2010년 7월 6일 화요일

극값의 정리(極値 定理, extreme value theorem)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "극값의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


연속 함수의 특성 중에서 자명하면서도 증명 가능한 성질은 닫힌 구간내에서 최대, 최소가 반드시 존재한다는 것이다.
[그림 1] 닫힌 구간내에서 연속 함수에 존재하는 최대, 최소(출처: wikipedia.org)

[그림 1]을 보면 함수 $f(x)$가 다소 복잡하게 움직이지만 닫힌 구간에서는 최대값과 최소값이 반드시 존재한다는 것을 볼 수 있다. 이 사실은 자명하지만 식 (1)의 연속 함수 조건으로부터 유도가 가능할 것인가?
사실 수학 분야에서는 어떤 특성의 존재성과 유일성 증명이 백미다. 답이 존재하고 있으며 유일하다는 것이 수학적으로 증명이 되어야, 공학적으로 답을 찾을 맛이 난다.

                             (1)

[극값의 정리]
함수 $f(x)$가 연속이면 닫힌 구간 $[a, b]$에서 반드시 최대값과 최소값을 갖는다. 즉,

                                (2)

[증명]
먼저 연속 함수는 반드시 유계(界, bounded)라는 것을 증명하자. 증명을 쉽게 하기 위해 연속 함수 $f(x)$는 유계이며 그 최대값이 $M$이 된다고 가정하자. 최소값을 고려하려면 $f(x)$의 부호를 바꾸어 $-f(x)$라고 생각하면 된다.
다음으로 귀류법(歸謬法, contradiction)을 적용하기 위해 전제인 $f(x)$는 최대값을 가진다는 것을 부정하자. 즉, $f(x)$는 최대값이 유한하지 않으므로 특정한 점 $x = c$ 근방에서는 계속 커지게 된다. 또한, $f(x)$는 연속이므로 식 (1)에 의해 $f(c)$는 발산하지 않고 유한한 값을 가진다.
만약 $x = c$ 근방으로 접근하는 수열을 $e_n$이라 하면, $f(e_n) > n$보다 큰 수열을 항상 발견할 수 있다. (∵ $f(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 유한한 최대값을 가지지 않는다고 가정했다.) 여기서 $n$은 자연수이며 발산의 기준값으로 $n$을 선정한 것은 큰 의미가 없다. $n \cdot n$, $n+n$ 등 모든 발산값이 가능하다.
$x = c$로 접근하는 $e_n$의 수렴성을 확인하기 위해 중간값의 정리(中間値 定理, intermediate value theorem)에 사용한 방법인 식 (3)을 극값의 정리에 사용할 수 있도록 식 (4)로 변형하자.

                (3) 중간값 정리의 구간 나누기

                (4) 극값 정리의 구간 나누기

여기서 $a_0 = a$, $b_0 = b$이다.
식 (4)에 의해 닫힌 구간 $[a, b]$는 $n$이 증가함에 따라 계속 2등분이 된다. 구간의 길이를 반으로 줄일 때 해당 구간이 $x = c$ 근방을 반드시 포함하도록 수열 $c_n$을 선택한다.
닫힌 구간 $[a_n, b_n]$ 안에는 $x = c$ 근방이 반드시 포함되므로, $f(e_n) > n$인 $e_n$을 항상 발견할 수 있다. 즉, $n = 0$이면 $f(e_0) > 0$, $n = 1$이면 $f(e_1) > 1$, $\cdots$
열 $e_n$은 닫힌 구간 $[a_n, b_n]$ 안에 있으며 계속 이등분을 하고 있으므로 중간값의 정리와 유사하게 $x = c$인 값으로 수렴해야 한다.
한, $f(x)$는 연속이므로 $f(e_n)$은 $n$이 계속 커짐에 따라 $f(c)$로 수렴해야 한다.
지만, $f(e_n)$은 발산하고 있으며(∵ $f(e_n) > n$을 만족하도록 $e_n$을 택하였다.) $f(c)$는 유한하므로(∵ $f(x)$가 연속이기 때문에) 모순이 발생하게 된다.
라서, $f(x)$가 유계가 아니라는 가정은 틀렸으므로 연속 함수인 $f(x)$는 반드시 유계이다.

