극값의 정리(極値定理, Extreme Value Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "극값의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 평균값의 정리

2. 중간값의 정리

연속 함수의 특성 중에서 자명하면서도 증명 가능한 정리는 닫힌 구간내에서 최대, 최소가 반드시 존재한다는 성질이다. 함수의 최대값(global maximum) 및 최소값(global minimum)은 전체 영역에서 최대 및 최소가 되는 함수값이다. 전체가 아닌 국소적으로 최대 및 최소가 되는 경우는 극대값(極大置, local maximum)과 극소값(極小置, local minimum)이란 용어를 쓴다. 극대값과 극소값을 모두 포함하는 말은 극값(極値, extreme value or local extremum)이다. 극값이 생기는 $x$값은 극단점(極端點, extreme point or local extremum point) 혹은 극점(極點, extreme point or local extremum point)이라 부른다. 연속 함수에서 극단점은 $f'(x)$ = $0$으로 분명히 정의되는 점이다. 단순히 극점이라 쓰면, 복소 함수(complex function)에 나오는 극점(極點, pole: 함수가 무한대로 발산하는 점)과 구별이 되지 않고 애매해져서 웬만하면 극점 대신 극단점을 선택한다.

[그림 1] 닫힌 구간내에서 연속 함수에 존재하는 최대와 최소(출처: wikipedia.org)

[그림 1]을 보면 함수 $f(x)$가 다소 복잡하게 움직이지만 닫힌 구간에서는 최대값과 최소값이 반드시 존재함을 알 수 있다. 이 사실은 자명하지만 식 (1)의 연속 함수 조건으로부터 유도가 가능할까? 사실 수학 분야에서는 어떤 특성의 존재성과 유일성 증명이 백미다. 답이 존재하고 있으며 유일함은 수학적으로 증명이 되어야 공학적으로 답을 찾을 맛이 난다.

                             (1)

[극값의 정리]

함수 $f(x)$가 연속이면 닫힌 구간 $[a, b]$에서 반드시 최대값과 최소값을 갖는다. 즉,

                            (2)

[증명]

먼저 연속 함수는 반드시 유계(有界, bounded)임을 증명한다. 증명을 쉽게 하기 위해 연속 함수 $f(x)$는 유계이며 그 최대값이 $M$이 된다고 가정한다. 최소값을 고려하려면 $f(x)$의 부호를 바꾸어 $-f(x)$라고 생각하면 된다. 다음으로 귀류법(歸謬法, contradiction)을 적용하기 위해, 논의의 전제인 $f(x)$는 최대값이 있다는 조건을 부정한다. 쉽게 말해 $f(x)$는 최대값이 유한하지 않으므로 특정한 점 $x$ = $c$ 근방에서는 계속 커지게 된다. 또한 $f(x)$는 연속이므로 식 (1)에 의해 $f(c)$는 발산하지 않고 유한한 값을 가진다. 만약 $x$ = $c$ 근방으로 접근하는 수열을 $e_n$이라 하면, $f(e_n) > n$보다 큰 수열을 항상 발견할 수 있다.[∵ $f(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 유한한 최대값을 가지지 않는다고 가정] 여기서 $n$은 자연수이며 발산의 기준값으로 $n$을 선정함은 큰 의미가 없다. $n \cdot n$, $n+n$ 등 모든 발산값이 가능하다. $x$ = $c$로 접근하는 $e_n$의 수렴성을 확인하기 위해 중간값의 정리(中間値 定理, intermediate value theorem)에 사용한 방법인 식 (3)을 극값의 정리에 사용할 수 있도록 식 (4)로 변형한다.

