2011년 10월 4일 화요일

자성체의 비밀(secret of magnetic material)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자성체"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 자기장
2. 자기 쌍극자 모멘트


자기장(magnetic field)의 특성을 정의할 때 주변에는 아무런 물질이 없는 진공상태를 가정하였다. 사실 이런 가정은 현실과는 매우 동떨어져 있다. 현실에 존재하는 [그림 1]과 같은 물질들은 자기장 관점에서 어떻게 모형화하여야 하나?

[그림 1] 자성체의 모형화(출처: wikipedia.org)

전자기학에서는 [그림 1]처럼 모든 물질들이 자화(磁化, magnetization)를 가진다고 가정한다. 이것은 당연하다. 물질들은 양성자(陽性子, proton)와 전자(電子, electron)로 구성되어 있고 전자가 양성자 주위를 돌기 때문에 [그림 1]처럼 물질 내부에 매우 작은 자석이 있는 것처럼 가정할 수 있다. 물질 내부에 있는 매우 작은 자석은 미소 전류(infinitesimal current)로 모형화할 수 있다. 미소 전류의 특성은 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)로 정의한다.
하지만, 모든 물질들이 자화 특성을 가진다는 가정은 양성자와 전자가 발견되기 이전에 나온 개념이라는 것을 기억할 필요가 있다. 자화라는 개념은 실험결과를 너무나 잘 설명했던 것이다. 이것을 거꾸로 보면 양성자와 전자의 존재성은 물질에 자기장을 걸어줌으로써 증명할 수도 있는 것이다.
이와 같이 자화를 일으키는 물질은 자성체(磁性體, magnetic material)라 한다.
자화는 전자들 각각이 일으키는 것이기 때문에 이산적(discrete)으로 접근해야 하지만 수학적으로 표현하기가 무척 어려우므로 연속 함수(continuous function)를 이용해 모형화한다. (∵ 적분(연속 함수)보다 덧셈(이산 함수)이 쉽기는 하지만 무한 급수를 생각하면 적분이 더 쉽다.)
그래서, 식 (1)의 전하 밀도(electric charge density) $\rho$ 개념을 기준으로 식 (2)의 자화 밀도(magnetization density) $\bar M$을 정의하자. 자화 밀도는 자화도(magnetization)으로도 부른다.

                       (1)

                       (2)

여기서 $V$는 체적(volume), $N$은 물질 구성 요소의 전체 숫자, $q$와 $Q$는 전하(electric charge), $\bar m$은 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole mement)이다. 전하 밀도와 자화 밀도를 정의하기 위해서는 식 (1)과 (2)의 체적을 0으로 보내야 한다.
자화 밀도 정의인 식 (2)에서 조심할 것은 식 (3)처럼 맥스웰 방정식을 대칭으로 만들기 위해 도입한 자류 밀도(magnetic current density)와는 다르다는 것을 기억해야 한다.

               (3: 패러데이의 법칙)

전자기학에서는 헷갈리게도 자화 밀도와 자류 밀도를 같은 문자인 $\bar M$으로 쓰기 때문에 읽을 때나 사용할 때 항상 조심해야 한다.
식 (2)를 이용하면 식 (4)에 있는 하나의 자기 쌍극자 모멘트가 만드는 자기 벡터 포텐셜 $\bar A(\bar r)$을 식 (5)의 일반적인 물질에 대한 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)로 확장할 수 있다.

                       (4)

                       (5)

식 (5)를 이용해서 자성체의 성질을 탐구하기는 어려우므로 진공중의 자기 벡터 포텐셜인 아래 식을 고려해보자.

                         (6)

다음으로 아래 벡터 항등식(vector identity)도 생각하자.

                         (7)

                         (8)

                         (9)

식 (7), (8), (9)를 식 (5)에 대입해 정리하면 자성체에 대해서도 식 (6)과 유사한 형태를 얻을 수 있다.

                  (10)

식 (10)의 마지막줄 증명에는 식 (11)에 있는 발산 정리(divergence theorem)를 이용하였다.

                         (11)

이와 같은 복잡한 과정을 따라온 이유는 식 (6)처럼 만들기 위해서다. 식 (6)과 (10)을 비교하면 새로운 전류 밀도(current density)를 정의할 수 있다.

                         (12)

여기서 $\bar J_{ms}'$는 표면 전류 밀도(surface current density)이며 $\bar J_m'$은 체적 전류 밀도(volume current density)이다. 그러면 자화를 일으키는 자기 쌍극자 모멘트를 마치 전류처럼 취급할 수 있다. 자화를 만드는 전류는 자화 전류(magnetization current) 혹은 구속 전류(bound current)라 하고 자유 전자가 흘러 생기는 전류는 자유 전류(free current)라 한다.
이 개념을 이용해서 자성체가 있는 경우의 자속 밀도를 구해보자. 먼저 진공중의 자속 밀도는 아래와 같이 표현된다.