다음으로 우리는 $f(c) = M$이 되는 $x = c$값이 존재한다는 것을 증명해야 한다. 여기서 $M$은 함수 $f(x)$의 최대값이지만, 아래의 논의를 위해 $f(x)$를 초과하는 값 중에서 가장 작은 값(or 다시 말하면 최소 상계(最小上界, supremum))이라 생각하자.
증명을 위해 다시 한번 귀류법을 사용한다. $f(x)$의 최소 상계가 $M$이지만 $f(c) = M$이 되는 $x = c$값이 존재하지 않는다면 새로운 함수 $g(x)$를 다음 식 (5)처럼 정의할 수 있다.

                             (5)

$f(x)$는 $M$이 될 수 없다고 가정했으므로, $g(x)$는 닫힌 구간 $[a, b]$에서 연속이다. 또한, $g(x)$는 연속 함수여서 유계이므로, $g(x)$의 유계를 만족하는 임의의 값을 $N$이라 정하자. 여기서 $N$은 항상 양수이다. (∵ f(x) < M) 그러면,

                             (6)

최종적으로 얻은 식 (6)에는 모순이 있다. 앞에서 $f(x)$는 최소 상계를 $M$으로 가진다고 가정했지만, 그보다 더 작은 $M - 1/N$이 최소 상계가 되기 때문이다. 따라서, $f(c) = M$이 되는 $x = c$값이 반드시 존재한다.
______________________________

극값의 정리를 증명하려면, 수학 초보자에게 무척이나 난해한 증명법을 도입해야 한다. 하지만, 함수의 연속성만 가지고 이런 아름다운 증명을 할 수 있다는 것이 수학자들에게 자부심이 될 것이다.
남들이 보지 못하는 것을 수학의 눈으로 볼 수 있으니까!
수학 초보자에게 극값의 정리 증명은 당연한 것을 다시 반복해서 증명하고 있다고 보일 수도 있다. 연속이면 식 (1)에 의해 구간 $[a, b]$에 존재하는 모든 값이 유한하므로 당연히 유계가 되어야 한다. 그런데 이것을 다시 수열에 기반하여 증명할 필요가 있는가?
당연히 수열 기반으로 근방 개념을 집어넣어 증명해야 한다.
$x = c$에서 값이 유한한 것(식 (1)의 우변)과 $x =c$ 근방(식 (1)의 좌변)에서의 행동은 다를 수 있기 때문이다.
래서 $x = c$ 근방에서 함수값이 발산한다고 가정하면 그 결과가 어떻게 되는 지를 귀류법을 이용해 증명하고 있다.

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댓글 18개 :

  1. 이건 좀 어렵네요... 직관적이지 않아서 그런것 같은데....
    좀 더 쉽게 직관적으로... 하지만 엄밀학 설명할 방법은 없을까요....

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    1. 전적으로 저도 공감합니다, Sarang Dad님.

      직관적이면서 엄밀한 설명법이 있으면 저에게도 가르쳐 주십시오. ^^

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  2. 연속함수이므로 발산하는 값을 가지는것은 상식적으로 말이 안되는데, 유계라는 것을 증명하기 위해서
    정확한 값을 말하지 않고 발산하는 것을 표현할 수 있는 '근방'이라는 말을 사용한것인가요?
    '근방'이라는 말이 좀 모호하고 헷갈리네요 ㅜ

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    1. 오랜만에 들어오네요 ㅎ 답변 감사합니다

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    2. 오랜만의 방문 감사합니다, 익명님. ^^

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  3. "또한, g(x)는 연속 함수여서 유계이므로 그 값을 N이라 정한다. "

    여기서 N은 최소상계인가요? "유계이므로 그 값" 이 부분이 이해가 잘안가요..

