2010년 8월 15일 일요일

전류(電流, electric current)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전류"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 발산의 의미
2. 전압
3. 전기장



[전기의 기초(electricity)]

[전기의 쉬운 이해]

전류($I$)는 말그대로 전기의 흐름이다. 전기를 만드는 원천이 전하(Q, 電荷, electric charge)이므로 전하의 흐름, 즉 전하의 시간($t$)적 변화율이라고 말할 수 있다. 이를 수식으로 표현하면 식 (1)이다.

                          (1)

식 (1)은 제대로 된 정의이기는 하나 전하의 흐름을 세부적으로 보여주지 못한다. 그래서 식 (1)을 미분 형태로 표현해 보자.
전하의 미분소 $dQ$를 전하 밀도(電荷密度, charge density) $\rho$로 표현해 보자.

                          (2)

여기서 면적 미분소 $d \bar a$는 전류를 정의하기 위해 사용한 임의의 단면적(斷面積, cross-sectional area, [그림 1]에서 $a$)이며 선 미분소 $d\bar l$은 전하가 실제로 지나간 방향의 통과 길이([그림 1]에서 $l$)이다.
[그림 1] 도선에 흐르는 전류(출처: wikipedia.org)

체적 미분소 $dv$를 지나는 전하 미분소 $dQ$가 만드는 전류 미분소 $dI$는 아래와 같다.

                          (3)

여기서 벡터 $\bar u$는 전하의 유동 속도(流動速度, drift velocity)이다.
식 (3)으로부터 전체 면적을 통해 흐르는 총전류($I$)는 식 (4)가 된다.

                          (4)

식 (4)로부터 전하의 흐름을 세부적으로 표현할 수 있는 전류 밀도(電流密度, current density) $\bar J$의 중요성을 이해할 수 있다. 즉, 식 (4)로부터 전류 밀도의 방향은 전류가 흐르는 방향이 됨을 알 수 있다.

[전하 보존 법칙(conservation of electric charge)]
전류 밀도($\bar J$)의 원천을 검출하면 그 값은 전하 밀도($\rho$)의 시간적 감소와 같다.

                          (5)

[증명]
식 (5)를 체적 적분하고 발산 정리를 적용하면 식 (6)을 얻을 수 있다.

                             (6)

식 (6)의 좌변은 우리가 적분에 사용한 체적을 빠져나가는 전류(∵ 식 (4)로부터 전류 밀도와 면적 미분소의 내적은 전류이며 면적 미분소의 벡터 방향은 해당 체적을 뚫고나가는 방향이다)를 뜻한다. 식 (6)의 우변은 이 경우 체적에 존재하는 전하($Q$)는 그만큼 시간적으로 줄어든다는 것을 의미한다.
식 (6)의 좌변과 우변은 서로 같으므로 식 (5)가 전하 보존 법칙을 의미하는 것이 증명된다.
______________________________

[그림 2] 키르히호프 전류 법칙(출처: wikipedia.org)


[키르히호프의 법칙들(Kirchhoff's laws)]

[키르히호프 전류 법칙(KCL: Kirchhoff Current Law)]

                          (7)

[증명]
식 (6)에서 DC(직류, 直流, Direct Current) 조건을 적용하면 식 (7)이 바로 얻어진다. DC 조건은 시간적 변화($\partial / \partial t$)가 0이라는 조건이다.
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DC 조건인 경우 식 (7)을 전류 밀도의 경계 조건(boundary condition) 관점으로 살펴보자. 어떤 체적 $\Delta V$의 전하 축적이 없는 경우 식 (7)에 의해 들어간 전류($I_1 = J_{n1} \Delta S_1$)와 나간 전류($I_2 = J_{n2} \Delta S_1$)는 반드시 같아야 한다($I_1 = I_2$). 체적 $\Delta V$를 원기둥($\Delta S_1 = \Delta S_2$)이라 가정하고 식 (6)을 이용해 $I_1 = I_2$를 전류 밀도 관점에서 쓰면 $J_{n1} = J_{n2}$가 되므로, 전류 밀도의 법선 성분은 반드시 연속이 되어야 한다. 여기서 전하 축적은 커패시터(capacitor)의 정전 용량(capacitance) 때문에 생기므로 전하 축적이 없다는 말은 커패시터 성분이 없다는 것과 같은 말이다.

전압에 대한 조건인 KVL(Kirchhoff Voltage Law)과 전류에 대한 조건인 KCL(Kirchhoff Current Law)은 회로 이론에서 매우 중요한 법칙이다. 이와 더불어 무지 중요한 회로 법칙은 옴의 법칙(Ohm's Law)이다. 이 옴의 법칙을 증명해 보자.

[옴 법칙의 미분형(Ohm's law in differential form)]

                          (8)

여기서 $\sigma$는 전도도(傳導度, conductivity)이다.

[증명]
식 (8)을 증명하기 위해서는 전하가 도선을 흐르는 특성을 고려해야 한다. 1897년 톰슨(Sir Joseph John Thomson)이 전자(電子, electron)가 존재함을 실험적으로 증명하고 난 후 전류를 구성하는 요소는 전자라는 것이 분명해졌다.
식 (8)에 있는 옴 법칙의 미분형을 증명하려면 전자가 도선에서 받는 힘을 정량화해서 표현해야 한다. 이 기법을 최초로 성공적으로 적용한 학자는 드루데(Paul Drude)이다. 드루데가 1900년에 제안한 방법인 드루데 모형(Drude model) 혹은 자유 전자 모형(free electron model)을 이용하여 식 (8)을 증명하겠다.

[그림 3] 도선 속에 있는 전자의 운동(출처: wikipedia.org)

도선을 따라 전자가 흐른다는 것은 [그림 3]과 같이 결정(結晶, crystal) 속을 따라 전자가 이동하는 것이다. 이때 결정을 구성하는 매우 큰 양성자(陽性子, proton)로 인해 전자는 계속 이동하지 못하고 반대 방향으로 튕기게 된다.
이 상황을 뉴턴의 제2 운동 법칙(Newton's second law of motion)으로 표현하면 식 (9)와 같다.

