2012년 7월 22일 일요일

열이 통신이 되다: 열 방정식(heat becomes communication: heat equation)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "열 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 발산의 의미


18-19세기 과학과 수학을 주도했던 프랑스의 힘은 과학기술에 대한 전국민적 관심과 지도층의 적극적 지원에 있었다. 그 당시 프랑스의 힘을 보여주는 전형적인 인물이 푸리에(Joseph Fourier)[1]이다.

[그림 1] 나폴레옹 황제의 대관식(출처: wikipedia.org)

재봉사의 아들로 태어난 푸리에는 9살과 10살에 어머니와 아버지를 차례로 잃었다. 비천한 신분에 부모의 도움조차 받을 수 없는 푸리에였지만 천주교에서 운영하는 학교에서 기초적인 교육을 받을 수 있었다. 라틴어와 프랑스어를 시작으로 학문적 재능을 보인 푸리에는 12살에 왕립 군사학교(École Royale Militaire of Auxerre)에 입학했다. 처음에는 문학 분야에서 두각을 나타냈으나 곧 수학에 특출한 능력을 보였다. 20세 무렵에는 방황도 많이 했다. 천주교 사제가 되고 싶기도 하고 수학 분야에 위대한 기여를 하고 싶기도 했다. 하지만 보통의 젊은이들처럼 자기 능력에 대한 확신이 없었다. 하지만 프랑스 전반에 스며들어 있던 수학적 환경과 당대 최고 수준의 전문가 집단이 있었기 때문에 푸리에는 수학분야 논문을 꾸준히 읽을 수 있었고 드물게 논문도 발표할 수 있었다. 25세때에는 프랑스 대혁명에도 적극적으로 참여하게 된다. 푸리에는 달변 능력을 가졌으며 사교성과 정치 성향도 굉장히 강했다. 이 때문에 한 때 오해를 받아 혁명의 단두대에서 목이 잘린 뻔하기도 했지만 운명은 푸리에에게 가혹하지 않았다[2].
당시 명강사로 이름이 높았던 푸리에는 27세때인 1795년에 고등 사범학교(École Normale Supérieure)에 들어가게 된다. 여기서 라그랑쥐(Joseph Louis Lagrange), 라플라스(Pierre-Simon Laplace)와 같은 위대한 스승들을 만난다. 푸리에의 능력이 특출났기 때문에 라그랑쥐, 라플라스도 푸리에를 눈여겨 보게 되고 이후 서로 돈독한 관계를 계속 유지하게 된다. 
하지만 푸리에가 후일 기여하게 되는 열 방정식(heat equation)과 푸리에 급수(Fourier series)[1]-[4]가 출현하기 위해서는 몇가지 고난을 더 겪어야 했다. 과학자, 수학자, 정치가, 웅변가의 면모를 가진 푸리에를 유능한 나폴레옹이 그냥 둘 리가 없었다. 나폴레옹과 함께 한 이집트 원정에서 사막의 뜨거움을 느끼고 1801년에 패퇴한 프랑스군과 함께 파리로 돌아왔다. 푸리에는 이집트 원정전에 근무하던 이공과대학(École Polytechnique) 교수로 남기를 원했지만 나폴레옹은 그레노블(Grenoble) 도지사로 발령을 냈다.
푸리에는 도지사 업무를 수행하면서 틈틈이 남는 시간을 활용해 1802년부터 열확산 문제를 본격적으로 풀게 된다. 드디어 만족할만한 결과를 얻은 푸리에는 1807년 12월 21일에 열 방정식과 푸리에 해석법을 최초로 소개한 논문을 과학 학술원(Académie des Sciences, French Academy of Sciences)에 제출했다. 하지만 결과는 다소 비참했다. 심사위원을 맡은 푸리에의 박사학위 지도교수 라그랑쥐와 대(大)수학자 라플라스는 푸리에 논문의 약점을 정확히 지적했다. 삼각함수 급수가 수렴한다는 증명이 없었으며 삼각 함수 급수(trigonometric series) 그 자체도 이미 1752년에 베르누이(Daniel Bernoulli)가 편미분방정식(partial differential equation)을 풀기 위해 사용했었다. 하지만 이런 수학적 약점이 있었지만 푸리에의 방법론은 우아했으며 물리적으로도 타당해 보였다.
사실 푸리에가 1807년에 열 방정식과 그 해법을 제출한 이유는 과학 학술원이 고체 속의 열확산(heat diffusion in solids) 문제를 경진대회 주제로 삼아 1811년에 수학상을 줄 예정이었기 때문이다. 순수수학 관점의 논란이 있었지만 푸리에보다 더 나은 해법을 제시한 사람이 없어 1811년 수학상은 결국 푸리에에게 돌아갔다. 하지만, 논란이 계속되어 과학 학술원은 푸리에의 논문을 공식적으로 출판하지 않았다. 심사위원 설득을 위해 푸리에는 자신의 급수가 수렴함을 수학적으로 증명했지만 여전히 엄밀성이 떨어져 라그랑쥐는 푸리에의 방법론을 끝까지 불신했다. 아쉽게도 라그랑쥐가 원하는 수준의 세밀한 수학적 증명은 푸리에의 제자인 디리클레(Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet)의 몫이었다.
이런 상황 때문에 푸리에는 독자적으로 열 방정식과 푸리에 급수 연구를 계속하여 1822년에 자비로 책을 출판해서 대중에게 공개하게 된다[3]. 수학계에는 푸리에 급수에 대한 의구심이 남아있었지만 푸리에의 아이디어는 과학 전분야로 빠르게 퍼져나갔다. 푸리에는 상상도 못했겠지만 열 문제를 풀기 위한 푸리에 급수는 약 50년 후 전자파 방정식을 풀기 위한 표준 방법론이 되었고 약 100년 후에는 무선통신을 위한 기본도구가 되었다.


