2020년 11월 8일 일요일

베버 변환(Weber Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베버 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 원통 좌표계의 성분(출처: wikipedia.org)

한켈 변환(Hankel transform)의 일반화인 베버 변환(Weber transform)[1]은 간단한 의문에 기반을 두고 있다. 한켈 변환인 식 (1)을 보면 반지름 $\rho$의 크기는 항상 $0$부터 시작해서 무한대로 간다. 반지름의 시작점을 $0$이 아닌 임의의 양의 실수인 $a$에서 출발해서 무한대로 가는 적분 변환(integral transform)을 정의할 수 있을까? 여기에 대한 답이 베버 변환이다.

                      (1)

식 (1)에 등장한 제1종 베셀 함수를 변형해 $\rho$ = $a$에서 항상 함수값이 $0$ 혹은 접선 경계 조건(tangential boundary condition)을 가진 접선 동축선 함수(coaxial function for tangent) $C_n (\rho; \kappa)$로 바꾼다. 그러면 한켈 변환은 다음과 같은 새로운 접선 베버 변환(Weber transform for tangent)이 된다.

                      (2)

여기서 $\kappa$에 관계없이 $C_n(a; \kappa)$ = $0$, 한켈 변환의 특성에 의해 $\kappa$ $\ge$ $0$이다. 베셀 함수 곱의 적분을 사용해서 식 (2)에 사용한 동축선 함수의 직교성을 구해본다[2].

                      (3)

여기서 $\kappa'$ $\ge$ $0$, $C_n'(\cdot)$은 입력 변수(argument)에 대한 미분이다. 식 (3)의 계산에는 베셀 함수의 점근식(asymptote of Bessel function)이 꼭 필요하다.

                      (4)

식 (4)를 이용해서 식 (3)을 점근적으로 계산한다.

                      (5)

여기서 $\phi_n$ = $\kappa b - (n+1/2)\pi/2$, $\phi_n'$ = $\kappa' b - (n+1/2)\pi/2$이다. 식 (5)를 더 간략화하려면, 단위 계단 함수의 푸리에 변환에서 구한 삼각 함수의 극한값이 필요하다.

                  (6)

식 (6)에 의해 식 (5)에 나온 삼각 함수 곱의 극한은 다음과 같다.

                  (7)

                  (8)

                  (9)

식 (7)–(9)를 다시 식 (5)에 대입해서 깔끔하게 마무리한다.

                  (10)

여기서 $\kappa$와 $\kappa'$는 $0$부터 시작하므로 $\delta(\kappa + \kappa')$은 무시한다. 식 (10)을 다시 쓴 식 (11)은 베버 변환에 대한 새로운 디랙 델타 함수의 정의이다.

                  (11)

식 (11)을 기반으로 정의한 접선 베버 역변환(inverse Weber transform for tangent)은 다음과 같다.

                  (12)

식 (12)를 식 (2)에 넣으면 베버 변환과 역변환 관계가 쉽게 증명된다.

                  (13)

반지름 $\rho$에 대한 직교성인 식 (3)과 조금 다른 $\kappa$에 대한 직교성도 다음처럼 계산할 수 있다.

                  (14)

식 (14)의 증명을 위해 베셀 함수를 모두 한켈 함수로 바꾼다.

             (15)

식 (15)의 마지막식을 다시 변형해서, 식 (16)과 같은 한켈 함수를 이용한 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 형태가 나타나게 한다.

                      (16)

                      (17)

다시 말해 식 (17)의 피적분 함수에 있는 처음 네 항을 다음처럼 정리하면 식 (16)이 나온다.

                   (18)

[그림 2] 제1종 한켈 함수를 위한 닫힌 경로

식 (17)의 마지막 두 항이 가진 복잡성으로 인해 실수 영역에서 적분하기는 매우 어렵다. 이를 위해 복소 함수론을 [그림 2]처럼 적용해서 식 (17)의 다섯째 항을 위한 적분 경로를 변경한다.

