2010년 8월 9일 월요일

헬름홀츠 정리(Helmholtz' theorem)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "헬름홀츠 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 좌표계 기반 벡터
2. 구배의 의미
3. 발산의 의미
4. 회전의 의미
5. 벡터 항등식
6. 그린 항등식


벡터 미적분학(vector calculus)을 소개하면서 새로운 벡터 연산자인 구배(勾配, gradient), 발산(發散, divergence), 회전(回轉, curl)을 도입했다.
구배, 발산, 회전 외에 또다른 벡터 연산자가 필요한가?
이 의문에 대해 명쾌한 답을 제시한 것이 헬름홀츠 정리이다. 헬름홀츠 정리는 벡터 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of vector calculus)라고도 한다.
이 정리가 표현하는 핵심은 발산과 회전이 정의되고 경계 조건이 정해지면 그 벡터 함수는 유일하게 정의된다는 것이다.
즉, 벡터 함수를 유일하게 정의하기 위해서는 발산과 회전만 있으면 충분하다는 것을 헬름홀츠 정리가 증명한다.

[그림 1] 닫힌 표면적(왼쪽)과 열린 표면적(오른쪽)(출처: wikipedia.org)

[헬름홀츠 정리]
벡터의 발산과 회전이 하나로 정의되고 닫힌 표면적에서의 경계 조건이 정해지면 그 벡터  함수는 유일하게 정의된다.

[증명]
아래 식 (1)을 보자.

                              (1)

어떤 체적을 둘러싸는 [그림 1] 왼쪽의 닫힌 표면적(s)에서의 경계 조건은 벡터 $\bar F_s$로 일의적으로 정해진다고 가정한다.
다음으로 식 (1)과 경계 조건 $\bar F_s$를 만족하는 또다른 벡터 함수 $\bar G$를 가정한다.

                              (2)

식 (1)과 (2)를 서로 빼주어 새로운 벡터 함수 $\bar H = \bar F - \bar G$라고 정의한다.

                              (3)

여기서 벡터 함수 $\bar F$와 $\bar G$의 경계 조건은 서로 같기 때문에 $\bar H = \bar F - \bar G$가 되어 닫힌 표면적에서는 함수값이 0(∵ $\bar H = \bar F_s - \bar F_s = 0$)이 된다.
식 (3)에서 벡터 함수 $\bar H$의 회전이 0이므로 회전 연산자의 영인자 특성에 의해 식 (4)로 벡터 함수 $\bar H$를 표현할 수 있다.

                              (4)

식 (4)의 결과와 식 (5)의 제1 그린 항등식을 서로 비교한다.

                         (5)

식 (5)에서 $f = f$, $g = f^*$(켤레 복소수)라고 두고 식 (4)의 결과를 적용하면

                            (6)

여기서 닫힌 표면적에서의 함수값이 0이기 때문에 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 당연히 0이며 식 (4)에 의해 함수 $f$ 혹은 $f$의 켤레 복소수 $g$의 라플라시안도 0이 된다.
따라서 $\bar H = \bar F - \bar G = 0$이므로 벡터 함수 $\bar F$와 $\bar G$는 동일한 함수이다.
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헬름홀츠 정리를 증명할 때 사용한 닫힌 표면적에서의 경계 조건은 우리가 고려하는 체적을 무한대로 보내면 약화될 수 있다.
즉, 체적이 무한대로 갈 때 그 체적적분이 유한해서 의미가 있으려면 닫힌 표면적(체적이 무한대로 가는 그 표면적)상에서 벡터 함수값($\bar \nabla f$)은 당연히 0으로 가야한다. 이를 고려하면 체적이 무한대로 갈 때 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 0으로 수렴해야 한다. (표면 적분이 무한히 모여 체적적분이 되므로 무한 급수(infinite series)의 부분합(部分合, partial sum) 개념으로 생각하면 쉽게 이해된다)
헬름홀츠 정리는 일견 복잡해보이지만 벡터로 생각하면 단순하다. 경계 조건 관점에서 벡터의 회전을 정의하는 것은 벡터의 접선 경계 조건을 정해주는 것이다. 마찬가지로 벡터의 발산을 정하면 벡터의 법선 경계 조건이 확정된다. 따라서, 벡터의 회전과 발산을 정의한 것은 벡터의 접선과 법선, 즉 모든 벡터 성분을 결정한 것이 되어 벡터 함수가 유일해진다.

[헬름홀츠 분해 정리(Helmholtz' decomposition theorem)]
닫힌 표면적에서의 경계 조건이 정해진 벡터 함수 $\bar F$는 아래로 반드시 분해된다.