                         (13)

자성체가 있으면 자유 전류 $\bar J_f$와 자화 전류 $\bar J_m'$이 함께 있으므로 식 (13)을 아래처럼 바꾸어야 한다.

                         (14)

여기서 $\bar H$는 자기장(magnetic field)이다. 회전 연산자의 의미에 의하면 자기장의 원천은 자유 전류이다. 반면에 자속 밀도의 원천은 자유 전류와 자화 전류와 관련된다. 만약 자유 전류는 없고 자화 전류만 있다면 $\bar H = 0$이 될 것인가? 아니다. 식 (14)를 보자. 자기장의 회전이 0이지(∵ 자유 전류가 없으므로) 자기장이 0인 것은 아니다. 이 점은 주의해야 한다.
또한, 식 (12)에 있던 표면 전류 밀도는 식 (14)의 체적 전류 밀도에 포함되어 있다고 생각해야 한다. (∵ 체적 전류 밀도의 특별한 경우가 표면 전류 밀도이다.)
식 (14)의 마지막식은 자성체까지 적용될 수 있는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)의 일반형이다. 식 (14)에 의하면 자화 밀도를 알 경우 자성체가 있는 문제도 쉽게 해결할 수 있다. 그런데, 자화 밀도를 정확히 아는 것은 쉬운 문제가 아니다. (∵ 식 (2)에 의해 물질내에 있는 모든 자기 쌍극자 모멘트를 계산해서 벡터적으로 더해야 한다.)
그래서, 근사이기는 하지만 자화 밀도는 자기장과 선형 비례한다고 가정하자.

                         (15)

여기서 $\chi_m$는 자기 감수율(magnetic susceptibility)이며 $\mu_r$은 비투자율(relative permeability)이라 한다. 식 (15)의 둘째식은 자기장과 자속 밀도의 구성 관계식(constitutional relation)이라 부른다.

자성체 내부에 생기는 자속 밀도도 식 (15)로 계산할 수 있다. 왜냐하면 식 (10)의 자성체에 대한 자기 벡터 포텐셜 관계식은 자기 쌍극자 모멘트 근처($R \approx 0$)에서는 맞지 않지만 주변에 워낙 많은 원자들이 있기 때문에 $R = 0$에 있는 하나의 자기 쌍극자 모멘트에 의한 기여는 무시할 수 있다고 가정한다. (or 식 (10)에서 체적을 0으로 가져가면 체적 적분도 0으로 간다.)

[참고문헌]
[1] H. Föll, Fields, Fluxes and PermeabilityElectronic Materials, University of Kiel.

댓글 15개 :

  1. 적분보다 덧셈이 쉽기는 하지만
    으로 수정해야되지않나요? 본문에서요

    답글삭제
  2. 오타 지적, 정말 감사합니다, 가딘님. ^^ 수정했습니다.

    답글삭제
  3. 전파거북님의 좋은 글들 읽는것이 정말 즐겁습니다.
    다만 H에 관해 설명이 좀더 필요한것 같아 제 생각을 아래에 적어 보았습니다.
    제가 가진의 생각의 틀을 깨는 것이 어려워서 같이 논의하며 생각을 더 발전시켰으면 합니다.
    전파거북님의 조언을 부탁합니다.

    위 글에서 자유전류밀도가 없어도 H=0 이 아닐수 있다고 하는데 그렇다면 자유전류밀도뿐만 아니라 H를 만드는 다른 근원이 있어야 하는 것 아닌가요?

    Vector field H를 완전히 알기 위해서는 역시 curl과 div 모두 알아야 합니다.
    H의 또다른 근원은 div H에 숨겨져 있습니다.
    1. H=B/mu0 - M 에서 양변에 curl 을 취하면 curl H= curl (B/mu0)- curl M= 자유전류밀도+속박전류밀도)- 속박전류밀도 = 자유전류밀도.
    2. H=B/mu0 - M 에서 양변에 div 취하면 div H = div (B/mu0)- div M = -div M.
    H 가 B 와 다른점은 curl B =(자유전류밀도+속박전류밀도), div B=0, 이며, curl H= 자유전류밀도, div H = -div M 입니다. 그래서 자유전류밀도가 0일때도, div H가 0 이 아닐때 H 가 0 이 아닌값을 가집니다. 이 성질을 이용하면 H를 E와 완전히 같도록 만들수 있습니다. 정자계에서 자유전류밀도가 없는 경우 - div (mu0 M) 을 마치 magnetic monopole인 것처럼 생각하면 H는 전계 E와 수학적으로 완전히 같아져서 magnetic scalar potential 을 만들어 줄수 있습니다. 정전계에서 [-div P= 체적전하밀도] 인것과 수학적으로 대응됩니다. 물론 H를 그려보면 모양이 E와 완전히 일치합니다.
    curl H는 자유전류밀도만 포함하고 있어, 자유전류밀도만 알면 H 의 값이 알수 있을 것 같지만 자화벡터 M의 발산을 반드시 알아야 합니다. 그래서 H의 근원은 자유전류밀도와 자화벡터의 발산입니다.

