지수 적분(Exponential Integral)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "지수 적분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수

2. 불완전 감마 함수

[그림 1] 지수 적분 $E_1(x)$와 $\operatorname{Ei}(x)$(출처: wikipedia.org)

감마 함수(gamma function)의 성공으로 새롭게 정의된 적분이 다음의 제$n$차 지수 적분(exponential integral of the $n$th order)이다. 지수 적분은 불완전 감마 함수(incomplete gamma function)를 차별화되게 표현한 특수 함수이다.

                       (1)

식 (1)은 변수 치환을 통해 상단 불완전 감마 함수(upper incomplete gamma function)로 변형할 수 있다.

                       (2)

                       (3)

지수 적분 중에서 다음에 제시한 제1차 지수 적분이 가장 많이 쓰인다. 그래서 보통 지수 적분(exponential integral)이라고 하면 제1차 지수 적분을 가리킨다.

                      (4)

여기서 $x > 0$을 만족해야 한다. 식 (4)에 $x$ = $0$을 대입하면 $E_1 (0)$은 무한대로 발산한다.[식 (10)을 봐도 $E_1(x)$는 로그 함수 특성을 가진다.] 식 (4)를 부분 적분(部分積分, integration by parts)하여 지수 적분의 점근식(asymptote)을 구할 수 있다.

                      (5)

그러면 지수 적분의 최종 점근식은 다음과 같다.

                      (6)

식 (4)는 $x$에서 무한대로 가는 적분으로 지수 적분을 정의하고 있다. 동일한 적분을 0에서 $x$로 가는 적분으로 바꿀 수는 없을까? 예를 들면 불완전 감마 함수는 감마 함수[적분 구간은 0에서 무한대]에서 상단 적분[적분 구간은 $x$에서 무한대]을 빼서 하단 적분[적분 구간은 0에서 $x$]을 쉽게 만들어낸다. 지수 적분의 적분 구간을 변경하는 방법은 매우 간단하다. 지수 적분을 미분하면 식 (4)의 피적분 함수이므로 다음이 성립한다.

                      (7)

여기서 $C$는 적분 상수이다. $x \ne 0$일 때 식 (4)의 지수 적분은 수렴하므로 적분 상수 $C$는 유한하다. $x \to 0$일 때의 극한을 이용해 적분 상수 $C$를 결정해보자. 먼저 오일러–마스케로니 상수(Euler–Mascheroni constant)의 적분 표현식에서 출발하자.

                         (8)

식 (8)을 이용하면 적분 상수 $C$는 다음처럼 표현된다.

                         (9)

그러면 지수 적분의 새로운 표현식은 다음과 같다.

                         (10)

식 (10)에 있는 멱급수(power series)를 다음과 같이 뜯어보자.

              (11)

지수 적분의 적분 구간을 바꾸면서 출현한 식 (11)의 적분도 지수 적분의 일종이다. 이 적분의 이름도 지수 적분이지만, 식 (4)와 구별하기 위해 다음과 같이 $\text{Ein}(\cdot)$(Exponential integral)으로 표기한다.

                         (12)

식 (12)를 이용하면 식 (10)은 다음처럼 간단해질 수 있다.

                         (13)

여기서 $x > 0$이다. 식 (12)와 또 다른 형태의 지수 적분 $\operatorname{Ei}(x)$도 존재한다.

                         (14)

여기서 $x < 0$이다.

[그림 2] 로그 함수를 위한 가지 자름

식 (4) 혹은 (14)에서 $x$가 원점을 지나게 되면 복소 함수론(complex analysis)을 이용한 특별한 조치가 필요하다. 바로 로그 함수에 가지 자름(branch cut)을 [그림 2]처럼 정의해서 해석 함수(analytic function)로 만든다.

                         (15)

그러면 모든 $x$에 대해 식 (13)을 확장할 수 있다.

                         (16)

여기서 $u(x)$는 단위 계단 함수(unit step function)이다. 지수 적분 $\operatorname{Ei}(x)$는 $E_1(x)$와 다르게 모든 $x$에서 함수값이 실수가 되도록 한다. 모든 $x$에 대해 성립하도록 식 (14)를 참고해서 정의한 $\operatorname{Ei}(x)$는 다음과 같다.

                         (17)

식 (16)과 식 (17)을 합쳐서 지수 적분 $E_1(x)$와 $\operatorname{Ei}(x)$의 관계를 구한다.

                         (18)

따라서 지수 적분 $E_1(x)$와 $\operatorname{Ei}(x)$는 거의 비슷하지만, $E_1(x)$는 음의 $x$에서 허수부가 있고 $\operatorname{Ei}(x)$는 $x$에 관계없이 항상 실수값만 가진다. 혹은 $E_1(x)$의 실수부는 항상 $-\operatorname{Ei}(-x)$가 되도록 식 (17)처럼 $\operatorname{Ei}(x)$를 정의한다.

   1. 기본(basics)   

[미분(differentiation)]

                         (1.1)

[함수적 관계(functional relation)]

                         (1.2)

여기서 $\operatorname{sgn}(x)$는 부호 함수(sign function)이다.

[증명]

값 $x > 0$인 경우, 코사인 적분(cosine integral)과 사인 적분(sine integral)의 정의를 이용하여 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (1.3)

만약 $x < 0$라고 해도 식 (1.3)과 유사한 방식으로 증명할 수 있다. 

______________________________

값 $x$의 부호에 따라 식 (1.2)와 같이 허수부의 부호가 바뀌는 이유는 로그 함수의 가지 자름(branch cut) 때문이다.

   2. 함수 표현식(function representation)   

[복소 함수론(complex analysis)]

[그림 2.1] 지수 적분 $E_1(x)$를 위한 닫힌 경로

                         (2.1)

여기서 $x > 0$이다.

[증명]

[그림 2.1]에 있는 닫힌 경로에 대해 코쉬의 적분 정리(Cauchy's integral theorem)를 적용한다.

                         (2.2)

여기서 $R \to \infty$이면 $c_2$ 상의 적분은 $0$으로 수렴한다. 식 (2.2)를 정리해서 식 (2.1)을 얻을 수 있다.

______________________________

[푸리에 변환(Fourier transform)]

                         (2.3)

[증명]

식 (2.3)에서 $u$ = $\sqrt{x^2 + a^2} + x$로 변수 치환하여 적분한다[2].

                         (2.4)

______________________________

[참고문헌]

[1] C. M. Bender and S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory, Springer, 1999.

[2] H. Haase, Full-wave Field Interactions of Non-uniform Transmission Lines, Ph.D. Thesis, Otto von Guericke University, Germany, 2005.

[다음 읽을거리]

1. 사인 적분

2. 코사인 적분