2011년 12월 10일 토요일

감마 함수(Gamma Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "감마 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 적분법의 의미
2. 아름다운 숫자, 오일러 수
3. 로그 함수의 기원
4. 복소 함수론의 이해


천재 수학자 오일러Leonhard Euler(1707–1783)가 1729년오일러 22세, 조선 영조 시절부터 무려 1년(?)이나 고민해서 1730년에 제안한 함수가 하나 있다. 이 함수의 이름은 감마 함수(gamma function)라고 한다. 감마 함수는 수학 좀 한다는 사람들에게 매우 유명한 함수이다[1]. 수학책에 나오는 많은 수학자들[르장드르, 가우스, 리만, 리우빌, 바이어슈트라스, 에르미트 등]이 끊임없이 기여했을 정도로 감마 함수는 성공적이었다. 이렇게 유명하며 중요한 함수이지만 감마 함수의 시작은 별개 없다. 오일러는 '기호 $n!$과 같은 계승(階乘, factorial)은 왜 정수에만 정의되지? 이 함수를 실수로 확장하는 방법이 없을까?'를 고민했다. 평범한 고민이지만 해결책은 비범했다. 적분으로 표현한 감마 함수를 사용하면 계승을 실수까지 연속적으로 확장할 수 있다.

                      (1)

식 (1)을 감마 함수라 부르는 이유는 오일러 때문이다. 오일러는 1730년오일러 23세, 조선 영조 시절에 두 개의 새로운 적분을 발표했다. 바로 베타 함수(beta function)와 감마 함수이다. 이 함수들의 원래 이름은 각각 제1종과 제2종 오일러 적분(Euler integrals of the first and second kinds)이다. 하지만 오일러가 들어가 있는 수학 공식이 너무 많기 때문에, 그리스 알파벳 순서에 따라 베타와 감마 함수로 부른다.[그리스 알파벳의 순서는 알파($A$), 베타($B$), 감마($\Gamma$) 순이다.]

[그림 1] 감마 함수(출처: wikipedia.org)


   1. 기본(basics)   

[오일러의 원래 정의(original definition by Euler)] [1]

                      (1.1)

여기서 $\log(u)$는 자연 로그(natural logarithm)이다.

[증명]

                      (1.2)

식 (1.2) 유도에서 치환값 $t = -\log(u)$에 로그 함수(logarithmic function)의 역함수인 지수 함수(exponential function)를 취하여 얻은 새로운 관계식 $u = e^{-t}$를 이용하였다.
______________________________

식 (1.1)은 누구나 정의할 수 있을 것 같지만 식 (1.1)에 나오는 로그 함수(logarithmic function)를 정의한 사람이 오일러임을 기억하자. 로그 함수는 네이피어John Napier(1550–1617)발명했지만 수학적 함수로 승화시킨 이는 오일러이다. 당연히 지수 함수(exponential function)의 적극적인 활용자도 오일러이다. 이 정도라면 대(大)수학자 오일러는 함수의 아버지 혹은 함빠라고 불러도 무방하다.

[계승의 일반화(generalization of factorial)]

                      (1.3)

여기서 $x > 0$인 실수이며 $n$은 정수이다.

[증명]

                      (1.4)

식 (1.4)와 식 (2.1)을 이용하면 식 (1.3)이 증명된다.
______________________________

식 (1)의 정의는 $x > 0$인 경우만 의미가 있지만[∵ $x < 0$이면 식 (1)이 발산한다.] 식 (1.3)을 기반으로 $x$의 값을 실수축 전체로 확장할 수 있다. 예를 들어 $-1 < x < 0$이라면 감마 함수는 다음을 통해 계산할 수 있다.

                      (1.5)

여기서 $0 < x+1 < 1$이므로 식 (1.5)의 우변은 잘 정의된다. 따라서, 이 값을 $\Gamma (x)$로 정의할 수 있다. 이 개념을 좀더 확장하면 $x > -n$인 경우[$n$은 양의 정수]에도 아래처럼 감마 함수를 정의할 수 있다.

                  (1.6)

식 (1.6)에서 $x \le 0$인 정수에 대해 감마 함수가 무한대가 되는 부분은 상당히 재미있다.[∵ 이때 식 (1.6)의 분모가 0이 된다.] 다음으로 식 (1.6)과 유사하게 실수축 전체에 대해 감마 함수를 정의해보자.