    답글삭제
    답글
    1. 환영합니다, Eugene님. ^^

      1. 자유 전류 밀도가 0이어도 H가 존재한다는 것은 회전 연산자 특성 때문입니다. H가 어떤 스칼라 함수(or 자기 스칼라 포텐셜)의 구배이면 당연히 H가 존재하더라도 H의 회전은 0입니다.

      2. 자기장을 만드는 것은 명확히 자유 전류 밀도입니다. 이게 식 (14)처럼 자기장을 정의한 이유입니다.

      3. D, E 관계를 구하는 것처럼 B, H는 자기장의 회전, 자속 밀도의 발산, 관련된 구성 관계식으로 명확히 정의하고 구합니다. 다른 군더더기를 붙이면 (유일성 때문에 답은 같겠지만) 문제가 필요 이상으로 복잡해질 수 있습니다.

      삭제
    2. 답변감사합니다.
      제질문은 다음과 같습니다.
      자유전류밀도는 자기장 H를 만듭니다. 이것은 참인 명제입니다. 그러면 그 역 명제도 참인가요?
      즉 자기장 H는 자유전류밀도에 의해서만 만들어 지는가?
      이것은 참이 아닙니다. 그 반례가 자유전류밀도가 0 일때도 자기장 H 가 0이 아니기 때문입니다. 그러면 자유전류밀도 이외의 어떤 근원이 자기장 H를 만들까요?
      1. 그 이유가 회전연산자 특성때문이라고 하셨는데 의미가 다소 불분명합니다. 회전연산자의 어떤 특성때문인지 정확히 설명해주시겠어요? 수식으로 설명해 주시면 더 좋고요. : )
      2. 식(14) (curl H = 자유전류밀도) 만으로는 H를 완전히 정의할 수 없습니다. div H 의 값도 정해 주어야 합니다. div H의 값은 H=B/mu0 - M 에서 -div M 임을 알수 있습니다. 그래서 속박전류밀도에 의한 자화 벡터 M을 알아야지만 H를 완전히 구할수 있기 때문에 -div M 이 H를 만들어 내는 두번째 근원입니다. 이건 magnetic monople이라고 물리적 의미를 줄 수 있습니다. 그런데 magnetic monople은 존재 하지 않으므로 어디선가는 맞지 않는 부분이 나타납니다. 물질 밖에서 H는 B와 모양이 일치하며 B나 H 둘다 올바른 전기장을 나타냅니다. 그러나 물질 내부에서는 H는 B와 달라집니다. 그래서 H보다는 B를 전기장으로 사용합니다.

      삭제
    3. 질문하신 부분은 헬름홀츠 정리에 해당합니다. 맥스웰 방정식에서는 자기장의 회전과 자속 밀도의 발산을 통해 헬름홀츠 정리를 만족시킵니다.
      예를 들어, 자기장의 회전을 자유 전류 밀도로 정한다는 것은 자기장의 접선 성분을 정하는 것입니다. 아래 내용 참고하세요.

      "헬름홀츠 정리는 일견 복잡해보이지만 벡터로 생각하면 단순하다. 경계 조건 관점에서 벡터의 회전을 정의하는 것은 벡터의 접선 경계 조건을 정해주는 것이다. 마찬가지로 벡터의 발산을 정하면 벡터의 법선 경계 조건이 확정된다. 따라서, 벡터의 회전과 발산을 정의한 것은 벡터의 접선과 법선, 즉 모든 벡터 성분을 결정한 것이 되어 벡터 함수가 유일해진다."
      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/helmholtz-theorem.html

      삭제
  4. 질문 좀 드릴게요
    물질의 특성을 결정하는 상수들간에 어떤 관계가 있는것인지 독립적인것인지 궁금합니다.

    1.유전율 도전율 투자율은 서로 관계가 없는 값들인가요?

    2. 그렇다면 만약 어떤 물체에 대해 비유전율이 주어지고, 비전도체 라는 사실만 알려져
    있을때 이 물질의 투자율에 대해서는 '알수없다' 라고 말하는 것이 옳은 건가요?

