2010년 7월 22일 목요일

회전(回轉, curl)의 의미


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "회전의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 좌표계 기반 벡터
3. 적분법의 의미
4. 구배의 의미
5. 발산의 의미


전파공학과에 대대로 내려오는 전설이 있다. "학부 4학년을 졸업할 때까지 회전 연산자의 진짜 의미를 알면 천재다."
학부생들이 매우 어려워해서 "전자기학"을 "잠자기학"으로 만드는 원흉이 바로 회전 연산자이다.
이 회전 연산자는 분명히 말하지만 쉽지 않다. 하지만, 아래에 회전 연산자를 이해하기 위한 비법이 숨어 있다. 학부 졸업하기 전까지 이해해서 천재가 되어 보도록 하자.

[그림 1] 물레방아(출처: wikipedia.org)

회전 연산자를 이해하기 위해 [그림 1]의 물레방아를 살펴보자. 바람개비, 풍차, 물레방아와 같은 회전체가 돌아가는 원리는 무엇인가?
바로 물레방아의 양끝에 동일한 힘이 가해지지 않고 서로 다른 힘이 가해지기 때문에 물레방아가 회전할 수 있는 것이다.
이를 수학적으로 표현하는 연산자가 식 (1)에 제시한 회전 연산자이다.

             (1)

여기서 벡터 $\bar A = (A_x, A_y, A_z)$로 정의한다.
[그림 1]의 물레방아가 회전할 수 있도록 $x$-$y$ 평면에 힘의 방향을 표시한 것이 [그림 2]이다.

[그림 2] 물레방아를 회전 연산자로 설명(출처: wikipedia.org)

만약 좌표계의 $x$축 방향으로 벡터 $A_y$가 작용하면 물레방아는 회전하게 된다. 혹은 좌표계의 $y$축 방향으로 벡터 $A_x$가 작용하게 되면 역시 물레방아가 회전한다.
이게 헷갈리면 가까운 곳에 있는 물레방아로 가서 물이 물레방아의 어느 위치로 떨어지는지 관찰하자. 물레방아 관찰도 힘들다면 나무젓가락, 색종이, 압침으로 바람개비를 만들어 회전이 이해될 때까지 바람개비를 돌리자.
[그림 2]에서 좌표계의 $x$축 방향 벡터 변화를 보자.
[그림 2]에서 위치가 $x = a$보다 작으면 작용하는 힘이 없고 $x = a$보다 크면 $2 \Delta A_y$ 만큼의 힘이 작용한다. (빨간색 화살표를 $\Delta A_y$로 간주) 그러면 $x$축에 대한 $A_y$의 변화는 $2 \Delta A_y - 0 = 2 \Delta A_y$가 된다. 이때 $x$축 방향 변화인 $\Delta x$로 나누면 회전을 생성하기 위한 변화율은 식 (1)의 $z$방향 벡터성분과 비슷하게 $2 \Delta A_y/ \Delta x$가 된다.
마찬가지로 $y$축 방향 벡터 변화도 계산할 수 있다. $y = b$보다 작으면 0이고 $y = b$보다 크면 벡터 $A_x$의 변화는 $\Delta A_x - 0 = \Delta A_x$가 된다. (녹색 화살표를 $\Delta A_x$로 간주) $y$축 방향 변화인 $\Delta y$로 나누면 그 변화율은 $\Delta A_x/\Delta y$가 된다.
여기서 조심할 부분이 하나있다. 회전은 벡터량이므로 크기 뿐만 아니라 방향도 고려해야 한다.
[그림 3] 회전 벡터를 정의하기 위한 오른손 법칙(출처: wikipedia.org)

회전 벡터을 정의하기 위해 [그림 3]을 고려하자. 회전을 한다는 것은 원운동을 하는 것인데 그 회전 벡터 방향을 [그림 3]처럼 빨간 화살표로 표현하기는 번거롭다.
그래서, 오른손 법칙을 도입해서 원운동 방향(네손가락이 가리키는 방향)을 [그림 3]처럼 엄지손가락의 방향(파란색 화살표)으로 정의한다.
이 오른손 법칙 개념을 [그림 2]에 적용하면 빨간 화살표는 $z$ 벡터 방향을 가리키고 녹색 화살표는 $-z$ 벡터 방향을 지시하므로 $x$와 $y$축 변화에 의한 회전 연산자 특성은 아래로 정의해야 한다.

                       (2)

식 (2)는 식 (1)의 $z$축 방향 회전 연산자 성분과 동일하다. 이 개념을 $y$-$z$, $z$-$x$ 평면에도 적용하면 식 (1)과 같은 공식을 얻을 수 있다.
따라서 식 (1)에 제시한 회전 연산자의 의미는 회전 검출기(rotation detector)이다. 임의의 벡터 함수에 회전 연산자를 적용하면 이 벡터 함수가 회전이 있는지 여부를 회전 검출기로 판별할 수 있다.

발산 연산자와 비슷하게 회전 연산자를 면적 적분(面積積分, surface integral)에 적용하면 스토크스 정리(Stokes' theorem)를 유도할 수 있다.

[3. 스토크스 정리]

                       (3)

여기서 벡터 $d \bar a$는 면적 미분소(differential surface), 벡터 $d \bar l$은 선미분소(differential line)이다. 벡터 $d \bar a$와 $d \bar l$의 방향은 [그림 4]와 같이 오른손 법칙으로 정한다. 식 (3)에서 적분 기호에 동그라미가 있는 것은 적분의 시작점과 끝점이 같은 선적분을 의미한다.

