2010년 7월 22일 목요일

발산(發散, divergence)의 의미



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "발산의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미
2. 좌표계 기반 벡터
3. 적분법의 의미


구배(勾配, gradient) 연산자는 미분 개념만 익히고 있으면 쉽게 이해가 되나 발산 연산자는 다소 난해하다.
처음에는 이해가 잘 안되더라도 겸손한 마음으로 아래 내용을 읽어보자.

讀書百遍 義自見: 잘 모르는 책도 100번을 읽으면 자연히 뜻을 알게 된다.

식 (1)에 제시한 발산 연산자는 폭탄이 터지거나 샘물이 솟거나 하는 현상을 정량적으로 표현하기 위해 도입한 벡터 연산자이다.

                        (1)

여기서 벡터 $\bar A = (A_x, A_y, A_z)$로 정의한다.

[그림 1] 폭탄의 폭발 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 1]은 폭탄의 폭발 모습을 보여준다. 갑자기 없던 폭발이 생긴 경우 이를 수학적으로 기술하려면 식 (1)의 발산 연산자를 사용하면 된다. 식 (1)은 미분 연산이므로 저게 폭탄 폭발과 무슨 관계가 있을까 처음에는 잘 이해가 되지 않는다. [그림 1]을 설명하는 좀 더 쉬운 [그림 2]를 보자.

[그림 2] 폭발을 발산 연산자로 설명

[그림 1]의 상황을 편의상 2차원($x$-$y$ 좌표축)으로 가정하여 이를  발산 연산자로 설명한 것이 [그림 2]이다. $x$축 방향을 따라 $A_x$ 성분의 변화를 조사하면 식 (2) 관점에서는 $x$축 방향 발산을 측정한 것이 된다. [그림 2]의 $x$축 변화를 벡터적으로 보면 $x = a$보다 작을 때는 $-\Delta A_x$, $x = a$보다 크면 $+\Delta A_x$가 된다 (녹색화살표 하나를 $\Delta A_x$로 간주). 그러면 $x$축에 대한 $A_x$의 변화는 $\Delta A_x - (-\Delta A_x) = 2 \Delta A_x$가 된다. 이 값을 x축의 변화인 $\Delta x$로 나누면 식 (1)과 비슷하게 $2\Delta A_x / \Delta x$가 된다.
마찬가지로 $y$축 방향 $A_y$의 변화율도 계산해보자.
[그림 2]에서 $y = b$보다 작으면 값이 없고 $y = b$보다 크면 $3 \Delta A_y$가 된다(빨간색화살표를 $\Delta A_y$로 간주). 이때 $A_y$의 변화는 $3 \Delta A_y - 0 = 3 \Delta A_y$이다. 이 값을 $\Delta y$로 나누면 $3 \Delta A_y/ \Delta y$가 된다.
$x, y$축에 대한 변화율을 모두 합치면 $(x, y) = (a, b)$에서의 총발산은 $2 \Delta A_x/ \Delta x + 3 \Delta A_y/ \Delta y$이 된다. 총발산값이 0보다 크기 때문에 발산이 있다.
이런 이유로 발산 연산자는 원천 검출기(source detector)로 생각할 수 있다. 여기서 원천은 [그림 1]의 폭발처럼 무언가가 없던 것이 방사선 형태로 출현하는 것이다.
음의 원천도 생각할 수 있다. 음의 원천은 양의 원천의 반대이므로 무언가 있던 것이 방사선 형태로 사라지는 것이다. 예를 들면 흐르던 물이 하수구로 빠지던가 씽크대에 담겨있던 물이 배수구로 빠지는 현상을 음의 원천으로 설명할 수 있다.

     

[그림 3] 양전하(+)와 음전하(-)(출처: wikipedia.org)


[그림 3]처럼 전하(電荷, electric charge) 입장에서 보면 양의 원천과 음의 원천은 분명하다. 양전하의 전기력선은 폭발이나 샘물이 터지는 것처럼 원점에서 방사선 형태로 뻗어나온다. 음전하의 전기력선은 물이 하수구로 빠지는 것처럼 방사선이 원점으로 사라지는 모양을 가진다.
이런 벡터들의 생성과 소멸을 방사선 형태로 분석하는 도구가 발산 연산자이다. 벡터 함수에 발산 연산자를 적용하면 원천 검출기로 동작하여 [그림 3]과 같은 방사선 형태의 생성(양의 원천)과 소멸(음의 원천)을 계산할 수 있다.