                (3) 중간값 정리의 구간 나누기

                (4) 극값 정리의 구간 나누기

여기서 $a_0$ = $a$, $b_0$ = $b$이다. 식 (4)에 의해 닫힌 구간 $[a, b]$는 $n$이 증가함에 따라 계속 2등분이 된다. 구간의 길이를 반으로 줄일 때 해당 구간이 $x$ = $c$ 근방을 반드시 포함하도록 수열 $c_n$을 선택한다. 닫힌 구간 $[a_n, b_n]$ 안에는 $x$ = $c$ 근방이 반드시 포함되므로, $f(e_n) > n$인 $e_n$을 항상 발견할 수 있다. 즉, $n$ = $0$이면 $f(e_0) > 0$, $n$ = $1$이면 $f(e_1) > 1$, $\cdots$ 수열 $e_n$은 닫힌 구간 $[a_n, b_n]$ 안에 있으며 계속 이등분을 하고 있으므로 중간값의 정리와 유사하게 $x$ = $c$인 값으로 수렴해야 한다. 또한 $f(x)$는 연속이므로 $f(e_n)$은 $n$이 계속 커짐에 따라 $f(c)$로 수렴해야 한다. 하지만, $f(e_n)$은 발산하고 있으며[∵ $f(e_n) > n$을 만족하도록 $e_n$을 택한다.] $f(c)$는 유한하므로[∵ $f(x)$가 연속이기 때문에] 모순이 발생하게 된다. 따라서, $f(x)$가 유계가 아니라는 가정은 틀렸으므로 연속 함수인 $f(x)$는 반드시 유계이다.

다음으로 우리는 $f(c)$ = $M$이 되는 $x$ = $c$값이 존재함을 증명해야 한다. 여기서 $M$은 함수 $f(x)$의 최대값이지만, 아래의 논의를 위해 $f(x)$를 초과하는 값 중에서 가장 작은 값[다시 말하면 최소 상계(最小上界, supremum)]이라 생각한다. 증명을 위해 다시 한번 귀류법을 사용한다. 함수 $f(x)$의 최소 상계가 $M$이지만 $f(c)$ = $M$이 되는 $x$ = $c$값이 존재하지 않는다면 새로운 함수 $g(x)$를 다음 식 (5)처럼 정의할 수 있다.

                             (5)

$f(x)$는 $M$이 될 수 없다고 가정하므로, $g(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이다. 추가적으로 $g(x)$는 연속 함수여서 유계이므로, $g(x)$의 유계를 만족하는 임의의 값을 $N$이라 정한다. 여기서 $N$은 항상 양수이다.[∵ $f(x) < M$] 그러면,

                             (6)

최종적으로 얻은 식 (6)에는 모순이 있다. 앞에서 $f(x)$는 최소 상계를 $M$으로 가진다고 가정하지만, 그보다 더 작은 $M - 1/N$이 최소 상계가 되기 때문이다. 따라서, $f(c)$ = $M$이 되는 $x$ = $c$값이 반드시 존재한다.

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극값의 정리를 증명하려면, 수학 초보자에게 무척이나 난해한 증명법을 도입해야 한다. 하지만 함수의 연속성만 가지고 이런 아름다운 증명을 할 수 있음은 수학자에게 큰 자부심이 될 것이다. 남들이 보지 못하는 개념을 수학의 눈으로 볼 수 있으니까! 수학 초보자에게 극값의 정리에 대한 증명은 당연한 개념을 다시 반복해서 증명하고 있다고 보일 수도 있다. 연속이면 식 (1)에 의해 구간 $[a, b]$에 존재하는 모든 값이 유한하므로 당연히 유계가 되어야 한다. 그런데 이것을 다시 수열에 기반하여 증명할 필요가 있는가? 당연히 수열 기반으로 근방 개념을 집어넣어 증명해야 한다. 점 $x$ = $c$에서 값이 유한함[식 (1)의 우변]과 $x$ = $c$ 근방[식 (1)의 좌변]에서의 행동은 다를 수 있기 때문이다. 그래서 $x$ = $c$ 근방에서 함수값이 발산한다고 가정하면 그 결과가 어떻게 되는지를 귀류법을 이용해 증명하고 있다.

[다음 읽을거리]

1. 단조 증감 수렴 정리