[그림 4] 면적 미분소와 선미분소의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

[증명]
스토크스 정리는 발산 정리와 비슷하므로 3차원 공간상에 [그림 5]와 같은 면적 차분 $\Delta S$(= $\Delta x \Delta y$)를 고려한다. 극한의 정의상 면적 차분을 무한히 줄이면 면적 미분소 $d \bar a$가 된다.

[그림 5] 데카르트 좌표계상의 면적 차분


식 (3)을 증명하기 위해 식 (3)의 우변을 식 (4)와 같이 차분으로 바꾼다.

                       (4)

식 (4)는 선적분의 차분이므로  벡터 $A_x, A_y$에 대한 차분값을 합치고 극한을 취하면 식 (5)를 얻는다.

                       (5)

식 (5)의 결과를 모든 면적에 대해 모으면 적분이 되므로 $\Delta x \Delta y$ 면적 차분에 대해 식 (3)을 증명할 수 있다.
이 결과를 $\Delta y \Delta z$, $\Delta z \Delta x$ 면적 차분으로 확장하면 식 (3)의 일반식을 증명할 수 있다.
발산 정리와 동일하게 수학적으로 엄밀하게 유도하려면 식 (4)의 면적 차분에 리만 적분을 적용해서 식 (3)을 증명해야 한다.
발산 정리와 비슷하게 면적에 대한 선적분 합성은 좀더 생각을 해야 한다. 이를 이해하기 위해 [그림 6]을 살펴보자.
[그림 6] 선적분의 구간 합성

[그림 6]에서 두 개의 면적 적분 영역을 합치면 하나의 면적 적분으로 합성됨을 쉽게 이해할 수 있다. 하지만, 두 개의 선적분을 그냥 합치면 [그림 6]의 좌측과 우측은 동일하지 않다.
이를 해결하기 위해 선적분을 정의할 때 벡터적으로 정의한다. 즉, [그림 6]의 좌측 선적분을 합칠 때 녹색 화살표빨간색 화살표가 서로 중첩이 되도록 한다. 녹색 화살표와 빨간색 화살표는 크기는 같고 방향은 반대이으로 정확히 서로 상쇄되어 합성한 선적분에 전혀 기여하지 않는다.
따라서, [그림 6]의 좌측 선적분들의 합성은 필연적으로 [그림 6]의 우측 선적분이 된다.
이 개념을 활용하면 일반적인 경우에 대해(적분 영역을 어떻게 잡더라도) 식 (3)이 증명된다.
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발산 정리와 스토크스 정리를 활용하면 다양한 벡터 항등식을 유도할 수 있다.

[6. 회전 연산자의 영인자(零因子, nullity)]

                       (6)

[증명]
식 (6)을 면적 적분하고 식 (3)의 스토크스 정리를 적용하면

                       (7)

식 (7)의 우변이 0이 되는 것은 구배 연산자의 특성 때문이다.
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[8. 발산 연산자의 영인자(零因子, nullity)]

                       (8)

[증명: 스토크스 정리]
식 (8)을 체적 적분하고 발산 정리를 적용하면

                       (9)

식 (9)의 우변에 있는 닫힌 표면적 $S$를 [그림 7]과 같이 $S_1$과 $S_2$로 분리하자.

[그림 7] 닫힌 표면적의 영역별 분리

[그림 7]의 $S_1$과 $S_2$ 표면적 각각에 대해 식 (3)의 스토크스 정리를 적용하면 식 (10)과 같이 선적분의 크기는 같고 방향이 다른 결과가 얻어져서 최종 결과는 0이 된다.

                        (10)

여기서 $C_1$은 빨간색 화살표, $C_2$는 파란색 화살표이며 $C_1 = -C_2$를 만족한다.
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식 (8)을 증명하기 위해 식 (10)처럼 수식 전개를 했지만 증명의 핵심은 [그림 7]이다. 닫힌 표면적은 자른 단면이 동일한 윗면과 아랫면으로 항상 나눌 수 있다. 이때 윗면과 아랫면의 면적 벡터 방향은 서로 반대이므로 스토크스 정리를 식 (8)에 적용하면 항상 0이 된다.

[증명: 발산과 회전의 정의]
식 (1)에 제시한 데카르트 좌표계의 회전 정의와 아래 발산 정의를 기계적으로 식 (8)에 대입하면 식 (8)의 결과가 0이 되는 것을 보일 수 있다.

                        (11)
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벡터 함수 $\bar A$가 구배 연산자로 표현되면 식 (6)에 의해 당연히 $\bar A$의 회전은 0이 된다. 거꾸로 $\bar A$의 회전이 0이라면 이 벡터 함수는 구배 연산자로만 표현될 것인가?
이 질문에 대한 답이 아래 정리이다.

[11. 회전 연산자의 영인자 ≡ 구배 연산자]
회전이 0인 벡터 함수는 반드시 구배 연산자로만 표현된다.

                        (12)

[증명]
식 (1)을 0이라 두면 회전이 0이기 위한 벡터 함수 $\bar A = (A_x, A_y, A_z)$의 조건은 아래와 같다.