Heatequation exampleB
[그림 2] 열의 확산 모습(출처: wikipedia.org)

자 그러면 푸리에가 만든 열 방정식(heat equation)을 유도해보자. 1800년대 초반에는 열에 대한 두 가지 가설이 존재했다. 열은 어떤 유체들의 흐름이라는 가설과 열은 입자들의 운동이 만든다는 가설이 서로 경쟁했었다. 지금은 열이 유체가 아니고 운동특성이라는 것을 확실히 안다. 그래서 푸리에는 안전하게 다음처럼 가정했다.

                       (1)

여기서 $\bar q$는 열류 밀도(heat flow density: W/㎡), $\kappa$는 열 전도도(heat conductivity: W/(mK)), $T$는 온도(temperature: K)이다. 식 (1)을 잘 이해하려면 구배 연산자(gradient operator) $\bar \nabla$를 봐야 한다. 구배는 사실 미분(differentiation)이므로 낮은 값에서 높은 값으로 가는 것이 기울기 (+)이다. 온도 $T$의 경우는 항상 높은 온도에서 낮은 온도로 변화가 일어나므로 기울기 관점에서는 (-)가 된다. 높은 온도에서 낮은 온도로 가는 방향(기울기 (-), 구배 연산자의 값도 (-))을 기준방향 (+)로 만들기 위해 식 (1)의 구배 연산자 앞에 (-)를 붙여 열류 밀도 $\bar q$가 (+)가 되도록 만든다.
온도 차이가 생기면 열흐름은 반드시 생기므로 식 (1)은 실험적으로 타당한 식이다. 식 (1)의 좋은 점은 열이 무엇인지와는 관계없이 나타나는 자연 현상을 수학적으로 표현했기 때문에 1800년대 당시에는 최선의 선택이었다.
열류(heat flow: W) $H$는 다음처럼 정의한다.

                       (2)

다음으로 열은 항상 보존된다는 열보존 법칙(conservation of heat: 다른 말로 하면 에너지 보존 법칙(conservation of energy))을 생각해보자.

                       (3)

여기서 $H_{\rm tot}$는 특정 영역을 빠져나가는 전체 열류(total heat flow), $Q$는 특정 영역에 있는 열(heat: J)의 총합이다. 식 (3)이 열보존 법칙을 의미하는 것은 자명하다.

[그림 3] 체적과 표면적의 방향 정의(출처: wikipedia.org)

식 (3)의 표면 적분(surface integral)을 이해하기 위해 [그림 3]의 표면적 방향을 보자. 표면적 벡터는 항상 내부에서 외부로 나오는 방향으로 정의한다. 그래서 식 (3)의 열류 밀도 $\bar q$는 내부에서 외부로 나오는 방향이 기준 방향이 되므로 [그림 3]에서 $H_{\rm tot}$는 체적 $V$를 빠져나가는 열류를 의미한다. 체적 $V$에서 열류 때문에 열이 빠져나가면 당연히 체적 $V$ 내부에 있는 열은 줄어야 하므로 $Q$의 시간 미분에 (-)가 붙어야 한다.
또한, 열을 온도로 바꾸기 위해 열용량(heat capacity or thermal capacity: J/K)을 다음처럼 정의한다.

                       (4)

즉, 비열 $C$는 온도를 $\Delta T$ 만큼 올리기 위해 필요한 열 $Q$로 정의한다. 식 (3)에 식 (1)과 (4)를 대입하면 푸리에가 제안한 열 방정식을 유도할 수 있다.

                       (5)

식 (5) 유도에는 발산 정리(divergence theorem)를 적용하였다. 식 (5)의 첫째식처럼 체적 적분으로 만들기 위해 열용량 $C$를 비열용량 $c$로 바꾸자.

                       (6)

여기서 $\rho$는 질량 밀도(mass density: kg/㎥)이다. 식 (6)에서는 간편하게 $T = 0$일 때 $Q = 0$으로 정의하였다. 식 (6)을 식 (5)에 대입하면 최종적인 열 방정식을 다음과 같이 얻을 수 있다.

                       (7)

열 전도도, 비열용량, 질량 밀도가 상수이면 식 (7)은 다음처럼 단순화된다.

                       (8)

여기서 $\alpha$는 열 확산율(thermal diffusivity)이다.

자 여기까지 유도된 과정을 보면 전기이론과 무척 비슷하다. 맞다! 제대로 본 것이다. 특히 열류(heat flow)는 전류(electric current) 개념과 거의 동일하다. 전기 이론의 기반인 옴의 법칙(Ohm's law: 1827년에 제안)을 제안한 옴(Georg Simon Ohm)이 집중적으로 참고한 것이 푸리에의 열 방정식이기 때문이다. 푸리에의  열이론을 바탕으로 해서 옴은 전기를 이해하려 노력했다. 물론 열의 움직임과 전류의 특성은 유사점과 차이점이 분명히 존재한다. 동일 위치에서 열은 시간에 따라 변하지만 DC(Direct Current) 전류는 일정하게 흐른다. 하지만 온도의 공간적 변화가 열류를 만드는 것처럼 전압의 공간적 변화가 DC 전류를 만든다.