[그림 4] 체적과 표면적의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

발산 연산자를 체적적분(體積積分, volume integral)에 적용하면 발산 정리(divergence theorem) 혹은 가우스 정리(Gauss' theorem)를 얻을 수 있다.

[2. 발산 정리]

                        (2)

여기서 $dv$(= $dxdydz$)는 체적 미분소(differential volume), 벡터 $d \bar a$는 면적 미분소(differential surface)이다. 벡터 $d \bar a$의 방향은 [그림 4]와 같이 체적을 뚫고 나가는 방향으로 잡는다. 식 (2)에서 적분 기호에 동그라미가 있는 것은 [그림 7] 왼쪽의 닫힌 표면적(체적을 모두 포함하는 표면적)을 의미한다.

[증명]
식 (2)를 증명하기 위해 [그림 5]와 같은 체적 차분 $\Delta V$(= $\Delta x \Delta y \Delta z$)를 고려하자. 당연히 $\Delta V$의 극한은 미분소 $dv$가 된다.

[그림 5] 데카르트 좌표계상의 체적차분

먼저 식 (2)의 우변을 차분 관점으로 $\Delta y \Delta z$ 평면에 대해 기술하면 식 (3)과 같다.

                        (3)

여기서 $\Delta y \Delta z$ 평면만 고려하기 때문에 벡터 성분은 $A_x$만 대입하였다.
식 (3)의 극한을 취하면 식 (4)와 같은 미분소를 정의할 수 있다.

                        (4)

[추가 설명]
식 (3)은 면적 적분 관점으로 봐야한다. 면적 적분에서 벡터가 향하는 방향은 항상 바깥쪽이다(x축 왼쪽에서는 -x 방향, x축 오른쪽에서는 +x 방향으로 결정). 왜 이렇게 하냐고? 수학자들이 한 약속이다. 면적 벡터의 방향은 항상 중심에서 바깥을 향하도록 정한다.

             (1-1)

또한, 면적 벡터 xx축 방향으로 면적을 뚫고 나가는 방향이므로 당연히 면적의 크기는 y-z 평면의 크기인 Δy×Δz가 된다. 이 다음에 미분의 정의를 아래와 같이 도입한다.

        (1-2)

            (1-3)
[추가 설명]
식 (4)는 테일러 급수(Taylor series)를 이용해서도 아래와 같이 구할 수 있다. 하지만 식 (3)의 차분으로 충분한 것을 굳이 테일러 급수까지 쓸 필요는 없다.


(2-1)

$\Delta z \Delta x$, $\Delta x \Delta y$ 평면에 대해서도 동일하게 적용하면 식 (5)를 얻을 수 있다.

                        (5)

식 (5)를 모든 체적에 대해 모두 모으면 적분이 되므로 식 (2)가 증명된다.
수학적으로 엄밀히 정의하려면 식 (3)에 대해 리만 적분을 적용해서 식 (4)를 거치지 않고 식 (6)과 같은 적분을 만들어야 한다.

                        (6)

식 (3)의 우변을 체적 적분하면 식 (6)이 얻어지므로 식 (2)의 좌변은 쉽게 증명된다.
하지만, [그림 4]와 같은 주어진 체적에 대한 표면 적분은 한 번 더 생각해야 한다.
이를 이해하기 위해 [그림 6]을 보자. 두 개의 체적 미분소를 합치면 그림에서처럼 체적이 두배가 된다. 하지만, 표면적은 원래 체적 미분소 표면적의 두 배가 되면 안되고(식 (2)의 우변은 체적 $v$를 둘러싼 전체 표면적 $s$에 대한 표면적분이다) 체적 미분소를 합친 [그림 6]의 우측에 그린 큰 직육면체의 표면적이 되어야 한다.
예를 들어 [그림 6]의 좌측 직육면체가 정육면체이고 한 면의 면적을 1이라 하면 좌측의 두 정육면체의 표면적은 $2 \times 6 = 12$가 된다. 하지만, 우측의 직육면체의 표면적은 10이 되어야 한다. 즉, 단순히 표면적을 합치기만 해서는 이 문제를 해결할 수 없다.
그러면, 어떻게 해야 이런 표면적을 정의할 수 있을까?

