2011년 9월 8일 목요일

뉴턴의 운동 법칙(Newton's laws of motion)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "뉴턴의 운동 법칙"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분법의 의미


물리학을 만든 사람들이라면 탈레스(Thales of Miletus), 아리스토텔레스(Aristotle), 코페르니쿠스(Nicolaus Copernicus), 티코 브라헤(Tycho Brahe), 갈릴레이(Galileo Galilei), 케플러(Johannes Kepler) 등을 생각할 수 있지만 진정한 물리학을 시작한 사람은 뉴턴(Isaac Newton)이다[1]. 1642년 크리스마스에 태어난 뉴턴이 세상을 바꾼 것이다.

[MIT 강의: 뉴턴의 운동 법칙]

[뉴턴의 운동 법칙]

뉴턴 이전 과학자들은 세상을 설명하기 위해 신화, 종교, 자신의 직관 등을 이용했지만 뉴턴은 수학을 이용하였다. 정성적으로만 이해되던 세상이 정량적으로 설명되기 시작한 것이다. 이 부분은 매우 중요하다. 분명 정성적으로만 이해하는 것은 한계가 있다. 정량화라는 측면은 아마추어와 프로를 구별하는 가장 중요한 특징이다.


[그림 1] 두 물체의 충돌(출처: wikipedia.org)

예를 들어, 뉴턴이 관심을 기울인 [그림 1]의 운동을 보자. A라는 물체가 움직이다가 정지한 B라는 물체와 충돌하면 어떻게 될 것인가? 서로 뭉쳐질 수도 있고, B는 계속 멈춰 있고 A가 튕겨나올 수도, A는 멈추고 B가 새롭게 움직일 수도 있다. 이런게 정성적인 설명이다. 정량적인 설명은 A와 B의 입력 속성(질량, 속도, 힘, 운동량, 에너지 등)을 넣고 속성들의 관계를 유도해서 출력속성을 다시 만들어내는 것이다. 이렇게 하면 최종결과는 여러 가지가 일어날 수 있는 것이 아니라 단일결과만 존재한다.
뉴턴도 이점을 고려해서 고민에 고민을 한 결과 세가지 운동 법칙을 만들어냈다.
  • 제1법칙(관성 법칙): 힘이 없으면 멈춘 것은 계속 멈추어 있고 움직이는 것은 계속 움직인다.
  • 제2법칙(힘과 운동량): 운동량(momentum)의 시간적 변화가 힘(force)이다.
  • 제3법칙(작용-반작용 법칙): 작용(action)하는 힘이 있으면 반드시 반작용(reaction: 작용과 크기는 같고 반대 방향)하는 힘도 있다. 
뉴턴의 운동 법칙은 물리학자들이 세상을 보는 눈이다. 그만큼 근본이 되는 법칙이다. 근본법칙인데 세가지나 있다는 것은 좀 이상하다. 사실 뉴턴의 운동 법칙중 핵심은 제2법칙이다. 제2법칙으로 다른 법칙이 설명가능하다.

[거리(distance)와 변위(displacement)의 차이점]

먼저 제2법칙부터 수학적으로 표현해보자. 뉴턴의 운동 법칙 중에서 가장 중요하며 핵심적인 것이 제2법칙이다. (∵ 제2법칙을 이용해 제1법칙의 유도와 제3법칙의 유추가 가능하다.) 제2법칙은 수학을 이용했기 때문에 정량화가 가능하다.

                       (1)

뉴턴은 식 (1)을 이용해 운동량(momentum) $\bar p$, 질량(mass) $m$, 속도(velocity) $\bar v$, 시간 변화(differentiation for time) $d/dt$, 힘(force) $\bar F$이라는 개념을 정의했다. 질량은 무거운 정도, 속도는 위치(or 변위: displacement)의 시간 변화, 시간 변화는 식 (2)에 있는 미분법(differentiation)이다. 질량의 단위는 [kg], 위치는 [m], 시간은 [sec], 힘은 [N: 뉴턴]이다.

   ,                     (2)

질량과 위치가 정해지면 수학적 과정인 시간 변화에 의해 운동량과 힘이 자동으로 정의된다. 식 (1)은 우리가 알고 있는 식 (3)의 $\bar F = m \bar a$와는 다른 모습이다. 식 (3)의 운동 법칙 $\bar F = m \bar a$는 식 (1)에서 질량의 시간 변화($dm/dt$)가 없는 특별한 경우에만 맞다. 꼼꼼한 뉴턴은 허술하게 $\bar F = m \bar a$라고 표현하지 않고 일반식인 식 (1)을 제시했던 것이다.

