[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베버 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
[그림 1] 원통 좌표계의 성분(출처: wikipedia.org)
한켈 변환(Hankel transform)의 일반화인 베버 변환(Weber transform)[1]은 간단한 의문에 기반을 두고 있다. 한켈 변환인 식 (1)을 보면 반지름 $\rho$의 크기는 항상 $0$부터 시작해서 무한대로 간다. 반지름의 시작점을 $0$이 아닌 임의의 양의 실수인 $a$에서 출발해서 무한대로 가는 적분 변환(integral transform)을 정의할 수 있을까? 여기에 대한 답이 베버 변환이다. 베버 변환의 재발견자인 오르William McFadden Orr(1866–1934)의 이름까지 붙여서 베버–오르 변환(Weber–Orr transform)이라고도 부른다[7].
(1)식 (1)에 등장한 제1종 베셀 함수를 변형해 $\rho$ = $a$에서 항상 함수값이 $0$ 혹은 접선 경계 조건(tangential boundary condition)을 가진 접선 동축 함수(coaxial function for tangent) $C_n (\rho; \kappa)$로 바꾼다. 그러면 한켈 변환은 다음과 같은 새로운 접선 베버 변환(Weber transform for tangent)이 된다.
(2)여기서 $\kappa$에 관계없이 $C_n(a; \kappa)$ = $0$, 한켈 변환의 특성에 의해 $\kappa$ $\ge$ $0$이다. 베셀 함수 곱의 적분을 사용해서 식 (2)에 사용한 동축 함수의 직교성을 구해본다[2].
(3)여기서 $\kappa'$ $\ge$ $0$, $C_n'(\cdot)$은 입력 변수(argument)에 대한 미분이다. 식 (3)의 계산에는 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)이 꼭 필요하다.
(4)식 (4)를 이용해서 식 (3)을 점근적으로 계산한다.
(5)여기서 $\phi_n$ = $\kappa b - (n+1/2)\pi/2$, $\phi_n'$ = $\kappa' b - (n+1/2)\pi/2$이다. 식 (5)를 더 간략화하려면, 단위 계단 함수의 푸리에 변환에서 구한 삼각 함수의 극한값이 필요하다.
(6)식 (6)에 의해 식 (5)에 나온 삼각 함수 곱의 극한은 다음과 같다.
(7)
(8)
(9)식 (7)–(9)를 다시 식 (5)에 대입해서 깔끔하게 마무리한다.
(10)여기서 $\kappa$와 $\kappa'$는 $0$부터 시작하므로 $\delta(\kappa + \kappa')$은 무시한다. 식 (10)을 다시 쓴 식 (11)은 베버 변환에 대한 새로운 디랙 델타 함수(Dirac delta function)의 정의이다.
(11)식 (11)을 기반으로 정의한 접선 베버 역변환(inverse Weber transform for tangent)은 다음과 같다.
(12)식 (12)를 식 (2)에 넣으면 베버 변환과 역변환 관계가 쉽게 증명된다.
(13)반지름 $\rho$에 대한 직교성인 식 (3)과 조금 다른 $\kappa$에 대한 직교성도 다음처럼 계산할 수 있다.
(14)식 (14)의 증명을 위해 베셀 함수를 모두 한켈 함수로 바꾼다.
(15)식 (15)의 마지막식을 다시 변형해서, 식 (16)과 같은 한켈 함수를 이용한 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 형태가 나타나게 한다.
(16)
(17)다시 말해 식 (17)의 피적분 함수에 있는 처음 네 항을 다음처럼 정리하면 식 (16)이 나온다.
(18)
[그림 2] 제1종 한켈 함수를 위한 닫힌 경로
식 (17)의 마지막 두 항이 가진 복잡성으로 인해 실수 영역에서 적분하기는 매우 어렵다. 이를 위해 복소 함수론을 [그림 2]처럼 적용해서 식 (17)의 다섯째 항을 위한 적분 경로를 변경한다.
(19)여기서 $\kappa$ = $0$에 있는 가지점(branch point)을 피하도록 경로 $c_1$과 $c_3$은 실수축보다 약간 더 위에 설정한다. 또한 [그림 2]와 식 (19)에서 무한히 커지는 반원 상의 피적분 함수 특성을 확인하기 위해서, 베셀과 한켈 함수를 점근적으로 풀어쓴다.
(20)
(21)
(22)식 (22)를 식 (17)의 마지막식에 대입하여 정리하면 식 (14)가 최종적으로 유도된다. 그러면 식 (2)를 식 (12)에 대입해서 원래 함수를 다시 만드는 적분을 정의할 수 있다.
(23)식 (23)은 베버 변환을 시작한 유명한 베버의 적분 정리(Weber's integral theorem)이다[5].