식 (7), (8)과 같은 열 방정식을 제안한 것도 대단하지만 푸리에는 한걸음 더 나아가서 이런 편미분 방정식을 풀 수 있는 일반적인 해법을 제안했다. 요즘 말로 하면 변수 분리법(separation of variables)과 푸리에 급수(Fourier series)가 된다.


[그림 4] 1차원 온도 분포(출처: wikipedia.org)

푸리에 방법론을 이해하기 위해 [그림 4]에 제시한 문제를 풀어보자. 우리가 구해야 하는 온도 분포는 $u(x, t)$라고 하자. 그러면 $u(x, t)$는 식 (8)의 편미분 방정식을 만족해야 한다.

                       (9)

변수 $x, t$를 서로 분리하기 위해 온도 $u(x, t)$를 아래처럼 가정하자.

                       (10)

식 (10)을 식 (9)에 대입해서 변수 $x, t$에 대한 미분 방정식을 만들자.

                       (11)

여기서 $k_x$는 $x, t$에 대한 상수가 된다. (∵ 식 (11)의 둘째식에서 좌변과 우변은 변수 $x, t$로 서로 분리되어 있다. 따라서 $X(x)$, $T(t)$ 함수의 관계가 서로 같기 위해서는 분리값 $k_x$가 반드시 상수가 되어야 한다.) 식 (11)에서 사용한 이런 방법론을 변수 분리법이라 한다.
식 (11)의 마지막 미분 방정식을 풀면 다음을 얻는다.

                       (12)

                    (13)

식 (12), (13)에서 얻은 기저 함수(basis function)를 합쳐 임의의 온도 $u(x, t)$(∵ 푸리에 급수(Fourier series)로 전개되었기 때문에 연속적인 어떤 값이든 만들 수 있다.)를 정의하면 다음과 같다.

                       (14)

여기서 $A_m$은 결정되지 않은 미정 계수이며, 식 (14)의 기저 함수가 식 (9)의 미분 방정식을 만족하기 때문에 식 (14)는 식 (9)의 적절한 해가 된다.  (14)를 보면 필연적으로 삼각 함수(trigonometric function)로 구성된 무한 급수(infinite series)가 출현하게 된다. 이런 삼각 함수 급수(trigonometric series)는 요즘 말로 푸리에 급수(Fourier series)라고 한다. (※ 물론 엄밀한 의미에서 삼각 함수 급수와 푸리에 급수는 다르다, 절대 같지 않다. 푸리에 급수는 계수가 어떤 함수의 적분으로 표현되는 삼각 함수 급수의 매우 특별한 경우이다. 이런 삼각 함수 급수와 푸리에 급수의 비교 연구에서 집합론(set theory)이 나온 것도 참 특이하다.)
$t = 0$일 때 경계 조건을 사용하면 다음이 반드시 성립해야 한다.

                       (15)

식 (15)에서 의심스런 부분은 임의 함수 $f(x)$가 푸리에 급수와 같다는 것이다. 이게 정말 가능한가? 식 (15)의 삼각 함수 무한 급수는 가능한 모든 해를 모은 것이므로 임의의 경계 조건 $f(x)$를 모두 형성할 수 있을 것 같기는 하다. 하지만 이것은 추측일 뿐 수학적 증명은 아니기 때문에 식 (15)는 좀더 엄밀한 접근이 필요하다. 이 부분에서 라그랑쥐는 심각한 의문을 가졌었고 푸리에는 제대로된 답을 할 수 없었다. 두 사람은 스승과 제자 사이지만 관점이 너무 달랐다. 라그랑쥐는 순수 수학 관점으로 접근했고 푸리에는 물리를 기반으로 푸리에 급수의 명증성을 생각했다. 푸리에는 자신의 방법론이 물리적으로 허점이 없기 때문에 수학적으로도 타당할 것으로 판단했을 것이다.
결정되지 않은 미지 계수 $A_m$은 다음을 이용해 정할 수 있다.

                       (16)

여기서 $n$($= 1, 2, 3, \cdots$)은 양의 정수이다.
식 (16)은 전형적인 푸리에 급수 계산 과정이다. 계수 $A_m$은 함수 $f(x)$의 적분으로 표현된다. 따라서 함수 $f(x)$가 불연속이더라도 계수 $A_m$은 잘 정의된다. 그런데 이점에서 푸리에 급수의 심각한 문제가 있다. 식 (15)에서 푸리에 급수는 삼각 함수의 무한 급수이며 $A_m$이 잘 정의되므로 푸리에 급수 그 자체는 모든 점에서 연속이 될 것 같다. 하지만 $f(x)$는 불연속일 수 있으므로 특정점에서 식 (15)의 $f(x)$와 푸리에 급수는 같지 않을 수도 있다. 라그랑쥐가 지적했듯이 이런 점 때문에 푸리에 급수는 수렴성을 반드시 고려해야 한다.