                          (9)

여기서 벡터 $\bar p_n$은 $n$번째 전자의 운동량(運動量, momentum)이며 $\gamma$는 견인 계수(牽引係數, drag coefficient)이다.
식 (9)를 좀더 자세히 설명하면 $n$번째 전자가 받는 힘은 운동을 방해하는 방향(식 (9)에 (-)가 있는 이유)으로 작용하는 견인력(牽引力, drag force)이다. (물속을 이동하는 물체를 고려해보자. 이 물체는 유체(fluid)에 의해 견인력(or 저항력)을 느낀다. 실험에 의하면 물체 이동 속도가 느린 경우 견인력은 속도에 비례한다. 이를 운동량으로 표현하면 식 (9)처럼 된다.) 이 견인력은 전자가 받는 운동량에 비례한다. 전자에 작용하는 견인력으로 인해 [그림 3]처럼 전자가 튕기게 된다.
식 (9)에 있는 미분 방정식을 풀면 식 (10)을 얻을 수 있다.

                          (10)

여기서 벡터 $\bar C_n$은 임의의 적분 상수이다. 식 (10)에서 보는 것처럼 시간이 흐르면 전자의 운동량은 기하급수적으로 줄어든다.
식 (9)는 전자 하나에 대한 운동 방정식이지만 이를 모두 모아 평균을 내보자. 그러면 다음처럼 도선 속에 있는 전체 전자의 평균 운동량을 얻을 수 있다.

                          (11)

외부힘이 없는 상태에서는 도선 속에 있는 전자는 평균적으로 힘을 전혀 받지 않기 때문에 식 (11)의 둘째줄이 반드시 성립해야 한다. 만약 전자가 평균적으로 힘을 받는다면 이 힘을 외부에서 사용할 수 있기 때문에 현실과 맞지 않게 된다.
식 (11)에서 외부 전기장 $\bar E$가 가해지면 식 (11)은 아래와 같이 변형되어야 한다.

                          (12)

여기서 $e$는 전자의 전하량이다. 식 (12)에서 시간이 무한대로 흐르면 외부 전기장에 의해 전자의 운동량 평균이 0이 아닌 값으로 수렴할 것이다. 이 값을 식 (13)과 같이 계산할 수 있다.

                          (13)

여기서 $m_e$는 전자의 질량(質量, mass)이다. 식 (13)의 둘째식을 0으로 둔 이유는 시간이 무한대로 흐르면 전자 운동이 안정화되어 더 이상의 운동량 변화는 없기 때문이다. 즉, 전기장을 가하면 처음에는 전자가 가속받아 운동량이 증가하지만, 시간이 한없이 지나면 정상 상태(正常狀態, stationary state)가 되어 더 이상의 속도 변화는 없어진다.
식 (12)에 있는 미분 방정식은 쉽게 풀리는 방정식이다. 식 (10)과 (13)을 고려하면 식 (12)의 해는 식 (14)와 같다.

                          (14)

식 (14)를 식 (12)에 대입해서 정리하면 쉽게 해가 됨을 증명할 수 있다.
전자의 유동 속도를 나타내는 $\bar u$는 전자의 실제 속도가 아니다. [그림 3]과 같이 전자의 실제 속도는 매우 빠르나 양성자에 부딪혀 얼마가지 못하고 반대 방향으로 가기 때문에 등가적으로 측정되는 전진 속도인 유동 속도는 그리 빠르지 않다.
이 유동 속도를 식 (4)의 좌변에 대입하면 식 (8)이 얻어진다.

                             (15)

여기서 $n_e$는 전자의 단위 부피당 개수(= $N/V$)이다. $n_e$는 물질의 고유 특성으로써 밀도, 몰 질량(molar mass) 및 아보가드로 수(Avogadro constant, $N_A$)에 의해 결정된다.
______________________________

견인 계수 $\gamma$는 식 (10)이나 (14)와 같이 시간($t$)의 역수와 관계되므로 식 (16)으로 바꾸어 쓰도록 하자.

                          (16)

여기서 $\tau$는 평균 자유 시간(mean free time)을 나타낸다. 평균 자유 시간이 의미하는 것은 무엇인가?
이를 이해하기 위해 확률(確率, probability) 개념을 도입하자.
식 (10)을 이용하여 시간 $t$와 $t + dt$ 사이에서 운동량이 줄어들 확률을 식 (17)과 같이 정의하자.

                          (17)

식 (17)이 제대로 된 확률인지 확인하기 위해 식 (18)을 계산한다. 전체 확률값이 1이 되므로 식 (17)은 잘 정의되었다.

                          (18)

식 (17)을 이용하여 시간의 기대값(expectation)을 계산하면 식 (19)가 된다.

                          (19)

그런데, 시간의 기대값은 무슨 의미인가? 정의된 확률이 운동량을 기준으로 제시되었으므로 시간의 기대값은 전자의 운동량이 존재하는 평균시간이 된다. 그래서 $\tau$는 전자가 양성자에 부딪히지 않고 진행할 수 있는 평균 시간을 뜻하게 된다.

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[수치해석: 저항과 전류(phet.colorado.edu)]


[옴의 법칙(Ohm's law)]

[옴의 법칙(Ohm's law)]

                          (20)

여기서 $R$은 저항(抵抗, resistance)이다.

[증명]
미분형 옴의 법칙인 식 (8)로부터 식 (20)을 쉽게 증명할 수 있다. 먼저 식 (4)로부터 출발하자.

                          (21)

여기서 전류 밀도 $\bar J$와 면적 미분소 $d \bar a$는 같은 방향으로 잡아서(∵ 전류가 뚫고 지나가는 단면적은 우리 임의대로 잡을 수 있다. 즉, 단면적이 어떤 모양으로 있든지 전류 밀도 $\bar J$만 적절히 포함하면 흐르는 전류 $I$는 동일하다.) 벡터를 사용하지 않고 스칼라를 사용하였다. (∵ 내적을 구성하는 벡터들이 같은 방향이면 두 벡터 크기의 곱으로 생각할 수 있다.) 전압과 전기장의 관계로부터 식 (22)가 정의된다.