접선 베버 변환 및 역변환과 비슷하게 $\rho$ = $a$에서 미분값이 항상 $0$ 혹은 법선 경계 조건(normal boundary condition)을 만족하는 법선 동축 함수(coaxial function for normal) $D_n (\rho; \kappa)$를 도입한다. 함수 $D_n (\rho; \kappa)$에 대한 법선 베버 변환(Weber transform for normal)과 연관된 역변환은 다음과 같다[2], [3].
(24)
(25)여기서 $\kappa$에 관계없이 $D_n'(a; \kappa)$ = $0$이다. 법선 동축 함수의 직교성도 식 (11)과 (14)처럼 증명할 수 있다.
(26)
(27)한켈 변환의 일반화인 베버 변환은 당연히 한켈 변환을 필연적으로 포함한다. 예를 들어 $a \to 0$인 극한을 적용하면, 접선과 법선 베버 변환인 식 (2)와 (24)는 바로 한켈 변환이 된다.
(28)여기서 $C_n (\rho; \kappa)$ $\sim$ $J_n(\kappa \rho) N_n(\kappa a)$, $D_n (\rho; \kappa)$ $\sim$ $J_n(\kappa \rho) N_n'(\kappa a)$이다. 비슷한 방식으로 한켈 역변환과 베버 역변환의 관계도 유도할 수 있다.
(29)여기서 $F(\kappa)$ = $\mathfrak{H}[f(\rho)]$이다. 식 (28)과 (29)를 식 (1)과 비교하면, 베버 변환에서 반지름의 시작점 $a$를 $0$으로 보내는 특별한 경우가 한켈 변환이다.
이번에는 제한이 없는 $\kappa$를 무한대로 보내서 베버 변환의 피적분 함수를 간략화한다. 베셀 함수의 점근식에 따라 고친 경우에 식 (2)는 굉장히 단순해진다.
(30)
(31)함수를 $g(x), S(\kappa)$로 바꾸면, 식 (31)은 정확히 푸리에 사인 변환(Fourier sine transform)을 표현한다. 식 (12)에 나온 베버 역변환도 식 (31)과 같은 방식으로 모양을 바꾸어서 푸리에 사인 역변환(inverse Fourier sine transform)으로 바꾼다.
(32)
(33)여기서 $x$ = $\rho - a$이다. 따라서 접선 베버 변환은 푸리에 사인 변환의 일반화로 볼 수 있다. 비슷한 방식을 이용해서 식 (24), (25)에 제시한 법선 베버 변환쌍은 푸리에 코사인 변환쌍(Fourier cosine transform pair)으로 변형된다.
(34)
(35)
(36)
(37)결국 베버 변환이 복잡해보이는 이유가 명확히 있다. 베버 변환은 한켈 변환과 푸리에 사인 및 코사인 변환을 내부적으로 모두 포함하며 일반화하고 있기 때문에, 적분 표현식이 복잡할 수밖에 없다.
[참고문헌]
[1] H. Weber, "Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen (About a representation of arbitrary functions by Bessel's functions)," Mathematische Annalen (Mathematical Annals), vol. 6, pp. 146–161, Jun. 1873.
[2] R. K. M. Thambynayagam and T. M. Habashy, "A new Weber-type transform," Quart. Appl. Math., vol. 61, no.3, pp. 485–493, Sep. 2003.
[3] X. Zhang and D. Tong, "A generalized Weber transform and its inverse formula," Appl. Math. Comput., vol. 193, no. 1, pp. 116–126, Oct. 2007.
[4] H. J. Eom, "Integral transforms in electromagnetic formulation," J. Electromagn. Eng. Sci., vol. 14, no. 3, pp. 273–277, Sep. 2014.
[5] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.
[6] C. K. Youngdahl and E. Sternberg, "Three-dimensional stress concentration around a cylindrical hole in a semi-infinite elastic body," J. Appl. Mech., vol. 33, no. 4, pp. 855–865, Dec. 1966.
[7] W. M. Orr, "Extensions of Fourier's and the Bessel–Fourier Theorems," Proc. R. Ir. Acad. A, vol. 27, pp. 205–248, 1909.
안녕하세요. 오랜만에 들어와봤는데 여전히 꾸준히 포스팅을 하고 계시는군요... 이런 내용들은 모두 새롭게 공부하시고 정리하시는건가요 아니면 예전에 배웠던 내용들을 복기하는 차원에서 다시 정리하시는 건가요? 내용의 방대함에 감탄하고 갑니다...
답글삭제재방문 감사합니다, 공돌이님 😁 기존에 증명한 자료를 정리해서, 시간이 될 때마다 올리고 있어요.
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