변형 베셀 함수(Modified Bessel Function)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "변형 베셀 함수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 베셀의 미분 방정식

2. 베셀 함수

[그림 1] 제1종 변형 베셀 함수(출처: wikipedia.org)

기존 베셀 함수(Bessel function)의 입력 변수(argument)를 실수에서 순허수로 바꾼 함수는 변형 베셀 함수(modified Bessel function)라고 부른다. 제1종 베셀 함수 $J_\nu (x)$를 바탕으로 제1종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the first kind) $I_\nu (x)$를 다음처럼 정의한다.

                  (1)

제1종 변형 베셀 함수가 알파벳 I로 시작하는 이유는 허수 입력 변수(imaginary argument)를 강조하기 위해서이다[1]. 식 (1)과 같은 다소 복잡한 정의가 필요한 이유는 $J_\nu (x)$의 무한 급수(infinite series) 표현식에서 찾을 수 있다.

                      (2)

식 (2)를 식 (1)에 대입해서 깔끔하게 정리해본다.

                      (3)

베셀 함수에 순허수를 대입한 결과인 식 (3)의 우변은 신기하게도 다시 실수가 된다. 그래서 식 (1)처럼 정의하면, 순허수를 $J_\nu (x)$의 입력 변수에 대입하더라도 $I_\nu (x)$의 함수값은 실수가 되어서 편리하다.

식 (4)에 제시한 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)에서 $x$ 대신에 $ix$로 치환하면, 변형 베셀 함수를 위한 미분 방정식인 식 (5)도 유도할 수 있다.

 

                      (4)

                      (5)

[그림 2] 제2종 변형 베셀 함수(출처: wikipedia.org)

제2종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the second kind)도 제2종 베셀 함수 $N_\nu (x)$를 이용해서 식 (1)과 비슷하게 정의할 것 같다. 하지만 우리 예상을 깨고 $N_\nu (x)$가 아닌 제1종 한켈 함수(Hankel function of the first kine) $H_\nu^{(1)}(x)$를 바탕으로 제2종 변형 베셀 함수 $K_\nu (x)$를 정의한다.

                      (6)

여기서 $K_\nu (x)$는 맥도날드 함수(Macdonald function)라고도 한다[2]. 제2종 베셀 함수를 $K_\nu (x)$의 정의에 사용하지 못하는 이유는 두 가지 때문이다. 첫째는 $N_\nu (ix)$의 함수값에 임의의 복소 상수를 곱해도 실수값이 되지 않는다. 둘째는 입력 변수가 순허수인 경우 $J_\nu (ix)$와 $N_\nu (ix)$의 점근식이 모두 같은 모양으로 발산하기 때문에 서로 독립이 되지 않는다. 이로 인해 $K_\nu (x)$에 대해 식 (6)과 같은 독특한 정의를 도입한다. 더 구체적으로 보면, 식 (6)의 점근식은 식 (1)과 정반대로 움직여서 지수 함수적으로 감소한다. 그래서 점근식 관점에서 식 (1)과 (6)은 서로 달라서 독립적인 해가 된다.

                      (7)

                      (8)

식 (6)의 함수값이 실수임은 어떻게 증명할까? 제1종 베셀 함수와 한켈 함수의 관계를 이용해서 다음과 같은 전개를 한다.

                      (9)

제1종 변형 베셀 함수가 실수이기 때문에, 식 (9)의 마지막식도 실수가 된다. 따라서 복소수인 제1종 한켈 함수를 사용하더라도 $K_\nu (x)$는 항상 실수가 된다.

식 (6)의 정의에는 약간 지저분해보이는 상수 $\pi/2$가 있다. 이 상수는 베셀 함수의 역사성을 설명한다. 베셀Friedrich Wilhelm Bessel(1784–1846)은 제1종 베셀 함수 $J_\nu (x)$를 통일되게 잘 정의했지만, 정수 차수를 가진 제2종 베셀 함수를 얻는 방법은 여러 수학자에 의해 다양하게 제안되었다[1]. 맨처음 정수 차수의 제2종 베셀 함수 ${\bf Y}_n (x)$를 정의한 사람은 요절한 수학자 한켈Hermann Hankel(1839–1873)이다.