[무한 곱을 이용한 정의(definition using infinite product)]

                      (1.7)

여기서 $x$는 임의의 실수이다.

[증명]
식 (1)에 있는 적분을 하기 위해 먼저 오일러 수(Euler's number)를 고려하자.

                        (1.8)

식 (1.8)을 식 (1)에 대입해 부분 적분을 적용하면 다음을 얻을 수 있다[2].

               (1.9)

여기서 $B(x, y)$는 베타 함수(beta function)이다. 식 (1.9)의 마지막식을 다음처럼 연속적으로 적용하면 식 (1.7)을 얻을 수 있다.

                  (1.10)

증명에 식 (1)을 사용했기 때문에 $x > 0$에서만 성립하지만 식 (1.6)의 개념을 이용하면 $x < 0$인 경우도 정의할 수 있다.
______________________________

식 (1.7)의 접근법은 1729년에 오일러가 제안했다[1]. 또한 1년 뒤인 1730년에 식 (1.1)을 이용해 감마 함수를 재정의했다. 그런데 의외의 풍성한 결과가 얻어진 정의는 식 (1.1)이 아닌 식 (1.7)이다. 식 (1.7)의 오일러 정의가 좋기는 하지만 완전한 무한 곱(infinite product)으로 표현되지 않고 극한(limit)을 포함하고 있다. 여기에 불만을 품은 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855)는 1811년가우스 34세, 조선 순조 시절에 다음 정의를 내놓게 된다.

[가우스의 정의(definition by Gauss)]

                      (1.11)

[증명]
식 (1.11)의 증명은 식 (1.7)의 $n^x$를 치환하기 위한 다음 곱셈을 고려하면 된다.

   

                     (1.12)
______________________________

가우스의 정의를 다른 방법으로 비튼 수학자는 바이어슈트라스Karl Weierstrass(1815–1897)였다. 바이어슈트라스는 $n^x$를 표현하기 위해 지수 함수(exponential function)를 이용하였다.

[바이어슈트라스의 정의 혹은 곱 공식(definition by Weierstrass or Weierstrass product formula)]

                      (1.13)


[증명]
가우스와 마찬가지로 바이어슈트라스도 $n^x$ 변형에 집중했다. 지수 함수를 적용하면 다음처럼 표현 가능하다.

                       (1.14)

식 (1.14)에서 무한대로 가는 극한을 취할 때 다음과 같은 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)를 도입한다. 그러면 식 (1.13)을 쉽게 증명할 수 있다.

                      (1.15)
______________________________


   2. 특수한 함수값(special value)   

                      (2.1)

[증명]

                      (2.2)
______________________________

                      (2.3)

[증명]
먼저 가우스 함수(Gaussian function)의 특성을 이용해 적분하면 다음과 같다.

                       (2.4)

식 (2.4)를 이용하면 식 (2.3)이 증명된다.

                      (2.5)
______________________________


   3. 함수적 관계(functional relation)   

[오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)]

                      (3.1)

[증명]
식 (1.11)을 이용해 다음을 계산해보자.

                      (3.2)

또한, 사인 함수(sine function)는 다음의 무한 곱으로 표현할 수 있다.

                      (3.3)

식 (3.3)을 식 (3.2)에 대입하면 식 (3.1)을 증명할 수 있다.

                      (3.4)
______________________________

[르장드르의 2배 공식(Legendre's duplication formula)]

                      (3.5)

[증명]
르장드르Adrien-Marie Legendre(1752–1833)가 1808년르장드르 56세, 조선 순조 시절에 증명한 식 (3.5)는 베타 함수(beta function)를 이용해 쉽게 증명할 수 있다.

                     (3.6)
______________________________


   4. 적분 표현식(integral representation)   

[그림 4.1] 한켈 경로

[한켈 경로(Hankel contour)]

                      (4.1)

여기서 $c$는 한켈 경로(Hankel contour), $z$는 임의의 복소수(complex number), $-t > 0$인 실수축의 위상은 0으로 정했으며 $t$의 가지 자름(branch cut)은 $-t \le 0$인 실수축에 있다.

