2013년 2월 4일 월요일

지수 적분(exponential integral)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "지수 적분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 감마 함수
2. 불완전 감마 함수


감마 함수(gamma function)의 성공으로 새롭게 정의된 적분이 다음의 $n$차 지수 적분(exponential integral of the $n$th order)이다. 지수 적분은 불완전 감마 함수(incomplete gamma function)를 차별화되게 표현한 것이다.

                       (1)

식 (1)은 변수 치환을 통해 상단 불완전 감마 함수(upper incomplete gamma function)로 변형할 수 있다.

                       (2)

                       (3)

지수 적분 중에서 가장 많이 활용되는 것은 다음의 1차 지수 적분이다. 그래서 보통 지수 적분이라고 하면 1차 지수 적분을 가르킨다.

                      (4)

식 (4)를 부분 적분(部分積分, integration by parts)하여 지수 적분의 점근식(asymptote)을 구해보자.

                      (5)

그러면 지수 적분의 최종 점근식은 다음과 같다.

                      (6)

식 (4)는 $x$에서 무한대로 가는 적분으로 지수 적분을 정의하고 있다. 동일한 적분을 0에서 $x$로 가는 적분으로 바꿀 수는 없을까? 불완전 감마 함수는 상단($x$에서 무한대) 적분에 감마 함수(0에서 무한대)를 빼서 하단(0에서 $x$) 적분을 만들어낸다.
유도하는 방법은 매우 간단하다. 지수 적분을 미분한 것이 식 (4)의 피적분 함수이므로 다음이 성립한다.

                      (7)

여기서 C는 적분상수이다. $x \ne 0$일 때 식 (4)의 지수 적분은 수렴하므로 적분 상수 $C$는 유한하다. $x \to 0$일 때의 극한을 이용해 적분 상수 $C$를 결정해보자. 먼저 오일러-마스케로니 상수(Euler-Mascheroni constant)의 적분 표현식에서 출발하자.

                         (8)

식 (8)을 이용하면 적분상수 $C$는 다음처럼 표현된다.

                         (9)

그러면 지수 적분의 새로운 표현식은 다음과 같다.

                         (10)

식 (10)에 있는 멱급수(power series)를 다음과 같이 뜯어보자.

           (11)

지수 적분의 적분구간을 바꾸면서 출현한 식 (11)의 적분도 지수 적분의 일종이다. 이름은 지수 적분으로 같지만 표기(Ein: Exponential integral)는 다음처럼 다르게 한다.

                         (12)

식 (12)를 이용하면 식 (10)은 다음처럼 간단해질 수 있다.

                         (13)

[참고문헌]
[1] C. M. Bender and S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory, Springer, 1999.

[다음 읽을거리]
1. 사인 적분
2. 코사인 적분

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