2013년 2월 7일 목요일

한켈 변환(Hankel transform)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "한켈 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다. 
1. 푸리에 급수의 시작
2. 푸리에 변환


모든 적분 변환(integral transform)의 어머니에 해당하는 푸리에 변환(Fourier transform)은 다양한 자식들이 있다. 그 중에서 유명한 자식은 한켈 변환(Hankel transform)과 라돈 변환(Radon transform)이다.

[그림 1] 라파엘의 시스티나 성모(출처: wikipedia.org)

한켈 변환은 원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)를 위한 푸리에 변환이다. 당연한 얘기지만 한켈 변환의 제안자는 한켈(Hermann Hankel)이다. 한켈 변환의 최종식은 매우 복잡해 보이지만 푸리에 변환부터 증명해 들어가면 쉽게 이해할 수 있다.

[그림 2] 원통 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

자, 2차원 푸리에 변환부터 출발해 한켈 변환 관계식을 증명해 보자.

                       (1)

식 (1)은 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system)에서 정의된 푸리에 변환이므로 다음 원통좌표계 관계식을 고려하자.

                       (2)

식 (2)를 식 (1)에 대입해 정리해보자.

                       (3)

$g(\rho, \phi)$는 360도 마다 반복되므로 $\phi$에 대해 주기 함수(periodic function)이다. 따라서, 다음과 같은 푸리에 급수(Fourier series)로 표현할 수 있다.

                      (4)

또한 다음 베셀의 적분(Bessel's integral)을 고려하자.

                      (5)

그러면 식 (3)은 다음으로 변형된다.

                      (6)

식 (6)의 좌변항도 주기 함수이므로 다음 푸리에 급수로 고쳐 쓸 수 있다.

                      (7)

식 (7)을 식 (6)에 대입하고 다음 변수 치환을 하면 한켈 변환식 (9)를 얻는다.

                      (8)

                      (9)

언뜻 보면 한켈 변환인 식 (9)가 푸리에 변환에서 나왔다는 것을 알기가 어렵지만 위 과정을 따라가면 가슴으로부터 한켈 변환의 의미를 느낄 수 있다.
한켈 변환의 의미는 식 (6)을 살펴봐야 한다. 식 (1)의 푸리에 변환으로 접근했다면 무한대로 가는 이중 적분(double integral)을 고려해야 했지만 식 (6)에서는 단순한 정적분만을 고려하면 된다. 이 점이 한켈 변환의 유용성이다.

푸리에 변환쌍(Fourier transform pair)을 이용해서 한켈 역변환(inverse Hankel transform)을 구해보자. 출발점은 다음의 푸리에 역변환이다.

                      (10)

한켈 변환과 동일한 방법으로 유도하면 다음 결과를 얻는다.

                      (11)

식 (4)를 식 (11)에 대입해 항별로 정리하면 다음 한켈 역변환을 얻을 수 있다.

                      (12)

그러면 한켈 변환쌍은 다음처럼 정의될 수 있다.

                      (13)

식 (13)에 있는 한켈 변환쌍의 둘째식에 첫째식을 대입하면 다음 관계를 얻는다.

                      (14)

모든 $\rho$에 대해 식 (14)가 성립해야 하므로 첫번째 적분 내에 있는 특성은 반드시 디랙 델타 함수(Dirac delta function)가 되어야 한다.

                      (15)

[참고문헌]
[1] R. Piessens, 9. The Hankel Transform, The Transforms and Applications Handbook, 2nd ed., CRC Press, 2000.
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댓글 3개 :

  1. t와 f는 어떤 관계도 있고, domain이라는 것도 있고 그러 잖아요.

    식(2)의 ξ(크시), η(에타) 정의는 어떻게 정의가 되는건가요?
    즉, 변수명만 바꾸어 준거라고 봐도 될까요?

    질문이 애매한데요
    공간 파수로 변환하는 그런 내용일거라는 짐작은 되는데요.
    ξ(크시), η(에타), ζ(제타)가 실공간의 x,y,z와 1:1 maping되는 또다른 공간에 대한 정의로 보면 될까요?

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    1. 푸리에 변환 관점으로 보면 됩니다. 시간인 경우 $t$와 $\omega$를 짝지우는 것처럼 $x,y,z$를 $\xi,\eta,\zeta$로 각각 연결합니다.

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  2. 내용과는 관계없지만... 라파엘의 시스티나 성모 그림은 왜 첨부된 건가요? ㅎㅎ;;
    푸리에 급수에 관한 글들에 특히 그림이 많이 들어가네요..

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