정리(출처: wikipedia.org)


[롤의 정리]
닫힌 구간 $[a, b]$에서 $f(x)$가 연속이고 $f(a) = f(b)$이며 열린 구간 $(a, b)$에서 $f(x)$가 미분가능하다면 $f'(c) = 0$인 $x = c$가 열린 구간 $(a, b)$에 반드시 존재한다.

[증명]
함수 $f(x)$는 닫힌 영역에 정의되어 있고 연속이므로 $f(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 반드시 최대값과 최소값을 가진다.
쉽게 증명하기 위해 $x = c$에서 [그림 1]과 같은 최대값이 존재한다고 가정한다. 최소값을 고려하려면 $f(x)$의 부호를 바꾸어 $-f(x)$를 가정하면 된다.
$x = c$에서 함수 $f(x)$가 최대값을 가지므로 이 근방에서는 $f(c)$가 최대값이 된다.
따라서, 아래 식 (1)이 반드시 성립해야 한다. 여기서 h는 0은 아니면서 매우 작은 값이다.

                (1)

식 (1)은 범위가 $h$인 구간에서 항상 성립하므로 $h$로 나누면 아래 식 (2)와 (3)을 얻을 수 있다.

                (2)

                (3)

$h$가 0에 한없이 가까이 가면 식 (2)와 (3)의 두 값은 0보다 크거나 같아야 하고 동시에 0보다 작거나 같아야 하므로 $x = c$에서 미분값은 반드시 0으로 수렴해야 한다. 따라서, $f'(c) = 0$인 $c$가 반드시 존재한다.
______________________________

의 증명은 최대값의 존재를 가정하고 있다. 또한, 좌극한과 우극한이 서로 같은 값으로 수렴하면 반드시 그 중간값은 좌극한과 우극한이 접근한 값이라는 가정도 포함하고 있다.
이것은 [그림 1]을 보면 당연한 가정이다. 하지만, 이것은 수학적 관점에서 극값의 정리(極値 定理, extreme value theorem)와 중간값의 정리(中間値 定理, intermediate value theorem)로 소개되는 연속함수의 매우 중요한 특성들이다.

식 (2)와 (3)을 극한 관점에서 보면 아래 식 (4)로 쓸 수 있다.

                (4)

 (4)는 식 (1)과 동일한 전형적인 미분 정의이다. 롤 정리의 전제가 $f(x)$의 미분가능성이므로 식 (2)와 (3)이 표현하는 우극한과 좌극한은 당연히 한값으로 수렴해야 함을 알 수 있다.
또한, 식 (4)를 $\epsilon$-$\delta$ 정의로 표현하면 아래 식 (5)를 얻을 수 있다. 

                (5)

여기서 $\epsilon$은 미분가능성을 표현하는 양의 실수이다.
$f(x)$가 미분가능하면 임의의 $\epsilon$에 대해 적절한 $\delta$가 항상 존재한다. 즉, 항상 $\epsilon$을 임의로 작게 줄일 수 있다. $\epsilon$이 0으로 가까이 가면 식 (5)의 우변에 있는 $\epsilon |h|$가 0으로 가므로 이에 따라 극한이 존재해서 $f(x)$가 연속이 됨을 알 수 있다. 따라서, $f(x)$가 미분가능이면 당연히 $f(x)$는 연속이다.
그런데, 연속이라고 항상 미분가능한 것은 아니다. 미분가능성으로 인해 $\epsilon$이 0으로 간다고 했지만, 이 조건이 없다면 어떻게 될까? 식 (5)의 우변에서 $|h|$가 0으로 가면 $f(x)$가 연속이라는 보장을 하지만, 미분가능성에 대한 $\epsilon$을 항상 임의로 작게 만들 수는 없다. 왜냐하면 $\epsilon$이 커지더라도(or 미분이 안되더라도) $h$가 0으로 가고 있어 식 (5)의 우변이 0으로 갈 수 있기 때문이다. 즉, 연속성보다 더 강력한 조건이 미분가능성인 것이다.

2. 평균값의 정리

[그림 2] 평균값의 정리(출처: wikipedia.org)

롤의 정리를 이용하면 식 (6)에 있는 평균값의 정리를 쉽게 증명할 수 있다.

                            (6)

증명을 위해 새로운 매개함수 g(x)를 정의하자.

                (7)

$g(a) = g(b) = f(a)$가 되므로 롤 정리의 가정을 만족한다. $g'(c) = 0$이 되는 $x = c$가 반드시 존재하므로 식 (7)을 미분하면 식 (6)을 얻을 수 있다.
______________________________

$f(x)$의 미분가능성을 가정했기 때문에 동어반복적인 의미가 있지만 평균값의 정리는 미분의 특성을 매우 효과적으로 보여준다.
열린 구간 $(a, b)$를 고려하여 식 (6)에 있는 $a$와 $b$가 $c$로 한없이 가까이 가면 식 (6)의 우변은 미분 $f'(a) = f'(b) = f'(c)$로 생각할 수 있다. 이 미분이 분명히 존재하며 이 값은 기울기와 같다는 것을 명시적으로 보이기 때문에 평균값의 정리는 미분에서 매우 중요한 위치를 차지한다.

