뉴턴의 운동 법칙(Newton's Laws of Motion)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "뉴턴의 운동 법칙"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 미분법의 의미

물리학을 만든 사람들이라면 탈레스Thales of Miletus(대략 기원전 624–548), 아리스토텔레스Aristotle(기원전 384–322), 코페르니쿠스Nicolaus Copernicus(1473–1543), 튀코 브라헤Tycho Brahe(1546–1601), 갈릴레이Galileo Galilei(1564–1642), 케플러Johannes Kepler(1571–1630) 등을 생각할 수 있지만, 진정한 물리학을 시작한 사람은 뉴턴Isaac Newton(1643–1727)이다[1]. 1642년조선 인조 시절 크리스마스[구식(Old Style) 달력 기준으로 1642년 12월 25일이 뉴턴의 생일이다.]에 태어난 뉴턴이 세상을 완전히 바꾸었다.[우연이겠지만, 이 해에 갈릴레이가 사망했다.] 과학 시대를 별 고민 없이 뉴턴 이전과 이후로 나누는 이유도 뉴턴의 위대성 때문이다. 뉴턴의 천재성을 극명하게 보여주는 결과물은 프린키피아(Principia)란 별칭으로 알려진 자연 철학의 수학적 원리[2]이다. 프린키피아는 뉴턴이 1687년뉴턴 44세, 조선 숙종 시절에 출판했다. 프린키피아로 인해 절망한 물리학자도 많았겠지만[우리도 참고문헌 [2]를 구경하면서 절망해보자!] 이 책은 뉴턴이 세상을 이해하는 비법을 자세하게 소개해서 뉴턴 이후 물리학을 뉴턴의 생각 중심으로 새롭게 바꾸었다.

[뉴턴의 운동 법칙]

뉴턴 이전 과학자들은 세상을 설명하기 위해 신화, 종교, 자신의 직관 등을 이용했지만 뉴턴은 수학을 이용하였다. 정성적으로만 이해되던 세상이 정량적으로 설명되기 시작했다. 이 부분은 매우 중요하다. 분명 정성적으로만 이해하기에는 한계가 있다. 정량화라는 측면은 아마추어와 프로를 구별하는 가장 중요한 특징이다.

[그림 1] 두 물체의 충돌(출처: wikipedia.org)

예를 들어, 뉴턴이 관심을 기울인 [그림 1]의 운동을 본다. A라는 물체가 움직이다가 정지한 B라는 물체와 충돌하면 어떻게 될까? 서로 뭉쳐질 수도 있고, B는 계속 멈춰 있고 A가 튕겨나올 수도, A는 멈추고 B가 새롭게 움직일 수도 있다. 이런 부분이 정성적인 설명이다. 정량적인 설명은 A와 B의 입력 속성[질량, 속도, 힘, 운동량, 에너지 등]을 넣고 속성의 관계를 유도해서 출력 속성을 다시 만들어낸다. 이렇게 하면 최종 결과는 여러 가지가 아니고 딱 하나만 일어날 수 있다. 뉴턴도 이점을 고려해서 여러 고민을 한 결과, 다음과 같은 세가지 운동 법칙을 만들어냈다.

• 제1 법칙(관성 법칙): 힘이 없으면 멈춘 물체는 계속 멈추어 있고, 움직이는 물체는 계속 움직인다.
• 제2 법칙(힘과 운동량): 운동량(momentum)의 시간적 변화가 힘(force)이다.
• 제3 법칙(작용–반작용 법칙): 작용(action)하는 힘이 있으면 반드시 반작용(reaction: 작용과 크기는 같고 반대 방향)하는 힘도 있다. 

뉴턴의 운동 법칙(Newton's laws of motion)은 물리학자들이 세상을 보는 눈이다. 그만큼 근본이 되는 법칙이다. 근본 법칙인데 종류가 세가지나 있음은 약간 이상하다. 사실 뉴턴의 운동 법칙중 핵심은 제2 법칙이다. 제2 법칙으로 다른 법칙이 설명가능하다.

[거리(distance)와 변위(displacement)의 차이점]

먼저 제2 법칙부터 수학적으로 표현한다. 뉴턴의 운동 법칙 중에서 가장 중요하며 핵심적인 요소는 제2 법칙이다.[∵ 제2 법칙을 이용해 제1 법칙의 유도와 제3 법칙의 유추가 가능하다.] 제2 법칙은 수학을 이용하기 때문에 정량화가 가능하다.