                            (7)

[증명]
벡터 함수 $\bar F$의 발산과 회전을 식 (1)로 정의하면 이 결과를 식 (8)로 분해할 수 있다.

                            (8)

위에 이미 증명한 헬름홀츠 정리에 따르면 경계 조건과 식 (8)을 만족하기 때문에 벡터 함수 $\bar F$는 유일하게 정의된다.
이 상태에서 발산회전 연산자의 영인자 특성에 의해 벡터 함수 $\bar G_c$와 $\bar G_d$는 반드시 식 (9)로 표현되어야 한다.

                            (9)
______________________________

[다음 읽을거리]
1. 전압
2. 금속의 성질
3. 전자기파에 대한 유일성 정리

댓글 29개 :

  1. 마지막 줄에서 왜 저렇게 필드를 분해가능한가요? 바운더리 컨디션만 만족하면 저렇게 분해가 가능한건지.. 궁금합니다. 이 증명이 다른 수리물리학 책에 나와있는 증명보다 훨씬 쉬워서 말입니다.

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    1. 식 (9)를 말씀하신 것이면 발산과 회전 쪽을 읽어 보셔야 합니다. 이 부분은 영인자와 관련 있습니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/divergence.html
      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/curl.html

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  2. 다행이다.
    공부할거 줄여주시니, 헬름홀즈 너무 고마운 분이네요.ㅋㅋㅋ
    _____
    전파곰

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    1. 그래서, 수학이 필요한 것이지요. 물리학만으로는 부족합니다. ^^

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  3. 식 (1)과 (2)가 가정이라고 하셨지만, 무작정 가정한 것은 아니실거 같은데요.
    혹시 이런 것이 있나요?
    경계조건이 같으면, 발산과 회전의 결과는 같다.
    _____
    전파곰

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    1. 쓰고나니 뜻이 발산과 회전이 같다는 거 같아 좀 그렇네요. 다시 문의 드리면,
      경계조건이 같으면, 발산의 결과는 같고, 회전의 결과가 각각 같다.
      혹시 이런 물리법칙이 있어서 가정을 식 (1)과 (2)와같이 하는 건가요?

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    2. 서로 종속 관계가 아니고 독립입니다. 경계 조건, 발산, 회전이 각각 같다는 것이 조건입니다. 그러면 벡터 함수를 유일하게 결정할 수 있다는 것이 헬름홀츠 정리입니다.

      주어진 경계 조건에서 전기장과 자기장을 결정할 때도 헬름홀츠 정리가 유용하게 쓰입니다.

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    3. 아~
      같은 이야기 다시 여쭙으면요.
      F와 G가 같은 vector 함수라고 할때, 경계 조건이 다르면, F와 G의 각각의 발산과 회전은 모두 다른 결과가 나오게되는건가요?

      이걸 이렇게 이해 해도 될까요? <-- 좀 무리가 있어 보이긴 한대요.
      F와 G를 맥스월 방정식이라고 하면, 경계조건은 해석 대상이라 볼때,
      해석 대상이 다르면, F와 G의 발산이 각각 다른 결과가 나오며, 회전도 각각 다른 결과가 나온다.

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    4. 쩝 해석대상 자체를 경계조건으로 본다는 건 좀 너무 무리같네요.
      죄송합니다.

      메리추석 되십시오.

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    5. 맥스웰 방정식에서 원천이 같으면 전기장과 자기장의 발산과 회전이 동일해야 합니다. 하지만 하나 더 필요한 것이 경계 조건입니다. 회전과 발산만으로는 해결되지 않습니다.
      아래 전자기파의 유일성 정리도 확인해 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/05/uniqueness-theorem-for-electromagnetic.html

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    6. 절 너무 과대 평가하셨군요. ㅋㅋ
      아직 거기까지 진도를 빼지 못하였습니다. 이미 서핑하다가 보았는데, 보면서 음~ 하다가 잠이 들어 버립니다. ㅋㅋㅋ 웃을 일이 아닌데, T.T

      9월까지는 기초적인 부분만 좀더 강화 하려고 합니다. 보고 또보고, 생각하고, 이해 안가는거 또보고, 물어 보고 생각하고 맨붕~

      암튼 고맙습니다.

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    7. 쉽게 이해되는 내용은 아니지요! 모든 전자기학 책에 유일성 정리가 나오지만 제대로 핵심을 이해한 경우는 거의 없어요. 헬름홀츠 정리는 아래 안 나오는 책들도 많고요.

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    8. 어럽네요. T.T. [헬름홀츠 정리]의 증명에서 잘 모르겠는 부분이 있는데요.

