로피탈의 규칙(L'Hôpital's Rule)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "로피탈의 규칙"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한과 연속성의 의미

2. 미분법의 의미

3. 평균값의 정리

[그림 1] 로피탈의 규칙에 따라 전영역에서 정의한 $\sin(x) \mathbin{/} (-0.5 x)$(출처: wikipedia.org) 

극한(limit)과 미분(differentiation)에 기반을 둔 로피탈의 규칙 혹은 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)는 단순하지만 $0/0$과 $\infty/\infty$의 극한값을 구할 때는 강력한 도구가 된다. 이름에서도 알 수 있듯이 이 규칙은 로피탈Guillaume de l'Hôpital(1661–1704)이 1696년로피탈 35세, 조선 숙종 시절에 발견했다. 하지만, 일설에는 수학 교사 역할을 했던 요한 베르누이Johann Bernoulli(1667–1748)에게 돈을 주고 이 규칙을 자기것으로 만들었다는 주장이 있다. 이게 사실이면 돈주고 수학 정리를 산 최초의 예가 될 것이다. 한국 일부 영역에 악습으로 남아있는 학위 논문 대필이 300년전 프랑스에서도 발생했을 수 있다. 다만 이런 야사가 있다고 해서 로피탈이 사기꾼은 아니다. 베르누이의 그늘이 너무 커서 약간 어두워 보이지만, 로피탈은 당대 유명한 수학자였다. 세계 최초로 미분학 교과서를 집필한 저자가 바로 로피탈이다.

[극한값 $0$에 대한 로피탈의 규칙]

                            (1)

여기서 $f(x)$, $g(x)$는 $x = a$에서 미분 가능해야 한다.

[증명: 코쉬의 평균값 정리]

함수값 $f(a)$ = $g(a)$ = $0$이므로, 식 (1)의 좌변에 있는 분자와 분모에서 $f(a)$와 $g(a)$를 빼줄 수 있다. 그 다음에 같은 수 $x - a$로 분자와 분모를 나누면 다음과 같다.

                           (2)

식 (2)에서 둘째항의 극한[사실은 미분]이 존재하는지 명확히 보려면, 코쉬의 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem)를 고려해야 한다.

[증명: 테일러 급수]

테일러 급수(Taylor series)를 이용하면 다음이 성립한다.

                  (3)

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로피탈의 규칙을 이해하기 위해 멱급수(冪級數, power series)를 이용한 $x$ = $a$ 근방의 특성을 고려해보자.

       (4)

식 (4)에서 $m > n$이면 $f(x)/g(x)$ = $0$이되므로 식 (1)이 성립하고, $m$ = $n$이면 식 (4)의 셋째줄에 의해 식 (1)이 성립한다.

[극한값 무한대에 대한 로피탈의 규칙]

                            (5)

여기서 $f'(x)/g'(x)$는 $x$ = $a$에서 함수값이 존재해야 한다.

[증명: 코쉬의 평균값 정리]

코쉬의 평균값 정리를 사용하기 위해 $\xi < c < x < a$라 생각하자[1].

                            (6)

여기서 $x$가 $a$에 다가가면 함수값 $f(x)$, $g(x)$는 발산한다. 따라서 $f(\xi)/f(a)$, $g(\xi)/g(a)$는 0으로 수렴한다. 이상을 바탕으로 식 (6)에 극한을 취하면 다음이 성립한다.

                       (7)

식 (7)에 의해 $\xi$가 $\xi < c < x < a$를 만족하면서 $a$로 가까이 가면 식 (5)가 성립함을 알 수 있다. 여기서 $\xi$가 아무리 $a$에 가까이 가더라도 $f(a)$, $g(a)$는 발산하기 때문에 $f(\xi) \ne f(x)$, $g(\xi) \ne g(x)$임을 알 수 있다.

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[증명: 극한값 $0$ 이용]

$f(x)/g(x) \ne 0$이면 식 (1)을 써서 식 (5)를 증명할 수 있다.

                            (8)

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위의 식 (1)과 (5)에서 $a$가 무한대로 갈 때는 변수를 $t$ = $1/x$로 바꾸고 $d$ = $1/a$라고 정의한다. 그러면 로피탈의 규칙을 이용해 $t$ = $d$, 즉 $t$ = $0$ 근방에서의 극한 특성을 살핌으로써 $a$가 무한대로 갈 때의 성질을 증명할 수 있다.

[참고문헌]

[1] P. K. Ving, L'Hôpital's Rule, Calculus of One Variable.