                      (10)

식 (10)을 기반으로 베버Heinrich Martin Weber(1842–1913)는 우리가 흔히 사용하는 $N_n (x)$를 다시 정의했다.

                      (11)

수학자 쉴레플리Ludwig Schläfli(1814–1895)는 식 (11)에 상수 $\pi/2$를 곱해서 다음처럼 사용했다.

                      (12)

여기서 $K_\nu (x)$는 제2종 변형 베셀 함수가 아니고 쉴레플리가 썼던 제2종 베셀 함수이다. 상상하기 쉬운 추측이지만, 제2종 변형 베셀 함수 $K_\nu (x)$의 정의는 식 (12)에서 유추해서 상수 $\pi/2$를 포함한다. 상수 $\pi/2$의 의미는 $N_n (x)$의 무한 급수 표현식을 보면 알 수 있다.

                 (13)

즉, 식 (9)처럼 $\pi/2$를 곱한 정의는 $x$ = $0$에서 전개한 무한 급수를 간략화시킨다. 하지만 식 (7)과 (8)처럼 점근식의 계수가 달라지는 문제가 있다. 이런 문제는 식 (11)처럼 $\pi/2$를 생략하면 해결된다.

이와 같이 제2종 베셀 함수의 정의는 여러 가지가 있었지만, 제2종 베셀 함수는 식 (11)로 굳어지고 제2종 변형 베셀 함수는 식 (6)을 주로 쓰면서 서로 다른 모양을 가지게 되었다. 다시 말해 제2종 베셀 함수는 제1종 베셀 함수와 점근식을 통일하기 위해 $\pi/2$없이 정의한다. 하지만 제2종 변형 베셀 함수는 간단한 무한 급수 표현식을 위해 오히려 $\pi/2$를 곱해서 사용한다.

제1종 변형 베셀 함수의 입력 변수를 복소수로 확장한 경우는 식 (1)을 약간 변형해서 다음과 같은 새로운 정의를 사용한다.

                      (13)

여기서 $z$는 복소수이다. 다른 베셀 함수와 마찬가지로, 식 (3)에서 유도한 $I_\nu (z)$의 무한 급수 표현식은 $z^\nu$ 항을 가져서 가지 자름(branch cut)은 음의 실수축에 생긴다. 이에 따라 $z$의 편각(偏角, argument) $\operatorname{arg}(z)$은 $-\pi$부터 출발해 한바퀴만 돈다. 또 한가지 고려할 점은 식 (1)에 도입한 제1종 베셀 함수와의 관계이다. 제1종 변형 베셀 함수 $I_\nu (z)$를 정의한 $J_\nu (z)$는 음의 실수축을 연속이 되게 하는 해석적 연속(analytic continuation)에 의해 다음 관계식을 만족해야 한다.

                      (14)

따라서 식 (1) 혹은 식 (13)의 첫째식을 기준으로 $\operatorname{arg}(z)$가 $\pi/2$를 넘어가면, $iz$는 식 (13)에 의해 음의 실수축을 지나게 된다. 그래서 식 (14)를 이용해 다음과 같은 해석적 연속을 적용해 연속으로 만든다.

                      (15)

결국 $\operatorname{arg}(z)$가 $\pi/2$를 초과한 경우는 식 (13)의 둘째식을 써야 제1종 베셀 함수의 해석적 연속을 만족하게 된다. 제1종 베셀 함수처럼 $I_\nu (z)/ z^\nu$는 해석적이므로,  식 (14)처럼 $I_\nu (z)$의 해석적 연속은 다음과 같다.

                      (16)

여기서 $m$은 정수이다. 입력 변수를 복소수로 확장한 제2종 변형 베셀 함수의 정의는 다음과 같다.

