2021년 3월 20일 토요일

콘토로비치–레베데프 변환(Kontorovich–Lebedev Transform)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "콘토로비치–레베데프 변환"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 나무를 쪼개기 위해 사용되는 쐐기(출처: wikipedia.org)

콘토로비치–레베데프 변환(Kontorovich–Lebedev Transform)원통 좌표계(circular cylindrical coordinate system)로 정의된 쐐기(wedge) 형태의 경계 조건을 위한 적분 변환(integral transform)이다. 비슷한 적분 변환인 한켈 변환(Hankel transform)도 원통 좌표계를 위해 쓰이지만, 한켈 변환은 방위각(azimuth) $\phi$방향으로 완전한 주기[$0 \le \phi < 2 \pi$]를 형성한다. 하지만 콘토로비치–레베데프 변환은 $\phi$방향의 일부 영역만 사용하므로[예를 들어, 쐐기 각도가 $\phi_0$인 경우는 방위각의 정의역이 $0 \le \phi \le \phi_0$일 수 있다.], [그림 1]에 보여준 쐐기와 같은 경계 조건을 가진 문제를 풀 때 적합하다. 역사적으로도 콘토로비치–레베데프 변환은 수학적 고민이 아닌 회절 문제를 풀기 위해 1938년일제 강점기 시절에 제안되었다. 그래서 콘토로비치–레베데프 변환은 적절한 적분 공식을 이용해서 증명하지 않고, 풍부한 물리적 개념을 보여주는 그린 함수(Green's function)가 증명의 뼈대를 이룬다[2]–[4].

[콘토로비치–레베데프 변환(Kontorovich–Lebedev Transform)] [3], [4]

                  (1)

                  (2)

[증명]
통상적인 경우와 다르게 콘토로비치–레베데프 변환의 증명은 그린 함수로부터 시작한다. 적분 변환과 역변환이 일대일로 대응되는 성질은 디랙 델타 함수(Dirac delta function)와 직접 연결된다. 그래서 정의역이 유한한 경우는 그린 함수와 디랙 델타 함수의 관계를 설명하는 다음 복소 적분을 사용한다.

                     (3)

여기서 $\lambda$는 미분 방정식의 고유치(eigenvalue), $\psi_m(x)$는 제$m$번 고유 함수(eigenfunction), $r(x)$는 스투름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)에 나온다. 식 (3)을 이용하기 위해서는 원통 좌표계의 그린 함수를 먼저 구해야 한다. 최소수 $x_<$와 최대수 $x_>$를 이용한 그린 함수의 정의를 사용한다.

                     (4)

여기서 $x_<$ = $\min(x, x')$, $x_>$ = $\max(x, x')$, $g_l(x; \lambda)$와 $g_u(x; \lambda)$는 각각 $x \le x'$와 $x \ge x'$ 구간에서 그린 함수의 특성을 표현, $W(u, v)$는 함수 행렬식(Wronskian), $p(x)$는 스투름–리우빌 이론(Sturm–Liouville theory)에 등장한다. 원통 좌표계를 위한 스투름–리우빌 미분 방정식(Sturm–Liouville differential equation)은 다음과 같은 베셀의 미분 방정식(Bessel's differential equation)이다.

                       (5)

여기서 $\lambda$ = $-n^2$, $p(x)$ = $x$, $r(x)$ = $1/x$이다. 따라서 파동의 복사 조건(radiation condition)과 식 (4)를 고려해서 원통 좌표계를 위한 그린 함수 $g(x, x'; \lambda)$를 공식화한다.

                       (6)

여기서 $\lambda$ = $-\nu^2$, $\nu$ = $i \sqrt{\lambda}$, $\nu$는 임의의 실수, 베셀 함수의 함수 행렬식에 의해 $W[J_\nu(x), H_\nu^{(1)}(x)]$ = $2i/(\pi x)$이다. 식 (3)과 유사하게 식 (6)에 유도한 $g(x, x'; \lambda)$를 복소 적분한다. 다만 베셀 함수의 차수 $\nu$는 감마 함수(gamma function)의 입력 변수이므로, 감마 함수를 정의하는 한켈 경로(Hankel contour) $\mathcal{H}$에 생기는 가지 자름(branch cut)을 돌아가면서 [그림 2]처럼 복소 적분을 해야 한다.

[그림 2] 그린 함수와 디랙 델타 함수의 관계를 위한 적분 경로

또한 고유치를 베셀 함수의 차수로 선택한 원통 좌표계의 반지름은 무한대까지 커질 수 있기 때문에, 그린 함수의 정의역은 유한하지 않고 무한해진다. 이로 인해 식 (3) 대신 다음과 같은 복소 적분을 도입한다.

