2011년 12월 9일 금요일

로피탈의 정리(L'Hôpital's Rule)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "로피탈의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한과 연속성의 의미
3. 평균값의 정리


극한(limit)미분(differentiation)에 기반을 둔 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)는 단순하지만 $0/0$과 $\infty/\infty$의 극한값을 구할 때는 강력한 도구가 된다. 이름에서도 알 수 있듯이 이 규칙은 로피탈Guillaume de l'Hôpital(1661–1704)이 1696년로피탈 35세, 조선 숙종 시절에 발견했다. 하지만, 일설에는 수학 교사 역할을 했던 요한 베르누이Johann Bernoulli(1667–1748)에게 돈을 주고 이 규칙을 자기것으로 만들었다는 주장이 있다. 이게 사실이면 돈주고 수학 정리를 산 최초의 예가 될 것이다. 한국 일부 영역에 악습으로 남아있는 학위 논문 대필이 300년전 프랑스에서도 발생했을 수 있다. 다만 이런 야사가 있다고 해서 로피탈이 사기꾼은 아니다. 베르누이의 그늘이 너무 커서 약간 어두워 보이지만, 로피탈은 당대 유명한 수학자였다. 세계 최초로 미분학 교과서를 집필한 저자가 바로 로피탈이다.

[극한값 $0$에 대한 로피탈의 정리]

                            (1)

여기서 $f(x)$, $g(x)$는 $x = a$에서 미분 가능해야 한다.

[증명: 코쉬의 평균값 정리]
함수값 $f(a)$ = $g(a)$ = $0$이므로, 식 (1)의 좌변에 있는 분자와 분모에서 $f(a)$와 $g(a)$를 빼줄 수 있다. 그 다음에 같은 수 $x - a$로 분자와 분모를 나누면 다음과 같다.

                           (2)

식 (2)에서 둘째항의 극한[사실은 미분]이 존재하는지 명확히 보려면, 코쉬의 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem)를 고려해야 한다.

[증명: 테일러 급수]
테일러 급수(Taylor series)를 이용하면 다음이 성립한다.

                  (3)
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로피탈의 정리를 이해하기 위해 멱급수(冪級數, power series)를 이용한 $x$ = $a$ 근방의 특성을 고려해보자.

       (4)

식 (4)에서 $m > n$이면 $f(x)/g(x)$ = $0$이되므로 식 (1)이 성립하고, $m$ = $n$이면 식 (4)의 셋째줄에 의해 식 (1)이 성립한다.

[극한값 무한대에 대한 로피탈의 정리]

                            (5)

여기서 $f'(x)/g'(x)$는 $x$ = $a$에서 함수값이 존재해야 한다.

[증명: 코쉬의 평균값 정리]
쉬의 평균값 정리를 사용하기 위해 $\xi < c < x < a$라 생각하자[1].

                            (6)

여기서 $x$가 $a$에 다가가면 함수값 $f(x)$, $g(x)$는 발산한다. 따라서 $f(\xi)/f(a)$, $g(\xi)/g(a)$는 0으로 수렴한다. 이상을 바탕으로 식 (6)에 극한을 취하면 다음이 성립한다.

                       (7)

식 (7)에 의해 $\xi$가 $\xi < c < x < a$를 만족하면서 $a$로 가까이 가면 식 (5)가 성립함을 알 수 있다. 여기서 $\xi$가 아무리 $a$에 가까이 가더라도 $f(a)$, $g(a)$는 발산하기 때문에 $f(\xi) \ne f(x)$, $g(\xi) \ne g(x)$임을 알 수 있다.
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[증명: 극한값 $0$ 이용]
$f(x)/g(x) \ne 0$이면 식 (1)을 써서 식 (5)를 증명할 수 있다.

                            (8)
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위의 식 (1)과 (5)에서 $a$가 무한대로 갈 때는 변수를 $t$ = $1/x$로 바꾸고 $d$ = $1/a$라고 정의한다. 그러면 로피탈의 정리를 이용해 $t$ = $d$, 즉 $t$ = $0$ 근방에서의 극한 특성을 살핌으로써 $a$가 무한대로 갈 때의 성질을 증명할 수 있다.

