2011년 12월 10일 토요일

감마 함수(gamma function)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "감마 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 적분법의 의미
2. 아름다운 숫자, 오일러 수
3. 로그 함수의 기원
4. 복소 함수론의 이해


천재 수학자 오일러(Leonhard Euler)가 1729년부터 무려 1년(?)이나 고민해서 1730년에 제안한 함수가 하나 있다. 이름은 감마 함수(gamma function)이다. 이 감마 함수는 수학 좀 하는 사람들에게는 매우 유명한 함수이다[1]. 수학책에 나오는 많은 수학자들(르장드르, 가우스, 리만, 리우빌, 바이에어슈트라스, 에르미트 등)이 끊임없이 기여했을 정도로 감마 함수는 성공적이었다.
이렇게 유명하며 중요한 함수지만 감마 함수의 시작은 별개없다. 오일러는 이런 고민을 했다. "$n!$과 같은 계승(階乘, factorial)은 왜 정수에만 정의되지? 이걸 실수로 확장하는 방법이 없을까?" 이 고민을 해결한 결과가 식 (1)의 감마 함수이다.

                      (1)

[그림 1] 감마 함수(출처: wikipedia.org)

1. 기본(basics)

[1-1. 오일러의 원래 정의(original definition by Euler)[1]]

                      (1-1)

여기서 $\log(u)$는 자연 로그(natural logarithm)이다.

[증명]

                      (1-2)

식 (1-2) 유도에서 치환값 $t = -\log(u)$에 로그 함수(logarithmic function)의 역함수인 지수 함수(exponential function)를 취하여 얻은 새로운 관계식 $u = e^{-t}$를 이용하였다.
______________________________

식 (1-1)은 누구나 정의할 수 있을 것 같지만 식 (1-1)에 나오는 로그 함수(logarithmic function)를 정의한 사람이 오일러라는 것을 기억하자. 로그 함수는 네이피어(John Napier)가 발명했지만 수학적 함수로 승화시킨 것은 오일러이다. 당연히 지수 함수(exponential function)의 발명자도 오일러이다. 이 정도라면 大수학자 오일러는 "함수의 아버지"라고 불러도 무방하다.

[1-3. 계승의 일반화(generalization of factorial)]

                      (1-3)

여기서 $x > 0$인 실수이며 $n$은 정수이다.

[증명]

                      (1-4)

식 (1-4)와 식 (2-1)을 이용하면 식 (1-3)이 증명된다.
______________________________

식 (1)의 정의는 $x > 0$인 경우만 의미가 있지만(∵ $x < 0$이면 식 (1)이 발산한다.) 식 (1-3)을 기반으로 $x$의 값을 실수축 전체로 확장할 수 있다. 예를 들어 $-1 < x < 0$이라면 감마 함수는 다음을 통해 계산할 수 있다.

                      (1-5)

여기서 $0 < x+1 < 1$이므로 식 (1-5)의 우변은 잘 정의된다. 따라서, 이 값을 $\Gamma (x)$로 정의할 수 있다. 이 개념을 좀더 확장하면 $x > -n$인 경우($n$은 양의 정수)에도 아래처럼 감마 함수를 정의할 수 있다.

                  (1-6)

식 (1-6)이 재미있는 것은 $x \le 0$인 정수에 대해 감마 함수는 무한대가 된다. (∵ 이때 식 (1-6)의 분모가 0이 된다.)
다음으로 식 (1-6)과 유사하게 실수축 전체에 대해 감마 함수를 정의해보자.

[1-7. 무한곱을 이용한 정의(definition using infinite product)]

                      (1-7)

여기서 $x$는 임의의 실수이다.

[증명]
식 (1)에 있는 적분을 하기 위해 먼저 오일러 수(Euler's number)를 고려하자.

                        (1-8)

식 (1-8)을 식 (1)에 대입해 부분 적분을 적용하면 다음을 얻을 수 있다[2].

               (1-9)

식 (1-9)의 마지막 식을 연속적으로 적용하면 식 (1-7)을 얻는다.

                  (1-10)

증명에 식 (1)을 사용했기 때문에 $x > 0$에서만 성립하지만 식 (1-6)의 개념을 이용하면 $x < 0$인 경우도 정의할 수 있다.
______________________________

식 (1-7)의 접근법은 1729년에 오일러가 제안한 것이다[1]. 그 1년 뒤인 1730년에 식 (1-1)을 이용해 감마 함수를 재정의했다. 그런데 의외의 풍성한 결과가 얻어진 것은 식 (1-1)이 아닌 식 (1-7)이다.