                      (17)

식 (17)과 (18)에 나온 제1종 한켈 함수의 해석적 연속이 간단해지는 경우는 입력 변수에 $e^{\pi i}$가 있을 때이다.

                      (18)

 따라서 식 (17)의 첫째식을 다음과 같이 변형해서 식 (17)의 둘째식을 유도한다.

                      (19)

편각 $\operatorname{arg}(z)$가 $\pi/2$를 넘어가면, 식 (17)의 정의역처럼 가지 자름을 염두에 두고 $\operatorname{arg}(z)$의 시작점을 $-\pi/2$로 바꾼다. 제2종 변형 베셀 함수 $K_\nu (z)$의 해석적 연속은 식 (9)와 (16)을 이용해서 결정한다.

                      (20)

식 (1)과 (6)에 소개한 변형 베셀 함수의 정의를 이용해서 다양한 수학 정리를 손쉽게 유도할 수 있다.

   1. 기본(basics)   

[일반화된 음의 차수]

                  (1.1)

[증명]

식 (9)를 정리해서 식 (1.1)의 첫째식을 증명한다. 식 (1.1)의 둘째식은 식 (6)으로 유도한다.

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식 (1.1)에 의해 $\nu$가 정수인 경우 다음 관계식이 성립한다.

                  (1.2)

   2. 함수 표현식(function representation)   

[그림 2.1] 한켈 경로 $\mathcal{H}$의 원점 대칭 경로 $\mathcal{C}$ = $-\mathcal{H}$

[쉴레플리의 제1 적분(Schläfli's first integral)]

                  (2.1)

[증명]

베셀 함수에 대한 쉴레플리의 제1 적분(Schläfli's first integral for Bessel function)에서 변수 $z$는 임의가 될 수 있어서 식 (1)처럼 $z$ = $ix$를 대입해서 정리한다.

                      (2.2)

                      (2.3)

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식 (2.3)에 유도한 결과를 보면, 식 (1)의 정의는 쉴레플리의 제1 적분을 가장 깔끔하게 만들어주어서 유용하다.

[그림 2.2] 한켈 경로의 원점 대칭 경로 $\mathcal{C}$와 관련된 사각형 경로 $\mathcal{R}$

[쉴레플리의 적분(Schläfli's integral)]

                      (2.4)

                      (2.5)

[증명]

식 (2.1)의 복소 변수 $u$를 $xt/2$로 치환해서 식 (2.4)를 증명한다. 비슷하게 식 (2.4)에 나온 복소 변수 $t$를 $e^w$로 바꾼다.

                      (2.6)

여기서 $w$는 [그림 2.2]에 나온 사각형 경로 $\mathcal{R}$을 따라간다.

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[변형 베셀 함수에 대한 쉴레플리의 일반화(Schläfli's generalization for modified Bessel function)]

                      (2.7)

[증명]

사각형 경로 $\mathcal{R}$은 선분으로 구성되어서 적분하기 매우 편하다. 베셀 함수의 경우처럼 적분 구간을 [그림 2.2]와 동일하게 설정해서 있는 그대로 적분한다.

                      (2.8)

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                      (2.9)

[증명]

변형 베셀 함수 $K_\nu(x)$의 또 다른 정의인 식 (9)에 식 (2.7)을 넣어서 두 적분을 서로 합한다.

                      (2.10)

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                      (2.11)

[증명]

식 (2.9)에서 $u$ = $e^t$로 변수 치환하고 적분도 분리하여 증명한다.

                      (2.12)

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                      (2.13)

[증명]

식 (2.13)은 식 (2.11)를 $u$ = $xt/2$로 변수 치환한 결과이다.

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식 (2.11)과 (2.13)은 제2종 변형 베셀 함수에 대한 쉴레플리의 적분이 된다.

[참고문헌]

[1] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.

[2] H. M. Macdonald, "Zeroes of the Bessel functions," Proc. London Math. Soc., vol. 29, pp. 575–584, 1898.

[다음 읽을거리]

1. 베셀 함수의 점근식