2011년 12월 8일 목요일

베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "베셀 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 스투름-리우빌 이론
2. 프로베니우스 방법의 적용
3. 천장에 매달린 사슬의 운동 방정식


베셀(Friedrich Wilhelm Bessel)이 일반화 시킨 다음 미분 방정식을 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)이라 한다.

                      (1)

                      (2)

재미있는 것은 베셀의 박사 학위 지도교수가 가우스(Carl Friedrich Gauss)란 것이다[4]-[7]. 베셀은 가우스의 추천으로 1810년에 괴팅겐 대학교(Georg-August-Universität Göttingen)의 명예 박사 학위(honorary doctorate)를 취득하게 된다[6]. 우리를 힘들게 하는 베셀 함수(Bessel function)를 만든 베셀이지만, 박사 학위가 없어 한때 서러움을 당했다. 베셀은 거의 독학으로 천문학과 수학을 공부해 성과를 만들어낸 천재여서, 1809년에 쾨니히스베르크 천문대(Königsberg Observatory) 책임자와 교수직을  제안 받았다. 하지만 박사 학위가 없어 임용이 결국 거절되었다. 박사 학위에 충분한 능력은 갖추었지만 자존심에 상처 입은 베셀은 인근 대학의 박사 학위에 지원하지 않았다. 베셀은 권위에 굴복하는 모습을 보여주고 싶지 않았다. 이런 난처함을 도와준 구세주가 가우스였다. 깐깐한 가우스지만 열정적인 천재에게는 한없이 관대했다. 가우스의 적극적인 추천과 이전의 본인 업적으로 박사 학위를 받은 베셀은 결국 쾨니히스베르크 천문대장이 된다. 이후 평생을 쾨니히스베르크에 지내며 천문을 관측하게 된다. 하늘을 보고 고민하며 이룬 업적 중 하나가 그 유명한 베셀 함수이다. 가우스의 지원이 없었다면 이 베셀 함수는 다른 이름을 가졌을 수도 있다.

천장에 매단 사슬(hanging chain)의 움직임[3]을 연구하던 베르누이(Daniel Bernoulli)가 1732년에 처음으로 제안하고(베르누이가 제안한 것은 식 (11)에 있는 0차 제1종 베셀 함수) 베셀이 1824년에 일반화시킨 유명한 베셀 함수는 식 (1)이나 (2)의 해로 정의한다[2]. 당연한 말이지만 베셀 함수의 대부분 성질은 식 (1)이나 (2)를 통해 증명할 수 있다.
식 (1)의 베셀 미분 방정식은 다음과 같은 프로베니우스 방법을 위한 미분 방정식 관점으로 풀 수 있다.

                      (3)

여기서 $p(x), q(x)$는 발산하지 않는다. 식 (1)과 (3)을 비교하면 $p(x) = 1$, $q(x) = x^2 - n^2$이 되어 $p(x), q(x)$가 발산하지 않으므로 프로베니우스 방법을 쓸 수 있다. 식 (4)에 있는 지표 방정식(indicial equation)을 이용하면 지표값 $r$은 다음처럼 결정된다.

                      (4)

                      (5)

[그림 1] 제1종 베셀 함수(출처: wikipedia.org)

$r_1 = n$이라 정하면 베셀 미분 방정식의 첫번째 해는 다음 식으로 구할 수 있다.

                      (6)

          (7)

식 (7)에 $r_1 = n$을 대입하면 다음 재귀 관계(recursion relation)를 얻을 수 있다.

     (8)

그러면 식 (8)의 마지막 식을 식 (6)에 대입해 첫번째 해를 구할 수 있다.

            (9)

여기서 !는 계승(階乘, factorial)을 의미한다.
식 (9)와 같은 첫번째 해는 식 (10)처럼 표기하고 제1종 베셀 함수(Bessel function of the first kind)라 부른다. 다음 조건처럼 $a_0$를 정하자. (∵ $a_0$는 임의이므로 아무값이나 넣을 수 있는데 식 (9)를 간단하게 표기할 수 있는 방식으로 $a_0$를 정하자.)

