원통 좌표계(圓筒座標系, Circular Cylindrical Coordinate System)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원통 좌표계"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 원의 방정식

2. 텐서 미적분학
3. 직교 좌표계 텐서 미적분학

 

(a) 3차원에 그린 원통 좌표계

 

(b)2차원의 극 좌표계

[그림 1] 원통 좌표계의 여러 표현(출처: wikipedia.org)

직교 좌표계(orthogonal coordinate system)에서 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system) 다음으로 많이 쓰이는 좌표계가 [그림 1(a)]의 원통 좌표계(圓筒座標系, circular cylindrical coordinate system)이다. 원통 좌표계 $(\rho, \phi, z)$가 2차원 $(\rho, \phi)$로만 표현되면 [그림 1(b)]에 보인 극 좌표계(polar coordinate system)가 된다. [그림 2]는 원통 좌표계의 좌표값이 변하는 모습을 보여준다.

[그림 2] 원통 좌표계 좌표값의 변화 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 1, 2]의 좌표계 구성으로 인해 데카르트 좌표계 $X$에서 원통 좌표계 $U$로 가는 좌표 변환(coordinate transform)은 아래와 같다.

                  (1)

식 (1)은 [그림 3]과 삼각 함수(trigonometric function)를 이용해 쉽게 유도할 수 있다.

[그림 3] 데카르트 좌표계와 원통 좌표계의 상호 변환(출처: wikipedia.org)

식 (2)의 계량 텐서(metric tensor)와 관련된 척도 인자(尺度因子, scale factor) $h_i$는 식 (3)처럼 계산된다.

                         (2)

                         (3)

식 (1)을 식 (3)에 대입해 계산하면 원통 좌표계의 척도 인자를 얻을 수 있다.

                         (4)

식 (4)를 직교 좌표계에 대한 벡터 연산자 공식에 대입한다.

                       (5)

        (6)

                       (7)

                       (8)

그러면 원통 좌표계에 대한 벡터 연산자를 모두 정의할 수 있다.

                       (9)

                       (10)

                       (11)

                       (12)

다음으로 원통 좌표계를 구성하는 단위 벡터(unit vector)를 데카르트 좌표계 관점으로 계산한다. 벡터 $\bar r$이 $\rho, \phi, z$방향으로 바뀔 때 생기는 벡터 방향이 $\rho, \phi, z$방향 단위 벡터가 된다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

                       (13)

예를 들면, $\phi$방향 단위 벡터는 $\phi = 0$에서는 $y$방향으로, $\phi = 90^\circ$는 $-x$방향으로 형성된다.

식 (13)처럼 단위 벡터 $\rho, \phi$는 방위각(方位角, azimuth) $\phi$에 따라 변한다. 단위 벡터 $\rho, \phi$를 미분할 때는 방위각의 변화율을 다음처럼 반드시 고려해야 한다.

                       (14)

식 (13)을 이용하면 데카르트 좌표계를 원통 좌표계로 바꾸어주는 공식을 행렬(matrix) 형태로 만들 수 있다.

                       (15)

식 (15)에서 재미있는 부분은 행렬 ${\bf T}_{cr}$과 ${\bf T}_{rc}$가 서로 전치 행렬(transpose) 관계란 사실이다. 또한 좌표계의 좌표(coordinates)와 벡터의 성분(component)이 서로 달라지는 가장 간단한 예가 원통 좌표계이다. 원통 좌표계는 세 숫자 $(\rho, \phi, z)$를 열거해서 3차원 공간 상의 한 점을 표현한다. 하지만 이 숫자가 곧바로 벡터의 성분이 되지 않는다. 왜냐하면 원통 좌표계의 단위 벡터 $\hat \rho, \hat \phi$로 표현한 벡터의 성분은 식 (15)의 첫째식이 되어야 하기 때문이다. 다시 말해 데카르트 좌표계와는 다르게 $\rho \hat \rho + \phi \hat \phi$ $\ne$ $x \hat x + y \hat y$ = $\rho \hat \rho$이므로, 원통 좌표계에서 좌표와 성분은 완전히 다르다.

식 (9)에서 (12)에 제시한 원통 좌표계 벡터 연산자는 무식한 방법으로 구할 수도 있다. 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 유도한 결과와 완전 미분(exact differential)을 결합하면 식 (9)부터 (12)까지 있는 원통 좌표계 벡터 연산자를 동일하게 유도할 수 있다. 예를 들어, 식 (16)의 데카르트 좌표계 구배 연산자(gradient operator)는 원통 좌표계에서 식 (17)처럼 유도된다.

                         (16)

                        (17)

여기서 $\partial \rho / \partial x$ = $x / \sqrt{x^2 + y^2}$ = $\cos \phi$, $\partial \phi / \partial x$ = $-(y/x^2)/[1 + (y/x)^2]$ = $-y/(x^2 + y^2)$ = $-\sin \phi / \rho$이다. 식 (17) 유도에서 식 (15)에 증명한 벡터 관계식을 사용한다. 식 (18)에 있는 데카르트 좌표계의 발산 연산자(divergence operator)는 원통 좌표계에서 식 (19)처럼 유도될 수 있다.

                        (18)

   

                  (19)

무식하게 계산한 식 (17)과 (19)는 신기하게도 텐서 미적분학(tensor calculus)을 기반으로 계산한 식 (9) 및 (10)과 일치한다. 사실 텐서 미적분학도 식 (19)에서 연쇄 규칙(chain rule)과 완전 미분을 이용해 유도한 방식을 수학적으로 우아하게 만들었을 뿐이다.

[다음 읽을거리]
1. 구 좌표계