식 (10)에 사용한 변수 분리법이 성립하려면 식 (8)에서 얻은 편미분 방정식의 유일성(uniqueness)을 반드시 증명해야 한다. 만약 계산 방법에 따라 답이 제각각 얻어진다면 우리가 유도한 편미분 방정식 (8)은 물리적으로 의미가 없어진다. (∵ 조건이 같은데 온도가 두 개일 수는 없지 않나!) 유일성이 성립한다면 어떤 방법으로 답을 얻든지 동일한 결과를 도출하므로 푸리에의 변수 분리법은 매우 강력한 편미분 방정식 해법이 된다.
유일성 증명을 위해 식 (9)에 있는 1차원 열 방정식의 서로 다른 해를 $u_1$, $u_2$ 두 개라고 가정하자. 그러면 아래 적분을 새롭게 정의할 수 있다.

                       (17)

여기서 $V(t)$가 항상 0보다 크거나 같은 것은 자명하다. ( 항상 0보다 크거나 같은 $v^2$을 적분하므로) 식 (17)을 시간에 대해 미분하여 적분하면 다음과 같다.

                       (18)

식 (18)에 의해 $V(t)$는 시간에 대해 항상 감소하는 함수이다. 경계 조건에 의해 $V(0) = 0$이며 $V(t)$는 항상 0보다 크므로 식 (18)에 의해 항상 $V(t) = 0$이다. 따라서, 다음이 성립한다.

                       (19)

두 해의 차이에 해당하는 $v(x, t)$가 0이므로 서로 다른 해라고 가정한 두 해 $u_1, u_2$는 $u_1(x, t) = u_2(x, t)$가 된다. 따라서 1차원 열 방정식은 유일성이 성립해서 어떤 방식으로 풀더라도 동일한 결과를 얻게 된다.
3차원 열 방정식인 경우도 공간과 시간에 대한 경계 조건만 주어지면 식 (17)과 (18)을 3차원으로 확장하여 아래처럼 증명할 수 있다.

                       (20)

   (21)

따라서, 3차원에서도 $V(t)$는 감소하므로 다음이 성립하여 해의 유일성이 보장된다.

                       (22)

[참고문헌]
[1] J. Fourier, Théorie de la Propagation de la Chaleur dans les Solides (Theory of the Propagation of Heat in Solids), 1807. 
[2] T. N. Narasimhan, "Fourier’s heat conduction equation: history, influence, and connections," Reviews of Geophysics, vol. 37, pp. 151-172, Feb. 1999.
[3] J. Fourier, Théorie Analytique de la Chaleur (Analytical Theory of Heat), 1822.
[4] M. J. Kozdron, "Brownian motion and the heat equation," University of ReginaCanada, 2008.

[다음 읽을거리]
1. 푸리에 급수의 시작

댓글 60개 :

  1. 제가 궁금한게 생겼는데 인터넷을 찾다 여기까지 왔는데 여기다 질문 좀 하나 하고 갈께요 (많이 아시는 분 같아서;;)
    전자기유도 관련 질문인데요, 균일한 자기장에 폐회로를 놓으면 유도전류가 생기잖아요? 근데 만약에 그 폐회로가 음... 정사각형ABCD라 할때 선분AD와 선분BC사이에 저항이 있는 그런 폐회로를 넣는다면 회로가 흐를수있나요?? 전위차도..뭔가 이상하고 이게 직렬인지 병렬인지도 궁금하고..;;
    제 말에 어폐가 있을 수도 있지만 답변 부탁드리고 무턱대고 관련성 없는곳에 남겨서 죄송합니다

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    1. 질문 감사합니다.

      - 자기장이 균일하면 기전력이 생기지 않습니다. 자기장을 시간적으로 바꾸든지 전하가 공간적으로 움직이게 해야 기전력이 생깁니다.

      - 기전력이 생기면 전압원으로 취급하면 됩니다. 말씀하신 부분은 전압원이 있는 회로에 저항을 붙인 것입니다. 당연히 전류가 잘 흐릅니다.

      - 기전력은 단순히 보면 발전을 한 것입니다. 질문하신 회로는 발전기에 부하(저항)를 연결한 것과 같기 때문에 정상적인 회로가 됩니다.

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  2. 아,역시 어폐가..
    자기장이 약해지네요!
    그러면 저 두 저항이 직렬인지 병렬인지도 알수 있나요?

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    1. 폐회로에 저항을 어떻게 붙이는 지에 따라 달라집니다.

      위 폐회로 설명에서 선분 AD와 선분 BC 대신에 저항을 끼워넣었다면 직렬 연결이 됩니다. 즉, 직렬이므로 폐회로에 흐르는 전류가 동일합니다.

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  3. 왜 직렬인가요?
    이게 제가 제일 처음 묻고 싶었던 겁니다ㅠ
    완전 궁금합니다.
    보통 회로처럼 전원장치가 한곳에 연결되있는 것도 아닌데 어떻게 알죠?

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    1. 위에서도 언급했듯이 전류를 보면 됩니다. 기전력이 발생한(or 전압원이 있는) 폐회로면 반드시 전류가 동일해야 합니다. 즉, 직렬이라는 뜻이지요.

      기전력은 패러데이 법칙에 의해 폐회로 전체에서 발생하지만 직렬이어서 이걸 하나로 모으면 하나의 전압원으로 생각할 수 있습니다.

