힐베르트 공간(Hilbert Space)

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1. 프레드홀름 적분 방정식

2. 스튀름–리우빌 이론

[그림 1] 힐베르트 공간의 완비성(출처: wikipedia.org)

힐베르트 공간(Hilbert space)은 내적(inner product) 연산을 가진 벡터 공간(vector space)이면서 완비성(completeness)을 가진다. 수학에 나오는 공간(空間, space)은 적절한 연산을 정의해 원소간 계산을 할 수 있는 집합이다. 벡터에도 나오는 내적은 더 확장되어서, 힐베르트 공간에서는 함수상 내적(inner product on functions)을 공간을 정의하는 연산으로 사용한다. 힐베르트 공간의 완비성에 따라, [그림 1]의 소개처럼 공간에 놓인 벡터를 무한히 더한 결과는 다시 힐베르트 공간의 벡터가 된다.

힐베르트 공간과 비슷하게 사용되는 개념으로 $L^2$ 공간($L^2$ space)이 있다. $L^2$ 공간은 제곱 적분이 가능한 공간(square-integrable space)이며, 연산 도구는 리만 적분(Riemann integral)을 확장한 르베그 적분(Lebesgue integral)이 된다. 그래서 르베그 적분이 제곱 차원 존재한다고 해 $L^2$ 공간으로 부른다.

                  (1)

여기서 $X$는 집합, $x$는 집합의 원소, $\mu$는 측도(測度, measure)이다. 르베그 적분에 나오는 측도 $\mu$는 일관되게 잴 수 있는 집합(가측 집합, 可測集合, measurable set)에 크기를 부여하는 함수, 혹은 더 쉽게 집합의 양적 크기이다. 식 (1)의 좌변은 르베그 적분 정의이며, 우변이 존재하면 $f(x)$는 $L^2$ 공간에 속한다. $L^2$ 공간에서 $f(x) \ne g(x)$인 두 함수는 함수상 내적에 의해 거의 어디서나 같을(almost everywhere equal) 수 있다.

                          (2)

여기서 a.e.는 거의 어디서나(almost everywhere)를 뜻한다. 만약 $L^2$ 공간에서 내적이 서로 0인 함수들이 있다면, 이 함수들은 공간의 기저(基底, basis)로 작용하며 기저의 개수는 공간의 차원(dimension)이 된다. 기저 함수 $\psi_m(x)$의 개수가 무한이고 선형 결합으로 만든 무한 급수가 어떤 함수 $f(x)$에 식 (2)처럼 근접할 수 있다.

                          (3)

모든 $f(x)$를 $\psi_m(x)$의 선형 결합으로 표현할 수 있는 성질을 완비성(completeness)이라 한다. $L^2$ 공간이 완비성까지 갖추면 바로 힐베르트 공간이 된다. $L^2$ 공간을 더 일반화해서 $L^p$ 공간($L^p$ space)도 정의한다. $L^p$ 공간의 함수 $f(x)$를 $p$ 거듭제곱해 적분한 결과는 정의에 따라 항상 유한하다.

                  (4)

$L^p$ 공간 중에서 $L^1$ 및 $L^2$ 공간이 유명하다. $L^1$ 공간은 절대값 적분이라서, 이 공간에 속한 $f(x)$의 적분은 항상 가능하다. $L^2$ 공간은 푸리에 급수(Fourier series)의 존재성 증명에 쓰는 제곱 적분 가능한 함수(square-integrable function) 공간이다.

하지만 힐베르트 공간에 내적과 완비성이란 개념이 왜 등장할까? 이 의문을 해결하려면 프레드홀름 적분 방정식(Fredholm integral equation)에서 출발해야 한다[2]. 프레드홀름Erik Ivar Fredholm(1866–1927)은 적분 방정식의 일반 해법을 찾으면서 함수상 내적(inner product on functions)의 중요성을 발견했다. 이 개념을 힐베르트David Hilbert(1862–1943)가 유행을 시켰고[3], 힐베르트의 제자인 슈미트Erhard Schmidt(1876–1959)가 현대적인 선행 대수학으로 누구나 이해할 수 있게 완성했다. 슈미트는 QR 분해(decomposition)에 나오는 그람–슈미트 과정(Gram–Schmidt process)의 제안자이기도 하다. 앞으로 우리는 슈미트의 생각을 따라가면서 힐베르트 공간을 세부적으로 증명한다[1], [4].

[참고문헌]

[1] G. W. Stewart, "Commentary on Fredholm, Hilbert, Schmidt: three fundamental papers on integral equations," University of Maryland, USA, 2011. (방문일 2021-03-27)

[2] I. Fredholm, "Sur une classe d'équations fonctionnelles (On a class of functional equations)," Acta Math., vol. 27, pp. 365–390, 1903.

[3] D. Hilbert, "Grundzüge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichungen (Basics of a general theory of linear integral equations)," Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (News from the Society of Sciences in Göttingen), Mathematisch-Physikalische Klasse (Mathematical-Physics Class), no. 3, pp. 213–260, 1904.

[4] E. Schmidt, Entwickelung willkürlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener (Expansion of Arbitrary Functions by Prescribed Systems), Inaugural Dissertation, University of Göttingen, 1905.