중간값의 정리(中間値 定理, Intermediate Value Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "중간값의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한과 연속성의 의미
2. 평균값의 정리

함수의 양끝점 값이 주어지면 그 중간에 있는 값은 반드시 존재하는가? 이런 의문을 수학적으로 풀어주는 정리가 중간값의 정리이다.

[그림 1] 중간값의 정리(출처: wikipedia.org)

[그림 1]을 보면 중간값의 정리는 개념적으로는 자명하다고 할 수 있다. $f(a)$와 $f(b)$가 주어져 있고 함수 $f(x)$가 연속이면 $f(a)$와 $f(b)$ 사이에는 중간값이 반드시 있음을 쉽게 알 수 있다. 하지만 이런 자명한 명제를 증명하기는 매우 어렵다. 코쉬Augustin-Louis Cauchy(1789–1857)가 제안했던 구간 나누기에 기반을 둔 증명[1]이 따라가기에 쉽다. 증명을 끝까지 따라갈 수 있으면 수학하는 재미를 느낄 수 있는 흥미있는 정리이다. 함수의 연속성을 정의한 후 연속 함수의 특성을 이용하여 코쉬가 증명했던 중간값의 정리를 아래에 소개한다[1]. 코쉬가 느낀 희열을 읽는 사람도 느끼기를...

[중간값의 정리]

닫힌 구간 $[a, b]$에서 정의된 연속 함수 $f(x)$가 $f(a) \le u \le f(b)$를 만족하면 $[a, b]$ 사이에 $u$ = $f(c)$를 만족하는 $x$ = $c$가 반드시 존재한다.

[증명]

위의 정리를 바로 증명하지 말고 $u$ = $0$인 특별한 경우를 먼저 증명하자[1]. $u$ = $0$인 경우는 볼차노의 정리(Bolzano's theorem)라고 한다. 볼차노의 정리는 1817년볼차노 36세, 조선 순조 시절에 볼차노Bernard Bolzano(1781–1848)가 증명했다. 닫힌 구간 $[a, b]$를 계속 1/2로 나누어 간다고 가정하면 아래 수열 $(a_n, b_n)$을 얻을 수 있다.

                        (1)

여기서 $a_0$ = $a$, $b_0$ = $b$이다. 이 과정을 지속적으로 반복하면 아래 식 (2)에 제시한 수열 $(a_n, b_n)$의 순서를 얻을 수 있다.

                         (2)

구간을 1/2로 계속 나누어 갔으므로 구간의 간격은 식 (3)처럼 지수적으로 줄어간다.

                         (3)

또한, 수열 $(a_n, b_n)$에 대해서도 식 (1)과 같이 선택했으므로 $f(a_n) \le 0 \le f(b_n)$이 성립해야 한다. 식 (3)을 고려하면 $n$이 계속 커져감에 따라 $b_n - a_n \to 0$에 수렴하므로 $b_n$ = $a_n$ = $c$가 성립해야 한다. 여기서 수열 $(a_n, b_n)$이 수렴하는 값을 $x$ = $c$로 두었다. 또한 $f(x)$는 연속 함수이므로 $f(a_n)$ = $f(c) \le 0$이 성립하면서 동시에 $f(b_n)$ = $f(c) \ge 0$이 성립해야 한다. 따라서 $f(c)$ = $0$이 되어야 한다. 또한 $f(c)$ = $0$이 성립하는 $x$ = $c$는 식 (2)에 의해 반드시 닫힌 구간 $[a, b]$에 있어야 한다.

볼차노의 정리를 확장하기 위해 $g(x)$ = $f(x) - u$라 두면 $g(x)$는 볼차노 정리가 성립해야 하므로 닫힌 구간 $[a, b]$ 사이에 존재하는 어떤 값 $x$ = $c$에 의해 $g(a) \le 0 \le g(b)$, $g(c)$ = $0$이 성립한다. $g(x)$ 대신에 $f(x)$로 이 식을 치환하면 $f(a) \le u \le f(b)$, $f(c)$ = $u$이 성립하여 볼차노의 정리를 중간값의 정리로 확장할 수 있다.

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수학사 전체를 봐도 볼차노Bernard Bolzano(1781–1848)는 특이한 수학자였다[2]. 천주교 사제이며 프라하 대학교(University of Prague)의 교수로서 신학, 철학, 수학에 엄청난 관심과 재능이 있었다. 1817년에는 볼차노의 정리와 더불어 $\epsilon$–$\delta$ 정의도 엄밀하게 제안했다. 하지만 정치적 성향이 너무 진보적이어서 1819년볼차노 38세, 조선 순조 시절에 대학교에서 해임되고 프라하 교외로 추방되었다. 나쁜 외부 환경에 굴하지 않고 볼차노는 계속 철학과 수학에 매진하였다. 그 결과물 중의 하나가 1847년볼차노 66세, 조선 헌종 시절에 볼차노가 연구한 집합론(set theory)이다. 볼차노는 독일어 멩에(menge) 혹은 집합(集合, set)이란 명칭을 처음으로 사용했고, 무한을 다루기 위해 집합 이론을 사용했다. 칸토어Georg Cantor(1845–1918)가 만든 현대적 집합론은 1874년칸토어 29세, 조선 고종 시절에나 나오기 때문에 볼차노가 집합 개념의 한참 선구자이다.  

중간값의 정리를 증명할 때 식 (3)에 의해 $b_n - a_n \to 0$이라 가정하였으나 이 과정을 제대로 이해하려면 실수(實數, real number)의 완비성(完備性, completeness)을 생각해야 한다. 실수가 완비성을 가짐을 쉽게 이야기하면 실수는 1차원 좌표계 혹은 수직선(數直線, number line)을 빈틈없이 완벽히 채울 수 있음이다. 또한, 단조 감소(單調減少, monotonous decrease)하는 수열이 유계(有界, bounded)이면 수렴한다는 특성도 사실은 증명해야 하는 사항이나 코쉬는 당연하다고 가정했다[1]. 중간값의 정리중 $u$ = $0$인 볼차노의 정리는 임의 연속 함수의 근을 찾을 때 유용하게 쓰일 수 있다. 위에 제시한 대로 $f(a)$와 $f(b)$의 부호가 다르면 볼차노의 정리에 의해 반드시 근이 존재한다. 이런 근 찾기 방법(root-searching or root-finding algorithm)은 이분법(二分法, bisection method)이라 한다. 전자파 이론에서는 전송선(傳送線, transmission line)이나 도파관(導波管, waveguide)의 분산 관계(分散關係, dispersion relation)를 찾을 때 볼차노 정리 기반의 이분법을 많이 사용한다.

[참고문헌]

[1] J. V. Grabiner, "Who gave you the Epsilon? Cauchy and the origins of rigorous calculus," The American Mathematical Monthly, vol. 90, no. 3, pp. 185–194, March 1983.

[2] E. Morscher, Bernard Bolzano, Stanford Encyclopedia of Philosophy, 2007. (방문일 2020-10-03)

[다음 읽을거리]
1. 극값의 정리
2. 단조 증감 수렴정리
3. 고정점 정리