[증명]
식 (4.1)의 우변에 대해 [그림 4.1]와 같은 한켈 경로를 생각하자. 식 (4.1)의 적분은 복소 함수론(complex analysis)에 의해 $-t \le 0$인 실수축에서 가지 자름(branch cut)을 가진다. 그래서, 한켈 경로는 $-t \le 0$인 실수축을 피하면서 정의한다. 즉, 한켈 경로에서는 적분값이 동일하므로 다음과 같이 적분을 정의하자[3].

                      (4.2)

여기서 $-t$의 위상 기준점은 $-t > 0$인 실수축으로 정하였다. 즉, $-t > 0$인 실수축은 위상이 0˚가 되고 시계 반대 방향으로 위상을 정하므로 $-t < 0$인 실수축 바로 아래는 위상이 180˚가 되고 바로 위는 -180˚가 된다. 식 (4.2)의 결과는 식 (1-4)와 같은 이유로 $z$의 실수부가 0보다 큰 영역에서만 맞다. 하지만, 식 (3.1)이 복소수에서도 성립한다고 가정하면 다음을 얻는다.

                      (4.3)

식 (4.3)의 우변은 잘 정의되었기 때문에 모든 복소수에 대해 적분 가능하다. 따라서, 식 (4.3)의 좌변도 모든 복소 영역에서 잘 정의된다.
______________________________

식 (4.1)은 정말 놀라운 결과이다. $z$의 실수부가 0보다 큰 영역에만 맞는 적분을 전체 복소 영역으로 확대할 수 있기 때문이다. 이런 부분 때문에 우리는 반드시 복소 함수론을 배워야 하고 반드시 이해해야 한다.


   5. 점근식(asymptote)   

                      (5.1)

                      (5.2)

[증명]
식 (5.1)은 스털링의 공식(Stirling's formula)으로 쉽게 증명된다. 식 (5.2)의 증명을 위해 감마 함수를 복소 영역으로 확장한다. 먼저 $x > 0$, $y > 0$으로 가정해서 스털링의 공식을 크기에 대해서 정리한다.

                      (5.3)

여기서 $y \gg 1$, $\rho$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$, $\phi$ = $\tan^{-1}(y/x)$이다. 만약 $x$ > $0$, $y < 0$이라면, 식 (5.3)에서 복소수의 위상은 $\phi$ $\approx$ $-\pi/2$이다. 그래서 $e^{-\phi y}$ $\approx$ $e^{y \pi /2}$ = $e^{-|y| \pi /2}$로 표현할 수 있다.
______________________________


[참고문헌]
[1] P. Sebah and X. Gourdon, Introduction to the Gamma Function, Feb. 2002.
[2] W. F. Hammond, About the Gamma Function, University at Albany, 1995.

[다음 읽을거리]
1. 다이감마 함수
2. 베타 함수
3. 불완전 감마 함수

댓글 73개 :

  1. 선생님,
    (1-9)식에서 n/x 와 감마함수기호 사이에 1/((n-1)^(x+1))을 곱해주어야 맞지 않습니까??

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  2. 아이구, 죄송합니다. 같은 변수를 써서 헷갈리게 했네요.
    중복된 변수를 베타 함수 B로 바꾸었습니다.
    조언 정말 감사합니다.

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  3. (1-14_식에서 n^x =e ^(n^x) = e ^ (xlog(n)) 인데,

    n^x = e^(x^x) = e^(x log (x))로 되어있어, 바이어슈트라스 곱정리가 그런 것인 줄 알고 한창 헤매었습니다.

    로그 x 이 아니고 로그 n 인 줄도 모르고.... 배우지 않은 사람이 ... 기초가 없으니 한참 헤매는 군요...

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    1. 감마 함수를 볼 정도면 기초가 없는 분이란 생각이 들지 않습니다. ^^
      같이 배워 가시지요.

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    2. 위의 (1-14) 전개식에서 log x 를 log n 로 고쳐야 할 것 같습니다. 즉 log x는 log( n )의 오자 라고 생각됩니다.