    그리고 f(c) = M이 되는 x = c값이 존재한다는 것을 증명하기 위해 귀류법을 쓰셨는데

    폐구간에서 최소상계는 존재하지만, 그 최소상계에 해당하는 x값이 없다 이렇게 가정한건가요??

    그렇다면 임의의 식 g(x) <= N 이 아니라 g(x) < N이지 않을까요.. g(x)=N이면 최소상계에 해당하는 x값이 존재하지 않나요??

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    1. 1. 본문을 좀 더 다듬었습니다.

      2. $N$은 유계를 만족하는 임의의 값입니다. 그래서, 등호도 넣었습니다.

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  4. 극값의 정리를 1. 연속함수는 폐구간에서 유계이다. 2. 유계이면 상한과 하한은 존재한다( 상한과 하한의 정의) 로 설명해도 무방한가요?
    2번은 정의인데, 본문처럼 따로 증명할필요성이 있는지 궁금합니다

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    1. 1. 맞습니다.
      2. 연속이면 최대값과 최소값이 존재한다는 것이 증명의 목적이라서 위 과정이 필요합니다.

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  5. 1. 여기서 M은 함수 f(x)의 최대값이지만, 아래의 논의를 위해 f(x)를 초과하는 값 중에서 가장 작은 값(or 다시 말하면 최소 상계(最小上界, supremum))이라 생각하자. << 최소상계=최대값이라고 생각하면 안되나요?? 굳이 차이를 둔 이유를 모르겠어요 ㅜ

    2. 또한, g(x)는 연속 함수여서 유계이므로, g(x)의 유계를 만족하는 임의의 값을 N이라 정하자. 여기서 N은 항상 양수이다. << 유계를 만족하는 임의의 값이라는 말이 곧, 최소상계를 말하는거 아닌가요?? f(x)의 최대값(최소상계)의 존재를 증명하는데, 증명과정에서 g(X)가 연속함수이므로 최소상계가 있다를 사용하는 게 이해가 안가네요..

    제가 최소상계와 최대값의 차이와, 유계를 만족하는 임의의 값 N을 이해하지 못해서 그런것같습니다 답변주시면 감사하겠습니다!

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    1. 1. 대충 보면 익명님 의견처럼 최소 상계 = 최대값이 맞습니다. 하지만, $f(x)$의 최대값은 $f(x)$의 치역에 포함되지만, 최소 상계는 $f(x)$의 치역에 속할 필요가 없습니다. 식(5)를 정의하기 위해 일단 $M$은 최소 상계라하고, 이게 모순된다는 것을 증명했습니다.

      2. $N$은 유계를 만족하는 값이면 되므로 큰 값 아무거나 넣어도 됩니다. 예를 들면 $g(x)$의 최대값을 $G$라고 하면, $N = 2G$, $N = 3G$ 등으로 마음대로 정의해도 됩니다.

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    2. 항상 답변 너무 감사합니다^^ 블로거님 덕분에 느리지만, 꾸준하게 하나씩 얻어가고 있습니다.

      답변해주신 덕분에 이 포스팅을 이해할수 있었는데요, 정말 마지막으로 하나 여쭤보고자 합니다!

      증명 중에 f(x)의 최소상계 M에 해당하는 값이 존재하는지를 찾으면서 임의의 함수 g(x)를 설정하셨습니다. 그리고 g(x)가 연속함수이므로 유계이고, 최소상계가 있으므로 g(X)<=N이라고 하셨는데요, 여기서 =은 들어가면 안되지 않을까요? g(x)=N이면 최소상계에 해당하는 x값이 있음을 과정에서 써버리는거니까요.. 그리고 등호 없이 전개해나가도 가정에 모순이 있음을 설명할수있더라구요