[그림 6] 면적적분의 영역 합성

이걸 해결하려 도입한 것이 [그림 4]와 같이 표면적을 뚫고 나가는 면적 벡터이다. [그림 6]의 좌측에 있는 두 개의 체적 미분소는 화살표로 표시한 부분에서 서로 만나고 있다. 이 부분이 서로 상쇄가 되면 식 (2)의 우변이 증명된다.
위의 예시처럼 좌측 표면적 12가 우측 표면적 10(= 12 - 2)이 되기 위해서는 서로 만나는 표면적 크기인 2가 없어지면 된다.
체적 미분소가 만나는 지점에서는 벡터 A의 크기와 방향이 같지만, 면적 벡터(녹색화살표와 빨간색화살표) 정의에 의해 그 벡터의 크기는 같고 방향은 서로 반대가 된다. ($\because$ 임의의 물체를 반으로 쪼개면 양쪽 단면적은 서로 같아야한다.) 이 두 표면적을 서로 더하면 벡터적으로 상쇄가 되어 표면적에 기여하지 않으므로 식 (2)의 우변이 증명된다.
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[그림 7] 닫힌 표면적(왼쪽)과 열린 표면적(오른쪽)(출처: wikipedia.org)

식 (2)의 발산 연산자의 적분을 정의할 때는 [그림 7] 왼쪽의 닫힌 표면적(closed surface)를 사용하고 회전 연산자의 적분을 정의할 때는 [그림 7] 오른쪽의 열린 표면적(open surface)을 사용한다.

발산 연산자가 0이 되는 벡터 함수 $\bar A$은 어떤 형태를 가질 것인가?
아래에 이 의문에 대한 명쾌한 답이 있다.
아래 내용은 회전 연산자를 이해하지 못하면 따라갈 수 없으므로 회전의 의미를 먼저 읽어보아야 한다.

[7. 발산 연산자의 영인자(零因子, nullity) ≡ 회전 연산자]
발산이 0인 벡터 함수는 반드시 회전 연산자로만 표현된다.

                         (7)

[증명]
발산 연산자의 영인자 특성에 의해 벡터 함수 $\bar A$가 어떤 벡터 함수 $\bar B$의 회전으로만 표현되면 당연히 $\bar A$의 발산은 0이 된다. 예를 들면 다음 식은 항상 참이다.

                       (8)

거꾸로 발산이 0이라면 이 벡터 함수는 회전 연산자로만 표현될 것인가?
이 질문에 답하기 위해 먼저 문제를 단순화하자.

                         (9)

여기서 $\bar A = (A_x, A_y, A_z)$, $\bar C = (C_x, 0, 0)$, $\bar D = (D_x, D_y, 0)$이다.
발산 연산자의 특성으로 인해 임의의 3차원 벡터 함수 $\bar A$는 2차원 벡터 함수 $\bar D$로 언제나 변경가능하다.
그래서, 증명의 초점을 2차원 벡터 함수 $\bar D$로 한정하자.

                         (10)

여기서 $h(z, x)$는 편미분에 대한 적분상수이다. 식 (10)에서 $D_x = \partial g / \partial y$라 가정하면

                         (11)

여기서 $g = g(x, y, z)$이며 식 (10)의 적분 상수 $h(z, x)$는 고려하지 않았다.
다음으로 고려하지 않았던 적분 상수 $h(z, x)$를 생각하자. $h(z, x)$는 어떤 벡터 함수 $\bar E$의 회전으로 표현할 수 있는가?
먼저 회전 연산자 정의인 식 (12)를 고려하자.

             (12)

식 (12)에서 $\bar E = (f, 0, 0)$이며 $f(z, x)$는 $z, x$의 함수라고 가정하면 $h(z, x) = \partial f(z, x)/ \partial z$를 얻을 수 있다.
그러므로, 식 (13)이 성립해서 발산이 0인 임의의 벡터 함수는 회전 연산자로만 표현할 수 있다.