                        (13)

식 (13)을 적분하면 벡터 함수 $A_x, A_y, A_z$의 관계는 식 (14)로 표현된다.

                        (14)

여기서 함수 $g_1, h_1, g_2, h_2$는 편미분에 대한 적분 상수가 된다.
식 (14)를 보면 $A_y$와 $A_z$는 각각 적분 조건 두 가지를 만족해야 한다.
식 (14)의 두번째 수식을 세번째 수식에 넣고 정리하면 $A_y$가 가져야 되는 다음 조건을 얻을 수 있다.

                        (15)

마찬가지로 식 (14)의 첫번째 수식을 네번째 수식에 대입하면 $A_z$도 식 (16)의 조건이 성립해야 한다.

                        (16)

그러므로, 식 (15)와 (16)이 성립하려면 아래 관계식을 만족해야 한다.

                        (17)

식 (17)의 첫번째 식을 $z$에 대해 미분하거나 두번째 식을 $y$에 대해 미분하면 $g_1(y, z)$와 $h_1(y, z)$는 다음 조건을 만족해야 한다.

                        (18)

식 (14)가 의미하는 것은 함수 $A_x$가 정해지면 $A_y$와 $A_z$는 자동적으로 결정된다는 것이다.
$A_x = \partial f/ \partial x$라 가정하고 이를 식 (14)의 첫째식과 둘째식에 대입하면

                        (19)

여기서 $f = f(x, y, z)$이며 적분 상수 $g_1(y, z)$와 $h_1(y, z)$는 고려하지 않았다.
적분 상수 $g_1(y, z)$와 $h_1(y, z)$를 고려하기 위해 식 (19)와 유사하게 $g_1(y, z) = \partial g(y, z)/\partial y$라 가정하고 식 (18)에 대입하면 다음 관계를 얻을 수 있다.

                        (20)

새로운 적분 상수 $h_3(z)$를 생각하지 않으면 식 (20)으로부터 적분 상수 $g_1(y, z)$와 $h_1(y, z)$는 어떤 함수 $g(y, z)$의 구배라는 것을 알 수 있다.
최종적으로 $h_3(z) = \partial h(z)/ \partial z$라 가정하면 식 (19), (20)으로부터 회전이 0인 벡터 함수는 아래와 같이 반드시 구배 연산자로 표현됨을 증명할 수 있다.

                        (21)
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[그림 8] 그린 정리를 위한 적분 영역(출처: wikipedia.org)

[22. 그린 정리(Green's theorem]

                        (22)

[증명]
그린 정리는 스토크스 정리의 특별한 경우이다. $\bar A = (A_x, A_y, 0)$라 두고 이를 식 (3)에 대입하면 식 (22)를 얻을 수 있다.
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[23. 스토크스 정리의 변형]

                         (23)

[증명]
식 (3)에 의해 임의 스칼라 함수 $f$와 상수 벡터 $\bar C$에 대해 다음 정리가 성립한다.

                         (24)

식 (24)에 다음 벡터 항등식(vector identity)을 적용하자.

                         (25)

그러면 아래 식이 항상 성립해야 한다.

                         (26)

식 (26)의 세째줄은 상수 벡터 $\bar C$에 대한 항등식이다. 즉, 임의의 상수 벡터와 내적(inner product)한 값이 항상 0이 되는 벡터는 영벡터이므로 식 (23)이 반드시 성립해야 한다.
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[다음 읽을거리]
1. 벡터 항등식
2. 헬름홀츠 정리
3. 텐서 미적분학
4. 복소 함수론의 이해

댓글 80개 :

  1. 10번 식에서 s1,s2는 폐곡면이 아니지 않나요?
    curl을 폐곡면에 대해 적분하니까 stokes's theorem 적용하기도 전에 0이 되버리는 것같습니다.

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  2. S1, S2 적분표시가 잘못 되었네요. 감사합니다. ^^

    이렇게 생각해보지요. 어떤 함수의 회전에 대한 닫힌 표면적분이 0인 것은 어떻게 아나요? 스토스 정리를 써야 쉽게 증명됩니다. 그걸 식 (10)이 설명하고 있습니다.

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  3. 만약 x축 방향으로 벡터 Ay가 작용하면 물레방아는 회전하게 된다. 혹은 y축 방향으로 벡터 Ax가 작용하게 되면 역시 물레방아가 회전한다.


    여기에서요 x축 방향으로 -> y축 방향으로
    y축 방향으로 -> x축 방향으로

    이렇게 바뀌어야 되지 않나요?

    전파거북이님덕분에 curl 에 대한 이해가 쉽게 됬네요 수식으로만 외웠었는데 정말감사합니다.

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  4. 칭찬 감사합니다. ^^

    회전은 힘이 수직방향으로 작용해야 합니다.
    그래서 문장 자체는 문제가 없지만 본문이 좀 오해가 있는 것 같아 약간 수정했습니다.
    미흡한 문장에 '좌표계'를 추가했습니다.

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  5. 캡션 번호가 [3. 스톡스 정리] [6. 회전 연산자의 영인자(零因子, nullity)] [8. 발산 연산자의 영인자(零因子, nullity)] [11. 회전 연산자의 영인자 ≡ 구배 연산자] [21. 그린 정리(Green's theorem] [22. 스톡스 정리의 변형] 순으로 띄엄띄엄 나가는데, 특별한 이유가 있어서 이렇게 붙이신 건가요?