                          (22)

여기서도 전기장 $\bar E$의 방향과 선 미분소 $d \bar l$의 방향을 동일하게 잡았다. (∵ 전기장을 정의하는 선 미분소의 방향도 우리가 임의로 잡을 수 있다.) 이와 같은 방식으로 전류 밀도, 전기장, 면적 미분소, 선 미분소가 동일한 벡터 방향을 가지게 만들 수 있다. (면적 미분소와 선 미분소의 방향이 같기 때문에 면적 미분소와 선 미분소의 단순곱은 정확히 공간을 이루는 부피 미분소($dv = da\cdot dl$)가 된다.) 식 (22)를 식 (21)에 대입하여 전압 미분소 $dV$를 다음처럼 구한다.

                          (23)

여기서 전압 미분소 $dV$는 적분을 빠져 나올 수 있도록 단면적 $s$에 대해 상수로 정했다. 이 부분을 이해하기 위해 다음 과정을 따라가보자. 선 미분소 $dl$의 방향은 전류 밀도 방향과 동일하게 잡았기 때문에, 선 미분소 방향으로만 전류가 흐른다. 그러면 미분형 옴의 법칙에 의해 전류가 흐르는 방향으로만 전기장이 생긴다. 이는 면적 미분소가 표현하는 단면적 방향으로만 전기장이 생긴다는 뜻이므로(∵ 이 단면적에서는 등전위면(等電位面, equipotential surface)이 된다. 등전위면이 변화할 수 있는 유일한 방향은 길이 $l$ 방향이다.) 단면적 $s$ 상의 전압 $V$는 다음처럼 항상 상수가 된다.

                          (24)

여기서  $t_1$, $t_2$는 단면적 $s$를 구성하는 좌표 성분이다. 또한 $dl$은 전압이 최대로 변하는 방향이므로, $dl$을 잘 정의하면 단면적 $s$ 상에서 전압 미분소 $dV$가 상수가 되게 할 수 있다. 전체 전압을 구하기 위해 식 (23)을 길이 $l$에 대해 적분하면 최종식 (25)가 얻어진다.

                          (25)

여기서 $I$가 적분을 빠져나오는 이유는 선 미분소의 방향을 전류 방향과 동일하게 잡았으므로 전하 보존 법칙에 의해 들어간 전류는 나간 전류와 동일해서(KCL) 길이 $l$에 대해 상수로 취급할 수 있기 때문이다.
______________________________

식 (20)의 증명 시작은 식 (21)의 전류($I$)부터 하였다. 이와는 다르게 식 (22)의 전압($V$)부터 출발하면 식 (25)와 동일한 결과를 얻을 수 있을 것인가? 이것은 불가능하다. 전류는 전압과는 다르게 식 (24)의 등전위면과 유사한 정의를 할 수 없기 때문이다. 즉, 일반적으로 전류밀도는 전압을 정의한 선적분 바깥으로 나갈 수 없기 때문이다.

원론적으로 저항은 식 (26)으로 정의할 수 있다.

                          (26)

하지만, 식 (26)은 전기장 $\bar E$가 결정되지 않으면 계산될 수 없다. 따라서, 식 (25)가 저항 계산에 매우 유용한 공식이다.
[그림 4] 단순 저항기의 구조(출처: wikipedia.org)

예를 들어 [그림 4]와 같이 전류가 $z$ 방향으로 흐르며 전도도가 일정하다고 하면 저항 $R$은 식 (27)과 같이 얻어진다.

                          (27)

여기서 $l$은 저항의 길이, $A$는 저항의 단면적이다.

앞에서 정의한 전압(voltage), 전류(current), 저항(resistance)을 이용하면 전기 회로가 소비하는 전력을 정의할 수 있다. 먼저 전압의 정의를 이용해 전기 회로가 사용하는 일(work)은 다음처럼 정한다.

                       (28)

식 (28)을 미분하면 다음을 얻는다.

                          (29)

직류가 흐르는 전기 회로에서는 전하($q$)가 멈출 수 없기 때문에 $q = 0$이라 생각할 수 있다. (∵ 전하가 멈출 수 있다면 커패시터(capacitor)가 있는 것이지만 DC 전류가 흐르고 있기 때문에 커패시터는 있을 수 없다.) 이런 조건하에서 식 (29)를 시간 미분인 $dt$로 나누면 전기 회로의 전력을 다음처럼 정의할 수 있다.

                          (30)

식 (30)에 옴의 법칙을 적용하면 저항 기반의 전력 공식도 유도할 수 있다.

                          (31)

식 (25)에서 단면적 $s$와 길이 $l$을 구성하는 좌표계가 직교한다면, 직교 좌표계의 척도 인자(尺度因子, scale factor)를 사용하여 식 (25)를 다음처럼 간략화할 수 있다.

                          (32)

[다음 읽을거리]
1. 자기장
2. 금속의 성질
3. 로렌츠 힘
4. 저항

댓글 61개 :

  1. 식12에서 힘 -eE는 항력방향의 반대가 맞죠? e의 전하량이음수니까요??

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  2. 식 (12)의 우변은 시스템에 작용하는 전체힘입니다.
    e는 전자 전하량의 크기이기 때문에 (+)값이고 전자의 전하량을 표현하려면 -e를 써야 합니다. 그래서, 전자가 받는 전기력은 -eE가 됩니다.

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  3. 아! 잘알겠습니다. 감사합니다.

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  4. 별 말씀을요! 저도 인터넷에서 많은 정보를 얻고 있습니다.

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  5. 두루드 모델에서 도체의 원자와 충돌한는 것이 아니고, 도체의 양성자와 충돌하는 것인가요?