                         (13)
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[14. 발산 정리의 변형]

                         (14)

[증명]
임의 벡터 $\bar A$와 상수 벡터 $\bar C$에 대해 다음 발산 정리가 성립한다.

                         (15)

식 (15)에 다음 벡터 항등식(vector identity)을 적용하자.

                         (16)

                         (17)

그러면 아래 식이 항상 성립한다.

                         (18)

식 (18)의 세째줄에서 임의의 상수 벡터와 내적(inner product)한 값이 항상 0이 되는 벡터는 영벡터이므로 식 (14)가 반드시 성립해야 한다.
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[다음 읽을거리]

댓글 38개 :

  1. 식(3)에서 식(4)로 넘어가는 과정이 이해가 안되네요..전자기학에서 배우는 증명에는 테일러정리를 이용하였는데 그렇지 않아서 관심이 있습니다. 혹시 보시면 답변좀 부탁드립니다

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  2. 테일러 급수를 이용하는 것과 차분을 이용하는 것은 동일합니다. 하지만 차분은 더하기-빼기 정도 수준이고 테일러 급수는 미적분학의 정리입니다. 테일러 급수가 엄밀성이 더 있는 것도 아닌데 굳이 복잡하게 할 필요가 없어 차분으로 증명했습니다. 본문에 추가 설명을 남겼으니 참고하세요.

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  3. 발산 유도과정을 테일러로하니까 어려웠는데 차분으로 하신거 보고 이해가 명확하게 됬습니다. ㅎㅎ

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  4. ^^. 이런 게 인터넷의 힘이지요.

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    1. 일반적 직교 좌표계에서 델*A의 경우 metric 계수가 편미분함수 속으로 들어가던데 일반적인 유도과정이 안나와있어서 아쉽네요.. 라운드(h2h3A1)/라운드u1 이런부분이요.

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  5. 텐서 미분적분학 http://ghebook.blogspot.com/2011/07/tensor-calculus.html
    직교좌표계에 대한 텐서 미적분학 http://ghebook.blogspot.com/2011/07/tensor-calculus-for-orthogonal-systems.html
    에서 증명을 볼 수 있습니다. 감사합니다.

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    1. 매우 빠른 답변 감사합니다!

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  6. 발산에 관해서 감사히 읽었습니다.. 그런데 혹시 cartesian gradient의 식으로 spherical gradient공식을 유도하시는법을 알고 계신가요 혹 번거로우시겠지만 알고 계시거나 아시는 사이트가 있다면 lovedragon00@naver.com으로 메일 한통만 주세요 부탁드리겠습니다.

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  7. 아래의 구좌표계를 참고하시면 구좌표계에서의 구배 연산자(gradient operator)는 쉽게 증명할 수 있습니다.
    http://ghebook.blogspot.com/2011/07/spherical-coordinate-system.html

    데카르트 좌표계에서 정의된 미분연산자는 아래의 완전미분을 이용해 어떤 좌표계로든 변환가능합니다.
    http://ghebook.blogspot.com/2010/07/exact-differential.html

    수학적으로 더 깔끔하게 증명하려면 아래의 텐서 미적분학을 보셔야 합니다.
    http://ghebook.blogspot.com/2011/07/tensor-calculus.html

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  8. 4번식에서 x^(hat) 과 da^(-) bar 의 의미기 무엇인가요?

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    1. x^은 x방향 단위벡터, da는 법선방향 면적미분소입니다.

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  9. divergence field F=0 이면 F= del x A 를 만족하는 vector potential이 존재한다는거
    증명해보려고했는데 여기있었군요!! 감사합니다!

    근데 저거 직접 하신건가요 아니면 관련된 추천해주실만한 레퍼런스가.....?

    수학전공자인데 벡터캘큘러스 책에는 잘 나오지 않더라구요.....

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    1. 방문 감사합니다. ^^

      저도 궁금해서 기초이론만 가지고 직접 해본 것입니다. 어딘가 비슷한 내용이 참고문헌들에 있겠지만...

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  10. 감사히 잘 읽었습니다. 전파거북이님 블로그 참고하면서 전자기학을 공부하는 학생입니다!!
    질문이 있습니다.

