2013년 2월 3일 일요일

불완전 감마 함수(incomplete gamma function)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "불완전 감마 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수


감마 함수(gamma function)의 적분구간 $(0, \infty)$을 유한하게 선택할 수 있는 불완전 감마 함수(incomplete gamma function)는 다음처럼 정의한다.

                       (1)

                       (2)

감마 함수에서 적분 구간을 어떻게 택하느냐에 따라 식 (1)은 하단 불완전 감마 함수(lower incomplete gamma function: 적분 구간 아래쪽을 택한 감마 함수), 식 (2)는 상단 불완전 감마 함수(upper incomplete gamma function: 적분 구간 위쪽을 택한 감마 함수)라 부른다.

1. 기본(basics)

[1-1. 감마 함수와의 관계]

                       (1-1)

[증명]
아래 감마 함수 정의를 이용하면 쉽게 증명된다.

                      (1-2)
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[1-3. 재귀관계(recurrence relation)]

                      (1-3)

[증명]
식 (1)과 (2)의 정의에 부분 적분(部分積分, integration by parts)을 적용하자.

                      (1-4)

                    (1-5)
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식 (1-4) 증명에서 주의할 점이 하나 있다. 식 (1-4)가 성립하려면 $a$의 실수부가 항상 0보다 커야 한다. 하지만 식 (1-4)는 매우 유용한 식이다. $\Re(a) > 0$인 경우에만 성립하는 (∵ $\Re(a) < 0$이면 식 (1)의 적분이 발산한다.) 식 (1)의 하단 불완전 감마 함수를 모든 실수값으로 확장해 주는 공식이기 때문이다. 즉, 감마 함수를 확장할 때 쓴 방법을 생각하면 쉽게 $a$의 실수부 조건을 모든 영역으로 확대할 수 있다. 예를 들어 $-1 < a < 0$인 경우는 다음으로 정의한다.

                      (1-6)

식 (1-6)의 우변은 $0 < a+1 < 1$을 만족하므로 모든 항들이 잘 정의된다. 따라서  $-1 < a < 0$인 경우에도 식 (1-6)의 좌변은 잘 정의된다. 이를 확장하면 다음과 같다.

                      (1-7)

[1-8. 멱급수 전개(power series expansion)]

                      (1-8)

여기서 $\Re(a) > 0$이다.

[증명]

                      (1-8)
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2. 특수한 함수값(special values)

[2-1]

                      (1-9)

[증명]
식 (1), (2), (1-2)의 감마 함수 정의를 생각하면 식 (1-9)는 바로 얻어진다.
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댓글 7개 :

  1. 불완전 감마 함수는 단지 감마함수의 적분구간을 유한하게 하기 위해서 이용되는 것인가요?

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    1. 네. 감마 함수를 두 영역으로 분해하기 위해 불완전 감마 함수를 사용합니다.

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    2. 그렇군요! 전자파, 수학 공부를 하다가 전파거북이님의 사이트를 항상 참조하게 되는데 매번 감탄의 감탄을 하게됩니다. 너무나 감사드려요!

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    3. 도움이 되었다니 좋네요. 덥지만 계속 열공해야죠. ^^

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  2. 안녕하세요. 랜덤변수에 대해 공부중입니다.
    어떤 분포를 가지는 랜덤변수의 감마함수는
    식 (1) 혹은 (2) 의 t 자리에 그 랜덤변수가 들어가게 되는 것 맞나요?

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    1. 그리고.. 불완전 감마함수의 pearson's form 이라는 것도 있던데.. 그것은 뭐가 다른 것 일까요?..

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    2. 1. 질문 의도를 잘 모르겠지만 감마 분포(gamma distribution)는 확률 밀도 함수입니다. 연속 도수 분포라 보면 됩니다.

      2. 피어슨 형태(Pearson's form)는 잘 모르겠네요. 불완전 감마 함수값을 얻기 위한 수치 해석 코드를 짤 때 계산 효율이 좋은 함수 형태 같았는데, 확실하지는 않네요. -.-

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