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    3. 아이쿠, 틀렸네요. 말씀하신 대로 수정했습니다. 정말 감사합니다. ^^

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    4. 거북이님 이글과는 관련없지만 바이어슈트라스의 곱정리를 찾아보던중 구글에 글이 나와서 들어오게 되었습니다만 바이어슈트라스의 곱정리라는것이 정확히 어떤 정리인가요? 위키백과로는 완벽한 해답을 얻을수가없고.. 영어버전은 영어가 안되서.. 바이어슈트라스와 관련된 서적을 찾아봐도 꼭 저 곱정리만 쏙빼더라구요..
      제가 이 정리에 관심을 가지게 된게 바젤문제의 풀이법을 찾아보던중인데요.. 바이어 슈트라스의 곱정리를 이용하여 sinx/x를 (1+x/Π)(1-x/Π)(1+x/2Π)(1-x/2Π) ... 의 곱으로 나타내 진다고 적혀있더군요.. 처음에 오일러가 증명할당시에는 이방법이 엄밀하지 못햇지만 바이어슈트라스의 곱정리를통해 이 방법의 엄밀성이 등명되엇다던데.. 바이어슈트라스의 곱정리가 극점을 가지지않는 복소슈수열이 전해질때 이 점들만(?) 영점으로 가지는 전해석함수가 적어도 하나 존재하며 이때 하나의 전해석함수를 제시해놓았는데
      어떻게 그 식을 활용해서 위의 사인함수를 분해하는것인지 잘모르겟습니다 또한 위키백과에 제시된 함수도 영어버전과 한국버전이 조금씩 달라서 혼란이오네요.. 근처에 대학수학하시는 형들도 모르시고 해서.. 혹시나하는 마음으로 질문해봅니다...댓글로 달기 어려우시면 메일로 보내주세요 정말 궁금합니다.. luke6348@naver.com

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    5. 이 블로그에서는 편하게 리우빌의 정리(Liouville's theorem)를 이용해 사인 함수의 무한 곱 표현식을 구했습니다. 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.com/2011/12/infinite-product.html

      luke6348님이 말씀하신 내용은 오일러 반사 공식의 부수적인 결과로 사인 함수의 무한 곱 표현식이 나옴을 뜻하는 것 같네요. 물론 이것도 가능하겠지만 상당히 번거로운 과정을 거쳐야 해서, 이 블로그는 좀더 편한 방법을 택했어요. ^^

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  4. 오일러의 원래 정의에서 나오는 로그가 밑이 10인 상용로그인가요? 자연로그
    인가요?
    또 -log(u)=t로 했을 때 du=-e^(-t)dt 인 이유가 잘 이해가 안되는데
    간단하게마나 답글로 설명해 주실 수 있을까요?

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    1. 1. 자연로그로 정의했습니다.

      2. t = -log(u)를 미분하면 dt = -(1/u)du가 됩니다. u = e^(-t)이므로 위 식이 증명됩니다.

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    2. 아 다시보니 본문에 나와있군요...(ㅠㅠ)
      log_a(u)로 놓고 du=-e^(-t)dt 되게 식 만들어놓으니까
      a=e가 나왔네요...
      그러고 들어와보니 본문에 써있네요..
      눈이 안좋나봐욬ㅋ

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  5. 식 4-1에서 the phase of -t가 0라는 조건이 필요하지 않나요?

    증명 과정중에 가정하는것이 아니라...

    왜냐하면, 위상출발점이 2pi일때 (negative real axis를 기준), 즉 pi < arg(-t) < 3pi 이면, 값이 다르게 나와서요..

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  6. the phase of -t라는 건 t가 negative real axis에 있을때를 말함..

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    1. 댓글 감사합니다.

      예, 맞는 말씀이네요. 변수 t의 위상기준점을 정해주어야 되겠네요.
      본문 수정했습니다.

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  7. 식 (3-6)에서
    5번째 변에 있는 2의 지수는 (1-2x)가,
    6번째 변에 있는 2의 지수는 (-2x)가 되어야 할 것 같아요..
    한편으로는 6번째 변을 아예 생략해도 무난할 것 같은 느낌도 들고요.

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    1. 또 틀렸네요. 좋은 지적 감사합니다. OTL
      오타 수정해서 본문을 고쳤습니다.

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  8. 1-4에서 부분적분을 쓴 것 같은데, 중간에 왜 +가 나왔을까요...
    결과를 보면 +가 맞긴 한것같은데 어디에서 -가 하나 더 나와서 +가 되었죠?