                       (3)

여기서 $\bar x$는 물체의 위치, $\bar a$는 속도의 시간 변화인 가속도(acceleration)이다.
식 (1)을 이용해 제1법칙인 관성의 법칙(law of inertia)을 설명해보자.

                       (4)

힘이 없으면($\bar F = 0$) 운동량은 상수가 되어야 한다. (∵ 미분해서 0이 되는 것은 상수이다.) 질량은 보통 변화하지 않으므로 속도가 고정되어야 한다. 이것을 우리는 관성(慣性, inertia)이라 부른다.

[그림 2] 작용-반작용 법칙이 적용되는 장난감(출처: wikipedia.org)

[그림 2]와 같은 현상을 설명할 때 이용하는 제3법칙은 참 이해가 어려운 법칙이다. 우리 직관과는 잘 일치하지 않기 때문이다. 뉴턴이 제3법칙을 어떻게 알았는가는 전해지지 않지만 이렇게 생각할 수는 있다.
"운동을 완벽하게 이해하고 싶었던 뉴턴은 드디어 제2법칙을 발견해낸다. 곧 바로 갈릴레이가 말한 제1법칙도 증명할 수 있었다. 또 다른 운동의 속성이 있다고 어렴풋하게 느꼈지만, 도무지 생각이 떠오르지 않았다. 아무 생각이 없고 앞으로 한 발짝도 나갈 수 없었다. 자신이 한심해보여 책상을 내려치는 순간 작용-반작용의 법칙이 머리 속에 떠오르게 된다. '아, 너무 세게 쳤다. 내 손이 아프다. 누가 나를 친 거지? 바로 책상이다! 내 손의 운동에 반해서 책상이 반작용을 한 것이다. 이 힘을 더 하면 0이 되므로, 책상 치기 전의 상태에서 변한 것은 없다.' 이때가 뉴턴의 운동 법칙이 완성되는 순간이다."

[그림 3] 뉴턴이 살던 시대의 책상(출처: wikipedia.org)

책상을 내려지면 어떤 일이 생기나? 내가 책상에 힘을 가했지만 책상은 움직이지 않았다. 그러면 이 힘은 어디로 갔는가? 바로 내가 느끼는 충격력으로 되돌아 온 것이다. 충격력은 내가 가해준 힘과는 반대 방향으로 느껴진다. 이 두 힘을 더하면 0이 되어서, 원래 정지해 있던 경우와 정량적으로는 변한 것이 없다. (물론 나는 아픔을 느끼지만.)
혹은 [그림 2]와 같은 운동체를 생각해보자. 힘을 가해준 물체는 멈추고(or 감속하고) 새로운 물체가 같은 방향으로 움직인다(or 가속된다).

[그림 4] 당구에 나타난 힘 전달(출처: wikipedia.org)

이상을 고민을 바탕으로 식 (1)을 다시 보자. 식 (1)의 우변은 힘을 가해준 결과(or 출력)이다. 그렇다면 힘을 가해주는 원인(or 입력)을 나타내는 식 (1)의 좌변은 운동량 관점에서 어떻게 되는가? 좀 쉽게 생각하려면 원인과 결과(or 입력과 출력)라는 개념을 힘 전달(transfer of force)로 상상해보자. 힘을 전달하려면 내가 준 입력 운동량이 출력 운동량으로 전달되어야 한다. 따라서 식 (5)처럼 운동량 감소로 표현해야 한다.

                       (5)

식 (5)는 직관적이지는 않지만 곰곰이 생각해보면 정확하다는 것을 알 수 있다. 주변을 관찰해 보면 힘을 준 쪽은 속도가 떨어지고(or 운동량이 줄어들고) 힘을 받은 쪽은 속도가 늘어난다(or 운동량이 늘어난다). 뉴턴의 운동 법칙의 위대한 점은 이 현상을 정량적으로 설명할 수 있는 것이다.
예를 들어, 움직이는 물체 A와 정지한 물체 B가 있을 때 충돌 후의 운동은 아래로 설명된다.