                      (10)

식 (10)의 정의를 식 (9)에 대입하면 제1종 베셀 함수를 완전히 얻을 수 있다.

                      (11)

식 (10)의 정의로 인해 제1종 베셀 함수는 간편하게 표기할 수 있다.

미분 방정식 (1)에서 $n$이 정수가 아닌 실수라면 보통 $\nu$로 표기한다. 계승의 일반화인 감마 함수(gamma function)를 이용하면 식 (11)을 일반화할 수 있다.

                      (12)

                      (13)

식 (13)을 식 (11)에 대입하면 일반화된 제1종 베셀 함수를 정의할 수 있다.

                      (14)

프로베니우스 방법에서 $r_2 = -n$을 대입하면 두번째 해를 얻을 수도 있다. 하지만, 다음 베셀 함수 관계로 인해 첫번째 해와 종속되어버린다. 아래 식의 증명은 [여기]에서 볼 수 있다.

                      (15)

하지만, $n$이 정수가 아니면 $J_\nu (x)$와 $J_{-\nu}(x)$는 서로 독립적인 관계가 된다. (∵ 식 (14)의 분모에 있는 감마 함수가 무한대가 되는 경우가 생기지 않는다.) 즉, $J_{-\nu}(x)$가 두번째 해가 된다.

[그림 2] 제2종 베셀 함수(출처: wikipedia.org)

식 (15)를 바탕으로 제2종 베셀 함수(Bessel function of the second kind)를 정의해보자[1].

                      (16)

제2종 베셀 함수는 노이만 함수(Neumann function)라고도 한다. $J_\nu (x)$와 $J_{-\nu}(x)$는 서로 독립이기 때문에 $\nu \ne n$인 경우 타당한 두번째 해가 된다. 물론 프로베니우스 방법을 이용해 두번째 해를 다음처럼 구할 수도 있다.

                      (17)

하지만, 상미분 방정식 해의 존재성과 유일성이 있는데 굳이 식 (17)처럼 어려운 길을 갈 필요는 없다. 2차 상미분 방정식의 독립적인 해는 두가지이므로, 서로 다른 해인 식 (14)와 (16)의 선형 결합으로 식 (17)을 표현하여 대체할 수 있다.
식 (16)처럼 제2종 베셀 함수를 지저분하게 정의하는 이유는 $\nu = n$인 경우에도 써먹기 위해서다. 식 (16)에 극한(limit)을 취하면 정수 차수(integer order) 제2종 베셀 함수를 정의할 수 있다[1].

                      (18)

그러면 식 (15)에 의해 식 (18)의 분자와 분모가 0이 되어서 함수값이 존재하게 된다. 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)를 써서 식 (18)을 계산하자.

                      (19)

식 (19)를 계산하기 위해 식 (14)에 있는 베셀 함수를 차수에 대해 미분해보자.

      (20)
여기서 $\psi(\cdot)$는 다이감마 함수(digamma function)이다.
식 (20)의 결과를 식 (19)에 대입하자.


                                                                                                    (21)

기가 막힌 방법으로 식 (21)을 얻었지만 식 (21)에는 다소 문제가 있다. $m \le n-1$인 경우 $(m-n)!$과 $\psi (m-n+1)$이 발산하기 때문에 대책이 필요하다. (∵ $\psi (m-n+1)$이 발산하는 것은 식 (24)를 봐도 자명하다.) 이 문제를 해결하려면 식 (22)에 있는 오일러의 반사 공식(Euler's reflection formula)을 이용해야 한다[1].

                      (22)

또한, 식 (21)에서 발산하여 문제가 되는 부분은 다음처럼 바꾼다.

                      (23)

식 (23)의 우변에 식 (22)를 대입하여 미분하면 다음을 얻을 수 있다.

                      (24)

식 (24)를 이용하면 식 (21)에 나오는 무한 급수(infinite series)를 단순화시킬 수 있다.

  (25)

그러면 정수 차수 제2종 베셀 함수를 아래처럼 표현할 수 있다.