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    1. 별 뜻 없습니다. ^^;;
      번호 넣으면 헷갈릴 수도 있겠네요.

      해당 공식의 수식번호를 제목에 쓴 것 뿐입니다.

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  6. 몇일째 고민중인데 답변 부탁드립니다. ㅠㅠ!

    1. 식 (2)에서 결국에는 z축으로의 벡터가 나오게 되잖아요. 그 벡터는 단순히 회전축과 회전방향을 의미할 뿐 Z방향으로의 어떤 힘이 작용하는 것이 아닌가요?
    2.
    이와 비슷하게 토크의 경우도 T=rXF에서 T벡터는 전혀 엉뚱한 방향으로의 벡터가 나오게 되는데, 이 벡터도 단순히 회전에 관한 정보를 내포할 뿐 그방향으로의 어떤 힘이 작용하는것과는 거리가 먼가요?


    크로스 곱의 성질인지...ㅠㅠ 벡터를 어떤 힘으로 생각하고 있어서 딜레마에 빠진건지
    왜 엉뚱한 방향으로의 벡터가 생성되는지 잘 모르겠어요.

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    1. 1. 회전 연산은 어떤 벡터량이 회전을 만드는가 검출하기 위한 연산자입니다. 위 설명대로 회전력에서 유추한 것이기는 하지만 힘과 직접 연관을 가진 것은 아닙니다.

      2. 회전력(torque)을 질문처럼 정의한 이유는 벡터 외적을 이용하기 위해서입니다. 회전방향은 오른손 법칙을 사용해서 하나의 벡터로 정합니다.

      혹시 제가 질문 의도를 잘못 파악했으면 답글 주세요.

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    2. 답변 감사합니다^^ 같은 내용 같지만 다시한번!

      어떤 방향으로의 벡터가 있을때 반드시 그방향으로의 어떤 변화가 일어나야 할 필요는 없다는 말씀이신가요?

      예를 들어 T=rXF에서 z축으로 T벡터가 생성되었을때 z축으로는 아무런 변화가 일어나지 않잖아요. 단지 z축이 회전축임을 나타낼뿐. 벡터를 이런식으로 써도 되는것인가요?

      저는 항상 벡터는 크기와 방향을 가진 물리량이니까 벡터가 가리키는 방향으로의 어떤크기의 변화가 일어나야 된다고 생각했었거든요,,

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    3. 말씀하신대로 벡터는 크기와 방향을 나타냅니다. 그렇다해서 그 벡터 방향으로 어떤 변화가 일어나야 하는 것은 아닙니다.

      예로 드신 회전력의 방향이 z축이라는 것은 오른손 법칙에 의해 회전방향이 반시계방향이라는 것을 나타낼 뿐입니다. 거기에 물리적 의미를 부여하는 것은 또다른 문제입니다.

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    4. 큰 도움이 되었습니다 정말 감사합니다^^!!

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    5. 도움 되었다니 다행이네요. ^^

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  7. curl 의 물리적의미를 이해하기 좀 힘드네용 ㅠ

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    1. 예 맞습니다. 회전 연산자 이해는 꽤 힘들어요. 하지만 벡터 미적분학을 이해하려면 회전 연산자를 알아야 합니다.

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  8. simply connected space에서 컬 프리이면
    컨져베이티브라는거 보이려면 스톡스정리로
    클로즈드폼이 0이라는거 보여주는게 더쉽지않나요?

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    답글
    1. 질문만 읽어보면 쉽지 않을 것 같은데요... ^^

      발산과 회전을 데카르트 좌표계에서 정의해 미분방정식을 대수적으로 계산하면 0이 나옵니다만
      스톡스 정리를 써서 [그림 7]처럼 기하학적으로 생각하는 것도 쉽습니다.
      즉, [그림 7]처럼 윗뚜껑과 아랫뚜껑만 생각하면 금방 증명됩니다.

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  9. 식(4)에서 회전 증명관련 하여서여,
    발산에서는 면적 앞과뒤 2EA 면적에 차분을 같이 계산을 한 것같은데,
    식(4)의 윗식은 하나의 미소 차분선(delta x)하나에 대한 차분식인가요?
    ____
    익명

    답글삭제
    답글
    1. 예, 맞습니다.
      발산은 면적 적분을 고려했고 회전은 선적분을 고려하고 있습니다.

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    2. 사부님 또 기초적인 질문 입니다. T.T
      그림 6에 대해서는 이해가 되는데, 그 전에 식(4)에서 식(5)로 가는 부분이 이해가 되지 않아서요.
      1. 식 (4)는 선 4EA중에 2EA의 선에 대해서번 차분한 거 같아서요.
      2. 극한을 취한 후에 식(5)에서 단위 vector z^가 어떻게 나오는지 몰라서요.
      ____
      곰유

      삭제
    3. 여기서 이러시면 곤란합니다, 곰유님. ^^ 사부 아닙니다. :)

      1. [그림 5]에 있는 주황색 선 기여를 모두 모은 것이 식 (4)입니다. 선적분으로 표시된 것을 면적 적분으로 바꾼 게 식 (5)가 되고요.

      2. 단위 벡터는 어디서 나온 게 아니고 배당한 것입니다, [그림 3]의 오른속 법칙을 이용해서요.

      삭제
    4. 마음속으로만 생각하겠습니다. ㅋㅋㅋ 죄송요.