식 (1-7)의 오일러 정의가 좋기는 하지만 완전한 무한곱(infinite product)으로 표현되지 않고 극한(limit)을 포함하고 있다. 여기에 불만을 품은 가우스(Carl Friedrich Gauss)는 1811년에 다음의 정의를 내놓게 된다.

[1-11. 가우스의 정의(definition by Gauss)]

                      (1-11)

[증명]
식 (1-11)의 증명은 식 (1-7)의 $n^x$를 치환하기 위한 다음 곱셈을 고려하면 된다.

   

                     (1-12)
______________________________

가우스의 정의를 다른 방법으로 비튼 사람은 바이에어슈트라스(Karl Weierstrass)이다. 바이에어슈트라스는 $n^x$를 표현하기 위해 지수 함수(exponential function)를 이용하였다.

[1-13. 바이에어슈트라스의 정의 혹은 곱 공식(definition by Weierstrass or Weierstrass product formula)]

                      (1-13)

여기서 $\gamma$는 오일러-마스케로니 상수(Euler-Mascheroni constant)이다.

[증명]
가우스와 마찬가지로 바이에어슈트라스도 $n^x$ 변형에 집중했다. 지수 함수를 쓰면 다음으로 표현가능하다.

                       (1-14)

식 (1-14)에서 무한대로 가는 극한을 취할 때 다음의 오일러-마스케로니 상수(Euler-Mascheroni constant)를 고려하면 식 (1-13)이 쉽게 증명된다.

                      (1-15)
______________________________


2. 특수한 함수값(special values)

[2-1]

                      (2-1)

[증명]

                      (2-2)
______________________________

[2-3]

                      (2-3)

[증명]
먼저 가우스 함수(Gaussian function)의 특성을 이용해 적분하면 다음과 같다.

                       (2-4)

식 (2-4)를 이용하면 식 (2-3)이 증명된다.

                      (2-5)
______________________________


3. 함수적 관계(functional relations)

[3-1. 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)]

                      (3-1)

[증명]
식 (1-11)을 이용해 다음을 계산해보자.

                      (3-2)

또한, 사인 함수(sine function)는 다음의 무한곱으로 표현할 수 있다.

                      (3-3)

식 (3-3)을 식 (3-2)에 대입하면 식 (3-1)을 증명할 수 있다.

                      (3-4)
______________________________

[3-5. 르장드르의 2배 공식(Legendre's duplication formula)]

                      (3-5)

[증명]
르장드르(Adrien-Marie Legendre)가 1808년에 증명한 식 (3-5)는 베타 함수(beta function)를 이용해 쉽게 증명할 수 있다.

                     (3-6)
______________________________


4. 적분으로 표현한 감마 함수(gamma function represented by integral)

[그림 2] 한켈 경로

[4-1. 한켈 경로(Hankel contour)]

                      (4-1)

여기서 $c$는 한켈 경로(Hankel contour), $z$는 임의의 복소수(complex number), $-t > 0$인 실수축의 위상은 0으로 정했으며 $t$의 가지 자름(branch cut)은 $-t \le 0$인 실수축에 있다.

[증명]
식 (4-1)의 우변에 대해 [그림 2]와 같은 한켈 경로를 생각하자. 식 (4-1)의 적분은 복소 함수론(complex analysis)에 의해 $-t \le 0$인 실수축에서 가지 자름(branch cut)을 가진다. 그래서, 한켈 경로는 $-t \le 0$인 실수축을 피하면서 정의한다. 즉, 한켈 경로에서는 적분값이 동일하므로 다음과 같이 적분을 정의하자[3].

                      (4-2)

여기서 $-t$의 위상 기준점은 $-t > 0$인 실수축으로 정하였다. 즉, $-t > 0$인 실수축은 위상이 0이 되고 시계 반대 방향으로 위상을 정하므로 $-t < 0$인 실수축 바로 아래는 위상이 180도가 되고 바로 위는 -180도가 된다.
식 (4-2)의 결과는 식 (1-4)와 같은 이유로 $z$의 실수부가 0보다 큰 영역에서만 맞다. 하지만, 식 (3-1)이 복소수에서도 성립한다고 가정하면 다음을 얻는다.