[참고문헌]
[1] P. K. Ving, L'Hôpital's Rule, Calculus of One Variable.

댓글 43개 :

  1. 정말 유용한 정보 감사합니다ㅎ

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  2. ㅎㅎ이런건 정말 쉬운데,ㅠ 수열이 왜 이렇게 어려울까요?.ㅍ

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  3. 적분보다 어려운 것이 수열입니다. 어렵게 느끼는 것은 당연합니다.
    문제풀 때도 무한급수가 나오면 어떻게 적분으로 바꿀 것인가 항상 고민합니다.

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  4. 잘 보고 갑니다 ^^. 요새는 글을 적게 쓰시는 듯 하기도...

    시간 되시면 전체적으로 목차 만들어서 정리해주시면, 보는 사람은 더 편할거 같아요.
    카테고리 들어가도 글 목록이 한눈에 보이지가 않아서;;;

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  5. 네, 요즘은 업무가 많아서 글쓸 시간이 잘 안나네요.

    글목록은 네이버 블로그에 정리하고 있습니다. 공학수학 글목록은 아래에서 볼 수 있습니다.
    http://blog.naver.com/ghebook/30113491161

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  6. 감사합니다~ 좋은 공부가 되었어요^^

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  7. 좋은 글 정말 고맙습니다^^ 공부할 때 도움이 되네요 ㅎㅎ 그런데 궁금한게 있어요.

    로피탈의 정리2 에 보면은 리미트 x->a 가 있는데, f(a)=g(a)=무한대 이렇게 나올 수 있는 이유는 뭔가요? a는 하나의 값일 텐데 어떻게 무한대가 나오는 죠?

    tidlsqjsj@naver.com 는 제 메일 이여요 ^^

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    1. 감사합니다.

      x가 a로 접근할 때 f(a) = g(a) = ∞가 되는 것은 조건입니다. 예를 들어 f(x) = 1/(x-a)라면 이 조건을 만족하지요.

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  8. C가 무한대로갈때의 증명은어떻게하죠?

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    1. 이거 쓴 사람인데 원문에서는 C가 아니라 a네요 a가 무한대로 갈때의 증명은 어떻게 해야 합니까?

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    2. 식 (6)과 (7)에서 d = 1/a라고 정의하고 x = d 극한을 생각하면 x = 0 근방에서 극한 특성을 살핌으로써 a가 무한대로 갈 때 성질을 증명할 수 있습니다.

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  9. C가 무한대로갈때의 증명은어떻게하죠?

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  10. 항상 잘읽고 갑니다

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  11. 감사합니다!!이해잘됬어요 ~

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  12. 왜 숫자가 안보일까요...

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  13. 고등학교때 잘 써먹엇엇는데 다 까먹고잇엇내 ㅋㅋ

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  14. 좋은 글 감사합니다^^

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  15. 마지막에 증명 2에서 증명끝난거 맞나요??
    마지막부분에서 (5)로 어떻게 넘어가는지 이해가 잘 안되요..

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    1. 안녕하세요~ 항상 좋은 글 감사합니다.
      다름이 아니라 (2)의 두번째 항과 세번째 항이 평균값의 정리로 나오는건 알겠는데 첫번째 항에서 두번째 항이 어떻게 나오는지 궁금합니다. 밑에 증명이 되어서 서로 같다고 된 거 같은데 제가 이해를 제대로 한 건가요?

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    2. 식 (2) 위에 설명을 약간 추가했어요.

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    3. 에구... 저걸 놓쳤네요. 이런 실수도 추가 설명해주셔서 정말 감사합니다!

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  16. (2)의 3번째 항의 lim은 없는게 맞지 않을까요?
    그리고 혹시 분수꼴의 극한이 분자, 분모 각각의 극한을 나눠준 값이 되는 것은 어떻게 증명할까요? 배웠던 것 같은데 잘 기억이 안나네요.

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    1. 1. 극한이 존재하면 극한을 없애고 $x = a$를 대입할 수 있어요.

      2. 아래 링크의 식 (9)를 참고하세요.

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