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    1. 적분된 항 자체가 (-)입니다. 그래서 (-)(-) = (+)가 됩니다.

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  9. t^(x) / e^(t)에 대해서, 잡생각이 나서 질문드립니다.

    어떠한 x에 대하여 t -> 무한 이면 위 식은 0 가 되지만,

    그 어떠한 x 가 무한이면 어떻게 생각할수가 있을까요?..

    그러니깐, x -> 무한, t -> 무한이면 위식이 0가 아니라서 감마함수의 generalization of factorial의 증명이 모호해지지 않습니까?..

    아니면, 어차피 x가 무한이 큰 값이라도, 그 값을 기준으로 생각하는 것이기 때문에, 그 값을 기준으로 t^(x) / e^(t)에서 t -> 무한이면, 이것을 0으로 생각할 수 있기때문에 유효한건가요?..

    죄송합니다... 잡생각이 많아서..ㅎㅎ

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    1. 잡생각이 수학을 발전시킵니다. 잡생각 많이 하세요. ^^

      말씀하신 것은 극한을 적용할 때 중요한 부분입니다. 극한을 적용할 때 극한의 교환법칙은 성립하지 않을 수 있습니다. 조심해서 적용해야 합니다.

      식 (1) 적용에서는 분명히 t가 먼저 무한대로 가야하고 x는 나중에 가야합니다. 이게 제대로 적용하는 것입니다.

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    2. 감사합니다. 많은 도움이 됩니다.

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  10. 글 잘 읽고 갑니다 ^^
    보통 수학 글이 이렇게 잘 정리되어있는 경우는 잘 보기 힘든데 깔끔해서 좋네요.
    고생하셨습니다.

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  11. 와 너무 인상적이네요! 그런데 1-(12) 부분이 쉽게 증명된다고 하셔서 자세히 알기힘드네요.. 그리고 1-(1)의 증명을 알고싶은데 알 수 없는 건가요?

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    1. 식 (1-12)를 수정했습니다. 다시 한 번 보세요, 익명님. ^^
      식 (1-1)은 사실 정의입니다. 우리가 흔히 보는 감마 함수 정의식과 등가라는 것은 식 (1-2)에 소개되어 있습니다.

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  12. 식 1-2 에서 du=-e^(-t)dt 인데 대입했을 때 최종 식에서는 (-)가 사라지는데 왜 이렇게 되나요?

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    답글
    1. 적분 구간의 시작과 끝이 바뀌어서 그렇습니다, 익명님.

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    2. 아 정말 빠르시네요 ㅎ
      어렵지만 유용한 정보 감사합니다

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  13. Cylinerical coordinate를 사용하는 제품의 설계/시험업무를 하는 연구원입니다.
    베셀함수의 기초를 다지기 위해 들어왔는데, 사고가 확장되는 기묘한 경험을 하였습니다.

    정말 대단하십니다 작성자님.
    덕분에 한단계 더 배웠습니다.

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    1. 최태웅님, 반갑습니다. ^^
      많이 공부하시고, 좋은 연구도 많이 하세요.

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  14. 질문있습니다!! 전 중2인데요!!
    저기3-6에 증명하는과정에서 저 2^1-2x가2^2x-1이되고 감마2분의1이 분모로 내려오게되엇나요?!?

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    1. 익명님, 중2인데도 감마 함수를 공부하고, 대단하네요!

      식 (3-6)은 베타 함수를 이용하고 있습니다. 아래 베타 함수를 잘 보세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/beta-function.html

      예를 들어 $B(x, y) = B(y, x)$이기 때문에 식 (3-6)의 최종식에서 두번째 줄이 증명됩니다. 그 다음에 베타 함수를 감마 함수로 바꾸면 증명이 완성됩니다.

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  15. 오 감사합니다!!! 아직 더해야되요~~헤헤

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  16. 그 중2인데요 궁금한게있어요!! 감마함수는 어떻게해서 유도된건가요??? 그유도방법은 인터넷에도없네요...ㅠㅠ

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    1. 감마 함수는 식 (1)과 같은 정의입니다. 정수로 된 계승을 실수로 확장하기 위해 오일러가 제안했습니다. 나중에 한켈이 실수로 정의된 감마 함수를 복소수까지 확장했습니다.