      1. 아 그럼 재가 무엇을 잘못 생각하고 있는지 알거 같습니다. 확실치는 않지만요.
      그림2를 생각을 않고 그림4만 보고 차분을 생각 했던거 같긴한데요.
      좀 보고 다시 문의 드리겠습니다.

      ____
      곰유

      삭제
    5. 계속 너무 기초적인 질문을 좀 죄송 스럽습니다.
      우선 질문을 하고 그냥 당분간은 받아 들이려고 합니다.

      1. 재가 모르는 부분은 식 (4)가 [그림5]의 주황색 선 4개를 모두 표현을 한것이라는 것을 모르는 것입니다.
      1-1 그래서 좀 찾아 보았는데,
      http://hypertimespace.tistory.com/119 에 보면
      calculate all circular vector라는 그림에서 사각형의 중간에서 부터 수식을 표현을 하는가 입니다.
      1-2. 즉, [그림2]에서 x=a 보다 왜 작용하는 힘이 없는지 자체를 모르는 같습니다.

      2. 그래서 이렇게 생각해도 되는 것인지 문의 드립니다.
      [그림5]주황선 안에 [그림4]의 원이 있고, 그림4의 접선 w를 표현한게 식 (4)가 될 수 있는게 아닌가? 하는...

      ____
      곰유

      삭제
    6. 1. 식 (4)에 있는 두 개의 식의 좌변이나 우변을 보세요. 전체 항의 개수가 4개입니다. 각각이 그림 5의 주황색 선을 표현하고 있습니다.
      제시한 링크도 동일한 방법으로 더 단순한 그린 정리를 증명하고 있습니다.

      2. 원이 아니고 사각형입니다. 단순히 접선으로 생각하면 안되고 오른손 법칙이 들어가야 합니다. 선적분과 면적 적분에 대한 자료를 찾아보시면 더 도움이 될 것입니다.

      삭제
    7. 2. x+dx/2 조건을 생각을 하다보니,
      [그림5]주황선 안에 [그림4]그림이 그대로 들어 가 있는 그림(n^포함)이면, 그림4의 접선 w로 생각 하면 가능하지 않을까 했는데,
      이렇게 생각하면, 무리가 있나 보내요.

      ( 있는 그대로를 이해를 못하니 나름 기억 방법이 이거밖에...
      물론 조금만 변형이 되면 이해를 못하겠지만요 T.T )

      _____
      전파곰

      삭제
  10. 발산내용하고 관련이 없는내용인데요.
    저도 생각하기에 질문이 좀 기초적이면서 당연한 것을 질문하는거 같은데요.

    1. 질문 배경:
    완전미분(http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/exact-differential.html)에서 식(3)와(4)와 같은 식으로

    [11. 회전 연산자의 영인자 ≡ 구배 연산자]에서 식(12)를 증명을 해보았는데요.
    (물론 재가 재대로 한지는 모르겠지만요.)
    A_x = ∂f/∂x , A_y = ∂f/∂y, A_z = ∂f/∂z 로
    각각 편미분을 한번씩 더하고 정리하면,

    ∂A_x/∂y = ∂A_y/∂x= ∂∂f/∂x∂y
    ∂A_y/∂z = ∂A_z/∂y= ∂∂f/∂Y∂z
    ∂A_x/∂z = ∂A_z/∂x= ∂∂f/∂x∂z

    해서 회전의 각항이 0이 되므로 식(12)을 증명해 보아습니다.
    물론 머리속을로 수식만 풀어 보았지 그림이 그려지지는 않았습다.즉 물리적 의미를 모른다는거조 아직은 ... T.T


    2. 질문 <== 화내지 말아 주세요 T.T
    : 증명 과정 중에 할때, 미분 이나 적분을 해서 같다는 것으로 보통 증명을 하는데,
    이게 맞는 걸까요?
    예가 적절한지 모르겠는데요. 들어 모양이 달라도 적분이 같게 나올 수도 있잖아요.

    재가 무엇을 잘못 생각하고 있는걸까요?

    _____
    전파곰

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    답글
    1. 헉 오타가 너무 많네요. 죄송요.

      회전을 생각하고 발산이라 적었네요.

      1.
      [6. 회전 연산자의 영인자(零因子, nullity)] 식(6)을 한번 증병을 해본 겁니다.
      (식 (12)와 같은 내용인거 같긴 한대요)

      2.
      ~ (예를) 들어 모양이 ~

      댓글 질문 쓰고 오타 발견할때 무다 수정 하려고 하는데, 어떻게 수정 할 수 있는 건가요?

      _____
      전파곰 <-- 오타쟁이

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    2. 1. 완전 미분을 벡터적으로 표현한 것이 구배 연산자입니다. 말씀하신 것처럼 분명 관계가 있지만 단순히 완전 미분식만 써서 식 (12)를 증명하기는 쉽지 않습니다.

      2. 정적분인 경우는 피적분 함수가 달라도 적분값이 같을 수 있기 때문에 말씀하신 것이 맞지만 위에서 다루는 것은 미분이 되는 부정적분입니다.

      댓글 수정은 저도 안되네요. -.-

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    3. 1. 쉽지 않은데, 재가 쉽게 했다면, 먼가 틀렸다는 것인데요.
      혹시 좀 봐주실 수 있으시겠어요?

