그린 항등식(Green's Identity)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "그린 항등식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 좌표계 기반 벡터

2. 구배의 의미

3. 발산의 의미

4. 회전의 의미

5. 벡터 항등식

파동 이론(wave theory)에 빈번하게 사용하는 다양한 그린 항등식(Green's identity)을 증명과 함께 소개한다.

[제1 그린 항등식(Green's first integral identity)]

                         (1)

[증명]

식 (2)에 제시한 벡터 항등식에 발산 정리를 적용하면 식 (1)을 얻을 수 있다.

                         (2)

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[제2 그린 항등식(Green's second integral identity)]

                          (3)

[증명]

제1 그린 항등식인 식 (1)에서 스칼라 함수 $f$와 $g$를 서로 바꾸면 식 (4)를 얻는다.

                          (4)

식 (1)에서 (4)를 빼주면 식 (3)이 얻어진다.

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만약 $f$가 라플라스 방정식(Laplace equation)을 만족하고 $g$는 그린 함수(Green's function)라면, 식 (3)은 다음처럼 매우 간략화된다.

                          (5)

여기서 $n$은 표면 $s$에 수직한 방향 성분이다. 물리학 응용에서 식 (5)는 매우 중요한 특성을 내포하고 있다. 만약 우리가 경계면[= $s$]에서의 $f,g$ 조건을 모두 안다면 표면 $s$ 내부에 존재하는 모든 함수값 $f(\bar r')$를 결정할 수 있다. 혹은 어떤 방식으로든 $f(\bar r')$를 구했다면 식 (5)를 통해 함수 $f$가 표면 $s$상으로 퍼져가는 특성을 정할 수 있다. 

[그린의 벡터 항등식(Green's vector identity)]

     (5)

[증명]

먼저 식 (6)의 벡터 항등식을 고려한다.

                         (6)

제2 그린 항등식 증명과 유사하게 식 (6)의 벡터 $\bar A$와 $\bar B$를 바꾸면 새로운 항등식이 얻어진다. 이 항등식과 식 (6)을 서로 빼주고 발산 정리를 적용하면 식 (5)를 얻을 수 있다.

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[다음 읽을거리]

1. 헬름홀츠의 정리

2. 미분 방정식의 만병통치약: 그린 함수