                      (4-3)

식 (4-3)의 우변은 잘 정의되었기 때문에 모든 복소수에 대해 적분가능하다. 따라서, 식 (4-3)의 좌변도 모든 복소수영역에서 잘 정의된다.
______________________________

식 (4-1)은 정말 놀라운 결과이다. $z$의 실수부가 0보다 큰 영역에만 맞는 적분을 전체 복소수영역으로 확대할 수 있기 때문이다. 이런 부분 때문에 우리는 반드시 복소 함수론을 배워야 하고 반드시 이해해야 한다.

[참고문헌]
[1] P. Sebah and X. Gourdon, Introduction to the Gamma Function, Feb. 2002.
[2] W. F. Hammond, About the Gamma Function, University at Albany, 1995.
[3] C. Pope, Methods of Theoretical Physics: I, Texas A&M University, 2011.

[다음 읽을거리]
1. 다이감마 함수
2. 베타 함수
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댓글 64개 :

  1. 선생님,
    (1-9)식에서 n/x 와 감마함수기호 사이에 1/((n-1)^(x+1))을 곱해주어야 맞지 않습니까??

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  2. 아이구, 죄송합니다. 같은 변수를 써서 헷갈리게 했네요.
    중복된 변수를 베타 함수 B로 바꾸었습니다.
    조언 정말 감사합니다.

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  3. (1-14_식에서 n^x =e ^(n^x) = e ^ (xlog(n)) 인데,

    n^x = e^(x^x) = e^(x log (x))로 되어있어, 바이어슈트라스 곱정리가 그런 것인 줄 알고 한창 헤매었습니다.

    로그 x 이 아니고 로그 n 인 줄도 모르고.... 배우지 않은 사람이 ... 기초가 없으니 한참 헤매는 군요...

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    1. 감마 함수를 볼 정도면 기초가 없는 분이란 생각이 들지 않습니다. ^^
      같이 배워 가시지요.

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    2. 위의 (1-14) 전개식에서 log x 를 log n 로 고쳐야 할 것 같습니다. 즉 log x는 log( n )의 오자 라고 생각됩니다.

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    3. 아이쿠, 틀렸네요. 말씀하신 대로 수정했습니다. 정말 감사합니다. ^^

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    4. 거북이님 이글과는 관련없지만 바이어슈트라스의 곱정리를 찾아보던중 구글에 글이 나와서 들어오게 되었습니다만 바이어슈트라스의 곱정리라는것이 정확히 어떤 정리인가요? 위키백과로는 완벽한 해답을 얻을수가없고.. 영어버전은 영어가 안되서.. 바이어슈트라스와 관련된 서적을 찾아봐도 꼭 저 곱정리만 쏙빼더라구요..
      제가 이 정리에 관심을 가지게 된게 바젤문제의 풀이법을 찾아보던중인데요.. 바이어 슈트라스의 곱정리를 이용하여 sinx/x를 (1+x/Π)(1-x/Π)(1+x/2Π)(1-x/2Π) ... 의 곱으로 나타내 진다고 적혀있더군요.. 처음에 오일러가 증명할당시에는 이방법이 엄밀하지 못햇지만 바이어슈트라스의 곱정리를통해 이 방법의 엄밀성이 등명되엇다던데.. 바이어슈트라스의 곱정리가 극점을 가지지않는 복소슈수열이 전해질때 이 점들만(?) 영점으로 가지는 전해석함수가 적어도 하나 존재하며 이때 하나의 전해석함수를 제시해놓았는데
      어떻게 그 식을 활용해서 위의 사인함수를 분해하는것인지 잘모르겟습니다 또한 위키백과에 제시된 함수도 영어버전과 한국버전이 조금씩 달라서 혼란이오네요.. 근처에 대학수학하시는 형들도 모르시고 해서.. 혹시나하는 마음으로 질문해봅니다...댓글로 달기 어려우시면 메일로 보내주세요 정말 궁금합니다.. luke6348@naver.com

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    5. 이 블로그에서는 편하게 리우빌의 정리(Liouville's theorem)를 이용해 사인 함수의 무한 곱 표현식을 구했습니다. 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/12/infinite-product.html

      luke6348님이 말씀하신 내용은 오일러 반사 공식의 부수적인 결과로 사인 함수의 무한 곱 표현식이 나옴을 뜻하는 것 같네요. 물론 이것도 가능하겠지만 상당히 번거로운 과정을 거쳐야 해서, 이 블로그는 좀더 편한 방법을 택했어요. ^^

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  4. 오일러의 원래 정의에서 나오는 로그가 밑이 10인 상용로그인가요? 자연로그
    인가요?
    또 -log(u)=t로 했을 때 du=-e^(-t)dt 인 이유가 잘 이해가 안되는데
    간단하게마나 답글로 설명해 주실 수 있을까요?