      A_vector = ( A_x,A_y,A_z )
      x^,y^,Z^는 단위 vector
      ------------------------
      A_vector = ▽f 일때,


      ▽f = (∂f/∂x)x^ + (∂f/∂y)y^ + (∂f/∂z)z^ <== 구배
      = ( A_x,A_y,A_z )

      A_x = ∂f/∂x , A_y = ∂f/∂y, A_z = ∂f/∂z 로
      각각 편미분을 한번씩 더하고 정리하면,

      ∂A_x/∂y = ∂A_y/∂x= ∂∂f/∂x∂y
      ∂A_y/∂z = ∂A_z/∂y= ∂∂f/∂Y∂z
      ∂A_x/∂z = ∂A_z/∂x= ∂∂f/∂x∂z

      각 항이 0 되므로,

      ▽ X (▽f) = 0

      부탁드려요.


      _____
      전파곰

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    4. 맞게 증명하셨습니다. 식 (6)의 증명은 어렵지 않습니다. 제가 말한 것은 식 (12)입니다.

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    5. 헉 식6과 12가 다른건가 보네요. 같은건줄 알았는뎅.
      좀 자세히 봐야겟네요.

      한달 전에 재가 이런 댓글을 달게 될줄은 상상도 못했습니다.
      감사드립니다. ( <===진심으로 눈물을 머금으면서 )
      _____
      전파곰

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  11. 식 (16)와 (17)이 왜 만족해야 하는건가요?
    _____
    전파곰

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    1. 식 (14)의 식들을 대입하면 식 (15)와 (16)이 얻어집니다.
      식 (15)의 식들을 빼주면 식 (17)의 첫번째 식이 되고 식 (16)은 식 (17)의 두번째 식을 만듭니다.

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    2. 아 또 오타를 냈네요. 17 18을 묻는다는게. 감사용.
      해보고 다시 문의드리겠습니다.

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  12. 그린정리 식 22 좌측항에 ( ) 없어도 되는건가요? 일종의 약속인가요?

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  13. 죄송한데, 스톡스 정리 차분 증명에서 A_x 는 왜 A_y랑 부호가 반대로 붙는 건가요? 저 면적도 물레방아 회전처럼 생각하면 되는 건가요?? 면적에서 선의 회전이 시계반대방향으로 되어있어서 헷갈리네요 ㅜㅜ

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    1. 맞습니다.

      수학에서는 시계 반대 방향이 기준 방향입니다. ^^

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  14. 감사합니다! ^^ 처음 접하는 거라 곧바로 이해가 되질 않아서요. 천천히 몇번이고 반복해 읽어보며 이해해보겠습니다. 친절한 답변 감사드립니다.

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    1. 회전 연산자의 공식이야 별 것이 없지만 그 의미 이해는 상당한 시간이 필요합니다. 꾸준히 열공하세요, 익명님. ^^

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  15. 3년 전 처음 전자기학을 배울 때 이 낯선 개념들 때문에(미적분학에선 grad까지만 가르쳐 주더군요) 2주간은 고생한 것 같네요. 무슨 말인지 대충은 따라가겠는데 확 와닿지가 않아서요. 그 2주 동안 계속 이것들만 생각하고 생각하다 보니 순간 알겠더라구요. 하지만 cartesian coordi.에서 왜 curl이 저렇게 표현되는지는 생각하지 않았었다가 이제야 알겠네요. 당연한 거였는데.. 생각하는 능력이 부족한가봐요.

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    1. 어려운 것을 당연하게 생각하는 사람들을 우리는 천재라고 부릅니다. 보통 사람에게는 그런 능력이 없어 시간을 투자하고 생각해야 합니다. ^^

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  16. 안녕하세요 전파거북이님.

    매틀랩으로 회전이 있는 벡터장을 그려보고 있는데요.

    회전이 있는 벡터장이면 동그랗게 원을 그리는 벡터장이 보여야 맞을거 같은데

    모든 회전이 있는 벡터장이 원을 그리지는 않더군요.

    제가 회전을 잘못이해하고 있는것인지... 혹은 그 벡터장은 벡터장과 벡터장 혹은 스칼라 함수와 합성되서 그렸을때 직관적으로 원을 그리지 않는것인지 모르겠습니다.ㅠㅠ

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    1. 회전이 있는 경우 벡터장이 동그랗게 표현되는 것이 아니고, [그림 2]처럼 가상의 물레방아가 있는 경우 회전시킬 수 있는 벡터장으로 표현됩니다. 즉, 잘 보시면 동그란 것이 아니고, 벡터 방향에 수직인 방향으로 변하는 벡터장이 회전을 가진 것입니다.

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  17. 아아.. 그렇군요. 말씀해주신대로 천천히 다시 생각해보겠습니다.

    답변 감사드립니다! ㅠㅠ

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  18. 작성자가 댓글을 삭제했습니다.

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    1. 회전 연산자의 기하학적 의미는 [그림 2]와 같습니다.

      질문에서 말씀하신 "자기장의 회전"은 연산자 개념으로 생각하면 됩니다. "자기장의 회전"이 있다는 것은 "자기장에 [그림 2]와 같은 가상의 물레방아를 둔 경우에 회전 성분이 있다"입니다. (물론 회전 특성은 [그림 3]처럼 오른손 법칙으로 정의되어야 합니다.)

