직교 좌표계에 대한 텐서 미적분학(Tensor Calculus for Orthogonal Coordinate Systems)

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1. 텐서 미적분학

[그림 1] 일반 좌표계의 모양(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 데카르트(검정), 아핀(빨강), 일반 좌표계(파랑)의 예(출처: wikipedia.org)

텐서(tensor) 개념을 이루는 핵심 요소인 공변 벡터(共變, covariant vector) $\bar a^i$와 반변 벡터(反變, contravariant vector) $\bar a_i$를 이용하면 벡터 함수 $\bar F$를 [그림 1]과 같은 일반 좌표계(generalized or curvilinear coordinate system)에 정의할 수 있다.

                       (1)

여기서 $f^i$, $f_i$는 각각 공변과 반변 벡터가 기저 벡터(basis vector)인 경우의 좌표값이다. 식 (1)의 텐서 표현식은 단위 기저 벡터(unit basis vector)를 이용해 표현할 수도 있다.

                         (2)

여기서 단위 벡터와 해당 좌표값의 크기는 아래와 같다.

                        (3)

일반 좌표계에서 구배(勾配, gradient), 발산(發散, divergence), 회전(回轉, curl), 라플라시안(Laplacian)은 다음으로 표현된다.

                          (4)

                           (5)

                  (6)

                       (7)

식 (4)에서 (7)을 계산하려면 해당 좌표계의 계량 텐서(metric tensor)를 계산해야 한다. 좌표 변환이 [그림 2]의 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system) $X$에서 [그림 2]의 일반 좌표계 $U$로 간다면 계량 텐서는 아래로 정의된다.

                         (8)

예를 들어 데카르트 좌표계에서 데카르트 좌표계로 가면 계량 텐서는 크로네커 델타(Kronecker delta)가 된다.

                         (9)

변환되는 좌표계가 [그림 2]와 같은 아핀 좌표계(affine coordinate system)이면 아래와 같은 변환식을 가진다.

                         (10)

식 (10)이 다소 복잡해 보이지만 전형적인 선형 사상(線型寫像, linear mapping)이다. 아핀 좌표계는 직선으로 구성되기는 하지만 좌표축이 서로 직각으로 만날 필요는 없다. 아핀 좌표계의 반변 벡터는 아래로 정의된다.

                         (11)

                         (12)

식 (12)를 이용하여 계량 텐서를 구하면 다음과 같다.

                         (13)

식 (14)처럼 공변과 반변 계량 텐서는 상호 역행렬(inverse matrix) 관계이므로 식 (13)의 역행렬을 구하면 식 (8)로 표현되는 공변 계량 텐서를 구할 수 있다.

                         (14)

[그림 2]의 일반 좌표계는 곡선일 수 있으므로 아래처럼 복잡한 관계식이 사용된다.

                   (15)

[그림 3] 2차원과 3차원 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[그림 3]의 데카르트 좌표계처럼 좌표축이 서로 직교하는 좌표계를 직교 좌표계(直交座標系, orthogonal coordinate system)라 한다. 서로 직교하기 때문에 좌표계를 이루는 서로 다른 벡터의 내적(inner product)은 0이 되어야 한다. 이 개념을 적용하면 직교 좌표계의 계량 텐서는 항상 다음 관계를 만족한다.

                         (16)

또한 내적은 좌표 성분을 추출하는 연산이므로, 직교 좌표계에서 각 좌표 성분은 서로 독립적으로 변할 수 있다. 예를 들어, 직교 좌표계에서는 $u^2, u^3$ 성분을 동일한 값으로 유지하면서 $u^1$만 변화시키는 연산이 가능하다. 수학적으로 보면, $\left( \bar F + \Delta u^1 \hat e_1 \right) \cdot \hat e_1$ = $u^1 + \Delta u^1$, $\left( \bar F + \Delta u^1 \hat e_1 \right) \cdot \hat e_2$ = $u^2$ 및 $\left( \bar F + \Delta u^1 \hat e_1 \right) \cdot \hat e_3$ = $u^3$이 된다. 여기서 $\bar F$ = $(u^1, u^2, u^3)$로 가정한다. 공변과 반변 계량 텐서는 식 (14)처럼 상호 역행렬(inverse matrix) 관계이므로, 식 (16)이 당연히 성립한다. 또한 식 (16)은 계량 텐서가 다음과 같은 대각 행렬(diagonal matrix)이 됨을 뜻한다.

                       (17)

식 (16)이 성립하기 때문에 척도 인자(尺度因子, scale factor) $h_i$를 도입하자.

                       (18)

식 (16)의 직교성으로 인해 계량 텐서의 행렬식(determinant)은 아래가 된다.

                       (19)

직교 좌표계에서 식 (3)은 아래처럼 간단하게 변경된다.

                       (20)

식 (19)와 (20)을 식 (4)에서 (7)에 대입하면 직교 좌표계에 대한 벡터 연산자를 정의할 수 있다.

                       (21)

        (22)

                       (23)

                       (24)

식 (21)에서 (24)에 소개한 벡터 연산자는 텐서가 아닌 다른 쉬운 방법으로 유도할 수도 있다. 하지만, 텐서를 사용하면 우리가 생각하기 어려운 4차원 이상의 좌표계에 대해서도 동일한 벡터 연산자를 개발해낼 수 있다. 여기에 수학의 위대성이 있다.

[다음 읽을거리]
1. 원통 좌표계
2. 구 좌표계