    이미 아시는 현상이시겠지만,
    전원 simulaiton 관련 자료 찾다가 하도 EM 문제라고 나오길래, 먼가해서 그림을 좀 찾아 보았었습니다.
    http://en.wikipedia.org/wiki/Electromigration
    현상을 직관적으로 그림으로 참고할 만한 site들
    http://www.semipark.co.kr/semidoc/waferfab/metal.asp?tm=8&tms=9 (한글)
    http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/electromigration/damage.php
    http://www.csl.mete.metu.edu.tr/Electromigration/emig.htm
    http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=icesherbet&logNo=140190039826

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    답글
    1. 예, 맞습니다. 하지만, 드루데 모형은 고전 모형입니다. 에너지 분포를 포함한 양자 역학 관점이 아니라서 문제가 있는 모형입니다.

      전자 이송(electromigration)은 잘 모릅니다. ^^

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    2. 저도 잘은 모르고요. 전자가 도체의 원자와 충돌이 많아 지는 조건에서, EM 문제가 발생하는 것으로 알고 있었는데, 두루드 모델은 양성자 이길래, 혹시 좀더 구체화 시킨 모델인가? 해서여쭈어 본 것입니다.
      감사드립니다.

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  6. dl이나 da를 임의로 잡을 수 있는 것은 E는 conservative field라서(del V라서), 또 전류밀도도 결국 내적에 의해 수직한 성분만 남기 때문 맞나요?

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    답글
    1. 아닙니다. 공간은 우리가 마음대로 정의할 수 있습니다. 어떻게 정의하든 답이 같기 때문에 쉬운 결과를 내는 공간 구조를 우리가 잡은 것입니다.

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    2. 답이 같은 이유가, 전류는 단면적을 보통 |로 잡고 계산하지만 / 이렇게 비스듬히 잡아도 전류밀도에 수직한 단면적을 지나는 시간당 전하량은 일정하니까, 또 전기장 방향인 ->이 방향으로 dl을 잡지 않고 ~>이런 식으로 잡아도 수직 성분은 제거되니까 그런 것인가요?

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    3. 그렇게 생각해도 위 증명은 충분히 설명됩니다만 위의 설명은 더 일반적인 경우까지 포함하고 있습니다. ^^

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  7. 또 전자가 양성자와 충돌할 때 받는 힘이 운동량에 비례하는 것은 왜인가요?위키에서 찾아봐도 그 drag force에 대한 설명은 나와있지 않고 그렇게 가정한 거 같아서 잘 모르겠어요
    그리고 확률 구할 때에 p_n(0)로 나눠준 것은 그냥 normalization을 위한 것인가요 아니면 물리적인 의미가 있는 건가요?초기 운동량이 크다면...음 어찌될지 모르겠네요;;ㅠㅠ

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    1. 1. 견인력이 운동량에 비례하는 것은 경험에 기반한 관계식 정도로 생각하시면 됩니다. 물속을 움직일 때 그 속도가 작다면 물체가 받는 견인력(or 저항력)은 속도에 비례합니다.

      2. 확률의 총합이 1이 되도록 만들기 위해서입니다.

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    2. 그렇군요. 이런 가정을 공기 저항이 있을 때의 자유 낙하나 반도체 내의 전자 움직임 등에서도 본 거 같아서 이전에도 궁금했었어요.

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  8. 안녕하세요 글 잘 보고 있습니다.

    전류에 관해서 한가지 질문이 있는데요,
    위의 수식들로 보면 전류는 물처럼 흘러가는 것 같습니다.(식 5~6번에서, 전화변화량을 전류밀로의 발산으로 표현하기 때문)
    그런데 한가지 이해되지 안흔것이 있는데요, 전류는 순차적(연속적)으로 흐르는가, 아니면 동시에 흐르가 입니다.

    예를들면 평판 캐시터에 전압을 걸어 충전한다고 했을 때 보통 +전압쪽에서 -전압쪽으로 전자가 흘러가서 충전이 된다는 표현을 하는데요, 이 과정이 동시에 일어나는 것인가요? 아니면 전류의 흐르는 성질(발산)때문에 +쪽이 먼저 충전(전하가 빠져나가고)되고, 전자가 흘러가서 -극쪽에 쌓여 결국 시간차를 두고 이런 현상이 일어나게 되는 건가요??

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    답글
    1. 오타가 많아서 다시 치겠습니다. 죄송합니다.
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      전류에 관해서 한가지 질문이 있는데요,
      위의 수식들로 보면 전류는 물처럼 흘러가는 것 같습니다.(식 5~6번에서, 전하의 시간적변화를 전류밀도의 발산으로 표현하기 때문)
      그런데 한가지 이해되지 않는것이 있는데요, 전류는 순차적(도미노처럼)으로 흐르는가, 아니면 모든 도선에서 동시에 흐르가 입니다.

      예를 들면, 평판 캐시터에 전압을 걸어 충전한다고 했을 때 보통 +전압쪽에서 -전압쪽으로 전자가 흘러가서 충전이 된다는 표현을 하는데요, 이 과정이 동시에 일어나는 것인가요? 아니면 전류의 흐르는 성질(발산)때문에 +쪽이 먼저 충전(전하가 빠져나가고)되고, 전자가 흘러가서 -극쪽에 쌓여 결국 시간차를 두고 이런 현상이 일어나게 되는 건가요??

      위 표현식처럼 생각한다면 전하가 흘러간다(물이 흐르는 것처럼 순차적으로)는 표현이 맞는 것 같은데, 어디선가 동시에 일어난다고 들은 것 같아서요..

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    2. 전자가 A 지점에서 B 지점까지 움직여 전류를 만드는 것이 아닙니다. 오히려 도미노가 더 타당한 설명입니다.

