2011년 7월 10일 일요일

원통 좌표계(圓筒座標系, Circular Cylindrical Coordinate System)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "원통 좌표계"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 원의 방정식
2. 텐서 미적분학
3. 직교 좌표계 텐서 미적분학


[그림 1] 원통 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

직교 좌표계(orthogonal coordinate system)에서 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system) 다음으로 많이 쓰이는 좌표계가 [그림 1]의 원통 좌표계(圓筒座標系, circular cylindrical coordinate system)이다. 원통 좌표계 $(\rho, \phi, z)$가 2차원 $(\rho, \phi)$로만 표현되면 극 좌표계(polar coordinate system)라고도 한다. [그림 2]는 원통 좌표계 좌표값의 변화 모습을 보여준다.
[그림 2] 원통 좌표계 좌표값의 변화 모습(출처: wikipedia.org)

[그림 1, 2]의 좌표계 구성으로 인해 데카르트 좌표계 $X$에서 원통 좌표계 $U$로 가는 좌표 변환(coordinate transform)은 아래와 같다.

                  (1)

식 (1)은 [그림 3]과 삼각 함수(trigonometric function)를 이용해 쉽게 유도할 수 있다.

[그림 3] 데카르트 좌표계와 원통 좌표계의 상호 변환(출처: wikipedia.org)

식 (2)의 계량 텐서(metric tensor)와 관련된 척도 인자(尺度因子, scale factor) $h_i$는 식 (3)처럼 계산된다.

                         (2)

                         (3)

식 (1)을 식 (3)에 대입해 계산하면 원통 좌표계의 척도 인자를 얻을 수 있다.

                         (4)


                       (5)

        (6)

                       (7)

                       (8)

그러면 원통 좌표계에 대한 벡터 연산자를 모두 정의할 수 있다.

                       (9)

                       (10)

                       (11)

                       (12)

다음으로 원통 좌표계를 구성하는 단위 벡터(unit vector)를 데카르트 좌표계 관점으로 계산한다. 벡터 $\bar r$이 $\rho, \phi, z$방향으로 바뀔 때 생기는 벡터 방향이 $\rho, \phi, z$방향 단위 벡터가 된다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

                       (13)

예를 들면 $\phi$방향 단위 벡터는 $\phi = 0$에서는 $y$방향으로, $\phi = 90^\circ$는 $-x$방향으로 형성된다.
식 (13)처럼 단위 벡터 $\rho, \phi$는 방위각(方位角, azimuth) $\phi$에 따라 변한다. 단위 벡터 $\rho, \phi$를 미분할 때는 방위각의 변화율을 다음처럼 반드시 고려해야 한다.

                       (14)

식 (13)을 이용하면 데카르트 좌표계를 원통 좌표계로 바꾸어주는 공식을 행렬(matrix) 형태로 만들 수 있다.

                       (15)

식 (15)에서 재미있는 부분은 행렬 ${\bf T}_{cr}$과 ${\bf T}_{rc}$가 서로 전치 행렬(transpose) 관계란 사실이다.
식 (9)에서 (12)에 제시한 원통 좌표계 벡터 연산자는 무식한 방법으로 구할 수도 있다. 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 유도한 결과와 완전 미분(exact differential)을 결합하면 식 (9)부터 (12)까지 있는 원통 좌표계 벡터 연산자를 동일하게 유도할 수 있다. 예를 들어 식 (16)의 데카르트 좌표계 구배 연산자(gradient operator)는 원통 좌표계에서 식 (17)처럼 유도된다.

                         (16)

                        (17)

여기서 $\partial \rho / \partial x$ = $x / \sqrt{x^2 + y^2}$ = $\cos \phi$, $\partial \phi / \partial x$ = $-(y/x^2)/[1 + (y/x)^2]$ = $-y/(x^2 + y^2)$ = $-\sin \phi / \rho$이다. 식 (17) 유도에서 식 (15)에 증명한 벡터 관계식을 사용한다. 식 (18)에 있는 데카르트 좌표계의 발산 연산자(divergence operator)는 원통 좌표계에서 식 (19)처럼 유도될 수 있다.

                        (18)

   

                  (19)

무식하게 계산한 식 (17)과 (19)는 신기하게도 텐서 미적분학(tensor calculus)을 기반으로 계산한 식 (9) 및 (10)과 일치한다. 사실 텐서 미적분학도 식 (19)에서 연쇄 법칙(chain rule)완전 미분을 이용해 유도한 방식을 수학적으로 우아하게 만들었을 뿐이다.

[다음 읽을거리]
1. 구 좌표계

댓글 38개 :

  1. :-) 도움이 되었다니 저도 좋네요!