        (26)

참 먼 길을 달려왔다. 식 (26)의 정수 차수 제2종 베셀 함수를 유도하는 것은 쉬운 일이 아니다. 오죽 힘들면 약 120년전에 나온 수학 논문지[1]에 위 과정이 실렸겠는가! 그래서, 대부분의 공학 수학책에는 이 증명을 소개하지 않는다. 위의 유도 과정없이 식 (26)을 보면 마법이다. 우리가 근접할 수 없는 무언가를 가지고 있는 것 같다. 하지만, 식 (18)부터 (26)까지 따라가 보면 그냥 수학적 과정을 이어나가서 결과를 얻고 있다.

위의 정의 (14), (16)과는 다르게 식 (1)의 해를 구할 수도 있다. 식 (14)와 (16)을 복소수(complex number)를 이용해 연결하면 다음과 같은 한켈 함수(Hankel function)가 된다.

                      (27)

[참고문헌]
[1] M. Bocher, "On Bessel's functions of the second kind," Ann. Math., vol. 6, no. 4, pp. 85-90, Jan. 1892.
[2] G. N. Watson, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Cambridge University Press, 1922.
[3] C. Byrne, Notes on Bessel's Equation and the Gamma Function, University of Massachusetts Lowell, April 2009.
[4] Carl Friedrich Gauss, Wikipedia.org.
[5] Friedrich Wilhelm Bessel, The MacTutor History of Mathematics, University of St. Andrews Scotland, 1997.
[6] Friedrich Wilhelm Bessel, Mathematics Genealogy Project.
[7] J. L. Heilbron, The Oxford Guide to the History of Physics and Astronomy, Volume 10, Oxford University Press, 2005.

[다음 읽을거리]
1. 베셀 함수
2. 베셀 함수의 점근식
3. 구면 베셀의 미분 방정식
4. 원통 좌표계의 전자장 표현식

댓글 49개 :

  1. 25번 식에서m=k+n으로 두셨는데 (-1)의 k승이 (-1)의 m승이 될 수있나요?

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    1. 해결 했습니다. 제가 잘못봤네요^^

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  2. ^^ k = m - n이라고 두면 바로 과정이 보일 것입니다.

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  3. 예. 그런데 어릴 때부터 천재이고 77세로 죽을 때까지 열정적으로 연구한 가우스의 박사 제자는 의외로 적습니다. 리만, 칸토어, 데데킨트, 구더만 등... 하지만, 가우스의 제자들은 독일 뿐만 아니라 세계 수학역사를 바꾼 인물들입니다.

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    1. 음... 제가 알기로는 베셀은 고등학교 졸업 자격도 없다고 합니다. 독학으로 고등수학을 공부한 드문 경우인데 25세에 천문학 교수로 임명받았다고 하는군요. (참조: http://de.wikipedia.org/wiki/Friedrich_Bessel) 21세 때부터 가우스와 상당한 양의 편지를 주고 받았다는 기록은 있습니다. 그 전에는 직업 교육을 받았던 것으로 나옵니다. 가우스와 베셀이 스승과 제자의 관계라는 것은 맞지 않는 것으로 여겨집니다.

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    2. 다양한 지적 감사드립니다, 익명님. 표현을 좀 완화할 필요는 있겠네요. ^^
      베셀의 박사 학위 지도교수가 가우스라는 참고문헌은 몇 개 추가했습니다. 보시고 또 비판해주세요.
      글을 쓸 때 근거는 꼭 찾아보고 쓰려고 노력하고 있지만 부족한 점은 있을 수 있습니다.