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  9. 안녕하세요. 질문이 있는데요. 키르히 전류법칙은 교류에서도 성립 한다고 알고있는데요. 교류에서는 수학적으로 어떻게 키르흐전류법칙이 성립되는 것인가요. 그렇니까 교류에서 유도 방법을 알고 싶어요

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    답글
    1. KCL은 전하량 보전 법칙을 의미하는 것이라, 직류든 교류든 항상 성립해야 합니다. 전류가 들어오면 전체 전하가 증가하고, 전류가 빠져나가면 전체 전하가 감소한다는 것이 KCL입니다.

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  10. 그러면 수학적 증명은 어떻게 되나요? 교류에서도 dc조건 dq/dt=0 으로 해야하나요?

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    답글
    1. 식 (5)가 증명입니다. 식 (5)를 AC 관점으로 생각하는 것은 아래 링크의 식 (11)을 보면 됩니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/06/capacitor.html

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  11. 식 (2)와 (3)에서 논리적 흐름이 살짝 헷갈리네요. (3)이 참이고, (3)의 결과를 얻기 위해 (2)가 선행 한다면, 식 (2)에서 시간에 대해 미분할 경우 밀도 rho에 대해서도 미분이 되야 하지 않나요?

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  12. 답글
    1. 스스로 해결하신 것 축하해요. ^^

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  13. 저기, 식 (6)에서 폐곡면 flux 적분을 하는 이유가 있나요? 0이 나올 것 같은데..아닌가..ㅠ

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    답글
    1. 전류는 어느 방향으로든 들어오거나 나갈 수 있어서 전체 표면에 대해 적분해야 합니다.

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    2. 그렇군요 ㅎㅎ 감사합니다!

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  14. 전류 밀도의 식이 직관적으로 이해가 되지 않습니다. ㅠㅠ
    도선으로의 방향벡터에 그냥 전하 밀도를 곱해준 값이 왜 전류 밀도 벡터라고 생각할 수 있는 것인가요??

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    답글
    1. 단위를 보면 분명하지만, 대충 생각할 때는 전하 밀도의 흐름이 전류 밀도가 된다고 생각하면 쉽습니다. 전하의 흐름은 전류가 되고요.

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  15. 전파거북이님, 살짝 헷갈리는게 있는데요.

    전류는 대류전류와 전도전류가 있다고 들었습니다(그 외 종류도 있지만..)
    식 (15)에서 rho*u 공식은 대류전류 공식으로 알고 있는데요, 그렇다면 전도전류는 대류전류의
    특별한 형태인가요?

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    1. 아닙니다. 서로 다른 전류이며, 식 (15)는 전도 전류 공식입니다.
      대류 전류는 전압 인가 방식에 따라 전기장과 전류 밀도가 비선형 관계를 가집니다.

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  16. 증명 과정에서 궁금한 점이 있습니다. 옴의 법칙의 미분형에서 옴의 법칙의 거시적 형태를 증명하셨는데 식25 마지막에서 I(어쩌구저쩌구)=IR 이 되는 과정에 문제가 있는 것 같네요
    괄호 안의 수식이 R이 되는 과정을 증명해주실 수 있나요? 옴의 법칙의 거시적 형태를 사용하지 않구요.

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    1. 저항을 $V = IR$이라 표현하는 것은 일종의 정의라고 할 수 있습니다. 식 (25)의 최종 결과에서 $V = I A$처럼 얻어졌기 때문에, $R$의 정의를 이용해 $R = A$라고 한 것입니다.

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  17. 궁금한 것이 있어 질문을 드립니다...
    도체에서 전류가 흐른다는것은 전기장이 존재한다는 것인데, 완전도체에서는 전기장이 존재하지 않는데 어떻게 전류가 흐를수 있는거죠? j=전도율*E 에서 전도율은 무한대, e=0이라서 수렴한다고 생각해야하나요?
    그리고 완전도체에서 전류가 흐를때, 전자들이 도체의 표면을 따라 움직이고, 전류가 표면에만 흐르게되나요?
    궁금합니다...

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    1. 맞습니다. 전도도가 무한대로 가는 극한으로 생각하시면 쉬워요.

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  18. 금속 내부에서는 전기장이 0이기 때문에 미분형옴의법칙에 의해서 j(전류밀도)가 0이여야 된다고 써잇는 글도 봤었는데.. 그런데 전류는 보통 금속을 타고 흐르지 않나요?.. circuit schematic에서 그리는 선로는 perfect conductor라고 가정한건데.. 모순인거 같아서 이렇게 질문 드립니다.

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  19. 혹시 도선 내부의 전기력은 소리처럼 소밀파로 전달되고 전자 자체의 이동과 별개로 취급가능한 것인가요?

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    1. 소리와는 다릅니다. 도선 내부의 힘은 정확하게는 전자기력이며, 접촉이 필요없는 원격 작용력입니다.

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  20. 저항의 직렬 연결에서 각 저항체마다 전류가 같은 이유를 모르겠습니다. 위에 나온 KCL에 따라, 분기점이 없으므로, 각 저항체의 흐르는 전류는 모두 같다는 것은 일단은 받아들 일수는 있겠는데요. 원자세계에서는 이해가 잘 되지 않습니다. 전류의 정의로부터 나온 식 I=nAqu(n은 부피당 전하개수, A는 면적, q는 전하량, u는 유동속도)에 비춰봤을 때, 유동속도는 드루이드 모형에서 볼 수 있듯이, 물질의 성질(free mean time)에 의해서 결정됩니다. 이때 직렬 연결에서 각 저항에 전하들은 모두 유동속도가 다르다는 것 까지는 이해할 수 있겠는데요. 전류가 같을 수 있도록(u의 값은 각 저항마다 다르므로, 각기 다른 유동속도를 보정해 줄 수 있도록, n의 값이 지정되어야만 I(전류)가 같을 수 있게 된다고 생각함), n의 값은 어떻게 되는지가 궁금합니다.

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    1. 저항이 직렬로 연결된 경우 각 전류가 다르다면 전하 저장이 가능한 커패시터가 있다는 뜻입니다. 현실에서는 이게 아니기 때문에 전류가 같다고 생각하는 것입니다.