    1. 식 (3)과 (5)를 보면 면적분시(dA^ 내적 da^ 의 계산) 미소체적의 6면을 모두 고려하여 6번의 내적을 하는 것 같은데 원래 면적분이라는 것이 미소체적을 기본적으로 가정하고 하는 것인가요?

    2. 식 (5)에서 양변에 '인테그랄v(체적)'을 취할 때 좌변은 어째서 폐면적적분 인테그랄이 되는 것인가요? 내부 체적에 대한 항은 모두 상쇄가 되어서 그런 것인가요?

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    1. 1. 체적을 둘러싸는 면적 적분이라서 그렇습니다. 체적을 모두 싸려면 x,y,z축 6면에 대해 모두 면적 적분해야겠지요.

      2. 이 부분은 [그림 6]을 보시면 됩니다. 면적 적분들은 상쇄되어 바깥쪽 부분만 남습니다.

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  11. 사부님
    발산을 보다가 이해가 가는거 같아서, 회전을 보니 다시 OTL.
    그래서 재가 무엇을 모르는지 몰라서, 아직 질문을 할 단계는 아닌데요..

    궁금한 부분이 있습니다.
    위 추가설명에서 이거 자체가 회전을 설명하는 것이 아닌가 해서요.
    "x는 x축 방향으로 면적을 뚫고 나가는 방향이므로 당연히 면적의 크기는 y-z 평면의 크기인 Δy×Δz가 된다"
    그래서 발산의 원인은 원인이라고 하기 머하지만, 원천은 회전이라고 봐도 될까요?
    ____
    곰유

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    답글
    1. 처음에 말씀하신 부분은 회전이 아닌 단순한 면적 벡터의 정의입니다.

      발산은 주어진 벡터가 [그림 2]와 같은 방출(or 원천)을 가지는 가를 판별하는 연산이고 회전은 말 그대로 회전이 생기는 가를 검출합니다. 물레방아나 바람개비가 도는 원리가 회전입니다. 잘 고민하셔야 합니다.

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    2. 이해가 안가서, 이런 상상을 해보았습니다.
      폭팔을 하려면, 먼가 땅에서 뚥고 나와야지 않을까? ㅋㅋㅋ
      좀더 봐야겠네요. T.T

      감사드립니다.

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  12. 발산에서 단위 vector가 없어지는 과정을 이렇게 생각해도 될까요?
    편의상 x관련 부분만 표기 하면요.

    (∂A_x/∂x)(x^·x^) = (∂A_x/∂x)(|x^|^2)COS 0
    |x^|^2 = 1
    COS 0 = 1

    즉 ▽ 연산자 자체에도 단위 vector가 포함되어 있다고 봐도 되는 겁니까?
    ( 전파거북이님이 ▽표기 하실때, 위에 줄을 그어 이 연산자 자체도 vector로 푝 하시는거 같아서요. )
    _____
    전파곰

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    답글
    1. 예, 벡터의 내적으로 생각하면 됩니다. 깁스(Gibbs)가 기가 막힌 표기법을 생각해냈습니다.

      ▽ 연산자 위의 줄은 벡터를 의미합니다.

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    2. [8. 발산 연산자의 영인자(零因子, nullity)] ==> [증명: 발산과 회전의 정의]
      요거 생각하다가, 단위 vector가 그냥 없애려니 찜찜해서 생각을 해보니, 연산자 위에 줄이 그어 있는걸 발견햇습니다. 지금까지 몰랐거던요. 줄을 그어 놓으니 멋있어 보인다 라고만 느꼈지요. ㅋㅋㅋ

      감사드립니다.
      _____
      전파곰

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  13. 글 정말 잘봤습니다!
    혹시 (3)식에서 A(Ax,Ay,Az)말고 Ax(x,y,z) 로 표현한 이유는 무엇인지 알수있을까요??

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    1. y-z평면만 봤기 때문입니다. 이 평면에 수직한 성분은 x성분입니다.
      이를 확장하면 말씀하신대로 Ax, Ay, Az를 모두 고려해야 합니다.