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    3. 공부를 많이 하실 것이라는 인상이 확인되는군요. 제시하신 영어판 전기를 읽어보고서 대략 맥락은 이해했습니다. 가우스와 주고 받은 편지에 상당히 중요한 수학적 논제들이 들어 있다는 사실도 알고 있습니다. 다만 베셀의 특이한 전기를 강조하고 싶은 것이 제 의도였습니다. 독일의 학제가 깐깐하기도 하지만 자율성도 꽤 보장되어 있답니다. 베셀이 박사학위논문을 써서 학위를 받았다는 기록이 있는지 궁금합니다. 그렇다면 베셀이 누군가의 지도를 받았겠고 또 학위 논문 제목이나 취득 연도가 전기에 나올텐데, 영어판 전기에서도 그런 흔적을 발견하지 못했습니다. 그저 가우스가 제안하여 괴팅엔 대학에서 베셀에게 박사학위를 주었다는 것이 전언의 핵심인지라, 저는 그저 가우스가 베셀의 뛰어난 재능을 알아보고 지원하는 차원에서 그를 학위 수여 대상자로 선정하고 학위를 주도록 영향을 미쳤을 것으로 보이는데, 그 이상의 것은 알지 못합니다. 실제로 독일 대학에서 이미 발간된 글이나 저서를 박사학위 논문으로 인정하는 경우가 꽤 있습니다. 특별히 가우스의 지도를 받아 -우리가 상상하는- 제도적인 학위논문을 쓴 경우는 아닐 것이라는 것이 두 개의 출처를 읽어본 제 추정입니다. 이 흥미로운 천재의 전기에 관심이 생겨서 거북이님에게 글을 남겨 보았습니다. 저는 수학자도 아니고 물리학자도 아니고 인문대 출신입니다.

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    4. 베셀의 전기를 찾아보니 베셀은 학위를 받은 적이 없는 것으로 보입니다.( Einige Schwierigkeiten, die ihm als nicht rite promovirten Autodidakten zunächst entgegentraten, überwand er in kurzer Zeit. 박사학위가 없이 혼자서 공부한 베셀이 처음에 겪은 어려움들을 그는 단시간에 극복했다.) 1875년에 발간된 독일인들의 전기 모음(http://de.wikisource.org/wiki/ADB:Bessel,_Friedrich_Wilhelm)에 나온 대목입니다.

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    5. 댓글 감사합니다, 무딘연필님. ^^ 저도 베셀과 같은 천재 수학자 전기에 관심이 많습니다.

      위에 첨가한 참고문헌 [4]-[6]에는 베셀이 가우스의 지도를 받았거나 가우스가 지도교수(advisor)라고 나옵니다. 또한 맥튜터 수학사[5]와 수학자 족보 프로젝트[6]는 나름 권위가 있으니 일단 본문에는 베셀이 가우스의 학생으로 기술했습니다.

      현 시점에서 베셀에게 박사 학위를 받았는지 누구에게 받았는지를 물어볼 수는 없으니 일단 의문점으로 표시해두겠습니다. 진실은 언젠가 밝혀지겠지요.

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    6. 6번을 보니 Dr. phil. honoris causa라고 명시되어 있군요. 명예박사에 해당합니다. 어떤 배경에서 명예박사 학위를 받았을지는 대략 스케치했으니, 더 덧붙일 것은 없습니다. 5번에서는 추천내지 제안(recommendation)이라는 말이 나왔고, 4에 해당하는 영문판 위키페디아에는 가우스의 뛰어난 제자로 베셀을 포함한 3명의 학자를 들고 있지만, 제가 읽은 독일어판 위키페디아와 1875년판 전기에는 베셀의 이름이 들어 있지 않습니다. 아마도 정식으로, 대학의 학위과정에 등록하여 공부를 하지 않은 까닭일 겁니다. 어디를 보아도 베셀이 어느 대학 출신이라는 것이 없습니다. 베셀의 지적인 치열함과 그런 재능을 인정해주는 제도의 느슨함에는 눈여겨 볼 필요가 있겠습니다. 그러면 제 궁금함은 이 정도로 접고, 거북이님의 인내심에도 감사드리면서, 이 이야기를 마치고자 합니다.

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  4. 우연히 들렀다가 잘 보고 갑니다.ㅎㅎ
    혹시 베셀방정식이 왜 수학적으로 중요한지도 알 수 있을까요?ㅎ

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    1. 방문 감사합니다. ^^

      미분방정식은 수학적 측면보다는 그 응용이 더 중요하다고 생각합니다.