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  4. 안녕하세요
    최근 전자파에 의해서 Flash Memory의 전하가 이동하는 양을 증가시킬수 있다는
    논문을 읽고 궁금해서 그에 관련한 물리학적 이론을 찾아보고 있는데,
    무식하여 좀 처럼 찾기어렵네요. (반도체설계엔지니어 입니다)

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  5. 안녕하세요 푸리에급수 공부하는데 도움이 많이 됩니다 감사합니다. 자주오게되네요^^

    그런데 식(5)에서 두번째 인테그랄(폐곡면 S에서의 k델Tㆍda)부분에 마이너스 부호가 옳게 붙은것인가요? 바로 뒤에 발산정리 적용하는 부분부터 붙어야 될 것 같아서요.

    헷갈려용ㅜ

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    1. 열 방정식까지 공부하시면 푸리에 급수를 제대로 공부한 것이 됩니다. ^^
      푸리에 급수의 다음 단계로 아래에 스투름-리우빌 이론까지도 준비되어 있으니 꼭 보세요.
      http://ghebook.blogspot.kr/2011/11/sturm-liouville-theory.html

      포기하지만 않으면 새로운 세상을 볼 수 있습니다.

      식 (5)는 맞습니다. 식 (5)의 첫째식이 식 (3)의 좌변이며 식 (5)의 둘째식이 식 (3)의 우변입니다. 또한 열류밀도 q와 열 Q를 온도 T로 바꾸기 식 (1)과 (4)를 사용했습니다.

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  6. 감사합니다. 제가 어제 식(1)에 있는 부호를 못봤네요^^;

    그런데 heat flow는 뜨거운쪽에서 차가운쪽으로의 흐름을 (+)방향으로 보는건가요?

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    1. 예 맞습니다.
      더 정확히 보려면 식 (1)에 있는 구배 연산자(gradient operator)부터 보셔야 합니다.
      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/gradient.html

      구배는 사실 미분이므로 낮은 곳에서 높은 곳으로 가는 것이 기울기 (+)입니다. 온도의 경우는 항상 높은 온도에서 낮은 온도로 변화가 일어나므로 기울기는 (-)가 되어서 이 방향을 기준방향으로 만들기 위해 구배 연산자에 (-)를 붙입니다.

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    2. 감사합니다^^
      이제 알겠어욤ㅎㅎ

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  7. 푸리에의 일생부터 자세하게 설명해주신게 참 좋은 정보인것 같습니다. 그런데 제가 이번에 열전달이라는 과목을 배우면서 열방정식을 처음 접하다보니 지식이 짧아 좋은 정보를 두고도 이해를 못하는것에 너무 답답한 마음입니다. 혹시 가능하시다면 좀 더 쉽게 설명해 주실 수 있으신가요?

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    1. 익명님, 열 방정식보다는 미분 방정식 때문에 이해가 힘들 것입니다. 여유를 가지고 계속 방정식을 보세요.
      열 방정식에 사용한 방법론을 그대로 사용하여 전류의 연속 방정식도 유도합니다. 아래 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/electric-current.html

      전류가 흐르면 전하가 줄어든다는 것이 전류의 연속 방정식이라면 식 (3)은 열류가 생기면 열이 줄어든다는 에너지 보존 관계식입니다. 별 것 없습니다.

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    2. 감사합니다! 말씀대로 여유를 갖고 더 생각해 보겠습니다

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  8. 읽다가 의문점이 생겼는데 gradient는 벡터의 미분연산자인데 온도가 벡터인가여? 제가 배우기론 스칼라로 알고 있어서 이렇게 질문을 드립니다.

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    1. 온도는 말씀하신 대로 스칼라입니다. 하지만 온도의 변화 방향은 벡터가 됩니다. 이걸 나타낸 식이 식 (1)입니다.

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  9. 너무 기초적인 질문인데요.
    1. 식(12)에서
    X(x) = A sin(~) + B cos(~) 으로 해서 일반적으로 미분 방정식을 푸는 방법같은데요.
    왜 이렇게 하는 것이 가능 한 것인지 설명해 놓으신 자료 있으신가요?

    2. 식(17) 증명 방법에서 질문이 재가 봐도 좀 이상한긴 한데요. ㅋㅋ
    예를 들면, 함수가 y= sin x 에서 y= 0이 되는 것
    2-1. 0도, 180도, 360도 .... <--- 이렇게 해서 값이 여러개 이다로 봐야 하는 건가요? 아님.
    2-2. x= n*180도 ( n은 0부터 무한대) <-- 이렇게 해서 해가 유일하다고 봐야 하는건가요?

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    1. 1. 두번 미분해서 (-)가 나오고 자기 자신인 함수가 사인과 코사인이니 식 (12)처럼 쓴 것입니다. 수학적으로는 해의 유일성이 성립해서 어떻게 풀든지 과정만 맞다면 유일한 답이 됩니다.

      2. 영역을 제한해서 해의 유일성을 보장하고 있습니다.

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    2. 정독을 하기 전까지는 열을 어떤 신호로써 통신을 할수 있다는 제목인줄 알았는데,
      열방정식이 후에 프리에분석과 관련 통신에 활용이 되었다는 뜻이군요. ㅋㅋㅋ

      1. 식(10) 변수를 시간과 공간에 대해서 분리하는 거 같은데 맞나요?
      즉 X(x)는 공간에 대한거, T(t)는 시간에 대한거,

      2. 공간에서 0~l 사이의 공간으로 생각이 되는데,
      X(0) = X(l) = 0 으로 주어 질 수 있는 건가요?