                       (6)

여기서 $u_A$는 물체 A의 초기 속도(initial velocity), $v_A, v_B$는 최종 속도(final velocity)이다. 충돌 후의 물체 A, B 속도를 계산하려면 식 (6)으로는 부족하다. 미지수가 두 개($v_A, v_B$)이기 때문이다. 그래서, 도입하는 것이 식 (7)의 에너지 보존 법칙(conservation of energy)이다.

                      (7)

식 (6)과 (7)을 연립해서 초기 속도와 최종 속도의 관계를 구해보자.

                       (8)

식 (8)을 식 (6)에 대입하면 최종 속도 $v_A, v_B$를 초기 속도 $u_A$ 관점에서 쓸 수 있다.

                        (9)

식 (9)는 [그림 1]과 [그림 2]에 있는 충돌 현상을 완벽히 설명한다. 식 (9)에서 $m_A = m_B$이면 $v_A = 0, v_B = u_A$가 된다. [그림 2]와 같은 현상이 나타나는 것이다.
손으로 책상을 친다든지 벽에 공을 던질 때처럼 물체 B의 질량 $m_B$가 매우 크면 신기하게도 $v_A = -u_A, v_B = 0$이 된다. 이것은 운동량 보존 법칙을 위배하는 것처럼 보인다. 물체 A의 충돌 전후 속도가 크기는 같고 방향은 다르기 때문이다. 여기서 한가지 고려하지 않은 것은 충돌후 물체 B가 가진 운동량이다. 식 (1)의 운동량은 속도 뿐만 아니라 질량까지도 고려해야 하기 때문이다. $u_B = 0$이더라도 $p_B = m_B \times u_B \ne 0$일 수 있다. 왜냐하면 질량 $m_B$가 무한대로 가기 때문이다.
식 (9)를 이용하면 물체 A, B가 동시에 움직이는 경우도 쉽게 구할 수 있다. 먼저 물체 A가 정지하고 물체 B가 움직이면 식 (9)에서 A와 B를 서로 바꾸면 된다. 이 결과와 식 (9)를 합하면 물체 A, B의 초기 속도가 있는 충돌 후의 최종 속도를 아래처럼 구할 수 있다.

                       (10)

식 (3)은 물체의 질량 변화가 0($dm/dt = 0$)인 경우를 가정하고 있다. 시간에 따라 물체의 질량이 변하면 어떻게 될 것인가? 쉽게 생각하려면 곱셈의 미분 규칙을 운동량에 적용하면 된다.

                       (11)

식 (11)이 완전히 틀렸다고 말하기는 애매하지만 문제가 하나 있다. 즉, 질량 증가분($dm$)이 움직이지 않고 정지해 있다면 식 (11)이 맞지만 이는 일반적인 상황이 아니다. (∵ $dm$이 움직일 수도 있다.) 그래서 다음 [그림 5]를 고려하자.
[그림 5] 질량 증가의 일반적 모형화(출처: wikipedia.org) 

그러면 운동량 변화($d \bar p$)는 다음식으로 주어진다.

                       (12)

여기서 $\bar u$는 $dm$의 속도이며, $dm \cdot d \bar v$는 극한(limit) 개념에 의해 0으로 처리한다. 식 (12)를 힘 정의식인 식 (1)에 대입하면 일반식 (13)을 얻을 수 있다.

                       (13)

식 (13)에서 $\bar u = 0$이면 식 (13)은 식 (11)이 된다.

식 (5)의 의미를 다시 생각해보자. 식 (5)는 운동량 보존 법칙(conservation of momentum)을 의미하는 매우 중요한 관계식이다. 뉴턴 법칙에 의하면 태초에 생긴 운동량은 137억년이 지난 현재까지도 보존되고 있는 것이다. 아직까지 반례는 발견되지 않았다.
이런 역사가 깊은 운동량 보존 법칙은 증명되지 않았지만 반례가 없고 위대한 뉴턴이 제안한 개념이라 난공불락의 요새가 되었다. 운동량 보존 법칙에 의문을 품지 않았다는 얘기다. 하지만, 수학자 뇌터(Amalie Emmy Noether)는 달랐다. 운동량 보존 법칙의 진정한 의미를 찾기 위한 거대한 작업을 하였고 결국 1915년에 뇌터의 정리(Noether's theorem)를 발견하게 된다. 뇌터의 정리에 의하면 운동량 보존 법칙은 공간의 대칭성(symmetry)과 등가이다. $x$축의 앞($+x$)으로 갈 때와 뒤($-x$)로 갈 때 물리법칙이 동일하다면 반드시 $x$축 방향으로 운동량 보존 법칙이 성립해야 한다는 것이다. $y, z$축도 동일한 방법으로 운동량 보존 법칙과 대칭성의 관계를 유도할 수 있다.

