헬름홀츠의 정리(Helmholtz' Theorem)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "헬름홀츠의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 좌표계 기반 벡터
2. 구배의 의미
3. 발산의 의미
4. 회전의 의미
5. 벡터 항등식
6. 그린 항등식

벡터 미적분학(vector calculus)을 소개하면서 새로운 벡터 연산자인 구배(勾配, gradient), 발산(發散, divergence), 회전(回轉, curl)을 도입했다. 우리가 배운 구배, 발산, 회전 외에 또다른 벡터 연산자가 필요한가? 이 의문에 대해 명쾌한 답을 제시한 결과가 헬름홀츠의 정리(Helmholtz' Theorem)이다. 헬름홀츠의 정리는 벡터 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of vector calculus)라고도 한다. 이 정리가 표현하는 핵심은 발산과 회전이 정의되고 경계 조건이 정해지면 그 벡터 함수는 유일하게 정의됨이다. 즉, 벡터 함수를 유일하게 정의하기 위해서는 발산과 회전만 있으면 충분하다는 사실을 헬름홀츠의 정리가 보장한다.

[그림 1] 닫힌 표면적[왼쪽]과 열린 표면적[오른쪽](출처: wikipedia.org)

[헬름홀츠의 정리]

벡터의 발산과 회전이 하나로 정의되고 닫힌 표면적의 경계 조건이 정해지면, 그 벡터 함수는 유일하게 정의된다.

[증명]

먼저 아래 식 (1)을 꼼꼼하게 본다.

                              (1)

여기서 $a_d$는 벡터 함수 $\bar F$의 발산, $\bar F_c$는 $\bar F$의 회전이다. [그림 1]의 왼쪽에 나온 어떤 체적을 둘러싸는 닫힌 표면적($s$)에 형성된 경계 조건은 벡터 $\bar F_s$로 명확히 정해진다고 가정한다. 다음으로 식 (1)과 경계 조건 $\bar F_s$를 만족하는 또 다른 벡터 함수 $\bar G$를 생각한다.

                              (2)

식 (1)과 (2)를 서로 빼주어 새로운 벡터 함수 $\bar H$ = $\bar F - \bar G$라고 정의한다.

                              (3)

여기서 벡터 함수 $\bar F$와 $\bar G$의 경계 조건은 서로 같기 때문에, $\bar H$ = $\bar F - \bar G$가 되어 닫힌 표면적에서 함수값은 0[∵ $\bar H$ = $\bar F_s - \bar F_s$ = $0$]이 된다. 식 (3)에서 벡터 함수 $\bar H$의 회전이 0이므로, 회전 연산자의 영인자 특성에 의해 식 (4)로 벡터 함수 $\bar H$를 표현할 수 있다.

                              (4)

식 (4)의 결과와 식 (5)의 제1 그린 항등식을 서로 비교한다.

                         (5)

식 (5)에서 $f$ = $f$, $g$ = $f^*$[$f$의 켤레 복소수]라고 두고 식 (4)의 결과를 적용하면 다음과 같다.

                            (6)

여기서 닫힌 표면적의 함수값은 0이라서 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 당연히 0이며, 식 (4)에 의해 함수 $f$ 혹은 $f$의 켤레 복소수 $g$[= $f^*$]가 만드는 라플라시안도 0이 된다. 따라서 $\bar H$ = $\bar F - \bar G$ = $0$이므로 벡터 함수 $\bar F$와 $\bar G$는 동일한 함수이다.

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헬름홀츠의 정리를 증명할 때 사용한 닫힌 표면적의 경계 조건은 우리가 고려하는 체적을 무한대로 보내면 약화될 수 있다. 즉, 체적이 무한대로 갈 때 그 체적 적분이 유한해서 의미가 있으려면 닫힌 표면적[체적이 무한대로 가는 그 표면적]상에서 벡터 함수값[= $\bar \nabla f$]은 당연히 0으로 가야 한다. 이를 고려하면 체적이 무한대로 갈 때 식 (5)의 좌변에 있는 표면 적분은 0으로 수렴해야 한다.[표면 적분이 무한히 모여 체적 적분이 되므로 무한 급수(infinite series)의 부분 합(部分合, partial sum) 개념으로 생각하면 쉽게 이해된다.] 헬름홀츠의 정리는 일견 복잡해보이지만 벡터로 생각하면 단순하다. 경계 조건 관점에서 벡터의 회전을 정의하면, 벡터의 접선 경계 조건이 정확히 정해진다. 마찬가지로 벡터의 발산은 법선 경계 조건을 확정한다. 따라서 벡터의 회전과 발산을 각각 정의해서 벡터의 접선과 법선, 즉 모든 벡터 성분을 결정한다. 이로써 벡터 함수는 임의가 아닌 딱 하나로 결정된다.

[헬름홀츠의 분해 정리(Helmholtz' decomposition theorem)]

닫힌 표면적에서의 경계 조건이 정해진 벡터 함수 $\bar F$는 반드시 아래처럼 분해된다.

                            (7)

[증명]

닫힌 표면적의 경계 조건[$\bar F$가 정의된 체적을 둘러싸는 표면에서 $\bar F$가 가지는 값]을 포함하는 벡터 함수 $\bar F$의 발산과 회전을 식 (1)로 선택해서, $\bar F$를 $\bar G_c, \bar G_d$로 분해할 수 있다. 왜냐하면 주어진 $\bar F$의 발산과 회전은 각 연산자를 적용해서 $a_d$, $\bar F_c$처럼 정할 수 있기 때문이다.

                            (8)

여기서 $\bar G_c$는 회전이 0인 벡터 함수[비회전 벡터 함수(irrotational vector function) 혹은 박판 벡터 함수(lamellar vector function)], $\bar G_d$는 발산이 0인 벡터 함수[솔레노이드 벡터 함수(solenoidal vector function)]이다. 그러면 이미 증명한 헬름홀츠의 정리에 따라 닫힌 표면적의 경계 조건이 $\bar F_s$로 고정된 벡터 함수 $\bar F$는 유일하게 정의된다. 이 상태에서 발산과 회전 연산자의 영인자 특성에 의해 벡터 함수 $\bar G_c$와 $\bar G_d$는 반드시 식 (9)로 표현되어야 한다.

                            (9)
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헬름홀츠의 분해 정리에 의해, 모든 벡터 함수는 스칼라 함수의 구배와 벡터 함수의 회전을 선형 결합해서 표현할 수 있다.


[다음 읽을거리]
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