      미시적으로 봐도 비슷합니다. 여러 이유로 산란이 있어 전자(electron) 파동이 반사되면 전류가 줄어듭니다. 파동 반사가 있다 하더라도 이건 전하가 모아진 것이 아닙니다. 반도체가 아닌 금속 내부이기 때문에 전하를 붙잡아둘 만한 커패시터 요소는 없습니다.

      이걸 전제로 여러 공식을 적용해야 오류에 빠지지 않습니다.

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    2. 커패시터가 없어서 전하 저장 요소가 없다고 해도, 전하밀도가 달라질 것 같다고 생각합니다. 간단하게 도선과 저항에서만 생각해도, 도선보다는 저항체에 전하밀도가 더 커질 것 같다고 생각이 듭니다.(제가 아직 미적분학 백터장 선적분까지 공부해서, 위에 전하량 보존 법칙에 발산법칙을 공부하지 못해 위의 내용은 완벽히 이해하지 못하는 상황입니다...)

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    3. 금속의 전하 밀도는 물질의 고유 특성입니다. 거시적으로 중요한 것은 단면적이 일정한 경우 전류 밀도가 일정하다는 것입니다. 따라서 물질과 단면적이 정해지면, 전류 밀도를 일정하게 만들기 위해 유동 속도가 바뀐다고 생각해야 합니다.

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    4. 좋은 답변 감사합니다.!!

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  21. 식(12)에서 미분하면 u=Ce^(-rt)-e/rm*E
    에서 적분상수 C가 -e/rm이 되어 u의 해가 u=uf(1-e^(-rt))가 되는것 같은데 적분상수 C는 어떤식을 기준으로 알수 있는건가요??

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    1. 식 (12)는 평균 운동량에 대한 미분 방정식이라서, 단일 전자에 대한 방정식인 식 (10)을 그대로 대입하면 안 됩니다.

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  22. 안녕하세요. 좋은글 감사합니다.

    질문 두가지 부탁드리겠습니다.

    1) 식 (10)을 이용하여 시간 t와 t+dt 사이에서 운동량이 줄어들 확률을 식 (17)과 같이 정의하자.

    부분에서 왜 17번식이 t에서 전자의 운동량이 존재할 확률을 표현하게 되는건지요?

    식만보면 t=0에서의 운동량에 대한 t에서의 운동량에서 t+dt에서의 운동량을 뺀 비율을 나타내는거

    아닌가요?

    2) 17번 식 전개과정에서 마지막 등호에서 넘어가는 과정이 이해가 안갑니다. dt를 0으로 극한을 취해준건지요?

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    1. 1) 확률 개념을 도입해 기대값을 구하기 위해서입니다. (이게 평균 자유 시간과 연결) 식 (17) 근방의 논증을 참고하세요.

      2) $dt$는 미분소(differential)로 생각하기 때문에 고차항은 0으로 간주합니다. ($dt$가 0으로 가는 극한을 취한 것은 맞지만, 정말 그렇게 하면 0이 되므로 미분소로 생각합니다.)

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  23. 좋은글 항상감사 드립니다.
    위 글에 다소 혼란스러운 부분이 있어 의견드립니다.

    "여기서  t1, t2는 표면적 s를 구성하는 좌표 성분이다. 또한 dl은 전압이 최대로 변하는 방향이므로, dl을 잘 정의하면 표면적 s 상에서 전압 미분소 dV가 상수가 되게 할 수 있다. "
    <= 맞습니다. 일반적으로 전기장 E는 면적소 da의 위치에 따라 변하는 함수입니다. E= -dV/dl 에서 dl 의 값을 위치에 관계없이 상수값으로 고정시키면 dV 값이 위치에 따라 변하게 되어 dV 값에 따라 각 위치의 전기장 E를 구할 수 있습니다. 역으로 dl=-dV/E 에서 dV를 고정시켜도 전기장 E 가 면적소 da 의 위치에 따라 변하기 때문에 dl도 위치에 따라 변합니다. 그러므로, dl=dl(x,y,z)=dV/E(x,y,z) 이므로 dl이 면적분 밖으로 나올 수 없습니다.

    그래서
    "식 (32)"<= 옳지 않습니다.
    위 식에서 dl=h3du3 인데 dV를 고정시켰기 때문에 dl 이 위치에 따라 변하는 함수가 되고, h3뿐만 아니라 du3도 위치에 따라 변하기 때문에 du3가 면적분 밖으로 나올 수 없습니다.
    예를 들어, 데카르트 직각 좌표계를 사용하면 h3=1, du3= dz 가 되며, dV를 고정시키고 dl(혹은 dz) 를 구하려면, 식 dz=dV/E 에서 여전히 면적소 da 의 위치에 따라 변하는 전기장E 때문에 dz의 값이 위치에 따라 변하므로 dz 는 면적분 밖으로 나올 수 없습니다.
    식(27)에서 올바른 결과가 나오는 이유는 이 예제에서 전기장E가 면적소 da 의 위치에 관계없이 일정하기 때문에 dV 와 dl 이 모두 상수이기 때문입니다.

    "하지만, 식 (26)은 전기장 E¯가 결정되지 않으면 계산될 수 없다. "
    <= 맞습니다. 저항을 계산하기 위해서는 면적소가 위치한 각 점의 전기장 E 를 알아야지만 면적분값을 구할 수 있습니다.

