2011년 12월 9일 금요일

로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "로피탈의 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 극한의 의미
3. 평균값의 정리


극한(limit)과 미분(differentiation)에 기반을 둔 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)는 단순하지만 0/0과 $\infty/\infty$의 극한값을 구할 때는 강력한 도구가 된다. 이름에서도 알 수 있듯이 이 규칙은 로피탈(Guillaume de l'Hôpital)이 발견한 것이다. 하지만, 일설에는 수학교사 역할을 했던 베르누이(Johann Bernoulli)에게 돈을 주고 이 규칙을 자기것으로 만들었다는 주장이 있다. 이게 사실이면 돈주고 수학 정리를 산 최초의 예가 될 것이다. 한국 일부 영역에 악습으로 남아있는 학위 논문 대필이 300년전 프랑스에서도 발생했을 수 있다.

[1. 로피탈의 정리 1]

                            (1)

여기서 $f(x)$, $g(x)$는 $x = a$에서 미분가능해야 한다.

[증명 1]

                           (2)

식 (2)에서 둘째항의 극한(사실 미분)이 존재하는 지 명확하게 보려면 코쉬의 평균값 정리(Cauchy's mean value theorem)를 고려해야 한다.
______________________________

[증명 2]
테일러 급수(Taylor series)를 이용하면 다음이 성립한다.

                        (3)
______________________________

로피탈의 정리를 이해하기 위해 멱급수(冪級數, power series)를 이용한 $x = a$ 근방의 특성을 고려해보자.

       (4)

식 (4)에서 $m > n$이면 $f(x)/g(x) = 0$이되므로 식 (1)이 성립하고 $m = n$이면 식 (4)의 세째줄에 의해 식 (1)이 성립한다.

[5. 로피탈의 정리 2]

                            (5)

여기서 $f'(x)/g'(x)$는 $x = a$에서 함수값이 존재해야 한다.

[증명 1]
쉬의 평균값 정리를 사용하기 위해 $\xi < c < x < a$라 생각하자[1].

                            (6)

여기서 $x$가 $a$에 다가가면 함수값 $f(x)$, $g(x)$는 발산한다. 따라서 $f(\xi)/f(a)$, $g(\xi)/g(a)$는 0으로 수렴한다. 이상을 바탕으로 식 (6)에 극한을 취하면 다음이 성립한다.

                          (7)

식 (7)에 의해 $\xi$가 $\xi < c < x < a$를 만족하면서 $a$로 가까이 가면 식 (5)가 성립하는 것을 알 수 있다. 여기서 $\xi$가 아무리 $a$에 가까이 가더라도 $f(a)$, $g(a)$는 발산하기 때문에 $f(\xi) \ne f(x)$, $g(\xi) \ne g(x)$인 것을 알 수 있다.
______________________________

[증명 2]
$f(x)/g(x) \ne 0$이면 식 (1)을 써서 식 (5)를 증명할 수 있다.

                            (8)
______________________________

위의 식 (1)과 (5)에서 $a$가 무한대로 갈 때는 변수를 $t = 1/x$로 바꾸고 $d = 1/a$라고 정의하면 로피탈의 정리를 이용해 $t = d$, 즉 $t = 0$ 근방에서의 극한 특성을 살핌으로써 $a$가 무한대로 갈 때 성질을 증명할 수 있다.

[참고문헌]
[1] P. K. Ving, L'Hôpital's Rule, Calculus of One Variable.
Enhanced by Zemanta

댓글 37개 :

  1. 정말 유용한 정보 감사합니다ㅎ

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  2. ㅎㅎ이런건 정말 쉬운데,ㅠ 수열이 왜 이렇게 어려울까요?.ㅍ

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  3. 적분보다 어려운 것이 수열입니다. 어렵게 느끼는 것은 당연합니다.
    문제풀 때도 무한급수가 나오면 어떻게 적분으로 바꿀 것인가 항상 고민합니다.

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  4. 잘 보고 갑니다 ^^. 요새는 글을 적게 쓰시는 듯 하기도...

    시간 되시면 전체적으로 목차 만들어서 정리해주시면, 보는 사람은 더 편할거 같아요.
    카테고리 들어가도 글 목록이 한눈에 보이지가 않아서;;;

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  5. 네, 요즘은 업무가 많아서 글쓸 시간이 잘 안나네요.

    글목록은 네이버 블로그에 정리하고 있습니다. 공학수학 글목록은 아래에서 볼 수 있습니다.
    http://blog.naver.com/ghebook/30113491161

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  6. 감사합니다~ 좋은 공부가 되었어요^^

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  7. 좋은 글 정말 고맙습니다^^ 공부할 때 도움이 되네요 ㅎㅎ 그런데 궁금한게 있어요.

    로피탈의 정리2 에 보면은 리미트 x->a 가 있는데, f(a)=g(a)=무한대 이렇게 나올 수 있는 이유는 뭔가요? a는 하나의 값일 텐데 어떻게 무한대가 나오는 죠?

    tidlsqjsj@naver.com 는 제 메일 이여요 ^^

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    1. 감사합니다.

      x가 a로 접근할 때 f(a) = g(a) = ∞가 되는 것은 조건입니다. 예를 들어 f(x) = 1/(x-a)라면 이 조건을 만족하지요.

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  8. C가 무한대로갈때의 증명은어떻게하죠?

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    1. 이거 쓴 사람인데 원문에서는 C가 아니라 a네요 a가 무한대로 갈때의 증명은 어떻게 해야 합니까?

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    2. 식 (6)과 (7)에서 d = 1/a라고 정의하고 x = d 극한을 생각하면 x = 0 근방에서 극한 특성을 살핌으로써 a가 무한대로 갈 때 성질을 증명할 수 있습니다.

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  9. C가 무한대로갈때의 증명은어떻게하죠?

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  10. 항상 잘읽고 갑니다

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  11. 감사합니다!!이해잘됬어요 ~

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    1. 도움이 되었다니 저도 기쁘네요. ^^

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  12. 왜 숫자가 안보일까요...

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  13. 고등학교때 잘 써먹엇엇는데 다 까먹고잇엇내 ㅋㅋ

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  14. 좋은 글 감사합니다^^

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