2020년 11월 15일 일요일

변형 베셀 함수(Modified Bessel Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "변형 베셀 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 제1종 변형 베셀 함수(출처: wikipedia.org)

기존 베셀 함수(Bessel function)의 입력 변수(argument)를 실수에서 순허수로 바꾼 함수는 변형 베셀 함수(modified Bessel function)라고 부른다. 제1종 베셀 함수 $J_\nu (x)$를 바탕으로 제1종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the first kind) $I_\nu (x)$를 다음처럼 정의한다.

                  (1)

제1종 변형 베셀 함수가 알파벳 I로 시작하는 이유는 허수 입력 변수(imaginary argument)를 강조하기 위해서이다[1]. 식 (1)과 같은 다소 복잡한 정의가 필요한 이유는 $J_\nu (x)$의 무한 급수(infinite series) 표현식에서 찾을 수 있다.

                      (2)

식 (2)를 식 (1)에 대입해서 깔끔하게 정리해본다.

                      (3)

베셀 함수에 순허수를 대입한 결과인 식 (3)의 우변은 신기하게도 다시 실수가 된다. 즉 식 (1)처럼 정의하면, 순허수를 $J_\nu (x)$의 입력 변수에 대입하더라도 $I_\nu (x)$의 함수값은 실수가 되어서 편리하다.
식 (4)에 제시한 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)에서 $x$ 대신에 $ix$로 치환하면, 변형 베셀 함수를 위한 미분 방정식인 식 (5)도 유도할 수 있다.
 
                      (4)

                      (5)

[그림 2] 제2종 변형 베셀 함수(출처: wikipedia.org)

제2종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the second kind)도 제2종 베셀 함수 $N_\nu (x)$를 이용해서 식 (1)과 비슷하게 정의할 것 같다. 하지만 우리 예상을 깨고 $N_\nu (x)$가 아닌 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kine) $H_\nu^{(1)}(x)$를 바탕으로 제2종 변형 베셀 함수 $K_\nu (x)$를 정의한다.

                      (6)

여기서 $K_\nu (x)$는 맥도날드 함수(Macdonald function)라고도 한다[2]. 제2종 베셀 함수를 $K_\nu (x)$의 정의에 사용하지 못하는 이유는 두 가지 때문이다. 첫째는 $N_\nu (ix)$의 함수값에 임의의 복소 상수를 곱해도 실수값이 되지 않는다. 둘째는 입력 변수가 순허수인 경우 $J_\nu (ix)$와 $N_\nu (ix)$의 점근식이 모두 같은 모양으로 발산하기 때문에 서로 독립이 되지 않는다. 이로 인해 $K_\nu (x)$에 대해 식 (6)과 같은 독특한 정의를 도입한다. 더 구체적으로 보면, 식 (6)의 점근식은 식 (1)과 정반대로 움직여서 지수 함수적으로 감소한다. 그래서 점근식 관점에서 식 (1)과 (6)은 서로 달라서 독립적인 해가 된다.

                      (7)

                      (8)

식 (6)의 함수값이 실수임은 어떻게 증명할까? 제1종 베셀 함수와 한켈 함수의 관계를 이용해서 다음과 같은 전개를 한다.

                      (9)

제1종 변형 베셀 함수가 실수이기 때문에, 식 (9)의 마지막식도 실수가 된다. 따라서 복소수인 제1종 한켈 함수를 사용하더라도 $K_\nu (x)$는 항상 실수가 된다.
식 (6)의 정의에는 약간 지저분해보이는 상수 $\pi/2$가 있다. 이 상수는 베셀 함수의 역사성을 설명한다. 베셀Friedrich Wilhelm Bessel(1784–1846)은 제1종 베셀 함수 $J_\nu (x)$를 통일되게 잘 정의했지만, 정수 차수를 가진 제2종 베셀 함수를 얻는 방법은 여러 수학자에 의해 다양하게 제안되었다[1]. 맨처음 정수 차수의 제2종 베셀 함수 ${\bf Y}_n (x)$를 정의한 사람은 요절한 수학자 한켈Hermann Hankel(1839–1873)이다.

                      (10)

식 (10)을 기반으로 베버Heinrich Martin Weber(1842–1913)는 우리가 흔히 사용하는 $N_n (x)$를 다시 정의했다.

                      (11)

수학자 쉴레플리Ludwig Schläfli(1814–1895)는 식 (11)에 상수 $\pi/2$를 곱해서 다음처럼 사용했다.

                      (12)

여기서 $K_\nu (x)$는 제2종 변형 베셀 함수가 아니고 쉴레플리가 썼던 제2종 베셀 함수이다. 상상하기 쉬운 추측이지만, 제2종 변형 베셀 함수 $K_\nu (x)$의 정의는 식 (12)에서 유추해서 상수 $\pi/2$를 포함한다. 상수 $\pi/2$의 의미는 $N_n (x)$의 무한 급수 표현식을 보면 알 수 있다.