      이제 롤의 정리, 평균값 정리, 테일러 정리, 테일러 급수전개 이런식으로 하나하나 다시 증명해 나가려고 합니다 미적분학 수강할때는 ''당연한거 아닌가?'' 하고 생각했던 것들이 블로거님 글보면서 이렇게 수학적으로 증명이 가능함을 알아가고 있습니다!!ㅎ 항상 고마운 글 잘보고 있고, 답변 주시면 감사하겠습니다 :)

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    3. 계속 질문하셔도 문제 없습니다, 익명님. ^^

      $N$은 유계를 표현하기 위한 값이므로 등호를 넣더라도 문제 없습니다. 등호를 빼도 되고요. 중요한 점은 $g(x)$가 어떤 값도다는 작다(유계)라는 것입니다.

      익명님, 지금처럼 계속 공부하시면 수학의 즐거움을 찾을 수 있을 것입니다. ^^ 자주 놀러오세요.

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  6. 안녕하세요. 겉보기에 당연해보이는 것을 수학적으로 증명하는것은 참으로 어려운 과정인 것 같습니다 ㅎㅎ

    질문을 한가지 드리자면
    최종적으로 얻은 식 (6)에는 모순이 있다. 앞에서 f(x)는 최소 상계를 M으로 가진다고 가정했지만, 그보다 더 작은 M−(1/N)이 최소 상계가 되기 때문이다. 라고 하셨는데, 최소상계라는것은 f(x)를 초과하기 때문에 M-(1/N)이 f(x)의 값이 되는것이 가정에 모순된다고는 할 수 없지 않나요? M은 x를 초과하는 것이고, 그보다 약간 작은 M-(1/N)이 존재하는것이 왜 모순인지 잘 이해가 가지 않네요..

    답변주시면 감사하겠습니다 ㅎㅎ

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    1. 최소 상계는 상계 중에서 가장 작은 값입니다. 증명에서 $M$이 최소라 가정했는데, 더 작은 값이 나와 모순입니다.

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    2. 음.. 제가 최소 상계의 정의와 함께 생각하려고 하니 너무 어렵네요 ㅎㅎ
      다시 한번만 더 질문 드려도 될까요?

      본문에서 최소상계를 논의를 위해f(x)를 초과하는 값 중에서 가장 작은 값(or 다시 말하면 최소 상계(最小上界, supremum))이라 생각하자. 라고 정의해 주셨습니다.
      위의 답변에도 말씀해 주셨듯이 f(x)를 '초과'하는 값이고 M을 최대값으로 생각하면 안되느냐는 질문에 최대값은 f(x)의 치역에 포함이 되지만 최소 상계는 포함되지 않아도 된다고 하셨는데, 그렇게 생각을 하자면 최대값을 구하고 있는 지금에서 M이 최소 상계라고 가정을 하고 수식을 풀었을때에 M-(1/N)은 부'등식'이 성립하기 때문에 f(x)의 치역이라고 생각할 수 있는 것 아닌가요? 그렇다고 했을때 최소상계 M은 f(x)의 치역에 굳이 포함이 되지 않아도 되고, 그래서 더 작은값인 M-(1/N)이 f(x)의 치역에 포함이 되는것이 왜 모순인지를 알고싶습니다!

      제가 말하는 것이 부족하여 질문을 이해하시기 어려울지 걱정이 되네요 ㅠ
      혹시 질문이 이해가 되신다면 답변 주시면 감사하겠습니다!

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    3. 1. 수학에 사용하는 상계(upper bound)와 하계(lower bound) 개념을 다시 한 번 보세요. 상계는 임의의 $f(x)$보다 항상 큰 값입니다. 이 상계 중에서 가장 작게 택할 수 있는 것이 최소 상계입니다.
      2. 증명은 귀류법을 사용하고 있습니다. 최소 상계가 $M$이라 가정했지만, $x = c$가 존재하지 않으면 최소 상계는 $M - 1/N$이 되어 가정 자체가 틀렸다는 것을 알 수 있습니다.

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