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  14. 어느 게시물에 적으먼 될지 몰라서 일단 치열하게 고민(?)하고 있는 여기에 적습니다. 정말 감사합니다! 물리학을 독학해보고 있는데 수학 지식이 부족해 어디서부터 손 대야할지 몰라 헤매고 있었는데 여기서 도움 많이 받고 있습니다! 관련된 수학지식 링크도 걸어주시고, 정말 기초부터 차근차근 배울 수 있게되어 기쁩니다! ㅎㅎ

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    1. 방문 감사합니다, 익명님.
      서로 지식을 나누는 차원으로 쓴 것이므로 많이 방문해주세요. ^^

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  15. 정말 글이 도움이 많이 되었습니다.
    그런데 식 [2]에서 이중적분의 폐적분이 무었을 뜻합니까?
    다시말하면, 왜 이 식에서 이중적분에서의 피적분함수를 결정하기위한 (아마도) 시작점과 끝점이, 같다는것이 왜 좌표평면상에서 닫힌 표면적을 그리는지,
    더나아가면 적분의 구간의 개념을 이차원의 개념인 이중적분에게도 도입해도 되는 지에 대해서도 궁금합니다. 감사합니다. ^^

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    1. 식 (2)에서 닫힌 표면적을 고려한 이유는 부피 때문입니다. 발산 정리에서는 어떤 부피 $v$를 모두 감싸는 표면적 $s$가 필요합니다.

      그리고, 단일 적분이 선을 표현한다면, 이중 적분은 면적을 표현할 수 있습니다. 이 부분은 적분의 의미를 고려하면 이해할 수 있습니다.

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  16. 발산의 영인자를 보고 있었는데, 슈왈츠 정리로 풀려서 그냥 그런 줄 알고 있었는데 흠.. 저런 방법도 있었군요.

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    1. 저래서 발산과 컬이 직교하는 오퍼레이터라고 하는 군요. 올 때 마다 감사한 마음으로 돌아갑니다 ㅎㅎ

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  17. 체적 미분소가 만나는 지점에서는 벡터 A의 크기와 방향은 같지만 정의에 의해 면적 벡터(녹색화살표와 빨간색화살표)의 방향은 크기는 같고 방향은 서로 반대가 된다 여기서 왜.... 크기가 같은것인가요??? 다를 수도 있지않나요??

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    1. 본문에 아래 내용 추가했습니다. 확인해보세요.

      "임의의 물체를 반으로 쪼개면 양쪽 단면적은 서로 같아야한다."

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  18. 식 8이 문맥상 벡터b의 회전의 발산이 0이라는 뜻일것 같은데 잘못쓰인건가요, 제가 이해를 잘못한건가요?
    그리고 식 12에서 E(f,0,0)라 되어있는데 이 부분이 하는 역할이 어떤 부분인지 잘 이해가 안 되어서 질문드려봅니다.

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    답글
    1. 1. A, B가 나온 상태에서 벡터 항등식의 벡터를 A로 쓰니까 헷갈리기는 하겠네요.

      2. $h(z, x)$를 회전으로 표현하기 위해서입니다.

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  19. 제가 외국에서 공부 중인데 여기 사이트가 도움이 정말 많이 되더라구요. 아 정말 죄송한데
    $ 가 무슨 뜻인지 ㅠㅠㅠㅠㅠ 정말 죄송합니다,

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    1. 수식 구문이 시작한다는 뜻입니다. 아마 PC로 보시면 $...$는 사라지고 수식이 보일 것입니다, 일련김님. ^^

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  20. 식 (9)이 유도되는 과정이 이해가 않됨니다. 3차원 함수 발산 체적인 2차원 면적으로는 말은 이해가 가나... 발산과 회전의 관계가 이런 것과요 소스에 의해 벡터가 회전한다면 그 소스의 발산 없다. 전류에 의해 자기장이 형성된다면, 전류에 의한 전기장은 없다 이런 의미인가요

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    답글
    1. 식 (9)는 물리적인 기법이라기 보다는 수학 증명의 기교입니다. 3차원을 직접 증명하기는 어려우니 2차원으로 바꾸어 간략화한 후 증명한 것입니다.
      예를 들면 3차, 4차 방정식의 해를 구하기 위해 치환을 통해 항을 축소하는 방법과 거의 동일합니다.

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