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    3. 1. 예, 맞습니다.

      2. 문제 풀기 위한 조건으로 주어진 것입니다. 현실에서는 온도를 완전히 고정할 수는 없습니다.

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    4. 2. X(0) = X(l) = 0 이게 어떤 의미 인지를 모르겠습니다.
      변수가 분리되어 어떤 의미를 부여하기 전인 상태라고 할지라도,
      [그림 4]에서 u(0,t) = u(l,t) = 0 에서 나왔다고 하더라도, u는 온도에 대한 함수 일거 같은데, 이게 0이라는 게 무슨 뜻인지 모르겠습니다.

      3. 식(14)에서 m이 1에서 부터 무한대까지 더하는데요. u가 위치와 시간에 따른 온도 함수일 것인데요. 이렇게 시그마하면, 모든 위치에 대한 정보를 포함하는 것을 표현을 할 수 있는 건가요? <-- 질문을 어떻게 적절히 드려햐 할지 몰라서 우선 이렇게 문의 드립니다.

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    5. 2. 단순하게 보세요. [그림 4]에서 해당 위치의 온도값을 0으로 고정하는 것입니다.

      3. 예, 맞습니다. 그 부분이 수학적으로 오랫동안 논란이 되었습니다. 최종적으로는 디리클레의 증명으로 더이상 모호한 점이 없습니다.

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    6. 기초적인 질문입니다.
      식(16)관련.
      1. m=/n 이조건에서 n이 정수라는 조건이 있으야 하는거 아닌가요?
      2. 전형적인 푸리에 급수 계산과정이라고 하는데요. 이건 어떻게 이렇게 하는 것은 없고 그냥 프리에가 이렇게 하면 된다. 제안을 해서 그냥 사용하는 건가요?
      3. 식(16)의 마지막 식은 식(16)의 결과를 모두 만족하는 일반화 하는 식이 되는건가요?

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    7. 1. 푸리에 급수를 쓰고 있다는 것 때문에 당연히 $n$은 정수입니다. 이게 아니면 주기가 $l$이 되지 않습니다.

      2. 아래 푸리에 급수의 완비성을 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/07/fourier-series.html

      3. 식 (16)의 마지막식은 푸리에 급수의 정의에 해당하는 내용입니다. 이렇게 하면 모든 연속 함수를 푸리에 급수로 표현할 수 있습니다.

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    8. 감사드립니다.
      유일성 관련된 부분은 항상 증명 방식이 똑같은데, 항상 이해가 잘 안갑니다. ㅋㅋㅋ
      전 수학에 재능이 없나봐요. 전체적인 과정과 흐름을 통한 이해의 기반만 만들려고 합니다.
      프리에 급수에서 질문 드리겠습니다.

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    9. 수학 분야에서도 존재성과 유일성 증명은 매우 까다롭습니다. 그중에서도 존재성 증명이 매우 어려워요. 상미분 방정식은 존재성이 깔끔하게 증명되어 있지만 편미분 방정식의 존재성은 아직 증명이 없습니다. 즉, 어떤 편미분 방정식은 해가 존재하고 어떤 편미분 방정식은 해가 없는지 아직 잘 모릅니다.

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    10. [기초질문]식(16)관련. 위 질문을 다시 질문을 드리면.
      2. [만화]책을 찾아 보니 f(x)에 sin(nπx/l)을 곱하고 0~l까지 적분해서 구한다는 거네요. ㅋㅋ 이게 푸리에가 제안한 방법이라는 거지요?
      2-1. 식(16)에서 f(x)를 (.)로 표기하는 특별한 이유가 있으신가요?
      (공부한지가 오래되서, 식(15)에서 식(16)의 연결이 어떻게 되는지 몰라 헤멨습니다. ㅋㅋㅋ )
      2-2. 계산을 하면, Σ A_m = A_m
      m을 0부터 무한대까지 A_m을 모두 더한 것이, 어떻게 A_m 자신이 되는건가요?
      혹시 텐서에서 설명하신 아인슈타인 표기법과 관련이 있는 것인가요?

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    11. 2. 예 맞습니다.

      2-1. 특별한 이유는 없습니다.

      2-2. 식 (16)의 중간식을 보면 $m = n$인 경우에만 값이 있고 나머지는 0입니다. 그래서 $A_m$항만 살아남습니다.
      아인슈타인 표기법과는 전혀 관계없습니다.

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    12. 새해 복 많이 많이 받으세요. ^^
      2-2. 기초적인 거 같은데요. 재가 생각이 고정이 되어서 인지 A_m 앞의 Σ 가 어떻게 없어지는 모르겠습니다. 아래 링크 한번 봐주실 수 있으실런지요?
      http://blog.daum.net/share_like_bear/112

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    13. 곰유님도 새해 복 많이 받으세요. ^^

      푸리에 급수의 직교성을 한 번 찾아보시면 이해가 될 것입니다. 예를 들면 $\sum_{m = 1}^\infty a_m = 0 + 0 + \cdots + 0 + a_n + 0 + \cdots = a_n$을 생각해보세요.

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    14. 아~
      과정에서 m=n일때는 빼고 0이되니,
      A_n만 남고, A_n = A_m이니 A_m만 남게 되는 거군요.
      감사합니다.

