2013년 2월 3일 일요일

불완전 감마 함수(incomplete gamma function)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "불완전 감마 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수


감마 함수(gamma function)의 적분구간 $(0, \infty)$을 유한하게 선택할 수 있는 불완전 감마 함수(incomplete gamma function)는 다음처럼 정의한다.

                       (1)

                       (2)

감마 함수에서 적분 구간을 어떻게 택하느냐에 따라 식 (1)은 하단 불완전 감마 함수(lower incomplete gamma function: 적분 구간 아래쪽을 택한 감마 함수), 식 (2)는 상단 불완전 감마 함수(upper incomplete gamma function: 적분 구간 위쪽을 택한 감마 함수)라 부른다.

1. 기본(basics)

[1-1. 감마 함수와의 관계]

                       (1-1)

[증명]
아래 감마 함수 정의를 이용하면 쉽게 증명된다.

                      (1-2)
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[1-3. 재귀관계(recurrence relation)]

                      (1-3)

[증명]
식 (1)과 (2)의 정의에 부분 적분(部分積分, integration by parts)을 적용하자.

                      (1-4)

                    (1-5)
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식 (1-4) 증명에서 주의할 점이 하나 있다. 식 (1-4)가 성립하려면 $a$의 실수부가 항상 0보다 커야 한다. 하지만 식 (1-4)는 매우 유용한 식이다. $\Re(a) > 0$인 경우에만 성립하는 (∵ $\Re(a) < 0$이면 식 (1)의 적분이 발산한다.) 식 (1)의 하단 불완전 감마 함수를 모든 실수값으로 확장해 주는 공식이기 때문이다. 즉, 감마 함수를 확장할 때 쓴 방법을 생각하면 쉽게 $a$의 실수부 조건을 모든 영역으로 확대할 수 있다. 예를 들어 $-1 < a < 0$인 경우는 다음으로 정의한다.

                      (1-6)

식 (1-6)의 우변은 $0 < a+1 < 1$을 만족하므로 모든 항들이 잘 정의된다. 따라서  $-1 < a < 0$인 경우에도 식 (1-6)의 좌변은 잘 정의된다. 이를 확장하면 다음과 같다.

                      (1-7)

[1-8. 멱급수 전개(power series expansion)]

                      (1-8)

여기서 $\Re(a) > 0$이다.

[증명]

                      (1-8)
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2. 특수한 함수값(special values)

[2-1]

                      (1-9)

[증명]
식 (1), (2), (1-2)의 감마 함수 정의를 생각하면 식 (1-9)는 바로 얻어진다.
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댓글 9개 :

  1. 불완전 감마 함수는 단지 감마함수의 적분구간을 유한하게 하기 위해서 이용되는 것인가요?

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    1. 네. 감마 함수를 두 영역으로 분해하기 위해 불완전 감마 함수를 사용합니다.

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    2. 그렇군요! 전자파, 수학 공부를 하다가 전파거북이님의 사이트를 항상 참조하게 되는데 매번 감탄의 감탄을 하게됩니다. 너무나 감사드려요!

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    3. 도움이 되었다니 좋네요. 덥지만 계속 열공해야죠. ^^

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  2. 안녕하세요. 랜덤변수에 대해 공부중입니다.
    어떤 분포를 가지는 랜덤변수의 감마함수는
    식 (1) 혹은 (2) 의 t 자리에 그 랜덤변수가 들어가게 되는 것 맞나요?

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    1. 그리고.. 불완전 감마함수의 pearson's form 이라는 것도 있던데.. 그것은 뭐가 다른 것 일까요?..

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    2. 1. 질문 의도를 잘 모르겠지만 감마 분포(gamma distribution)는 확률 밀도 함수입니다. 연속 도수 분포라 보면 됩니다.

      2. 피어슨 형태(Pearson's form)는 잘 모르겠네요. 불완전 감마 함수값을 얻기 위한 수치 해석 코드를 짤 때 계산 효율이 좋은 함수 형태 같았는데, 확실하지는 않네요. -.-

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  3. 안녕하세요 우연히 감마함수에 대해서 공부하다가 봤는데 혹시 제가 알기론 감마함수가 펙토리얼을 일반화 시킨거고 불완전한 감마함수가 그것을 유한하게 나눈거라고 알고있는데 그러면 불완전한 감마함수는 음수는 나올수 없는건가요??그리고 음수가 나온다면 그렇다면 불완전한 함수는 정수만 적용이 되던 감마함수를 실수, 즉 음수쪽까지 넓히기 위해서 사용하는 건가요??

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    1. 아닙니다, Unknown님. 감마 함수 자체가 계승(factorial)을 일반화한 함수입니다. 감마 함수는 음수 뿐만 아니라 실수와 복소수까지 확장할 수 있습니다.
      불완전 감마 함수는 감마 함수 정의에 사용한 적분 구간을 유한하게 바꾸어 정의한 함수입니다.

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