2021년 3월 27일 토요일

적분 방정식의 의미(Integral Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "적분 방정식의 의미"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


적분 방정식(積分方程式, integral equation)은 미지 함수(unknown function)를 구하기 위한 방정식이 적분(integration) 형태로 구성된다. 비슷한 개념으로 미분 방정식(微分方程式, differential equation)이 있다. 미분 방정식에서는 미분(differentiation) 연산자를 중심으로 미지 함수에 대한 방정식을 구성한다. 미분과 적분은 서로 역연산이기 때문에, 적분 방정식을 미분하면 관련된 미분 방정식이 나온다고 가볍게 생각할 수 있다. 하지만 여기서 말하는 적분은 보통 정적분(definite integral)이기 때문에, 적분 방정식을 아무리 미분해도 적분 자체를 없앨 수는 없다. 따라서 적분 방정식을 풀기 위해서는 미분 방정식과는 다른 접근법이 필요하다. 보통은 푸리에 변환(Fourier transform)과 같은 적절한 적분 변환(integral transform)을 도입해서 적분 방정식을 해결한다. 또한 적분 방정식은 주로 미분 방정식에 경계 조건을 결합해서 생성된다. 즉, 미분 방정식이 같더라도 경계면의 위치나 조건에 따라 여러 개의 적분 방정식이 만들어질 수 있다. 이는 우리가 선택한 경계면의 좌표계에 따라 다양한 적분 방정식이 만들어짐을 뜻한다.
적분 방정식이 널리 사용되는 중요한 예는 다음과 같은 그린 함수(Green's function)이다.

                  (1)

여기서 $b(\bar r)$은 아는 함수(known function) 혹은 경계 함수(boundary function), $f(\bar r')$은 미지 함수, $G(\bar r, \bar r')$은 그린 함수이다. 전형적인 적분 방정식인 식 (1)을 잘 풀면 미지 함수 $f(\bar r')$을 결정할 수 있다. 하지만 식 (1)은 $x, y, z$에 대해 아무리 미분해도 정적분이 없어지지 않는다. 왜냐하면 정적분은 $x', y', z'$에 대해 정의되기 때문이다. 따라서 식 (1)을 풀기 위해서는 미분이 아닌 적분을 적절히 사용해야 한다. 예를 들어, 3차원으로 표현된 식 (1)을 2차원으로 간략화하고 $y$ = $y_0$에서 $b(x, y)$의 모든 특성을 안다고 가정한다. 이 경우 2차원 자유 공간 그린 함수(2D free-space Green's function)를 이용해서 식 (1)을 다시 표현할 수 있다.

             (2)

여기서 $\eta$ = $\sqrt{\kappa^2 - \xi^2}$, $\Im[\eta] \ge 0$, $\kappa$는 2차원 파동의 파수(wavenumber), $f(x, y)$는 $y \ge y_0$인 영역에서만 함수값이 있고 나머지 부분에서는 $0$이다. 식 (2)의 마지막식에 푸리에 변환 $\int_{-\infty}^\infty (\cdot)e^{-i \xi' x}\,dx$를 적용한다.

                  (3)

여기서 $B(\xi)$는 $b(x, y_0)$의 푸리에 변환이다. 단위 계단 함수(unit step function) $u(\cdot)$를 도입해서, 식 (2)에서 정의한 푸리에 변환 $F(\xi)$를 한켈 변환(Hankel transform) 형태로 바꾸어 생각한다.

                  (4)

                       (5)

여기서 $g(\rho, \phi)$ = $f(x,y+y_0)u(y)$, $\rho$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$, $\kappa$ = $\sqrt{\xi^2 + \eta^2}$, $\Phi$는 복소수까지 확장된다. 한켈 함수의 개념에 따라 식 (4)를 주기 함수 $g(\rho, \phi)$로 다시 쓴다.

                      (6)

                      (7)

여기서 $\mathfrak{H}[g(\rho)]$는 $g(\rho)$의 한켈 변환이다. 근사이기는 하지만 식 (2)에 $|\xi| \le \kappa$라는 조건을 추가하면, $\eta$는 항상 실수가 되어서 식 (7)의 $\Phi$도 실수가 된다. 이 경우 식 (7)에 $1/(2 \pi)\int_0^{2 \pi} (\cdot)e^{in' \Phi}\,d\Phi$ 적분을 적용해서 $\mathfrak{H}[g_n(\rho)]$를 $B(\xi)$ 관점으로 근사화한다.

                      (8)

여기서 $\xi$ = $\kappa \cos \Phi$이다. 마지막 단계로 한켈 역변환을 이용해서 $g_n(\rho)$를 구한 후에 적분 방정식의 해인 $f(x, y)$를 결정할 수 있다.
만약 $f(x, y)$가 2차원 표면이 아닌 1차원 직선상에서만 값이 있으면, 푸리에 변환을 사용해 적분 방정식을 더 쉽게 풀 수 있다. 예를 들어, $y$ = $y_s$에서만 $f(x, y)$가 정의되는 경우에 식 (2)는 다음과 같이 바뀐다.

                      (9)

식 (3)처럼 식 (9)에 푸리에 변환을 적용한 후에 푸리에 역변환으로 $F(\xi)$를 $f(x, y_s)$로 바꾸면 적분 방정식의 해가 바로 얻어진다.