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  10. "식 (12), (13)을 합쳐 온도 u(x,t) 를 구하면 다음과 같다"에서
    어떻게 식 (14)가 나오는 거죠?

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    1. 본문을 약간 수정했습니다.
      기본 개념은 미분 방정식을 만드는 기저 함수를 만들고 그걸 모아 전체 함수를 표현하는 것입니다. 이게 기본적인 푸리에 급수 방법론입니다.

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  11. 이 블로그에서 많은 지식 얻고 있습니다. 감사합니다.

    본문 중 식 (11)번에 대한 설명에서

    "여기서 k_x 는 x,t 에 대한 상수가 된다. (∵ 식 (11)의 둘째식에서 좌변과 우변은 변수 x,t 로 서로 분리되어 있다. 따라서 X(x) , T(t) 함수의 관계가 서로 같기 위해서는 분리값 k_x가 반드시 상수가 되어야 한다.) "

    이 설명을 좀 더 풀어서 말해주실 수 있으신지요? x와 t로 변수분리한 것은 알겠는데, k_x라는 것을 임의로 정의하신 것이 아닌가요? 근데 갑자기 상수로 확정할 수 있는 이유가 이해가 잘 안됩니다.

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    1. 질문을 늦게 봤네요, 익명님. 답변이 너무 늦어 죄송합니다. ^^

      식 (11)의 둘째줄을 보면 한 변은 $x$의 함수이고, 한 변은 $t$의 함수입니다. 이게 같으려면 반드시 어떤 상수가 되어야 합니다. 우리의 선배 푸리에가 제안한 방법입니다.

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  12. 죄송한데.. 식 (4) 에서 c* partial T w.r.t time = partial Q w.r.t 라고 하셨는데, delta T면 그냥 스칼라 T와 다른 값 아닌가요?

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    1. $\Delta T$는 온도차이며, $T$는 그냥 온도입니다. 물론 다릅니다. 다만, 유도를 편하게 하기 위해 T = 0일 때 Q = 0으로 정의해서 사용했습니다.

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    2. 감사합니다. 항상 감탄하면서 블로그 애독하고 있습니다. 언제쯤 전파거북이님 반이나 따라갈까요..ㅎ

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    3. 전자파 분야는 이미 확립된 학문이라 머리보다 시간이 많은 것을 해결합니다. 지금처럼 계속 관심 가지시면 아주 좋은 결과가 있을 것입니다, 이재님. ^^

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  13. 안녕하세요 전파거북이님.

    열방정식을 공부하던중 라플라시안에 대해 햇갈리는점이 생겨 질문드립니다.

    라플라시안이
    ( u(x+2*delta(x)) - u(x+delta(x)) )/delta(x) - ( u(x+delta(x)) - u(x) )/delta(x) ---(1)
    ( u(x+delta(x)) - u(x)/delta(x) - ( u(x) - u(x-delta(x)) )/delta(x) ---(2)

    (1)번식은 x점을 기준으로 오른편의 두 기울기를 비교한것이고
    (2)번식은 x점을 기준으로 양옆의 기울기를 비교한것으로 보여집니다.

    이상 두가지로 표현할수 있고, 크게 차이가 없을것으로 이해하고 넘어갔었습니다.

    그런데 열방정식을 공부하다보니, 양끝이 단열된 조건 (du/dx(0,t) = 0 , du/dx(L,t) = 0)

    에서 맨끝점 x=0 에서 라플라시안을 (1),(2) 둘중 어떤것을 사용하느냐에 따라 결과가 달라져, 햇갈림이 시작되었습니다.

    (1)을 사용하면 ( u(x+2*delta(x)) - u(x+delta(x)) )/delta(x) 의 기울기에 따라 자신의 온도가 달라질것이고.

    (2)를 사용하면 ( u(x) - u(x-delta(x)) )/delta(x) 에서 u(x-delta(x)) 이부분이 아예 정의되지 않는것 같고..

    그렇다고 끝부분에서는 (1)을 사용하고 중간부분은 (2)를 사용하고 이런식으로 하는것도 좀 이상하구요..

    라플라시안을 잘못 이해하고 있는것인가요..ㅠㅠ 글이 너무 길어져서 죄송합니다.. 답변 부탁드립니다ㅠㅠ

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  14. 아.. 열방정식의 범위가 0<x<L 이였군요.. 너무 섯불리 질문드렸네요 죄송합니다.

    그럼 열방정식에서 끝점의 온도는 주어지지 않는이상, 고려하지 않는 부분인가요?

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    1. 끝부분(경계점) 특성이 변한다고 가정하면 문제가 너무 어려워집니다. 그래서, 초보적인 문제에서는 값을 고정하고 문제를 풉니다, 김종현님. ^^

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  15. 답변 정말 감사드립니다 전파거북이님!!

    제가 질문을 너무 모호하게 드린것 같아서 정리해서 다시 드립니다..ㅠㅠ

    공업수학에 나오는 예제인데요, 양끝이 단열된 막대의 온도분포 함수를 구하는 문제의 조건입니다.