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  17. 저 가우스적분에서 x^2+y^2을 p로치환한거 맞죠?? 그런데 어떻게해서 2πpdp가되죠???

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    1. 아닙니다. 좌표계를 변환했습니다, 데카르트 좌표계에서 원통 좌표계로요.

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  18. 감마함수 구글링하다가 첫 검색결과로 떠서 들어왔습니다.
    좋은 블로그 들릴 때마다 즐겨찾기 해두고 지하철 타면서 스마트폰으로 공부하는데요
    오늘 굉장한 보물을 발견한 기분이 듭니다.
    귀중한 시간 할애해서 이렇게 좋은 글 올려주셔서 감사합니다.
    좋은 글 하나하나가 이 블로그에 드나드는 수많은 사람들의 시간을 구원해주네요

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    답글
    1. 도움이 되었다니 기쁘네요, 익명님. ^^
      우리말로 된 자료가 너무 없어서 저라도 좀 기여하려고 블로그를 시작했는데, 익명님 같은 분에게 좋은 자료가 되었다니 시작한 보람이 있네요.

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  19. 대학때 감마함수를 아주 살짝 짚고 넘어갔고
    다시 공부할 일이 없어서 늘 아쉬웠는데 ~

    정말 윗분 말씀 처럼 보물을 발견했네요.

    개인적으로 궁금한 점이 생겨서 확률에 관한 수학책 뒤져볼때
    감마함수 나오면 ~~ ㅠㅜ; 했던 기억이 나네요.
    느리게 살자라는 것도 좋구요. 포스팅 감사합니다.

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  20. 안녕하세요! 감마함수 관련문제를 풀다가 궁금한것이 있는데요.. 0에서 무한대까지 적분으로 x^-(1/2) * e^-x dx 인데 이것을 감마함수로 바꾸는걸 어떻게하는지 고민이네요ㅠㅠ 도움부탁드립니다..

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    1. 그냥 p-1=-(1/2) 라고 해도 되는지 의문입니다..

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  21. 빠른답변 감사합니다^^ 하나만 더 질문드릴게요ㅠㅠ 똑같이 0에서 무한대까지 적분으로 x^2 * e^-(x^2) dx 는 어떻게 풀면될까요??

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    답글
    1. 아 x^2 * e^-a(x^2) dx 입니다!!
      친구는 e^-a(x^2) dx 적분과 관련이 있다고 하는데 이거도 감마함수로 어떻게 바꾸는지 모르겠네요ㅠㅠ

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    2. 단순하게 $u = x^2$ or $u = a x^2$으로 치환해서 정리해보세요.

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  22. 글 너무 재미있게 읽었어요! ^^ 감마 함수는 원래 알고있었지만 의미를 모르고 수식만 알았었는데 이렇게 읽으니까 재미있고 좋네요... 감사합니다! 혹시 확률통계나 선형대수도 블로그에서 다루시나요?

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    1. 말씀하신 부분도 더 깊이있게 다루고 싶은데, 아직은 내용이 부족합니다. ^^

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  23. 안녕하세요! 식 3-3 sin(Πx) 가 우변의 무한곱 꼴로 표현할수 있음이 잘 보이지 않습니다 .
    sin(Πx) 를 테일러 전개하면 x-(Πx)^3/3!+(Πx)^5/5!- ... 이런 식인데 식의 우변엔 Π의 1제곱만 있고 계속 k=1,2,3,4... 를 대입하여 각 항의 상수배를 추적하기는 좀 복잡하지 않나 싶은데..
    sin(Πx) 를 우변으로 어떻게 나타내셨는지 모르겠습니다





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    1. 아래에 증명되어 있습니다, 익명님. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/infinite-product.html

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  24. 제가 많이 못배워서 질문하나 올립니다.
    감마기호랑 (x)사이에 저 작은 n은 무슨뜻인가요??

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    1. 아이고
      1-7~1-10에 있는 작은 n이요

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    2. 그냥 정의라고 생각하면 됩니다. $n$이 무한대로 가면 감마 함수가 되는 어떤 특정한 함수를 식 (1-7)로 표현했습니다.