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    1. 1. 자연로그로 정의했습니다.

      2. t = -log(u)를 미분하면 dt = -(1/u)du가 됩니다. u = e^(-t)이므로 위 식이 증명됩니다.

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    2. 아 다시보니 본문에 나와있군요...(ㅠㅠ)
      log_a(u)로 놓고 du=-e^(-t)dt 되게 식 만들어놓으니까
      a=e가 나왔네요...
      그러고 들어와보니 본문에 써있네요..
      눈이 안좋나봐욬ㅋ

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  5. 식 4-1에서 the phase of -t가 0라는 조건이 필요하지 않나요?

    증명 과정중에 가정하는것이 아니라...

    왜냐하면, 위상출발점이 2pi일때 (negative real axis를 기준), 즉 pi < arg(-t) < 3pi 이면, 값이 다르게 나와서요..

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  6. the phase of -t라는 건 t가 negative real axis에 있을때를 말함..

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    1. 댓글 감사합니다.

      예, 맞는 말씀이네요. 변수 t의 위상기준점을 정해주어야 되겠네요.
      본문 수정했습니다.

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  7. 식 (3-6)에서
    5번째 변에 있는 2의 지수는 (1-2x)가,
    6번째 변에 있는 2의 지수는 (-2x)가 되어야 할 것 같아요..
    한편으로는 6번째 변을 아예 생략해도 무난할 것 같은 느낌도 들고요.

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    1. 또 틀렸네요. 좋은 지적 감사합니다. OTL
      오타 수정해서 본문을 고쳤습니다.

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  8. 1-4에서 부분적분을 쓴 것 같은데, 중간에 왜 +가 나왔을까요...
    결과를 보면 +가 맞긴 한것같은데 어디에서 -가 하나 더 나와서 +가 되었죠?

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    1. 적분된 항 자체가 (-)입니다. 그래서 (-)(-) = (+)가 됩니다.

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  9. t^(x) / e^(t)에 대해서, 잡생각이 나서 질문드립니다.

    어떠한 x에 대하여 t -> 무한 이면 위 식은 0 가 되지만,

    그 어떠한 x 가 무한이면 어떻게 생각할수가 있을까요?..

    그러니깐, x -> 무한, t -> 무한이면 위식이 0가 아니라서 감마함수의 generalization of factorial의 증명이 모호해지지 않습니까?..

    아니면, 어차피 x가 무한이 큰 값이라도, 그 값을 기준으로 생각하는 것이기 때문에, 그 값을 기준으로 t^(x) / e^(t)에서 t -> 무한이면, 이것을 0으로 생각할 수 있기때문에 유효한건가요?..

    죄송합니다... 잡생각이 많아서..ㅎㅎ

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    답글
    1. 잡생각이 수학을 발전시킵니다. 잡생각 많이 하세요. ^^

      말씀하신 것은 극한을 적용할 때 중요한 부분입니다. 극한을 적용할 때 극한의 교환법칙은 성립하지 않을 수 있습니다. 조심해서 적용해야 합니다.

      식 (1) 적용에서는 분명히 t가 먼저 무한대로 가야하고 x는 나중에 가야합니다. 이게 제대로 적용하는 것입니다.

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    2. 감사합니다. 많은 도움이 됩니다.

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  10. 글 잘 읽고 갑니다 ^^
    보통 수학 글이 이렇게 잘 정리되어있는 경우는 잘 보기 힘든데 깔끔해서 좋네요.
    고생하셨습니다.

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    1. 칭찬과 격려 모두 감사합니다. ^^

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  11. 와 너무 인상적이네요! 그런데 1-(12) 부분이 쉽게 증명된다고 하셔서 자세히 알기힘드네요.. 그리고 1-(1)의 증명을 알고싶은데 알 수 없는 건가요?