                      (10)

                      (11)

1차원과 2차원 적분 방정식의 해인 식 (11)과 (8)은 결과식이 매우 다르다. 하지만 적절한 적분 변환을 사용해서 문제의 영역을 바꾸어 푼다는 측면에서는 본질적으로 동일한 과정을 따르고 있다.
다음에 제시한 선형 상미분 방정식(linear ordinary differential equation)을 정적분해서 새로운 적분 방정식을 정의할 수도 있다.

                      (12)

식 (12)를 $a$에서 $x$까지 정적분하면 다음과 같은 적분 방정식이 얻어진다.

                      (13)

여기서 $\gamma$는 상수인 매개변수이다. 식 (13)에서 과감하게 $k(x')$의 입력 변수를 $k(x, x')$로 바꾸어서 식 (13)을 다시 쓴다.

                      (14)

여기서 $k(x, x')$는 적분 방정식의 적분 핵심(integral kernel), $d(x)$는 아는 함수 혹은 자료 함수(data function), $f(x)$는 미지 함수 혹은 해 함수(solution function)이다. 새롭게 정의한 식 (14)는 제2종 볼테라 방정식(Volterra equation of the second kind)이라 부른다. 식 (14)를 더 간략하게 표현한 경우는 제1종 볼테라 방정식(Volterra equation of the first kind)이 된다.

                      (15)

식 (14)와 (15)를 함께 표현할 때는 간단히 볼테라 적분 방정식(Volterra integral equation)이라 할 수 있다. 제2종 볼테라 방정식을 미분해서 선형 상미분 방정식과 관계를 구하면 다음과 같다.

                      (16)

여기서 정적분의 미분 공식을 사용한다. 식 (16)에서 사라지지 않고 남아있는 적분 항만큼 식 (12)에 있는 선형 상미분 방정식과 볼테라 적분 방정식이 달라진다. 볼테라Vito Volterra(1860–1940)가 제안한 볼테라 적분 방정식과 범함수(汎函數, functional)는 1887년볼테라 27세, 조선 고종 시절 무렵 함수 해석학(functional analysis)이라는 새로운 세계를 열었다. 범함수는 정의역이 함수인 함수이며, 치역은 주로 실수(real number)가 된다. 범함수 개념을 쓰면, 식 (14)와 같은 적분 방정식을 연산자(operator) 형태로 쉽게 표현할 수 있다. 함수 해석학은 함수로 만든 수학적 공간을 해석학 관점으로 연구하는 분야이다. 함수 공간(function space)은 선형 대수학처럼 보통 기저 함수의 선형 결합(linear combination)으로 만든다. 또한 볼테라는 1881년에 미분 가능(differentiable)과 리만 적분 가능(Riemann integrable)이 서로 별개임을 보이는 볼테라 함수(Volterra function)도 고안했다.
식 (12)에 제시한 적분 방정식의 구간을 바꾸어서 다른 적분 방정식을 정의하기도 한다[1][4].

                      (17)

식 (17)은 제1종 프레드홀름 방정식(Fredholm equation of the first kind)이라 부른다. 만약 $k(x, x')$이 병진 불변 핵심(translation-invariant kernel)[병진 연산만으로는 함수값이 바뀌지 않는 핵심]이면, 식 (17)의 해 $f(x)$는 길쌈(convolution)에 대한 푸리에 변환으로 구한다.

                      (18)

여기서 $D(\xi), K(\xi), F(\xi)$는 각각 $d(x), k(x)$, $f(x)[u(x-a) - u(x-b)]$의 푸리에 변환이다. 적분 핵심이 병진 불변인 경우, $k(x, x')$을 그린 함수 $G(x, x')$이라 간주할 수 있다. 제2종 프레드홀름 방정식(Fredholm equation of the second kind)은 식 (14)의 적분 구간을 약간 바꾸어 다시 정의한다.

                      (19)

여기서 $\gamma$는 상수인 매개변수, $\delta(\cdot)$는 디랙 델타 함수(Dirac delta function)이다. 식 (19)의 둘째식에 나온 피적분 함수 $\delta(x-x')-\gamma k(x, x')$를 새로운 적분 핵심으로 간주하면, 식 (19)의 둘째식은 식 (17)과 같은 제1종 프레드홀름 적분 방정식이 된다. 즉, 제1종 프레드홀름 적분 방정식은 제2종 프레드홀름 적분 방정식의 특별한 경우이다. 식 (18)과 비슷하게 $k(x, x')$이 병진 불변이면, $f(x)$는 다음과 같이 공식화된다.

                      (20)

프레드홀름 적분 방정식(Fredholm integral equation)은 식 (17)과 (19)를 모두 포함한 이름이다.

[참고문헌]
[1] I. Fredholm, "Sur une classe d'équations fonctionnelles (On a class of functional equations)," Acta Math., vol. 27, pp. 365–390, 1903.
[2] F. Smithies, "The Fredholm theory of integral equations," Duke Math. J., vol. 8, no. 1, pp. 107–130, Mar. 1941.
[3] G. W. Stewart, "Commentary on Fredholm, Hilbert, Schmidt: three fundamental papers on integral equations," University of Maryland, USA, 2011. (방문일 2021-03-27)
[4] J. Wong, Fredholm Integral Equations, Math 551 Lecture Notes, Duke University, USA, 2019. (방문일 2021-03-30)

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