불완전 감마 함수(Incomplete Gamma Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "불완전 감마 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수

감마 함수(gamma function)의 적분 구간 $(0, \infty)$을 유한하게 선택할 수 있는 불완전 감마 함수(incomplete gamma function)는 다음처럼 정의한다.

                       (1)

                       (2)

감마 함수에서 적분 구간을 어떻게 택하느냐에 따라 식 (1)은 하단 불완전 감마 함수(lower incomplete gamma function: 적분 구간 아래쪽을 택한 감마 함수), 식 (2)는 상단 불완전 감마 함수(upper incomplete gamma function: 적분 구간 위쪽을 택한 감마 함수)라 부른다.

   1. 기본(basics)   

[감마 함수와의 관계]

                       (1.1)

[증명]

아래 감마 함수 정의를 이용하면 쉽게 증명된다.

                      (1.2)
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[재귀 관계(recurrence relation)]

                      (1.3)

[증명]

식 (1)과 (2)의 정의에 부분 적분(部分積分, integration by parts)을 적용하자.

                      (1.4)

                    (1.5)
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식 (1.4) 증명에서 주의할 점이 하나 있다. 식 (1.4)가 성립하려면 $a$의 실수부가 항상 0보다 커야 한다. 하지만 식 (1.4)는 매우 유용한 식이다. $\Re(a) > 0$인 경우에만 성립하는[∵ $\Re(a) < 0$이면 식 (1)의 적분이 발산한다.] 식 (1)의 하단 불완전 감마 함수를 모든 실수값으로 확장해 주는 공식이기 때문이다. 즉, 감마 함수를 확장할 때 쓴 방법을 생각하면 쉽게 $a$의 실수부 조건을 모든 영역으로 확대할 수 있다. 예를 들어 $-1 < a < 0$인 경우는 다음으로 정의한다.

                      (1.6)

식 (1.6)의 우변은 $0 < a+1 < 1$을 만족하므로 모든 항이 잘 정의된다. 따라서  $-1 < a < 0$인 경우에도 식 (1.6)의 좌변은 잘 정의된다. 이를 확장하면 다음과 같다.

                      (1.7)

[멱급수 전개(power series expansion)]

                      (1.8)

여기서 $\Re[a] > 0$이다.

[증명]

                      (1.9)
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   2. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

[불완전 감마 함수와 감마 함수]

                      (2.1)

[증명]

식 (1), (2), (1.2)의 감마 함수 정의를 생각하면 식 (1.9)는 바로 얻어진다.

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