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  25. 공부하는데 많은 도움이 되는 블로그입니다. 운영해 주셔서 감사합니다.

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  26. 안녕하세요, 감마 함수에 대해 찾아보던 중에 들렀습니다.
    ∏(z)=int 0 to 1 (ln(1/t))z-1 t 이건 본문을 보면서 이해가 됬는데요, 변형된 표현으로

    ∏(z)=2* int 0 to inf [e^-t^2 t^(2z-1] dt 꼴로 나타내는 건 어떻게 변환을 한 건가요? 식 1-2에서 바꿔서 표현 한 것 같은데... 기초적인 질문이라 민망하네요 ㅜㅜ 도움을 구합니다

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    1. 익명님, 몇 번 식을 말씀하시는 거지요?

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  27. 제가 보고 있는 책에서는 \Gamma (x)=\int_0^1 ln (\frac{1}{u})^{x-1} du 이 식을
    \Gamma (x)=2\int_0^\infty e^{-u^2}u^{2x-1} du 이런 식으로 변환을 하고, 이런 식이 자주 이용된다고 되어있었는데, 두번째 식의 유도과정이 궁금합니다.

    책은 수리물리 아프켄 7판이고, 위의 수식은 http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php 사이트에 붙여넣기 하시면 보기 편하실 겁니다.

    덧붙여서 궁금한게 있는데, 블로그에 글 작성하실 때 쓰신 수식들은 어떻게 편집해서 넣으시는지요? 오피스나 한글을 쓰시는 지, 아니면 다른 방법이 있는지 궁금합니다.

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    1. 식 (1)에서 $t = u^2$으로 단순 변수 치환하면 말씀하신 식이 나옵니다.

      수식을 만들 때, 큰 수식은 말씀하신 곳에서 그림으로 만들고, 본문 수식은 MathJax를 사용합니다.

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    2. 아, 이런ㅋㅋ 너무 간단한 거였군요. 답변 감사합니다.
      항상 블로그 도움이 많이 되고 있습니다! 행복하세요 :)

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  28. 안녕하세요 선생님. (1-8)의 첫번째 식이 어떻게 e 의 정의식으로 부터 도출됐는지 설명해주실 수 있을까요?

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    1. 위에 있는 링크에 자세히 설명되어 있습니다, 익명님. ^^

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  29. 정말 대단합니다. 깊게 배우고 갑니다. 혹시 죄송하지만 (1)정의가 가장 처음 발생된건지 여쭤봐도 되겠습니까? 아니면 무한급수로 인한 정의로인해 다른정의들이 파생된건지 궁금합니다.

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    1. 오일러가 했던 원래 정의가 식 (1-1)입니다. 감마 함수와 관련된 다른 정의는 모두 식 (1-1)에서 나온 겁니다.

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  30. 감사. 잘보고 갑니다. 오일러 선생님이 1년이나 연구했다니ㅎㅎ 많은 위안을 받습니다.

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  31. 답글
    1. 위 내용들이 전자기해석에 많은 도움이 되고 있습니다. 감사합니다.

      다만, 위의 내용중 질문사항이 있습니다.
      1.9에서 B(x,n+1)가 B(x+1,n)과 같이 계속 연속된다면, 맨마지막식은 B(x+(n-1),2)가 되어야 하는 것 아닌가요?
      따라서 B(x+(n-1),2)=1/(x+n-1)/(x+n).

      확인부탁드립니다~

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    2. 방문 감사해요, Unknown님. ^^

      식 (1.9)는 말씀하신 대로 써져 있어요. 식 (1.9)의 첫째식은 아래식 계산에 사용할 공식이에요.

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  32. B(x,2)가 식1.9 아래에 있어서 물어보았습니다.
    B(x+(n-1),2)를 계산하시려고 B(x,2)를 푼거군요...
    확인해주셔서 감사합니다~

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  33. 잘 보았습니다.
    공학에서 감마함수는 주로 어디에 쓰이는지도 궁금합니다.

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    1. 감마 함수는 미분 방정식의 기본 모드 함수는 아니라서 직접 사용되는 경우는 많지 않아요.
      주로 무한 급수를 정의할 때 감마 함수가 많이 쓰여요. 초기하 급수(hypergeometric series) 등을 찾아보세요.

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