[참고문헌]

댓글 25개 :

  1. 잘 읽었습니다.
    정말 감사드립니다.

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    1. 방문 정말 감사드립니다, YunhoAn님. ^^

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  2. 정말 장 읽었습니다. 그런데 운동량보존법칙 실험에서
    질량이 크면 오차가 준다는데 사실인지... 사실이면 왜그런지 정말 죄송한데 알려주시면 안될까요? ㅠㅠ 너무 궁금해서

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    1. 질문의 의도가 무엇인지 좀 더 구체적으로 설명해주시겠어요, dap John님?

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  3. 물리공부하는 고1인데, 뉴턴 제3법칙은 수학적 증명이 불가능하나요? 찾아보니 사람들이다 운동량을 이유없이 0으로 두고 풀더라고요...

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    1. 방문 감사합니다, 강서고물리충님. 강서고물리충님 같이 고민하는 학생이 세상을 바꿉니다. ^^

      왜 에너지와 운동량 등이 보존되는지 증명할 수는 없습니다. 하지만, 이 법칙을 다른 방식으로 본 것이 뇌터의 업적입니다. 예를 들어 운동량 보존과 등가인 것이 공간의 대칭성입니다. 현실 세계에서 공간이 대칭적이라면 반드시 운동량 보존 법칙이 성립해야 합니다.
      한 걸음 더 나가서 뇌터의 정리에 의해 물리계에 대칭성이 존재하면 이에 상응하는 보존 법칙이 반드시 존재해야 합니다.

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    2. 대답해주셔서 감사합니다! 뇌터의 정리를 한번 공부해봐야되겠네요.

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    3. 제대로 공부하려면 기초를 닦아야할게 많습니다. 미분 방정식, 변분법(calculus of variations), 라그랑쥐안(Lagrangian)을 공부한 후에 뇌터 정리를 보세요.

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  4. 전파거북이님 라그랑지안에 대해 질문이 있어요.
    http://blog.naver.com/at3650/220634149831

    식 (2)를 보면, q dot에 대한 L의 미분이 0이라고 하는데, 그 이유가 q∝V기 때문이라고 하네요. 다르게 말하면 q랑 q dot은 직교해야 한다는 이야긴데, q dot은 탄젠트, 즉 어떤 곡선의 진행방향과 같은 dimension에 있으므로 직교하진 않지 않나요? 어떻게 해석해야 할까요?

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    1. 변분법(variation of parameters)이라서 변위와 속도를 인위적으로 서로 다른 변수라 취급하기 때문에 편미분을 0이라 둔 것입니다. 변위와 속도가 직교한다는 뜻이 아닙니다.

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    2. 음.. 그렇다면 두 변수가 서로 독립적이라는 가정이 엄밀성에 큰 영향을 주지 않나요? 둘 다 t에 대한 변수기 때문에 dq(t)/dq_dot(t) 만약 찾기 어렵지만 q(t)의 inversion인 t(q)가 잘 정의 된다면, q(t(q))=q(q)이고
      q'(t(q))=q'(q)이므로 dq'(q)/dq를 구할 수 있고, 1/(dq'(q)/dq)도 정의되지 않나요? ->(여긴 확실하진 않아요ㅠ)

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    3. 익명님, 변분법 자체가 연관된 변수를 독립으로 가정해 풀면서 나중에 연결시킵니다. 변분법 관련 내용을 한 번 꼼꼼히 보시길... ^^

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  5. 감사합니다 ㅎㅎ 뭔가 굉장히 간단한 문제인줄 알았는데.. 찾아보니까 differential geometry 텍스트북 preface에 이렇게 적혀 있네요.

    "어떤 XX먹을 방법으로 q_dot 변화율이 q랑 독립인지 궁금해 했던 모든 물리학도를 위하여"
    ㅋㅋ 일단 넘어가고 좀 많이 공부한뒤 다시 돌아와야겠네요.