    "따라서, 식 (25)가 저항 계산에 매우 유용한 공식이다."
    <= 옳지 않습니다. 식(25)에서 dl역시 면적소 da 가 위치한 점에 따라 달라지므로 각 면적소의 위치에서 dl 값을 다 구야 합니다. 그 값은 dl=dV/E 으로 구할 수 있습니다.식(26)에서 E 를 100군데 위치에서 구했다면 식(25)에도 dl의 값을 100군데 같은 위치에서 구해야만 면적분값을 계산할 수 있고 두 면적분은 같은 값이 됩니다.
    (25)식에 dl=dV/E 를 대입하면 다시 (26)식으로 돌아 갑니다. 그러므로, 식(25)와 식(26)은 수식만 변형시켰을 뿐, 같은 식이며 (25)가 (26)보다 조금도 계산량을 줄여주지 않습니다. 오히려, 전위 V 가 주어 졌을 때 역으로 dl= dV/E 식으로 구해야 하므로 (26)식이 (25)식 보다 더 간편합니다. 같은 이유로 Capacitor도 전기장이 들어 있는 정의식이 더 간편합니다.

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    1. Eugene님, 여러 의견 감사합니다.

      다시 봤는데요, 오류는 없습니다. 직교 좌표계와 척도 인자를 가정했기 때문에, $u_1, u_2, u_3$는 서로 독립입니다. 상호 연관되는 성분은 척도 인자에 반영됩니다. 그래서, 본문처럼 적분하더라도 오류는 없습니다.

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  24. 답변 고맙습니다.
    제 생각은 다음과 같습니다.

    “직교 좌표계와 척도 인자를 가정했기 때문에, u1,u2,u3는 서로 독립입니다. “
    <= 옳지 않습니다. dV를 상수로 정하지 않았을 때는 u1,u2,u3는 서로 독립입니다.
    그러나,
    “여기서 전압 미분소 dV는 적분을 빠져 나올 수 있도록 표면적 s에 대해 상수로 정했다.”
    이 조건 때문에 u1,u2,u3는 서로 독립이 아닙니다.

    “상호 연관되는 성분은 척도 인자에 반영됩니다. “
    <= 옳지 않습니다. scale factor 는 원통좌표계와 구좌표계에서 각을 길이로 바꾸어 주는 역할 밖에 하지 않습니다. dV를 상수로 고정시키는 새로운 조건은 scale factor h1, h2,h3에 반영되지 않습니다.
    예를 들어, 거리가 D 만큼 떨어져 있으며 반지름이 R 인 두개의 평행한 원통 도체사이의 전계를 구해보면 알수 있습니다. 원통좌표계를 사용하면 h1=r, u1= phi, h2=1, u2= z, h3=1, u3= r 이 됩니다.
    원통도체 표면은 등전위면이 되며, 원통도체 표면으로부터 dV를 상수로 만들기 위한 특수한 거리 dl=dr=du3 는 도체표면에서 또 다른 등전위면까지의 거리가 되어야 합니다.
    두개의 원통도체의 전위분포를 그려보면, 원통도체의 표면에서 등전위면까지의 거리는 각 원통도체표면의 위치에 따라 다릅니다. 그래서, dV를 상수로 만드는 du3(=dr)은 u1(=phi)에 따라 달라지므로 du3와 du1는 서로 독립이 아닙니다.
    도체표면의 전기장 E를 고려해도 같은 결과가 나옵니다. dl=dr=du3=dV/E(r * phi)=dV/E(h1u1) 식에서 전기장 E는 h1(=r)뿐만 아니라 u1(=phi)에 따라 변합니다.
    따라서 (32)식에서 du3(=dr)는 du1du2 (=dphi dz)적분 밖으로 나올 수 없습니다.

    위 설명에 오류가 있다면 구체적으로 알려 주시겠어요? 전자기학을 더 잘 이해하는데 많은 도움이 될 것입니다.
    고맙습니다.

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    1. Eugene님, 아래 직교 좌표계 부분을 한 번 보시기 바랍니다.
      직교 좌표계에서는 기저 벡터가 서로 직교하기 때문에 $u_1, u_2, u_3$는 서로 독립입니다. 다만 길이, 면적 등으로 계량화할 때는 값이 달라질 수 있기 때문에, 척도 인자를 도입한 것입니다. (정확히는 계량 텐서와 관계되어 있습니다.)

      https://ghebook.blogspot.kr/2011/07/tensor-calculus-for-orthogonal.html

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    2. Scale factor 의 정의는 잘알고 있습니다. 제 질문은 "dV 가 상수라는 가정하에서도 u1, u2, u3가 독립인가?" 라는 것입니다. 즉, 식(25)는 옳지만 식 (32)의 마지막 식은 오류라는 것입니다. 아래 반례를 들어 이 주장이 사실이 아님을 증명하였습니다. 다른 사이트의 링크보다는 아래의 증명단계에서 잘못된 부분을 찾아주시면 검증이 명확하고 빠르게 끝날 수 있을 것입니다.

      (증명1)
      1. 그림(4)의 예에서 전기장 E가 균일하지 않다고 가정합니다. Conductivity sigma는 상수라고 가정합니다.
      2. 식 (26)과 (32) 는 모든 좌표계에서 성립합니다.
      3. 그러므로 식 (26)과 (32)는 데카르트 좌표계( Cartesian Rectangular Coordinate System)에도 성립해야 합니다.
      4. 데카르트 좌표계에 h1=h2=h3=1 이며 u1= x, u2= y, u3= z 입니다.
      5. 식(26)에서 저항 R=integral E dz / integral (sigma E) dxdy 입니다
      6. 식(32)의 마지막식은 (27) 식과 동일한 R=integral dz / integral sigma dxdy = l/(sigma A)이며 E가 없습니다.
      7. (26)식과 (32) 마지막 식의 결과가 다르므로 두 식중 하나는 옳지 않습니다.
      8. 식(26)은 저항의 정의이니 틀릴수가 없으므로 식(32)의 마지막 식이 옳지 않습니다.
      (증명1 끝)