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    1. 식 (1-12)를 수정했습니다. 다시 한 번 보세요, 익명님. ^^
      식 (1-1)은 사실 정의입니다. 우리가 흔히 보는 감마 함수 정의식과 등가라는 것은 식 (1-2)에 소개되어 있습니다.

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  12. 식 1-2 에서 du=-e^(-t)dt 인데 대입했을 때 최종 식에서는 (-)가 사라지는데 왜 이렇게 되나요?

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    1. 적분 구간의 시작과 끝이 바뀌어서 그렇습니다, 익명님.

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    2. 아 정말 빠르시네요 ㅎ
      어렵지만 유용한 정보 감사합니다

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  13. Cylinerical coordinate를 사용하는 제품의 설계/시험업무를 하는 연구원입니다.
    베셀함수의 기초를 다지기 위해 들어왔는데, 사고가 확장되는 기묘한 경험을 하였습니다.

    정말 대단하십니다 작성자님.
    덕분에 한단계 더 배웠습니다.

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    1. 최태웅님, 반갑습니다. ^^
      많이 공부하시고, 좋은 연구도 많이 하세요.

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  14. 질문있습니다!! 전 중2인데요!!
    저기3-6에 증명하는과정에서 저 2^1-2x가2^2x-1이되고 감마2분의1이 분모로 내려오게되엇나요?!?

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    1. 익명님, 중2인데도 감마 함수를 공부하고, 대단하네요!

      식 (3-6)은 베타 함수를 이용하고 있습니다. 아래 베타 함수를 잘 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/beta-function.html

      예를 들어 $B(x, y) = B(y, x)$이기 때문에 식 (3-6)의 최종식에서 두번째 줄이 증명됩니다. 그 다음에 베타 함수를 감마 함수로 바꾸면 증명이 완성됩니다.

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  15. 오 감사합니다!!! 아직 더해야되요~~헤헤

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  16. 그 중2인데요 궁금한게있어요!! 감마함수는 어떻게해서 유도된건가요??? 그유도방법은 인터넷에도없네요...ㅠㅠ

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    1. 감마 함수는 식 (1)과 같은 정의입니다. 정수로 된 계승을 실수로 확장하기 위해 오일러가 제안했습니다. 나중에 한켈이 실수로 정의된 감마 함수를 복소수까지 확장했습니다.

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  17. 저 가우스적분에서 x^2+y^2을 p로치환한거 맞죠?? 그런데 어떻게해서 2πpdp가되죠???

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    답글
    1. 아닙니다. 좌표계를 변환했습니다, 데카르트 좌표계에서 원통 좌표계로요.

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  18. 감마함수 구글링하다가 첫 검색결과로 떠서 들어왔습니다.
    좋은 블로그 들릴 때마다 즐겨찾기 해두고 지하철 타면서 스마트폰으로 공부하는데요
    오늘 굉장한 보물을 발견한 기분이 듭니다.
    귀중한 시간 할애해서 이렇게 좋은 글 올려주셔서 감사합니다.
    좋은 글 하나하나가 이 블로그에 드나드는 수많은 사람들의 시간을 구원해주네요

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    답글
    1. 도움이 되었다니 기쁘네요, 익명님. ^^
      우리말로 된 자료가 너무 없어서 저라도 좀 기여하려고 블로그를 시작했는데, 익명님 같은 분에게 좋은 자료가 되었다니 시작한 보람이 있네요.

      삭제
  19. 대학때 감마함수를 아주 살짝 짚고 넘어갔고
    다시 공부할 일이 없어서 늘 아쉬웠는데 ~

    정말 윗분 말씀 처럼 보물을 발견했네요.

    개인적으로 궁금한 점이 생겨서 확률에 관한 수학책 뒤져볼때
    감마함수 나오면 ~~ ㅠㅜ; 했던 기억이 나네요.
    느리게 살자라는 것도 좋구요. 포스팅 감사합니다.

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  20. 안녕하세요! 감마함수 관련문제를 풀다가 궁금한것이 있는데요.. 0에서 무한대까지 적분으로 x^-(1/2) * e^-x dx 인데 이것을 감마함수로 바꾸는걸 어떻게하는지 고민이네요ㅠㅠ 도움부탁드립니다..

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    1. 그냥 p-1=-(1/2) 라고 해도 되는지 의문입니다..