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  2. 잘보고가네요!! 내용도 도움이되었고! 위쪽에 조금은 느리게 살자라는 글을 보면서 또 힘을 얻고 가네요ㅎ 문제푸는 방법만 외우는것 대신에 내용을 이해하려고 하다보니 진도가 더디고 그래서 마음도 흔들리고 있었는데ㅎ 속도보단 이렇게 꾸준히 해야되는 거겠죠?

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  3. 감사합니다. 윗글은 저의 각오이기도 합니다. 공부 계속 할거면 모든 부분들에 의심이 없도록 철저하게 이해해야겠지요.

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  4. 식 (19)에서 중간에 (로 분의 에프 로) 오타 같네요

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  5. 댓글 감사합니다. 제가 식 (19)를 다시 확인해봤는데 틀린 부분은 없습니다. Fρ/ρ가 나오는 부분은 위쪽에 있는 ∂/∂φ(·)를 적용할 때 생기는 부분입니다.

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  6. 아이고 도움되는 유익한 블로그네요 ^^감사합니다

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  7. 질문좀 드릴게요..

    cylindrical a_pi vector를 rectangular 형태로 변환시키면 -sin(pi)a_x + cos(pi)a_y 가 맞는지 해서요...

    a_pi vector를 rectangular vector인 a_x와 외적을 해야하는데 바로 안되서 말입니다.

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    1. 예, 맞습니다. 유도는 식 (13)으로 하면 됩니다.
      벡터 r이 φ방향으로 바뀔 때 생기는 벡터 방향이 φ방향 단위벡터입니다. 예를 들면 φ = 0에서는 y방향으로, φ = 90도는 -x방향으로 φ방향 단위벡터가 형성됩니다.

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    2. 감사합니다. 대전에서 전파 관련 일 하시나봅니다? 저도 대전에서 전파공학전공중인 학생이거든요

      학생이신지 혹시?? 여기 좋은 자료들이 너무나도 많네요

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  8. 질문이 있습니다
    17에 a로우/ax가 cos(pi)로 되는 이유가 궁금합니다! api/ax도 마찬가지로요..

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    1. 식 (1)을 직접 미분하시면 나옵니다.

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    2. x = rho*cos(phi)인데 이걸 rho = x/cos(phi)이고 이때 rho를 x에 대해 미분하면 cos(phi)가 아니라 1/cos(phi)아닌가요?

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    3. rho = sqrt(x^{2}+y^{2})을 x에 대해 미분해주면 cos(phi)가 나오는데 궁금해서 그렇습니다.

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    4. 식 (17) 밑에 과정을 더 추가했어요.

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    5. 네, 감사합니다. 덕분에 직교 좌표계에서 원통 좌표계로 넘어갈 때 왜 1/r이 붙는지 궁금했었는데 시원하게 해결 되었습니다. 다만, 좀 더 열심히 공부해서 텐서가 익숙해지도록 노력하겠습니다. 텐서는 여전히 고통스럽네요..ㅎ

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  9. 저 시간이 많이 지났지만 질문드려도 될까요... 식(18)과 식(19)사이에 d(Fx)/dx 랑 d(Fy)/dy 구하는 부분에서 d로/dx 는 cos(pi)가 맞는데 dpi/dx 는 왜 sin(pi)/로 인가요?? 텐서미적분은 잘 모르고 cartesian 좌표계에서 cylindrical 좌표계로 divergent를 손으로 유도해보고 있는데 항상 저기서 막힙니다... 다른 책들 찾아봐도 그냥 그렇다고만 나오고 이유를 못찼겠어요

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  10. 위에 17년 9월 29일에 질문글 썼던 사람인데요 궁금한걸 보충설명 해야될 것 같아서요.
    식(13)에 로와 파이방향 벡터를 X와 Y방향 벡터로 표현 하잖아요? 로에서 cos(pi)가 d로/dx, 파이에서 -sin(pi)가 d파이/dx (d를 흔히말하는 '라운드 디'대신 쓰겠습니다)일텐데 식(19)에서 d파이/d가 -sin(pi)/로 이렇게 나와서 이 부분이 궁금합니다..

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    1. $\phi = \tan^{-1} (y/x)$를 $x$ 혹은 $y$에 대해 미분한 결과가 식 (19)에 쓰였습니다. 간단하게 생각하세요, 익명님. ^^

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  11. 안녕하세요 궁금한게 있어서 질문드립니다
    직각좌표계에서는 좌표점을 바로 벡터로 표시할 수 있잖아요 예를들면 (3, 2, 1) 을 3ax + 2ay + az
    로 표현이 가능한데 원통 좌표게나 구좌표계의 경우 좌표점이 주어지면 어떻게 벡터로 표현해야하는지 궁금합니다

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    1. 좌표계마다 단위 벡터가 잘 정의되어 있어요. 원통 좌표계에서는 식 (13)이 해당 단위 벡터입니다. 이 단위 벡터로 어떤 좌표든지 해당하는 벡터로 표현할 수 있어요.