      수학적으로 얘기하면 베셀의 미분방정식은 원통좌표계로 경계조건이 주어지는 미분방정식입니다. 하지만 그 기원은 물리학입니다. 천장에 매단 사슬(hanging chain)의 운동문제를 풀다가 베르누이가 발견한 미분방정식이 베셀의 미분방정식입니다.

      또한, 좌표계를 원통으로 잡아 파동방정식을 풀면 필연적으로 베셀의 미분방정식이 필요합니다.
      그런데 이 파동방정식은 뉴튼의 운동법칙으로 유도한 미분방정식입니다.
      http://ghebook.blogspot.kr/2011/10/wave-equation-for-string.html

      수학으로만 미분방정식을 보면 그 의미를 정확히 알기 어렵습니다.

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    2. 아 그래서 항상 원통좌표계로 맥스웰 방정식을 풀면 솔루션에 베셀 함수가 나오는 거군요

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    3. 예. 원통좌표계는 베셀 함수가 기저함수입니다.

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  5. 정말 좋은 글이 많네요. 우연히 찾다가 발견했는데 많은 도움 받고 갑니다. 감사합니다.^^

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  6. (15)번이 어떻게 성립하는지 궁금해요~

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    1. 아래 식 (1-1)에 증명이 있습니다. 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/bessel-function.html

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  7. 식 19에서 (-1)^n은 어떻게 나온거죠??

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    1. 로피탈의 정리를 이용해 식 (18)의 분모를 미분하면 cos(nπ)·π = π·(-1)^n을 얻을 수 있습니다.

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  8. 보면 볼수록 멋진 블로그네요! 각각의 '지식'들간의 상호관계를 연결해둔 것이 너무나 감동적입니다..

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  9. 추가로 질문 하나드리고 싶네요. v가 정수가 아닌 실수인 경우에는 J_v(x)와 J_(-v)(x)가 독립적인 함수라서 2차 상미분 방정식인 베셀 미분방정식의 해를 구성할 수 있는 2개의 기저가 되어 굳이 제2종 베셀함수를 정의할 필요성이 없지만, v가 정수인 경우에는 그러하지 못하기 때문에 제2종 베셀함수를 정의하였고, 이왕 정의한 김에 일반적인 v에 대해서 제1종 베셀함수 J_v(x) 와 제2종 베셀함수 N_v(x) 를 베셀미분방정식의 기저로 사용한다! 라고 이해하였는데 올바른 이해라 볼 수 있을까요?

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  10. 베셀함수를 공부하다 이 블로그를 접하게 되었습니다. 선행 학습할 것들이 순식간에 불어나네요. 그래도 막막함은 해결되었습니다. 차근차근 공부 해보겠습니다. 감사합니다. 전파거북이님.

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    1. 방문 감사합니다, 김성욱님. 천천히 해보세요. 급하게 하면 포기하게 됩니다. ^^

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  11. 식(8)의 두번째 화살표 이후의 식이 어떻게 나오는지 잘 모르겠습니다. m(m+2n) 아닌가요?

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    1. 본문에 오타가 있었습니다. 지적 정말 감사합니다, 익명님. ^^
      본문을 다시 수정했습니다.

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  12. 식 (10)이 갑자기 어디서 나왔는지 잘 모르겟습니다.

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    1. 어디서 유도된 것이 아니고 정한 것입니다.
      식 (10)처럼 하면 베셀 함수 정의가 식 (11)처럼 단순해집니다.

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  13. 식 (15) 밑에 설명 에서 n이 정수가 아닐때 감마함수가 무한대가 아니라는 것은 그래프를 통해 알수 있겠는데 그 때문에 왜 Jv 와 J-v 가 독립인지 이해가 가질 않습니다..

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    1. 브룅스키안(Wronskian)을 해보세요. ^^

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  14. 음 베셀 미분 방정식의 해가 베셀 함수 인데 Jv(x)와 J-v(x)이다 v 가 정수가 아닐때에는 서로 독립이라서 이 2차 상미분 방정식의 두해가 Jv(x)와 J-v(x)가 되지만 v 가 정수일때 식 (15)때문에 서로 독립이 되지 않으므로 노이만 함수(2종 베셀 함수)가 타당한 두번째 해가 된다 라고 이해 해도 되는건가요??
    그러면 한켈 함수는 언제 쓰는 건가요? 헤링턴 전자장 책 공부 중인데 베셀함수에서 멘붕 와서 이 블로그가 많은 도움이 되고 있습니다. 책에서 원통 좌표계에서 r 이 0일때 1종 베셀함수 쓰고 r 이 무한일때 한켈 함수 쓰는데 왜 그런가요?