      (증명2)
      1. 거리가 D 만큼 떨어져 있으며 반지름이 R 인 두개의 평행한 무한원통 도체 A, B가 진공중에 놓여 있으며, 원통도체 A의 중심이 원점에 있다고 가정합니다. 원통좌표계를 사용하면 h1=r, u1= phi, h2=1, u2= z, h3=1, u3= r 이 됩니다.
      2. 원통도체 표면은 등전위면이 되며, 원통도체 표면으로부터 dV를 상수로 만들기 위한 특수한 거리 dl=dr=du3 는 도체표면에서 또 다른 등전위면까지의 거리가 되어야 합니다.
      3. 두개의 원통도체의 전위분포를 그려보면, 원통도체의 표면에서 등전위면까지의 거리는 각 원통도체표면의 위치에 따라 다릅니다.
      4. 그래서, dV를 상수로 만드는 du3(=dr)은 u1(=phi)에 따라 달라지므로 du3와 du1는 서로 독립이 아닙니다.
      5. 따라서 (32)식에서 du3(=dr)는 du1du2 (=dphi dz)적분 밖으로 나올 수 없습니다.
      (증명2 끝)

      (증명3)
      증명2의 같은 예를 사용
      1. 원통도체 A 표면에서 dl=dr=du3=dV/E(r * phi)=dV/E(h1u1) 식에서 전기장 E는 h1(=r)뿐만 아니라 u1(=phi)에 따라 변합니다.
      2. 따라서 (32)식에서 du3(=dr)는 du1du2 (=dphi dz)적분 밖으로 나올 수 없습니다.
      (증명3 끝)

      고맙습니다

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    3. (증명4)
      1. 식(32)의 dl 은 da 에 따라 달라지기 때문에 면적분 da 밖으로 나올 수 없음을 알고 있습니다.
      2. 식 (32) 는 모든 좌표계에서 성립합니다.
      3. 그러므로 식 (32)는 데카르트 좌표계( Cartesian Rectangular Coordinate System)에서도 성립해야 합니다
      4. 데카르트 좌표계에 h1=h2=h3=1 이며 u1= x, u2= y, u3= z 입니다.
      5. l=z 라고 가정하면 dl=du3 입니다.
      6. dl 이 면적분 da 밖으로 나올 수 없으므로 du3역시 면적분 da 밖으로 나올 수 없습니다.
      (증명4끝)


      직교 좌표계에서는 기저 벡터가 서로 직교하기 때문에 u1,u2,u3는 서로 독립입니다.
      <= u1, u2, u3는 벡터가 아니고 매개 변수들이기 때문에 선형독립의 대상이 아닙니다. 정확히 표현하자면, u1,u2,u3의 방향 벡터들이 수직이므로 이 세 개의 방향벡터가 선형독립입니다. 그러나 방향벡터들이 선형독립이라 하더라도 매개변수 u1, u2, u3 가 서로 함수관계가 없는 독립된 변수들임을 보장하지 않습니다. 예를 들어, 두개의 벡터가 서로 수직이라 하더라도 두 벡터의 크기는 얼마든지 같이 증가하거나 감소하는 함수관계를 만들어 줄 수 있습니다. dV가 상수라는 조건하에서는 u3=u3(u1,u2)와 같이 u1,u2의 함수가 될 수 있음을 위 증명(2)와 (3)에서 보였습니다.

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    4. Eugene님, 같은 얘기가 계속 반복되고 있네요. 나머지 부분은 잘 고민해보시기 바랍니다.
      [위 답변에서 독립이라 한 이유는, $u_1,u_2,u_3$가 개별적으로 변할 때 직교 좌표계라서 서로 영향을 받지 않기(or 독립적으로 변할 수 있기) 때문입니다. 그러면 적분 관점에서는 상수로 취급할 수 있고요.]

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    5. 같은 이야기 계속했는데 답변을 안하시네요.
      마지막으로 한번만 더 할께요.

      [위 답변에서 독립이라 한 이유는, u1,u2,u3가 개별적으로 변할 때 직교 좌표계라서 서로 영향을 받지 않기(or 독립적으로 변할 수 있기) 때문입니다. 그러면 적분 관점에서는 상수로 취급할 수 있고요.]
      <= dV 가 상수라는 조건에서도 u1, u2, u3 가 서로 독립인 변수임을 수식으로 증명해 주시기 바랍니다.

      저는 이미 위에서 서로 독립변수가 아님을 증명했기 때문에 더이상 고민할것이 없습니다.
      수식 증명만 부탁합니다.

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  25. 식 17 에 대해 자세히 설명해 주실수 있나요?

    확률을 도입한다는 것과 운동량이 줄어들 확률을 표현한 방법을 잘 모르겠어요.

    그리고 식 13에서 전기장 까지 더한 힘이 0 이 되야 하는 것은 전자들을 유체로 해석하기 때문인가요?

    0으로 둬야하는 물리적 이유가 뭘까요?

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    1. 1. 운동체가 충돌하면 분명 운동량이 줄어들 것입니다. 그걸 표현한 것이 식 (17)입니다. 충돌 관련 운동량을 표현하는 함수 형태를 얻기 위해 식 (9)를 사용했고요.

      2. 다수 운동체의 충돌 특성을 정확히 풀 수 있다면 확률을 도입할 필요가 없어요. 못하기 때문에 대안으로 확률을 사용하는 것입니다.

      3. 식 (13) 아래에 관련 설명을 추가했습니다.

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  26. 식 6에 대해 왜 시간에 대해 편미분 식으로 표현 하는지 알려주실 수 있으세요?

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    1. 발산 연산자에 이미 공간 편미분이 포함되어 시간도 편미분으로 표시해야 합니다.

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  27. 질문 하나만 드리고 싶습니다. 계속 헷갈려서요.
    도선이 x축 방향으로 놓여있고 전류가 +x 방향으로 흐르고 있는 상황에서, 도선 자체를 +z 방향으로 u라는 속력으로 계속 움직이게 해준다면

    전하가 +x방향으로는 drift velocity 만큼 움직이고 +z방향으로는 u로 움직이니까 최종전류는 (drift velocity)+u 방향이 되는 것인가요?

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    1. 전류 밀도는 벡터량이기 때문에 벡터적으로 생각해야 합니다. 즉 전류 방향은 $x, z$ 성분의 벡터 합 형태로 정해야 합니다.

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