                       (1)

   ,                     (2)

뉴턴은 식 (1)을 이용해 운동량(momentum) $\bar p$, 질량(mass) $m$, 속도(velocity) $\bar v$, 시간 미분(differentiation for time) $d/dt$, 힘(force) $\bar F$이라는 개념을 정의했다. 질량은 무거운 정도, 속도는 위치[혹은 변위: displacement]의 시간 변화율, 시간 변화율은 식 (2)에 있는 미분법(differentiation)이다. 질량의 표준 단위는 kg, 위치는 m, 시간은 s(초, second), 힘은 N(뉴턴, newton)이다. 식 (1)은 운동을 표현하기 때문에 벡터(vector)로 표기했다. 하지만 뉴턴이 자신의 법칙을 만들던 때에는 벡터란 개념이 없었다. 뉴턴보다 한참 후배인 해밀턴William Rowan Hamilton(1805–1865)이 1843년해밀턴 38세, 조선 헌종 시절에 사원수(四元數, quaternion)를 이용해 운동을 표현하는 3차원 벡터를 제안했다.

[표 1] 물질별 밀도(출처: wikipedia.org)

물질 (Substance)	밀도 (kg/㎥) (Density)	기타 사항 (Other detail)
공기(air)	1.2	@ 해수면
폴리프로필렌(polypropylene, PP)	855	-
폴리스티렌(polystyrene, PS)	960–1,050	-
물(water)	1,000	@ 4℃
알루미늄(aluminum)	2,700	-
다이아몬드(diamond)	3,500	-
페라이트(ferrite)	5,000	-
구리(copper)	8,940	-
은(silver)	10,500	-
금(gold)	19,320	-

질량과 위치가 정해지면 수학적 과정인 시간 변화에 의해 운동량과 힘이 자동으로 정의된다. 식 (1)은 우리가 알고 있는 식 (3)의 $\bar F$ = $m \bar a$와는 다른 모습이다. 식 (3)의 운동 법칙 $\bar F$ = $m \bar a$는 식 (1)에서 질량의 시간 변화[$dm/dt$]가 없는 특별한 경우에만 맞다. 꼼꼼한 뉴턴은 허술하게 $\bar F$ = $m \bar a$라고 표현하지 않고 일반적인 식 (1)을 제시했다.

                       (3)

여기서 $\bar x$는 물체의 위치, $\bar a$는 속도의 시간 변화인 가속도(acceleration)이다. 위치의 고계 미분은 가속도에서 보통 끝이 나지만, 가속도의 변화율까지 생각하기도 한다. 이 경우 가속도의 미분은 저크 혹은 급동작(jerk)으로 이름 붙인다. 식 (1)을 이용해 제1 법칙인 관성의 법칙(law of inertia)도 설명한다.

                       (4)

힘이 없으면[$\bar F$ = $\bar 0$] 운동량은 상수가 되어야 한다.[∵ 미분해서 0이 되는 함수는 상수이다.] 질량은 보통 변화하지 않으므로 속도가 고정되어야 한다. 이 성질을 우리는 관성(慣性, inertia)이라 부른다.

[그림 2] 작용–반작용 법칙이 적용되는 장난감(출처: wikipedia.org)

[그림 2]와 같은 현상을 설명할 때 이용하는 제3 법칙은 참 이해가 어려운 법칙이다. 우리 직관과는 잘 일치하지 않기 때문이다. 뉴턴이 제3 법칙을 어떻게 알았는가는 전해지지 않지만 이렇게 생각할 수는 있다. 운동을 완벽하게 이해하고 싶었던 뉴턴은 드디어 제2 법칙을 발견해낸다. 곧 바로 갈릴레이가 말한 제1 법칙도 증명할 수 있었다. 또 다른 운동의 속성이 있다고 어렴풋하게 느꼈지만, 도무지 생각이 떠오르지 않았다. 아무 생각이 없고 앞으로 한 발짝도 나갈 수 없었다. 자신이 한심해보여 책상을 내려치는 순간 작용–반작용의 법칙이 머리 속에 떠오르게 된다.
'아, 너무 세게 쳤다. 내 손이 아프다. 누가 나를 친 거지? 내 손이 아픈 이유는 내 손이 움직이는 방향과 반대 방향으로 누군가 힘을 작용했기 때문이다. 그러면 범인은 바로 책상이다! 내 손의 운동에 반해서 책상이 반작용을 했다고 생각하면 모두 해결된다. 작용과 반작용 힘을 더하면 0이 되므로, 책상 치기 전의 상태에서 변한 특성은 없다.'
이때가 뉴턴의 운동 법칙이 완성되는 순간이다.