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  6. 식(4) 바로 밑에 줄에서 '∵ 미분해서 상수가 되는 것은 상수이다.'라고 되어있는데, 미분해서 0이 되는 것이 상수 아닌가요?

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    1. 에고, 오타났네요. 지적 정말 감사합니다, 익명님. ^^

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  7. 질문 하나만 드려도 될까요? 공간에 대한 대칭에서 운동량 보존법칙이 나온다고 하셨는데, 거기서 symmetry의 의미가 translation 에 대한 symmetry가 아닌가요? symmetry의 의미가 +x 방향으로 갈때와 -x 방향으로 갈때의 물리법칙이 같다는 의미라고 하셨는데 그건 parity에 대한 대칭성 아닌가요? 뇌터 정리에 의하면 translation operator가 invariant하면 그의 generator인 모멘텀이 보존되는거라고 알고있었어요. 그래서 저는 위치를 x방향으로 얼마를 가서 관측하든 운동량이 같다는 것을 공간에 대한 symmetry로 이해했는데 이것과 같은 의미인가요?

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    1. 말씀하신 부분이 맞습니다.
      저는 이렇게 생각했습니다. "특정 위치를 원점으로 잡고 앞으로 가면 +x, 뒤로 가면 -x로 정의한다. 운동량 보존에 대한 뇌터 정리 연산에서도 위치 벡터는 임의로 잡을 수 있기 때문에 +x, -x로 표현하더라도 문제 없다."

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  8. 안녕하세요. 전파거북이님. 블로그 잘 읽고 있습니다.
    정말 도움이 되는 내용이 많은 것 같습니다. 공부가 부족해서 아직 모르는 것이 많지만 가끔식 들어와 많이 참고하고 있습니다. 읽다가 궁금한 부분이 생겨서 질문드립니다.
    마지막에 식(12)에서 식 (13)으로 넘어가는 부분이 잘 이해가 되지 않는 부분이 있습니다. 식 (12)를 곱하면 mdv+dmdv+vdm-udm로 되고 식(1)에 대입해서 정리하면 (m+dm)a+(v-u)dm/dt가 되는 것이 아닌가 의문이 듭니다. 혹 질량증가분(또는 dmdv항)이 미치는 영향이 미미해서 거의 없는 것으로 처리되는 것인지요? 뭔가 잘못생각하고 있는 부분이 있는지 모르겠지만 질분드려봅니다.

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    1. 미분을 하고 있기 때문에, 미분끼리의 곱은 0으로 처리합니다. 미분과 극한의 정의를 한 번 더 보세요. ^^

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    2. 아..그렇군요..감사합니다^^
      아 그런데 덧글 작성햇다가 삭제하면 흔적이 남나요?;;;
      실수로 이름으로 작성햇는데...ㅠㅠ

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    3. 사실 대략적으로는 알 것 같은데 목에 가시걸린 것처럼 약간 의뭉스러운 부분이 있네요. ㅠㅠ 남는 부분을 툭 떼어내서 그냥 버린듯한 느낌이 든달까요. 어쩔수 없는 부분인가 싶기도 하고 공부가 부족해서 그런가 싶기도 하고...
      머리아프네요.ㅠㅠ

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    4. 극한에 관한 부분들 다시 찾아서 계속 읽어보겠습니다 ㅠㅠ

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    5. 해당 부분에 대해서 잘 설명되어 있는 블로그 글을 찾았습니다 ㅎ
      http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=leesu52&logNo=90172799625&redirect=Dlog&widgetTypeCall=true

      dmdv 자체가 0이 된다는 것이 이해가 잘 안되더라구요..^^;;
      dmdv항이 미분을 할때 사라지는 것으로 이해했습니다.

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  9. 아직 대칭성에 대해 잘 모르지만

    중력장이 작용하는 곳에서는 운동량 보존을 고려하지 않나요?

    중력을 어떻게 주고 받는지도 모르겠는데 큰 질량이 갖는 중력장에서 움직이는 물체에 대해 운동량 보존을 큰 물체와 함께 운동량 보존 을 설명 할 수는 없나요?

    원격력에 대해서는 대칭성이 다른 물리계로 보고 아얘 고려할 필요가 없는 것인지 궁금합니다.

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    1. 중력장에서도 당연히 운동량 보존 법칙을 고려합니다.

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