      1. 이 명제는 이것을 증명을 하겠다는 게 아닌가요?
      "여기서 벡터 함수 F¯와 G¯의 경계 조건은 서로 같기 때문에 H¯=F¯−G¯가 되어 닫힌 표면적에서는 함수값이 0 (∵ H¯=F¯s−F¯s=0)이 된다."

      질문이 좀 거시기 하조?

      2. 같은 지문 인지는 모르겠으나. 이게 왜 0이 되어야 하는가요?
      "여기서 닫힌 표면적에서의 함수값이 0이기 때문에 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 당연히 0이며"
      _____
      전파곰

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    9. 맞게 이해하고 있습니다. 경계 조건을 정의한 그 위치에서의 함수값이 같기 때문에 그 차이에 해당하는 $\bar F - \bar G$ = 0이 됩니다.

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    10. 헉 아닙니다. 정의를 문의 드린게 아니라, 증명과정에서 이해가 안가는 부분이 있어서요.

      여기서 벡터 함수 F ¯ 와 G ¯ 의 경계 조건은 서로 같기 때문에 H ¯ =F ¯ −G ¯ 가 되어 닫힌 표면적에서는 함수값이 0 (∵ H ¯ =F ¯ s −F ¯ s =0 )이 된다.

      이것을 증명을 하겠다고 한다고 하더라도,

      H가 아직 0이라는 것이 증명이 되지않은 상태에서
      "여기서 닫힌 표면적에서의 함수값이 0이기 때문에 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 당연히 0이며"
      가 이해가 안가서요?

      혹시
      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/curl.html 에서
      [그림7]와 식(10)에서와 같이 단힌 표면적에서의 면적 적분이 0이 되는 것과 관련이 있는 건가요?

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    11. 너무 어렵게 생각하신 것 같네요. 조건에서 닫힌 표면적의 경계 조건이 같다고 했습니다. 그러면 닫힌 표면적에서 $\bar F = \bar G$가 되어 닫힌 표면적 상에서 $\bar H = 0$이 됩니다.

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  4. 표면적분이 무한히 모여 체적적분이 된다는 말이 이상하게 잘 이해되지 않네요...오히려 괄호 이전에 있는 문장이 더 쉬운 거 같아요.
    이런 비슷한 증명을 자기장 쪽에서 본 거 같은데 기억이 안 나네요. 계속 글들 읽어가야겠군요

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  5. del operator을 복소함수에 적용하면 복소수로 이루어진 벡터가 나오나요?이 벡터가 어떻게 생긴 벡터인지 잘 와닿지가 않네요...

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    1. 복소수와 벡터 개념은 별개입니다. 현재 쓰는 벡터 개념은 스칼라를 여러 개 나열한 것입니다.
      만약 벡터에 복소수를 썼다면 전자파 분야에서는 페이저(phasor)를 쓴 것일 뿐입니다. (시간 미분을 복소수로 바꾸기 위해)

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    2. 아 그렇군요!실제로 의미있는 벡터는 그 복소수 벡터에서 real을 취한 벡터가 되겠네요.
      공부를 너무 오래 안 하다 보니 감이 많이 떨어지네요..

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  6. 좋은 게시물 같은데, 아직은 내용이 이해가 가지 않네요. 다시 오겠습니다.

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    1. Hogeol님, 보고 또 보고 하시면 충분히 이해가 될 것입니다. ^^

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  7. 안녕하세요. 혹시 식 (6)의 삼중적분이 왜 0이 나오는지 알려주실 수 있으실까요 ㅠㅠ

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    1. 경계 조건(표면 적분 영역)에서의 값이 0이기 때문입니다. 식 (6) 약간 위의 문장을 참고해주세요. ^^

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    2. 항상 감사합니다. ㅎㅎ

      하나 확인하고 싶은게 있는데요, 식 5에서 f는 어떤 상수든 상관 없으니, del g가 0이 되어야 하는데, 켤레복소수 함수들은 주어진 초기조건에서 원래 복소수 함수와 꼭 같은 값을 가지진 않나요? 이 경우는 원 복수수 함수가 0이라서 직관적으로 del of 켤레 복소수 함수가 0이 되는 것 같은데..

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    3. 아, 식 5에서는 아직 H=G라는 결론이 안나왔으므로 그냥 임의의 상수로 둬야 한다고 생각했어요 ㅠㅠ

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    4. 스스로 답을 찾으셨네요, 이재님. 축하드립니다. ^^

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  8. 막혔던 부분이 시원하게 해결되었습니다.
    좋은 게시물들이 많네요. 정말 감사합니다.

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    답글
    1. 시원하겠네요, 익명님. 칭찬 감사합니다. ^^

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