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  12. 안녕하세요 궁금한게 있어서 질문드립니다!
    19식에서 Fρ/ρ가 나오는부분이랑 어떻게 옆식을 정리하면 오른쪽 식이 될 수 있는지 너무너무 궁금합니다!ㅠㅠ

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    1. 식 (19)의 큰 화살표 왼쪽에 있는 편미분을 모두 계산해서 기계적으로 더하면 됩니다. 한 번 해보세요, 익명님 ^^

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  13. 안녕하세요 궁금한게 있어서 질문드립니다.
    19식에서 Fρ/ρ식이 도저히 dFx/dx + dFy/dy 편미분식을 더해도 나오지 않아 질문드립니다.
    어떻게 해서 저 식이 나오게 되는것인가요?

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    1. ∂/∂φ(·)를 적용할때 나온다고 하셨는데 아무리 해도 Fρ와 관련된 식은 cossin -cossin 으로 소거되어 사라지네요 ㅠㅠ 도와주셨으면 감사하겠습니다!!

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    2. 각 항을 편미분해서 더하면 나오는 식이라서 도와드릴 부분이 거의 없어요. 다시 한 번 편미분을 해보세요. 함수 $F_\rho, F_\phi$도 상수가 아니기 때문에 편미분을 해야 합니다.

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  14. 정말 감사합니다 도움 많이받고갑니다

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    1. 익명님이 도움을 받았다니 기쁘네요~~ 열공하시길.

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  15. 식(18)을 유도하는 과정에서 Fx가 어떻게 F로, F파이로 나눠지게 되나요?
    또 둘이 더하게 되는 것은 두 변수에 대해 각각 편미분 후 더한 것인가요?

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    1. 아래 완전 미분을 보셔야 합니다. 독립된 좌표 성분이라서 따로 편미분해서 더해야 합니다.

      http://ghebook.blogspot.com/2010/07/exact-differential.html

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  16. 거북 선생님 궁금한 점이 있어서 질문드리게 되었습니다.

    구 좌표계나 원통 좌표계에 대한 다이버젠스는 델과 벡터장의 내적에 대한 증명법만으로는 와닿지 않는 것 같아요 ㅠㅠ

    직교좌표계의 다이버젠스는 벡터장에 대해 미소 직육면체 폐곡면을 면적분한 값에(미소 선속) 미소 체적(미소 부피)을 나눈 값이 해당 점에서의 미소체적당 선속 (선속 밀도)라는 의미로 와닿더라고요 또한 결과도 델 내적 벡터장의 값과 동일하고요

    하지만 델과 벡터장의 내적으로만으로 원통 좌표계와 구면 좌표계의 미소체적에 대한 선속 밀도와 같은지에 대해서 와닿지가 않더라고요

    즉 직접 원통 좌표계나 구 좌표계도 미소 체적에 대해 선속을 구하고 미소 체적 부피를 나눈값 즉 해당 점에서의 선속 밀도를 수학적으로 구하면 벡터장에 내적한 값과 해당 좌표계에 대한 델 내적 벡터장이 같은지 확인이 되어야 맘편하게 사용할 것 같은데 그런 증명법은 거북선생님이 올리신 발산의 작성글에서 직교 좌표계는 델 내적 벡터장이 결국 해당 점의 미소 체적 선속 밀도와 같다는 것을 올려주셨는데 구좌표계와 원통좌표계도 동등한지 궁금합니다 ㅠㅠ

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    1. 전파거북이라 불러주세요, Unknown님.

      말씀하신 내용은 증명하려면 할 수도 있어요. 예를 들어, 아래 링크에 있는 포스-바일 공식(Voss–Weyl formula)에서 원통이나 구 좌표계를 특정해서 증명하면 됩니다.

      https://ghebook.blogspot.com/2011/07/tensor-calculus.html

      하지만 많이 복잡하기 때문에, 데카르트 좌표계에서 증명한 후 텐서 개념을 써서 다른 좌표계로 확장합니다.

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    2. 좀더 직관적인 접근은 아래 링크를 참고해도 됩니다.

      https://ghebook.blogspot.com/2020/07/vector-calculus.html

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    3. 여러 좌표계에 대해 성립하는지를 알려면 텐서 미적분학을 공부해야되나요??

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    4. 전파거북님 좋은 답변 감사드립니다 😀

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  17. 안녕하세요. 궁금한 점이 있는데 식(13)에서 어떻게 식(15)로 이어지는지 유도과정을 알 수 있을까요?
    형태는 똑같은데 단위벡터의 식이 크기로 변환이 잘 안되네요..

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    1. 식 (13)을 행렬 형태로 쓰면, 식 (15)의 둘째식에 있는 ${\bf T}_{cr}$이 됩니다.

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