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    1. - $\nu = n$이면 독립적인 2개의 해가 없기 때문에 식 (16)처럼 정의해 정수 차수를 가진 두번째 해를 얻은 것입니다.

      - 한켈 함수는 전자파 분야에서 쓰일 때는 원통형 파동을 표현할 때입니다. 전자파에 나오는 복사 조건(radiation condition)으로 찾아보세요. 아래 링크도 참고하시고요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/12/2-2d-free-space-greens-function.html

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  15. 식들이 죄다 [Math Processing Error] 라고 떠서 알아보기 힘드네요...

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    1. F5를 눌러 보세요. 가끔씩 안되는 경우가 생겨요.

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  16. 안녕하세요. 혹시 과제를 하는데 출처를 적고 본문을 인용해도 될까요?

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    1. 출처만 달고 마음껏 인용하세요, 익명님. ^^

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  17. 잘보고갑니다! 베셀함수 검색해봤는데 여기가 나오네요~ 대학교2학년 공업수학시간인데.. 어려워 죽겠네요 ㅠ

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    1. 베셀 함수가 쉽지 않습니다. 대부분의 대학생들이 처음으로 배우는 특수 함수가 베셀 함수일 것 같네요. 힘내서 공부하세요, 염주일님. ^^

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  18. 혹시 프로필로 달고 계신 거북이 사진, 국내 생태계를 교란한다고 알려진 외래종 거북이와 비슷하게 생긴 것 같은데 확인해주실 수 있나요?

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    1. ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 선생님의 유우머에 공중제비 돌고 갑니다.

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  19. "식 (14)와 (16)의 선형 결합으로 식 (17)이 표현된다."
    라는 표현이
    " 식 (14)와 (16)의 선형 결합으로 식 (1)의 일반해를 표현할 수 있다." 가 맞는 표현이 아닌가요?
    식(16)은 식(17)의 또다른 표현방식이 아닌가 싶습니다.

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    1. 안전하게 일반적으로 표현한 것입니다. 식 (17)의 특성이 나오지 않은 상태이므로, 항상 식 (16)과 (17)이 같다고 할 수 없습니다.

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    2. (16)과 (17)이 다를 수 있겠지만 대부분의 Bessel's equation을 설명하는 자료에서
      Bessel's equation의 일반해를 식(14)와 식(16)의 조합(선형결합)으로 기술하는데, 식(17)이 일반해와 동일한 개념인가요?

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    3. 아닙니다. 식 (17)은 두번째 해이기 때문에, 서로 다른 두 해인 식 (14)와 (16)의 선형 결합으로 표현할 수 있습니다. 본문은 이런 관점으로 써져 있습니다.

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    4. 관련된 문장은 조금 더 다듬었습니다. ^^

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    5. 답변 감사합니다. 조금 해깔려서 계속 질문을 드립니다.
      1. 일반해가 (14) (16)의 선형결합으로 표현되는 것이 맞는지요?
      2. 1과는 별도로 (17)역시 (14) (16)의 선형 결합으로 표현할 수 있다고 말씀하시는 것인지요?
      3. 만약 (17)이 선형결합의 결과라면 혹시 이 부분을 증명하는 관련 이론이 있나요?
      4. 혹시 (16)이 second solution으로 지정한 이유를 알 수 있는 자료나 site가 있나요?

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    6. 1. 네.
      2. 네.
      3. 식 (14)와 (16)을 선형 결합하면 모든 해를 표현할 수 있기 때문에, "식 (17)은 식 (14)와 (16)의 선형 결합이다"라고 할 수 있습니다.
      4. 참고문헌 [1]이 그걸 설명/증명하고 있습니다.

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