                     (7)

식 (7)을 한켈 경로 $\mathcal{H}$에 대한 복소 적분으로 바꾸기 위해 [그림 2]에 제시한 경로에 코쉬의 적분 정리(Cauchy's integral theorem)를 적용한다.

                       (8)

그러면 가지 자름을 우회하면서 $-\mathcal{H}$를 따라 $g(x, x'; \lambda)$를 경로 적분한 결과는 디랙 델타 함수로 정확히 연결된다.

                       (9)

식 (9)에 식 (6)을 대입해서 디랙 델타 함수를 위한 적분을 공식화한다.

                       (10)

[그림 2]에 있는 한켈 경로를 양의 실수축에 최대한 근접시켜서 식 (10)을 간단한 형태로 정리한다.

                       (11)

여기서 $\phi$ = ${\rm arg}(\lambda)$, $-2\pi < \phi < 0$, $-\pi/2 < {\rm arg}(i\sqrt{\lambda}) < \pi/2$이다. 고유치 $\lambda$의 편각을 $-2\pi < \phi < 0$로 선택한 이유는 제1종 베셀 함수 차수 $i\sqrt{\lambda}$의 실수부를 양수로 만들기 위해서이다.[$\because$ 음수인 차수의 크기가 커지면, 제1종 베셀 함수는 발산한다.] 식 (11)에서 변수 치환을 $\mu$ = $\sqrt{\lambda}$로 정의해서 식 (10)과 결합한다.

                       (12a)

                       (12b)

식 (12b)의 적분 구간을 다시 바꾸면, 결과식이 더 간단해진다.

                       (13)

여기서 $H_{-i \mu}^{(1)}(\cdot)$ = $e^{-\mu \pi}H_{i \mu}^{(1)}(\cdot)$이다. 다음 단계로 제1종 한켈 함수를 제1종 베셀 함수와 제2종 한켈 함수로 바꾸어쓴다.

                       (14)

여기서 $H_{-i \mu}^{(1)}(x') H_{-i \mu}^{(2)}(x)$ = $H_{i \mu}^{(1)}(x') H_{i \mu}^{(2)}(x)$이기 때문에 $H_{i \mu}^{(1)}(x') H_{i \mu}^{(2)}(x) \mu$는 기함수(odd function)이다. 따라서 디랙 델타 함수를 생성하는 또 하나의 적분이 정의된다.

                       (15)

디랙 델타 함수의 정의를 이용해서 $f(x)$를 다시 표현하면 식 (1)과 (2)가 증명된다.

                       (16)
______________________________

[그림 3] 경계 조건이 쐐기인 원통 좌표계

콘토로비치–레베데프 변환을 이용하면, [그림 3]처럼 경계 조건이 쐐기 형태인 원통 좌표계를 위한 파동 함수 $f(\rho, \phi)$를 편리하게 정의할 수 있다.

                       (17)

                       (18)

식 (18)을 식 (17)에 대입해서 간략히 정리한다.

                       (19)

다시 식 (19)를 식 (17)에 대입해서 $F(\phi; \mu)$에 대한 미분 방정식을 얻는다.

                       (20)

따라서 [그림 3]에 나온 경계 조건을 풀기 위한 파동 표현식은 다음과 같다.

                       (21)

여기서 $F_{\pm}(\mu)$는 경계 조건 $\phi$ = $0$과 $\phi_0$에 콘토로비치–레베데프 변환을 적용해서 결정한다. 식 (20)에 의해 파동 표현식 $f(\rho, \phi)$는 방위각 $\phi$에 대해 주기성이 없다. 그래서 [그림 3]과 같은 쐐기 경계 조건이 없는 구조에는 콘토로비치–레베데프 변환을 사용할 수 없다. 

[참고문헌]
[1] M. I. Kontorovich and  N. N. Lebedev, "A method for the solution of problems in diffraction theory and related topics," Zh. Eksper. Teor. Fiz. (Journal of Experimental and Theoretical Physics), vol. 8, no. 10–11, pp. 1192–1206, 1938. (In Russian)
[2] L. B. Felsen and N. Marcuvitz, Radiation and Scattering of Waves, Oxford University Press, 1994.
[3] D. G. Dudley, Mathematical Foundations for Electromagnetic Theory, IEEE Press, 1994.
[4] 김진주, 슬롯이 있는 도체 쐐기에서의 전자파 산란 (Electromagnetic Scattering from Slotted Conducting Wedge), KAIST 박사 학위 논문, 2010. (방문일 2021-03-20)

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