[그림 3] 뉴턴이 살던 시대의 책상(출처: wikipedia.org)

책상을 내려지면 어떤 일이 생기나? 내가 책상에 힘을 가했지만 책상은 움직이지 않았다. 그러면 이 힘은 어디로 갔는가? 바로 내가 느끼는 충격력으로 되돌아 온다. 충격력은 내가 가해준 힘과는 반대 방향으로 느껴진다. 이 두 힘을 더하면 0이 되어서, 원래 정지해 있던 경우와 정량적으로는 변한 부분은 없다.[물론 나는 아픔을 느끼지만.] 혹은 [그림 2]와 같은 운동체를 생각한다. 힘을 가해준 물체는 멈추고[혹은 감속하고] 정지해 있던 물체가 같은 방향으로 움직인다.[혹은 가속된다.]

[그림 4] 당구에 나타난 힘 전달(출처: wikipedia.org)

이상의 고민을 바탕으로 식 (1)을 다시 본다. 식 (1)의 우변은 힘을 가해준 결과[혹은 출력]이다. 그렇다면 힘을 가해주는 원인[혹은 입력]을 나타내는 식 (1)의 좌변은 운동량 관점에서 어떻게 되는가? 좀 쉽게 생각하려면 원인과 결과[혹은 입력과 출력]라는 개념을 힘 전달(transfer of force)로 상상한다. 힘을 전달하려면 우리가 준 입력 운동량이 출력 운동량으로 전달되어야 한다. 따라서 식 (5)처럼 운동량 감소로 표현해야 한다.

                       (5)

식 (5)는 직관적이지는 않지만 곰곰이 생각해보면 정확함을 알 수 있다. 주변을 관찰해 보면 힘을 준 쪽은 속도가 떨어지고[혹은 운동량이 줄어들고] 힘을 받은 쪽은 속도가 늘어난다.[혹은 운동량이 늘어난다.] 뉴턴의 운동 법칙은 이런 현상을 정량적으로 설명할 수 있기 때문에 위대하다. 따라서 제3 법칙인 작용-반작용의 법칙은 식 (5)처럼 바로 운동량 보존 법칙(conservation of momentum)으로 연결된다. 예를 들어, 움직이는 물체 A와 정지한 물체 B가 있을 때 충돌 후의 운동은 아래처럼 설명된다.

                       (6)

여기서 $u_A$는 물체 A의 초기 속도(initial velocity), $v_A, v_B$는 최종 속도(final velocity)이다. 충돌 후의 물체 A, B 속도를 계산하려면 식 (6)으로는 부족하다. 미지수가 두 개[$v_A, v_B$]이기 때문이다. 그래서 새로 도입하는 개념이 식 (7)에 공식화한 에너지 보존 법칙(conservation of energy)이다.

                      (7)

에너지 보존 법칙은 자연스럽게 제2 법칙으로 설명한다. 힘을 가하면 그 방향으로 운동량이 증가하고[운동체의 에너지 증가], 어떤 이유에서든 운동량이 감소하면[운동체의 에너지 감소] 운동 방향의 반대로 힘이 생기게 된다. 따라서 힘이 작용하는 방향으로 움직인 거리를 일(work), 일을 하려면 에너지가 필요하다고 생각해, 모든 경우에 대해 에너지는 서로 전달되어 총량이 보존된다는 법칙을 추론한다. 이런 이해를 바탕으로 식 (6)과 (7)을 연립해서 초기 속도와 최종 속도의 관계를 구한다.

                       (8)

여기서 $v_B \ne 0$. 식 (8)을 식 (6)에 대입하면 최종 속도 $v_A, v_B$를 초기 속도 $u_A$ 관점에서 쓸 수 있다.

                        (9)