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  19. 대구에 전자공학도 학생입니다!
    헤깔리던 전자기학 개념을 조금이나마 이해할 초석이 되었네요ㅎ
    출처를 밝히고 퍼가도 될까요?ㅎ
    일단 출처를 표기하고 긁어가겠습니다. 감사합니다!

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  20. 출처만 밝히면 얼마든지 퍼가셔도 됩니다, 익명님. 출처를 다는 것은 원글 저작자에 대한 격려 정도로 생각하시면 됩니다. ^^

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    1. 익명님이 아니고 김봉진님이네요, 죄송. -.-;;

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  21. 식 (9)에서 좌변=0 -> iff 컬의 발산이 0어야만 한다.

    이건 같은 surface에 임의의 벡터 필드를 쓰더라도 적분값은 0이 나오기 때문인가요?

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  22. 식 (10)이 해당 내용의 증명입니다. 증명은 발산 정리와 스톡스 정리를 연속적으로 적용해서 합니다.

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  23. 안녕하세요? 전파거북님 팬중에 한명입니다.
    굉장히 기초적인 질문일수도 있겠는데요...
    자기장에서 플레밍의 왼손 법칙에서 F=I cross product B 일때 F의 방향은 F 벡터 그자체 입니다만, 강체의 모멘트를 구할때 M=r cross product F에서의 M의 방향은 M 벡터가 아닌 M벡터를 회전축으로 둔 회전의 방향을 의미하지않습니까?
    왜 이런 차이가 발생하는지, 수학적인 엄밀성에서 어긋나는 것은 아닌지 잘 모르겠네요..?

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    1. 안녕하세요, 익명님. ^^

      질문하신 부분은 벡터를 어떻게 해석하느냐의 문제입니다. 단순하게 크기와 방향으로 생각할 수 있고(일반적 힘(force)처럼), 그 벡터의 방향을 회전과 연계시켜 해석할 수도 있습니다(회전력(torque)처럼). 원래 회전은 시계 방향이나 반시계 방향처럼 돌리면서 정의해야 하나 이렇게 하면 모호한 것이 한둘이 아니므로, 오른손 법칙으로 회전 방향을 일반 벡터처럼 만들어 버립니다. 그러면 회전 방향 정의가 수학적으로 깔끔해집니다.

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    2. 좋은 답변 감사드립니다. ^^
      추가로 드리고 싶은 질문은, 벡터를 어떻게 해석하느냐의 문제라고 말씀을 하셨는데
      한 벡터가 있을때 그것의 회전이 방향인가 아니면 그 자체가 방향인가를 판별하는 기준은 오로지 경험이나 물리적인 지식(예를들어 토크의 방향은 회전이고 자기장에서의 힘의 방향은 벡터의 방향라는 사전지식)에 의존해야하는것인지요?
      (즉 수학 만으로는 알수 있는방법이 없나요?)

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    3. 벡터를 해석한다는 의미가 바로 그것입니다. 회전 연산자에서는 벡터를 회전으로 해석합니다. 운동 방정식에서는 크기와 방향으로 해석하고요.

      결론적으로는 수학보다 물리적 지식이 필요합니다.

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  24. 결국 그림 2에서 a,b가 물레방아의 중심인거죠????

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    1. 네. 그 위치에 회전을 표현하는 벡터가 있다고 생각합니다.

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  25. 식 (10)이 성립하는 이유가 면적 벡터가 반대방향이라 그런가요?

    혹시 그렇다면 밑 쪽 면을 위로 집어넣어서 반구 모양으로 붙인 뒤, 윗면과의 거리차이를 0으로 보내버리면 어떻게 되나요?

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    답글
    1. 1. 면적 벡터 정의는 동일합니다. 다만 $S_1$, $S_2$가 만드는 선 벡터가 반대라서 0이 나옵니다.

      2. 아래쪽 표면을 접어 위로 붙이면 선 적분이 동일하기 때문에, 원래 값의 2배가 나옵니다.

      삭제
    2. 흠.. 식 (9)는 모든 닫힌 면적에 대해 성립해야 하지 않나요? 저는 증명을 어떤 닫힌 면적이든 upward surface vector, downward surface vector, 이렇게 두 부분으로 구별할 수 있고 그럴 경우 선적분이 반대값으로 나오므로 0이 되어야 한다, 이렇게 이해했거든요.

      근데 위로 집어 넣었을 때 선적분이 동일하면, 닫힌 면적이더라도 (9)가 0이 안나올 수 있나요?

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    3. 1. 댓글에서 "아래쪽 표면을 접어 위로 붙이면"이라 한 이유입니다. 그러면 안과 밖이 바뀌게 됩니다.

      2. 이재님이 말씀하신 부분은 [그림 7]과 같은 구조라 생각됩니다. 이 경우는 선적분이 서로 반대가 되어 전체 0이 됩니다.

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  26. 벡터 A_x 라고 표현 하셨는데 벡터의 성분이 벡터가 되는 경우도
    있나요?
    bar A 는 무엇을 나타내는 벡터인가요?
    그리고 x=a 이하일때 힘이 0인 이유도 궁금합니다.

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    1. 1. 벡터의 성분은 항상 스칼라입니다.

      2. 그냥 벡터입니다. 이 벡터가 어떻게 변화할 때 회전 연산자가 회전의 의미를 가지는지를 설명했습니다.