                  (19)

여기서 $\kappa$ = $0$에 있는 가지점(branch point)을 피하도록 경로 $c_1$과 $c_3$은 실수축보다 약간 더 위에 설정한다. 또한 [그림 2]와 식 (19)에서 무한히 커지는 반원 상의 피적분 함수 특성을 확인하기 위해서, 베셀과 한켈 함수를 점근적으로 풀어쓴다.

                  (20)

여기서 $\rho + \rho' $ $\ge$ $2a$, $\psi_n$ = $(n + 1/2) \pi /2$이다. 그러면 반원 상의 푸리에 변환에 의해 $c_2$의 복소 적분은 식 (19)처럼 당연히 $0$에 수렴한다. 다음 단계로 식 (19)의 최종 결과에 나타난 한켈 함수의 입력 변수를 양의 값으로 변경한다.

                   (21)

                   (22)

식 (22)를 식 (17)의 마지막식에 대입하여 정리하면 식 (14)가 최종적으로 유도된다. 그러면 식 (2)를 식 (12)에 대입해서 원래 함수를 다시 만드는 적분을 정의할 수 있다.

                   (23)

식 (23)은 베버 변환을 시작한 유명한 베버의 적분 정리(Weber's integral theorem)이다[4].
접선 베버 변환 및 역변환과 비슷하게 $\rho$ = $a$에서 미분값이 항상 $0$ 혹은 법선 경계 조건(normal boundary condition)을 만족하는 법선 동축선 함수(coaxial function for normal) $D_n (\rho; \kappa)$를 도입한다. 함수 $D_n (\rho; \kappa)$에 대한 법선 베버 변환(Weber transform for normal)과 연관된 역변환은 다음과 같다.

                   (24)

                   (25)

여기서 $\kappa$에 관계없이 $D_n'(a; \kappa)$ = $0$이다. 법선 동축선 함수의 직교성도 식 (11)과 (14)처럼 증명할 수 있다.

                   (26)

                   (27)

한켈 변환의 일반화인 베버 변환은 당연히 한켈 변환을 필연적으로 포함한다. 예를 들어 $a \to 0$인 극한을 적용하면, 접선과 법선 베버 변환인 식 (2)와 (24)는 바로 한켈 변환이 된다.

                   (28)

여기서 $C_n (\rho; \kappa)$ $\sim$ $J_n(\kappa \rho) N_n(\kappa a)$, $D_n (\rho; \kappa)$ $\sim$ $J_n(\kappa \rho) N_n'(\kappa a)$이다. 비슷한 방식으로 한켈 역변환과 베버 역변환의 관계도 유도할 수 있다.

                   (29)

식 (28)과 (29)를 식 (1)과 비교하면, 베버 변환에서 반지름의 시작점 $a$를 $0$으로 보내는 특별한 경우가 한켈 변환이다.

[참고문헌]
[1] H. Weber, "Ueber eine Darstellung willkürlicher Functionen durch Bessel'sche Functionen (About a representation of arbitrary functions by Bessel's functions)," Mathematische Annalen (Mathematical Annals), vol. 6, pp. 146–161, Jun. 1873.
[2] R. K. M. Thambynayagam and T. M. Habashy, "A new Weber-type transform," Quart. Appl. Math., vol. 61, no.3, pp. 485–493, Sep. 2003.
[3] H. J. Eom, "Integral transforms in electromagnetic formulation," J. Electromagn. Eng. Sci., vol. 14, no. 3, pp. 273–277, Sep. 2014.
[4] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.
[5] C. K. Youngdahl and E. Sternberg, "Three-dimensional stress concentration around a cylindrical hole in a semi-infinite elastic body," J. Appl. Mech., vol. 33, no. 4, pp. 855–865, Dec. 1966.

댓글 2개 :

  1. 안녕하세요. 오랜만에 들어와봤는데 여전히 꾸준히 포스팅을 하고 계시는군요... 이런 내용들은 모두 새롭게 공부하시고 정리하시는건가요 아니면 예전에 배웠던 내용들을 복기하는 차원에서 다시 정리하시는 건가요? 내용의 방대함에 감탄하고 갑니다...

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    1. 재방문 감사합니다, 공돌이님 😁 기존에 증명한 자료를 정리해서, 시간이 될 때마다 올리고 있어요.

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