    열방정식 , 0<x<L
    du/dx(0,t) = du/dx(L,t) = 0
    u(x,0) = f(x) 초기온도분포

    제 소견으로는 (물리적으로) 양끝이 단열되었을때(외부의 온도는 고려하지 않고) 양끝의 온도가 변하지 않아야 맞을것 같은데,

    이 미분방정식을 풀면 끝점에서의 온도가 바로 옆의 온도를 따라가는 함수로 만들어집니다.

    일단 열방정식과 초기온도분포 만 가지고는 끝점의 온도를 알수 없는데, (범위가 0<x<L 이기 때문에)

    du/dx(0,t)=0 이라는 조건때문에 기울기가 0이되도록 옆의 온도를 따라간다고 생각해도 될까요?

    결론적으로 양끝의 온도는 방정식에서 고려하지 않겠다(단열 조건임에도 온도가 변했기때문에)

    라는 의미로 받아들이면 될까요..?

    너무 당연하고 재미없는 질문만 드리는것 같아 죄송스럽습니다..ㅠㅠ

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    1. 김종현님, 좋은 질문 감사드립니다. ^^

      조건에서 온도의 기울기가 0이라고 했기 때문에, 양끝점의 온도는 알 수 없습니다. 어떤 값이든 될 수 있습니다. 다만, 온도는 연속이기 때문에 양끝점 인근의 온도를 이용해 양끝점의 온도를 정확히 결정할 수 있습니다. (김종현님이 말씀하신 옆의 온도를 따라간다는 표현)

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    2. 그렇군요!!

      속시원한 답변 감사드립니다!!ㅠㅠ

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  16. 와~~ 흥미롭고 유익한 글 잘 읽었습니다. ^_____^

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    1. 방문 감사합니다, Institute for Basic Science님. ^^

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  17. 항상 감사하게 포스팅 잘 보고있습니다.

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  18. 정말 좋네요 그럼 열확산 방정식의 해는 딱 무엇인가요??

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    1. 해는 경계 조건에 따라 달라집니다. 중요한 것은 미분 방정식을 푸는 방법론이 푸리에 급수입니다.

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  19. 안녕하세요
    식(12)에서
    X(x) = A sin(~) + B cos(~) 로 표현된거는 모든 함수를 삼각함수로 표현할 수 있어서 그냥 이렇게 놓은건가요?
    그리고 kx가 sin과 cos 안에 들어간 이유도 궁금합니다

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    1. 1. 네. 연속 함수이거나 유한 번 불연속인 함수는 모두 푸리에 급수로 표현할 수 있습니다.

      2. 상수 $k_x$는 그냥 넣은 것입니다. 그 다음에 경계 조건을 이용해 $k_x$를 정합니다.

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  20. 안녕하세요.
    학부 때 이런 내용을 아무런 고찰과 공부 없이 단순히 외우고, 너무 급하게 너머간 나머지 지금 대학원학생이 되서 다시 공부하는데, 몃년전에 이 블로그를 찾았더라면 정말 인생이 바뀌었을텐데라는 생각이 드네요, 한글블로그 중에서 정말 손에 꼽히게 좋은 블로그 같습니다. 감사합니다.

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    1. 고급 주제에 대해서는 한글로 된 블로그가 거의 없어서 한 번 만들어 보았는데요, Unknown님에게 도움이 되었다니 기쁘네요. ^^

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  21. 안녕하세요
    여기 많은 포스트에서 도움을 받고 있습니다.
    이제 석사시작하는 아직 학부생이지만 식 6 번 즈음에서 Q 로 표현 되는 열에 대해서요 .
    배워왔던 열역학에서 들어오고 나간 열의 형태가 Q 로 나타내고
    그니까 내부에너지를 정확히 정의는 못하겠지만 들어오거나 나간 열의 형태인 에너지가 Q 이고 계 자체에 갖고 있는 에너지가 내부에너지 U 로 알고 있습니다 .

    그래서 식을 쓰는 과정에서 조금 헷갈렸는데요

    열용량을 나타낼때 Q= CT 에서 Q=0 일떄 T = 0 이라고 가정 했지만

    열흐름을 표면 적분한 식이 내부에너지의 시간미분양으로 표현한 변화량이 더 정확하지 않을까 해서 질문 드려요

    dU=Q+W 인 열역학 1 법칙 으로 생각했습니다 . 그래서 Q 가 이동중인 변화량이고 내부에너지의 변화량으로 표현하는게 정확하지 않을까요?

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    답글
    1. 좋은 의견 감사합니다, Unknown님. ^^
      외부 열이 내부로 전달되어 계의 내부 에너지 혹은 일 등을 증가시킬 수 있지만, 본문에서는 그런 부분보다 가해준 열의 행동, 즉 열 전달에 집중하고 있습니다.
      그래서 본문처럼 쓰더라도 큰 문제는 없어 보입니다.
      본문에서는 기초적인 열 방정식을 단순하게 소개하고 있지만, 향후 열역학 개념을 이용해 열과 에너지 관계를 더 세밀하게 서술할 필요는 있습니다. 나중에 여력이 되면 해봐야지요.

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    2. 네 , 간단하게 생각해도 문제 없지만, 공부하다보면 notation 정의를 약간씩 바꿀때 혼란이 많이 와서 질문 드렸습니다.

      그리고 식 14 번에서 왜 무한급수가 필연적인 논리적 과정이 무엇인가요?

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    3. 식 (12)에서 가능한 모든 경우의 $m$을 더하면 무한 급수가 됩니다.

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