3. 코쉬의 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem)

                            (8)

식 (8)을 증명하기 위해 다음 함수 $h(x)$를 고려하자.

        (9)

식 (9)가 성립하기 때문에 롤의 정리가 성립해서 식 (8)이 증명된다.

[다음 읽을거리]
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댓글 11개 :

  1. 수학게시물 처음부터 정주행하고 있습니다.
    좋은글 많이 올리셔서 수학 공부하는데 큰 도움이 되고있습니다. ㅎㅎ
    롤의 정리에서 'f(a)=f(b)'라는 말이 들어가야될것 같습니다~

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    답글
    1. 아이쿠, 틀렸네요. 본문 수정했습니다.
      지적 정말 감사합니다.

      정독 해가시다가 틀린 것 있으면 자주 지적해주십시오. ^^

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  2. 저도 지금... 정주행중입니다...
    주인장님... 이거 모아서 책좀 내주실수 있나요? 소장하고 싶네요... ^^

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    답글
    1. 요즘은 이북이 대세라 아래 네이버 블로그에 목차를 모아두고 있습니다.

      http://blog.naver.com/ghebook/30113491161

      그냥 이것 보시면 책과 별 차이 없습니다. ^^

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  3. 전 역주행 중 입니다. T.T

    1. 식 (6)과 (9)을 증명하기 위한 식 (7)와 (9)는 어디서 온건가요?
    ('질문이 참 거시기 하넹.')그러니깐 어떻게 저렇게 식이 만들어 지는건가요?

    2. 선형근사관련 자료는 만드실 생각없으신지요?
    2-1. 처음엔 위 평균값의 정리를 이쪽 저쪽으로 옮기면, 접선방정식이 될거 같았는데, 식(6)을 이리 저리 옮기니 이렇게 되는데요.
    f(b) = f(a) + f'(c)*(b-a)

    아래와 비슷하기는 한데, 쩝 연결고리가... T.T

    y = f(a) + f'(a)*(x-a) <== 접선 방정식
    (출처 http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%84%A0%ED%98%95%EA%B7%BC%EC%82%AC)
    _____
    전파곰

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    답글
    1. 오타가 또 있네요. 지송요T.T
      1. 식 (6)과 (8)을 증명하기 위한 식 (7)와 (9)는 어디서 온건가요?

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    2. 1. 특별한 절차를 따라 식 (7)과 (9)를 찾은 것은 아닐겁니다. 그냥 증명을 위한 함수를 찾다보니 나온 것이겠지요.

      2. 평균값의 정리는 미분의 존재성을 보여주기 때문에 $a < c < b$라 생각하면 설명 가능합니다.

      삭제
  4. 안녕하세요. 이 블로그게 도움이 많이 되고있습니다. 궁금한 사항이 있어서 질문드립니다. 시간이 오래되서 답변을 주실지 모르겠지만 ㅠㅠ..
    식(5)밑에 이 글이 있습니다.

    f(x)가 미분가능하면 임의의 ε에 대해 적절한 δ가 항상 존재한다. 즉, 항상 ε을 임의로 작게 줄일 수 있다. ε이 0으로 가까이 가면 식 (5)의 우변에 있는 ε|h|가 0으로 가므로 이에 따라 극한이 존재해서 f(x)가 연속이 됨을 알 수 있다. 따라서, f(x)가 미분가능이면 당연히 f(x)는 연속이다.
    그런데, 거꾸로는 항상 참이 아니다. 식 (5)의 우변에서 |h|가 0으로 가면 f(x)가 연속이라는 보장을 하지만 ε을 항상 임의로 작게 만들 수는 없다. 왜냐하면 ε이 커지더라도 h가 0으로 가고 있어 식 (5)의 우변이 0으로 갈 수 있기 때문이다.

    1. 첫째줄에서는 ε을 항상 작게 만들 수 있다. 라고 하셨고, 마지막 3번째줄에서는 ε는 항상 작게 만들 수 없다라고하셨는데 이해가 안갑니다.

    2.미분가능->연속(o) / 연속->미분가능(x) 을 설명하 실 때, 마지막 3번째 줄 부터 이에대한 언급이 있는데요. 제 생각은 ε-δ 정의에의하면 ε와 |h| 모두가 결국 0으로 가야만 ε|h|=0이 되어 극한 값이 존재하는것인데, ε 나 |h| 중 둘 중 하나만 0으로가도 ε|h|=0 이 성립은하지만 ε와 |h|가 둘 다 0으로 가는 것은 아니기 때문에 역인 명제는 성립하지않는다고 보는게 옳은 것 아닌가요?

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    답글
    1. 본문을 바꾸어 보았습니다. 다시 한 번 검토해주세요, Unknown님. ^^
      본문에서 $\epsilon$은 미분가능성을 표현하는 값으로 사용했습니다.

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  5. 좋은글 감사합니다
    정말 큰 도움이 되고있습니다

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