평균값의 정리(平均値 定理, Mean Value Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "평균값의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한과 연속성의 의미

2. 미분법의 의미

[평균값의 정리(mean value theorem)]

코쉬Augustin-Louis Cauchy(1789–1857)가 증명한 평균값의 정리는 미분의 심오한 특성을 보여준다. 미분은 정의에서 분자와 분모가 0으로 가는 극한으로 식 (1)로 정의된다.

                        (1)

그런데, 나눗셈에서 분모가 0이 되면 의미없는 값이 얻어지므로 미분의 실체에 대해 의심하게 된다. 하지만 미분의 존재성을 명쾌하게 보여주는 평균값의 정리가 있어서 안심이 된다. 먼저 롤의 정리(Rolle's theorem)부터 증명한 후 평균값의 정리를 살펴본다.

• 롤의 정리

[그림 1] 롤의 정리(출처: wikipedia.org)

[롤의 정리]

닫힌 구간 $[a, b]$에서 $f(x)$가 연속이고 $f(a)$ = $f(b)$이며 열린 구간 $(a, b)$에서 $f(x)$가 미분 가능하다면 $f'(c)$ = $0$인 $x$ = $c$가 열린 구간 $(a, b)$에 반드시 존재한다.

[증명]

함수 $f(x)$는 닫힌 영역에 정의되어 있고 연속이므로 $f(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 반드시 최대값과 최소값을 가진다. 쉽게 증명하기 위해 $x$ = $c$에서 [그림 1]과 같은 최대값이 존재한다고 가정한다. 최소값을 고려하려면 $f(x)$의 부호를 바꾸어 $-f(x)$를 가정하면 된다. $x$ = $c$에서 함수 $f(x)$가 최대값을 가지므로 이 근방에서는 $f(c)$가 최대값이 된다. 따라서, 아래 식 (1)이 반드시 성립해야 한다. 여기서 $h$는 0은 아니면서 매우 작은 값이다.

                (1)

식 (1)은 범위가 $h$인 구간에서 항상 성립하므로 $h$로 나누면 아래 식 (2)와 (3)을 얻을 수 있다.

                (2)

                (3)

만약 $h$가 0에 한없이 가까이 가면 식 (2)와 (3)의 두 값은 0보다 크거나 같아야 하고 동시에 0보다 작거나 같아야 하므로, $x$ = $c$에서 미분값은 반드시 0으로 수렴해야 한다. 따라서, $f'(c)$ = $0$인 $c$가 반드시 존재한다.

______________________________

롤의 정리는 미적분학의 초기 기여자 중 한 명인 롤Michel Rolle(1652–1719)이 1691년롤 39세, 조선 숙종 시절에 증명했다. 1734년에 버클리 주교가 제기한 버려진 허깨비(ghosts of departed quantities) 문제를 롤은 이미 고민해서 미분소 $dx$ 사용의 위험성도 설파했다. 또한 롤의 정리 이외에도 가우스 소거법(Gaussian elimination)의 중요성을 간파해서 1960년에 연립 방정식의 해법으로 발표했다.

해석학 관점으로 보면, 롤 정리의 증명은 최대값의 존재를 전제하고 있다. 또한 좌극한과 우극한이 서로 같은 값으로 수렴하면 반드시 그 중간값은 좌극한과 우극한이 접근한 값이라는 예상도 포함하고 있다. [그림 1]에 따라 이런 가정은 완전 당연하다. 하지만 수학적 관점에서 온전한 증명을 위해서는 연속 함수의 중요한 성질인 극값의 정리(極値 定理, extreme value theorem)와 중간값의 정리(中間値 定理, intermediate value theorem)가 필요하다. 그래서 좀더 해석적인 이해를 하려고 식 (2)와 (3)을 극한 관점에서 아래 식 (4)처럼 쓸 수 있다.

                (4)

식 (4)는 식 (1)과 동일한 전형적인 미분 정의이다. 롤 정리의 전제가 $f(x)$의 미분 가능성이므로 식 (2)와 (3)이 표현하는 우극한과 좌극한은 당연히 한값으로 수렴해야 함을 알 수 있다. 또한, 식 (4)를 $\epsilon$–$\delta$ 정의로 표현하면 아래 식 (5)를 얻을 수 있다. 

                (5)

여기서 $\epsilon$은 미분 가능성을 표현하는 양의 실수이다. $f(x)$가 미분 가능하면 임의의 $\epsilon$에 대해 적절한 $\delta$가 항상 존재한다. 즉, 항상 $\epsilon$을 임의로 작게 줄일 수 있다. $\epsilon$이 0으로 가까이 가면 식 (5)의 우변에 있는 $\epsilon |h|$가 0으로 가므로 이에 따라 극한이 존재해서 $f(x)$가 연속이 됨을 알 수 있다. 따라서, $f(x)$가 미분 가능이면 당연히 $f(x)$는 연속이다. 그런데, 연속이라고 항상 미분 가능하지는 않다. 미분 가능성으로 인해 $\epsilon$이 0으로 간다고 할 수 있지만, 이 조건이 없다면 어떻게 될까? 식 (5)의 우변에서 $|h|$가 0으로 가면 $f(x)$가 연속이라는 보장을 하지만, 미분 가능성에 대한 $\epsilon$을 항상 임의로 작게 만들 수는 없다. 왜냐하면 $\epsilon$이 커지더라도[혹은 미분이 안되더라도] $h$가 0으로 가고 있어 식 (5)의 우변이 0으로 갈 수 있기 때문이다. 즉, 연속성보다 더 강력한 조건이 미분 가능성이다.

• 평균값의 정리

[그림 2] 평균값의 정리(출처: wikipedia.org)

[평균값의 정리]
닫힌 구간 $[a, b]$에서 $f(x)$가 연속이며 열린 구간 $(a, b)$에서 $f(x)$가 미분 가능하다면 다음을 만족하는 $x$ = $c$가 열린 구간 $(a, b)$에 반드시 존재한다.

                            (6)

[증명]
롤의 정리를 이용하면 식 (6)에 있는 평균값의 정리를 쉽게 증명할 수 있다. 증명을 위해 새로운 매개함수 $g(x)$를 정의한다.

                (7)

여기서 $g(a)$ = $g(b)$ = $f(a)$가 되므로 롤 정리의 가정을 잘 만족한다. 롤의 정리에 따라 $g'(c)$ = $0$이 되는 $x$ = $c$가 반드시 존재하기 때문에, 식 (7)을 미분해서 식 (6)을 얻는다.

______________________________

함수 $f(x)$의 미분 가능성을 가정하므로 동어반복적인 의미가 있지만, 평균값의 정리는 미분의 특성을 매우 효과적으로 보여준다. 열린 구간 $(a, b)$를 고려하여 식 (6)에 있는 $a$와 $b$가 $c$로 한없이 가까이 가면 식 (6)의 우변은 미분 $f'(a)$ = $f'(b)$ = $f'(c)$로 생각할 수 있다. 이 미분이 분명히 존재하며 이 값은 기울기와 같음을 명시적으로 보이기 때문에 평균값의 정리는 미분에서 매우 중요한 위치를 차지한다.

• 코쉬의 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem)

                            (8)

식 (8)을 증명하기 위해 다음 함수 $h(x)$를 고려한다.

       (9)

식 (9)가 성립하기 때문에 롤의 정리가 성립해서 식 (8)이 증명된다.

[다음 읽을거리]

1. 중간값의 정리
2. 극값의 정리
3. 적분형 평균값의 정리
4. 단조 증감 수렴 정리
5. 로피탈의 규칙
6. 복소 함수의 평균값 정리

7. 다항 함수 보간