                 (13)

즉 식 (9)처럼 $\pi/2$를 곱한 정의는 $x$ = $0$에서 전개한 무한 급수를 간략화시킨다. 하지만 식 (7)과 (8)처럼 점근식의 계수가 달라지는 문제가 있다. 이런 문제는 식 (11)처럼 $\pi/2$를 생략하면 해결된다.
이와 같이 제2종 베셀 함수의 정의는 여러 가지가 있었지만, 제2종 베셀 함수는 식 (11)로 굳어지고 제2종 변형 베셀 함수는 식 (6)을 주로 쓰면서 서로 다른 모양을 가지게 되었다. 다시 말해 제2종 베셀 함수는 제1종 베셀 함수와 점근식을 통일하기 위해 $\pi/2$없이 정의한다. 하지만 제2종 변형 베셀 함수는 간단한 무한 급수 표현식을 위해 오히려 $\pi/2$를 곱해서 사용한다.
제1종 변형 베셀 함수의 입력 변수를 복소수로 확장한 경우는 식 (1)을 약간 변형해서 다음과 같은 새로운 정의를 사용한다.

                      (13)

여기서 $z$는 복소수이다. 다른 베셀 함수와 마찬가지로, 식 (3)에서 유도한 $I_\nu (z)$의 무한 급수 표현식은 $z^\nu$ 항을 가져서 가지 자름(branch cut)은 음의 실수축에 생긴다. 이에 따라 $z$의 편각(偏角, argument) $\operatorname{arg}(z)$은 $-\pi$부터 출발해 한바퀴만 돈다. 또 한가지 고려할 점은 식 (1)에 도입한 제1종 베셀 함수와의 관계이다. 제1종 변형 베셀 함수 $I_\nu (z)$를 정의한 $J_\nu (z)$는 음의 실수축을 연속이 되게 하는 해석적 연속(analytic continuation)에 의해 다음 관계식을 만족해야 한다.

                      (14)

따라서 식 (1) 혹은 식 (13)의 첫째식을 기준으로 $\operatorname{arg}(z)$가 $\pi/2$를 넘어가면, $iz$는 식 (13)에 의해 음의 실수축을 지나게 된다. 그래서 식 (14)를 이용해 다음과 같은 해석적 연속을 적용해 연속으로 만든다.

                      (15)

결국 $\operatorname{arg}(z)$가 $\pi/2$를 초과한 경우는 식 (13)의 둘째식을 써야 제1종 베셀 함수의 해석적 연속을 만족하게 된다. 제1종 베셀 함수처럼 $I_\nu (z)/ z^\nu$는 해석적이므로,  식 (14)처럼 $I_\nu (z)$의 해석적 연속은 다음과 같다.

                      (16)

여기서 $m$은 정수이다. 입력 변수를 복소수로 확장한 제2종 변형 베셀 함수의 정의는 다음과 같다.

                      (17)

식 (17)과 (18)에 나온 제1종 한켈 함수의 해석적 연속이 간단해지는 경우는 입력 변수에 $e^{\pi i}$가 있을 때이다.

                      (18)

 따라서 식 (17)의 첫째식을 다음과 같이 변형해서 식 (17)의 둘째식을 유도한다.

                      (19)

편각 $\operatorname{arg}(z)$가 $\pi/2$를 넘어가면, 식 (17)의 정의역처럼 가지 자름을 염두에 두고 $\operatorname{arg}(z)$의 시작점을 $-\pi/2$로 바꾼다. 제2종 변형 베셀 함수 $K_\nu (z)$의 해석적 연속은 식 (9)와 (16)을 이용해서 결정한다.

                      (20)


[참고문헌]
[1] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.
[2] H. M. Macdonald, "Zeroes of the Bessel functions," Proc. London Math. Soc., vol. 29, pp. 575–584, 1898.

[다음 읽을거리]

댓글 3개 :

  1. 안녕하세요,

    베셀함수나 르장드르 함수는 원통좌표계나 구면좌표계에서 변수분리법을 사용해 라플라스 방정식(편미분방정식)을 풀 때도 등장하는 것으로 알고 있습니다.

    혹시, 편미분방정식의 해의 존재성과 관련된 정리가 있나요..?? 찾아보니 피카르의 반복법 같은 것은 보통 상미분 방정식에서 쓸모가 있는 것 같더라고요... 사실은 편미분방정식에서 변수분리법을 사용했을 때 해를 구할 수 있다는 보장을 해주는 정리가 있는지 의문이 생겨서... 도움을 얻을 수 있을까 글을 남겨 봅니다.

    읽어주셔서 감사합니다.

    답글삭제
    답글
    1. 편미분 방정식 해의 존재성과 관련해서는 많은 논문이 있어요. 하지만 해의 존재성과 유일성이 증명된 상미분 방정식과는 다르게, 모든 편미분 방정식에 대한 해의 존재성은 증명이 없어요. 그래서 편미분 방정식은 문제별로 혹은 종류별로 해의 존재성과 유일성을 따로 증명하고 있어요.

      삭제
    2. 보편적인 정리가 없어서 못 찾았던 것이었군요.. 감사합니다!!

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.