      3. 그림을 보면 $x = a$는 회전축이 있는 위치입니다. 물레방아 그림을 잘 보세요. ^^

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  27. x=a 이하에서 힘이 0인 이유와 a이상 일때 덜타 2Ay인 이유
    자세히 설명 부탁드립니다.
    아무리 생각해도 모르겠네요.

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    1. 물레방아의 회전을 이해하기 위한 예제로 제시한 것입니다.

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  28. 블로그에 전자기학에서 벡터의 회전 Curl에 대한 개념을 포스팅하고있는데 회전 연산자 설명이 너무 좋아서 여기 링크 걸어 놓겠습니다!

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  29. 안녕하세요. 모든 글에 math processing error 라고 뜨네요.. 뭔가 연산자가 표기 오류된것 같은데

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    1. 가끔 가다 오류나는 경우가 있습니다. 잠시 후에 접속하면 잘 될 것입니다. ^^

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  30. 저자님 포스트만으로 잡다한 정리를 제외한 그레디언트 다이버젼스 컬을 이해했습니다. 감사합니다.
    그런데 다이버젼스로 플럭스를 구할때 왜 면적소를 곱하는 지 모르겠습니다. 도대체 열방출량에 면적을 곱하는 것의 의미가 뭘까요? 아마도 원천으로부터의 발산되는 물리량이 폐곡면의 겉넓이와 무관하기 때문인 것 같습니다. 그런가요?


    또, 모든 본문 수식들이 $x$같이 나오는데 어떻게 해야하나요?

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    1. 1. 본문은 물리에 대한 내용이 아니고, 수학입니다. 우리가 미분을 다루고 있기 때문에 원래값이 나오려면 적분을 해야 합니다.

      2. 어떤 벡터 함수의 발산이 일정하다면 익명님이 말씀하신 부분이 성립합니다. 이 부분은 발산 정리입니다.

      3. PC 버전으로 봐야 보입니다.

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  31. 스톡스 정리전까지 이해했는데 도대체 회전속도의 비율말고 이 물리량이 의미할 수 있는 바를 모르겠습니다.
    또한 어떤 평면도형의 모서리의 서큘레이션을 이것으로 어떻게 구해야할 지 모르겠습니다.
    아마도 전파거북이님의 설명이 벡터미분을 처음 보는 저조차 이해할만해서 이해의 공백이 있는 것 같습니다.
    컬의 각 항의 크기가 회전비 말고 무슨 의미가 있나요?

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    1. 회전 연산자를 쓰는 핵심 이유가 [그림 6] 때문입니다. 이걸 이해하려 노력해보세요. ^^

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  32. 안녕하세요, 이 블로그에서 많은 것을 배워가는 학생입니다.
    (5) 식에서 xy, yz, zx를 더하면 왜 vec{A}.dvec{l}가 되나요?
    2가 곱해지는 것 아닌가요?

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    1. 안녕하세요, 익명님. ^^

      식 (5)를 조금 더 구체적으로 바꾸었습니다. 선 적분이므로 좌우, 앞뒤에 선 미분소가 있어서 2가 곱해지지는 않습니다.

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  33. 안녕하세요 정말 그냥 복학하고 전자기학하다가 개념 보충하려고 보는데 컬을 이렇게 이해한적이 처음이네요. 특히 기본 행렬 푼 식에서 마이너스 플러스 부호와 각 축 성분벡터의 관계가 왜그렇게 되어야하는지 알게돼서 너무 기쁩니다. 감사합니다!

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    1. 전기과님, 회전을 이해하신 것 축하드립니다. ^^ 전자기학 이해의 핵심은 회전입니다. 앞으로 더 많은 것을 공부하시길 빕니다.

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  34. 6번 성질 및 6번과 7번 식에서
    7번이 임의의 면적 S에 대해서이기 때문에
    curl(grad f)=0
    이라고 할 수 있는 것인가요?

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    답글
    1. 네, 맞습니다. 스토크스 정리가 임의의 표면에 대해 적용 가능하고, 추가적으로 완전 미분 성질에 의해 0이 됩니다.

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  35. 회전에 대한 여러 글을 읽어보았고 가장 많은 도움이 되었지만 아직 직관적으로 이해는 안되네요. 결과만 놓고 보면 당연히 회전이란 결론은 납득합니다. 하지만 델과 외적의 조합에서 회전이란 결과가 나오는 연관성에대해선 납득이 안가네요. 바나나와 우유를 넣어 바나나우유가 나온다고 하면 이해가 가지만 칫솔이 나왔다고하면 전혀 관계없게 느껴지죠. 그런 기분입니다. 이러면 델외적은 회전이라고 뭉탱이로 외울 수 밖에 없고, 기호도 굳이 델과 외적을 함께 써줘야하냐는 회의감에 부딪힙니다. 괜히 혼동만 더 되죠. 델과 외적의 조합으로 회전이란 결론에 도달하는데 수식적이고 기계적인, 결과론적인 접근이 아니라 각 요소들의 본질적인 의미와 결론에 이르는 직관적이고 논리적인 접근은 없을까요?

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    답글
    1. 델 연산자와 벡터 외적을 쓴 것은 그냥 표기법인 것이고, 중요한 것은 벡터 성분의 편미분입니다. [그림 2] 부근에 쓴 글이 회전의 기하학적, 물리적 의미를 설명한 것이고요.

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