2010년 8월 6일 금요일

그린 항등식(Green's identity)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "그린 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[제1 그린 항등식(Green's first integral identity)]

                         (1)

[증명]
식 (2)에 제시한 벡터 항등식발산 정리를 적용하면 식 (1)을 얻을 수 있다.

                         (2)
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[제2 그린 항등식(Green's second integral identity)]

                          (3)

[증명]
제1 그린 항등식인 식 (1)에서 스칼라 함수 $f$와 $g$를 서로 바꾸면 식 (4)를 얻는다.

                          (4)

식 (1)에서 (4)를 빼주면 식 (3)이 얻어진다.
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$g$가 그린 함수(Green's function)라면 식 (3)은 다음처럼 매우 간략화된다.

                          (5)

여기서 $n$은 표면 $s$에 수직한 방향 성분이다.
물리학 응용에서 식 (5)는 매우 중요한 특성을 내포하고 있다. 만약 우리가 경계면($s$)에서의 $f,g$ 조건을 모두 안다면 표면 $s$ 내부에 존재하는 모든 함수값 $f(\bar r')$를 결정할 수 있다. 혹은 어떤 방식으로든 $f(\bar r')$를 구했다면 식 (5)를 통해 함수 $f$가 표면 $s$상으로 퍼져가는 특성을 정할 수 있다. 

[그린의 벡터 항등식(Green's vector identity)]

     (5)

[증명]
먼저 식 (6)의 벡터 항등식을 고려한다.

                         (6)

제2 그린 항등식 증명과 유사하게 식 (6)의 벡터 $\bar A$와 $\bar B$를 바꾸면 새로운 항등식이 얻어진다. 이 항등식과 식 (6)을 서로 빼주고 발산 정리를 적용하면 식 (5)를 얻을 수 있다.
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[다음 읽을거리]

댓글 12개 :

  1. 유용한 정보 감사합니다!!

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  2. 잘 보셨다니 기분이 좋네요. 감사합니다.

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  3. 왜 하필..ㅜㅜ g와 f인가요.. 왜 이들의 곱으로 표현하나요...ㅜㅜ 왜 이들 곱 사이에 그래디언트가 있나요ㅜㅜ 왜 하필 순서가 바뀌는건가요...ㅜㅜ 이 이론의 시작은 어디인겁니까..ㅠㅠ

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    1. 위 식 중에서는 식 (3)이 가장 중요합니다. 수학 기호로는 라플라시안 때문에 그린 항등식이 쓰입니다. 라플라시안은 푸아종 방정식의 기본 연산자입니다.

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    2. 답변 감사합니다..ㅜㅜ 그런데.. 정말.. 정말정말 왜 하필 스칼라 함수인 g와 f가 동시에 쓰이는지 궁금합니다..ㅠㅠ 그린정리의 컨셉이 무엇이기에..
      예를 들면 그린정리는 크게보면 면적 적분을 체적적분으로 바꾸는.. 맥스웰 방정식의 첫번째 가우스 법칙의 모양을 하고 있지 않습니까..?
      그린정리도 마찬가지.. g나 f 둘중 하나에 그래디언트를 취해서 벡터를 만들고
      또 나머지 하나(f에 그래디언트를 했다면 g가 나머지)를 곱하는 형태인데
      스칼라 함수를 곱해도 벡터이긴 마찬가지 일거구요...
      그럼 가우스 법칙과 정말 비슷한 모양이지 않나요...? 제 생각이 틀린건가요...?ㅜㅜ

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    3. 식 (3)에서는 벡터의 내적보다는 라플라시안에 집중해야 합니다.

      아래 그린 함수에 대한 링크도 참고하세요. 미분 방정식을 풀 때 라플라시안 특성을 델타 함수와 연결시키는 것이 일반적인 미분 방정식의 해법입니다.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/10/greens-function-of-differential.html

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    4. 감사합니다^^ 수학에 대해서 잘 모르다보니..
      자꾸 괴롭히는 것처럼 쓸데 없는 것처럼 보이시겠지만 정말 진지하고 정말 궁금해서 질문 드리는 거니까 부디 좋게 봐주시고요..ㅜㅜ
      또하나 질문드리자면... 회절이론에서도 이 그린 정리를 이용합니다.. 그런데 여기서
      그린정리의 수학적인 기능을 사용하기에 앞서 스칼라 함수 g와 f를 직접적으로 의미를 부여하고 있는거 같습니다.. 어떤 수리물리학책에서는 g grad f를 전류밀도 J라고 표현도하고...
      정말 죄송하지만.. 회절이론도 그렇고 전류밀도 J도 그렇고.. 하필.. g grad f로 표현하는것이 마음에 걸리네요..ㅜㅜ 혹시 경계조건?같은것이 그린정리를 쓰기에 좋은 상황?이 되서 그런걸까요...ㅜㅜ

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    5. 쓸 데 없는 질문이 있나요, 언제든 환영합니다. ^^

      말씀하신 부분을 설명하기 위해 본문을 수정했습니다. 다시 확인해보세요.

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    6. 아 너무너무 감사합니다...ㅜㅜ
      다음에도 잘 부탁드립니다ㅜㅜ!!

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    7. 예, 자주 방문해 주세요. Happy New Year!

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  4. 위키백과에도 안나오는 그린 항등식을 정리해주시니 정말 감사합니다..! 그리고 프로필 슬로건도 아주 멋지네요. "질문하라, 남들과 다르게 가라, 학력을 믿어라." 제 인생의 사상과 방향과도 아주 잘 맞는 말이네요. 정말 근래 들어서 이렇게 멋진 분을 만나는게 얼마만인지 모르겠네요! 자주 방문하겠습니다~

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    1. 방문 감사합니다, 윌리엄셰익스피어님. ^^

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