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  21. 빠른답변 감사합니다^^ 하나만 더 질문드릴게요ㅠㅠ 똑같이 0에서 무한대까지 적분으로 x^2 * e^-(x^2) dx 는 어떻게 풀면될까요??

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    답글
    1. 아 x^2 * e^-a(x^2) dx 입니다!!
      친구는 e^-a(x^2) dx 적분과 관련이 있다고 하는데 이거도 감마함수로 어떻게 바꾸는지 모르겠네요ㅠㅠ

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    2. 단순하게 $u = x^2$ or $u = a x^2$으로 치환해서 정리해보세요.

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  22. 글 너무 재미있게 읽었어요! ^^ 감마 함수는 원래 알고있었지만 의미를 모르고 수식만 알았었는데 이렇게 읽으니까 재미있고 좋네요... 감사합니다! 혹시 확률통계나 선형대수도 블로그에서 다루시나요?

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    답글
    1. 말씀하신 부분도 더 깊이있게 다루고 싶은데, 아직은 내용이 부족합니다. ^^

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  23. 안녕하세요! 식 3-3 sin(Πx) 가 우변의 무한곱 꼴로 표현할수 있음이 잘 보이지 않습니다 .
    sin(Πx) 를 테일러 전개하면 x-(Πx)^3/3!+(Πx)^5/5!- ... 이런 식인데 식의 우변엔 Π의 1제곱만 있고 계속 k=1,2,3,4... 를 대입하여 각 항의 상수배를 추적하기는 좀 복잡하지 않나 싶은데..
    sin(Πx) 를 우변으로 어떻게 나타내셨는지 모르겠습니다





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    답글
    1. 아래에 증명되어 있습니다, 익명님. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/infinite-product.html

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  24. 제가 많이 못배워서 질문하나 올립니다.
    감마기호랑 (x)사이에 저 작은 n은 무슨뜻인가요??

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    답글
    1. 아이고
      1-7~1-10에 있는 작은 n이요

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    2. 그냥 정의라고 생각하면 됩니다. $n$이 무한대로 가면 감마 함수가 되는 어떤 특정한 함수를 식 (1-7)로 표현했습니다.

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  25. 공부하는데 많은 도움이 되는 블로그입니다. 운영해 주셔서 감사합니다.

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  26. 안녕하세요, 감마 함수에 대해 찾아보던 중에 들렀습니다.
    ∏(z)=int 0 to 1 (ln(1/t))z-1 t 이건 본문을 보면서 이해가 됬는데요, 변형된 표현으로

    ∏(z)=2* int 0 to inf [e^-t^2 t^(2z-1] dt 꼴로 나타내는 건 어떻게 변환을 한 건가요? 식 1-2에서 바꿔서 표현 한 것 같은데... 기초적인 질문이라 민망하네요 ㅜㅜ 도움을 구합니다

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    1. 익명님, 몇 번 식을 말씀하시는 거지요?

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  27. 제가 보고 있는 책에서는 \Gamma (x)=\int_0^1 ln (\frac{1}{u})^{x-1} du 이 식을
    \Gamma (x)=2\int_0^\infty e^{-u^2}u^{2x-1} du 이런 식으로 변환을 하고, 이런 식이 자주 이용된다고 되어있었는데, 두번째 식의 유도과정이 궁금합니다.

    책은 수리물리 아프켄 7판이고, 위의 수식은 http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php 사이트에 붙여넣기 하시면 보기 편하실 겁니다.

    덧붙여서 궁금한게 있는데, 블로그에 글 작성하실 때 쓰신 수식들은 어떻게 편집해서 넣으시는지요? 오피스나 한글을 쓰시는 지, 아니면 다른 방법이 있는지 궁금합니다.

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    1. 식 (1)에서 $t = u^2$으로 단순 변수 치환하면 말씀하신 식이 나옵니다.

      수식을 만들 때, 큰 수식은 말씀하신 곳에서 그림으로 만들고, 본문 수식은 MathJax를 사용합니다.

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    2. 아, 이런ㅋㅋ 너무 간단한 거였군요. 답변 감사합니다.
      항상 블로그 도움이 많이 되고 있습니다! 행복하세요 :)

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  28. 안녕하세요 선생님. (1-8)의 첫번째 식이 어떻게 e 의 정의식으로 부터 도출됐는지 설명해주실 수 있을까요?

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    1. 위에 있는 링크에 자세히 설명되어 있습니다, 익명님. ^^

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