식 (9)는 [그림 1, 2]에 있는 충돌 현상을 완벽히 설명한다. 식 (9)에서 $m_A$ = $m_B$이면 $v_A$ = $0$, $v_B$ = $u_A$가 된다. [그림 2]와 같은 현상이 나타난다. 손으로 책상을 친다든지 벽에 공을 던질 때처럼 물체 B의 질량 $m_B$가 매우 크면 신기하게도 $v_A$ = $-u_A$, $v_B$ = $0$이 된다. 이 결과는 운동량 보존 법칙을 위배하는 것처럼 보인다. 물체 A의 충돌 전후 속도가 크기는 같고 방향은 다르기 때문이다. 여기서 고려하지 않은 한 가지는 충돌 후 물체 B가 가진 운동량이다. 식 (1)에 있는 운동량은 속도 뿐만 아니라 질량까지도 고려해야 하기 때문이다. 만약 $u_B$ = $0$이더라도 $p_B$ = $m_B \times u_B \ne 0$일 수 있다. 왜냐하면 질량 $m_B$가 무한대로 갈 수도 있기 때문이다. 식 (9)를 이용하면 물체 A, B가 동시에 움직이는 경우도 쉽게 구할 수 있다. 먼저 물체 A가 정지하고 물체 B가 움직이면 식 (9)에서 A와 B를 서로 바꾸면 된다. 이 결과와 식 (9)를 합하면 물체 A, B의 초기 속도가 있는 충돌 후의 최종 속도를 아래처럼 구할 수 있다.

                       (10)

식 (3)은 물체의 질량 변화가 0[$dm/dt$ = $0$]인 경우를 가정하고 있다. 시간에 따라 물체의 질량이 변하면 어떻게 될까? 쉽게 생각하려면 곱셈의 미분 규칙을 운동량에 적용하면 된다.

                       (11)

식 (11)이 완전히 틀렸다고 말하기는 애매하지만 문제가 하나 있다. 즉, 질량 증가분[$dm$]이 변하지 않고 고정이라면, 식 (11)이 맞지만 이는 일반적인 상황이 아니다.[∵ $dm$이 변할 수 있다.] 그래서 다음 [그림 5]의 경우를 고려한다.

[그림 5] 질량 증가의 일반적 모형화(출처: wikipedia.org) 

그러면 운동량 변화[$d \bar p$]는 다음 식으로 주어진다.

                       (12)

여기서 $\bar u$는 $dm$의 속도이며, $dm \cdot d \bar v$는 극한(limit) 개념에 의해 0으로 처리한다. 식 (12)를 힘 정의인 식 (1)에 대입하면 일반식 (13)을 얻을 수 있다.

                       (13)

식 (13)에서 $\bar u$ = $\bar 0$이면 식 (13)은 식 (11)이 된다. 충돌 후 위치 에너지(potential energy)가 변화된다면, 운동과 위치 에너지를 함께 고려하여 식 (9)에 있는 최종 속도 관계식을 수정해야 한다. 충돌 후 생성된 위치 에너지를 $U$라 두고 식 (7)의 에너지 보존 법칙을 다시 쓴다.

                       (14)

식 (14)에 식 (6)을 대입해 최종 속도 $v_A$에 대한 2차 방정식을 만든다.

           (15)

식 (15)를 풀면 위치 에너지가 포함된 최종 속도 관계식을 다음처럼 얻을 수 있다.

      (16)

이 시점에서 식 (5)의 의미를 다시 생각한다. 식 (5)는 운동량 보존 법칙을 의미하는 매우 중요한 관계식이다. 뉴턴 법칙에 의하면 태초에 생긴 운동량은 137억년이 지난 현재까지도 보존되고 있다. 아직까지 반례는 발견되지 않았다. 이런 역사가 깊은 운동량 보존 법칙은 증명되지 않았지만, 반례가 없고 위대한 뉴턴이 제안한 개념이라 난공불락의 요새가 되었다. 운동량 보존 법칙에 의문을 품지 않았다는 얘기이다. 하지만 수학자 뇌터Amalie Emmy Noether(1882–1935)는 달랐다. 그녀는 운동량 보존 법칙의 진정한 의미를 찾기 위한 거대한 작업을 하였고, 결국 1915년뇌터 33세, 일제 식민지 시절에 뇌터의 정리(Noether's theorem)를 발견하게 된다. 뇌터의 정리에 의하면 운동량 보존 법칙은 공간의 대칭성(symmetry)과 등가이다. 즉 $x$축의 앞[$+x$]으로 갈 때와 뒤[$-x$]로 갈 때 물리 법칙이 동일하다면, 반드시 $x$축 방향으로 운동량 보존 법칙이 성립해야 한다. $y, z$축도 동일한 방법으로 운동량 보존 법칙과 대칭성의 관계를 유도할 수 있다.

[참고문헌]

[1] 차동우, "제1장 물리학이란?", 차교수와 물리산책. (방문일 2011-09-23)

[2] I. Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (The Mathematical Principles of Natural Philosophy), 1687.

[다음 읽을거리]

1. 에너지의 개념

2. 구심력과 원심력

3. 탄성에 대한 훅의 법칙

4. 줄에 대한 파동 방정식

5. 전자파의 운동량