    전자기학은 정말 공부를 하면 할수록 늪에 빠져드는 기분입니다...ㅜㅜ

    답글삭제
    답글
    1. 1. 비유전율과 비투자율은 서로 독립적인 성질입니다. 비유전율은 정적, 비투자율은 동적 특성이라서, 비유전율을 안다고 해서 비투자율을 결정할 수는 없습니다.

      2. 원론적으로 보면 비유전율과 전도도도 서로 관계가 없습니다. 이 경우도 전도도가 동적 특성이라 서로 다릅니다.
      - 유전율을 복소수로 간주하면 유전율의 허수부가 전도도와 관계된 양입니다. 인과성(causality)에 기반한 크라머스-크로니히 관계(Kramers-Kronig relation)에 잘 표현되어 있습니다.
      - 전자파 경우에도 유전율이 매우 큰 물질은 전도체로 근사할 수 있습니다.

      삭제
    2. 아 네 답변 감사드립니다~~

      삭제
  5. 한가지 어리석은 질문을 해도 될까요? 전송선로에서 전송도체간을 보통 유전체로 채우는데..유전율이 쿨경우 파장이 짧아지고 속도가 느려지는걸로 알고 있습니다..그런데 문득 든 생각이 파장이 짧아지고 속도가 느려지는데는 투자율도 가능한데 전송선로에 유전체 대신 자성체를 쓰지 않는 이유가 알고 싶어졋습니다..혹시 어리석은 질문일지라도ㅜㅜ 자성체를 대신 안쓰는 이유가 재질을 채우기가 어려워서인지 아니면 다른이유가 뭔지 잘 모르겟습니다..

    답글삭제
    답글
    1. 자석의 특성을 생각하시면 됩니다. 자성체는 철이 들어가기 때문에 무겁습니다. 잘못 다루면 자성체는 쉽게 깨어집니다.

      삭제
  6. 안녕하세요. 너무 궁금한게 많아서 죄송하네요ㅠㅠ

    질문은: 물질이 각기 다른 자성체를 보이는 이유가 무엇인지 궁금합니다.

    유전체의 경우 물체의 양전하의 인력에 정도에 분극의 정도가 결정이 되고 그래서 물체마다 유전율이 다르다고 생각했는데, 자성체의 경우 각각의 양성자를 돌고 있는 전자를 하나의 자기 쌍극자 형태로 생각하면 각각의 물체가 갖는 전자의 개수가 다르기 때문에 전자가 많으면 더 많은 자기 쌍극자가 존재하고 자화가 잘된다 이렇게 생각하는 것이 맞을까요?

    간략하게 말하면, 각각의 물체가 갖는 전하의 개수는 다르고 이에 따라 자기 쌍극자의 개수가 결정되며 많을 수록 자화가 잘되기 때문에 물체마다 각기 다른 자성체를 갖는다.

    항상 좋은답변 감사합니다. 모든 연재 꼼꼼히 정독하고 있습니다!



    답글삭제
    답글
    1. HYUN WOONG님, 강자성체 성질은 대부분 비선형이라서 이론화가 쉽지 않습니다. 말씀하신 단순 가정은 약한 반자성체 정도만 설명 가능합니다. 강자성체는 자기 영역(magnetic domain) 개념과 통계 역학을 도입해 설명하려 노력합니다.

      삭제
  7. 자성체는 자기쌍극자 모멘트의 집합으로 이루어져있습니다. 자기쌍극자모멘트는 자기장을 만들기 때문에 벡터자위를 이용해서 자화된 자성체에 의한 외부 자속밀도와 자기장을 구할 수 있습니다. 그런데 왜 자유전류와 같이 있을 때 자기장은 자유전류에 의한 자기장뿐이죠? 자성체의 자기장과 자유전류의 자기장이 더해져있어야하지 않나요? 그리고 외부자계가 인가될 때 자성체가 있을 때 자성체 내부에서만 뮤제로 뮤알 H가 성립하나요? 머리 속이 명쾌하게 이해가 가지 않습니다. 전파거북이님

    답글삭제
    답글
    1. 자기장($H$)과 자속 밀도($B$)를 구분한 이유가 물질 속의 자기장을 좀 더 쉽게 구하기 위한 것입니다. 식 (14)를 한 번 더 보세요.
      자성체 속에서만 $\bar B = \mu_0 \mu_r \bar H$이 됩니다. 진공 중에서는 당연 $\bar B = \mu_0 \bar H$이고요.

      삭제

욕설이나 스팸글은 삭제될 수 있습니다. [전파거북이]는 선플운동의 아름다운 인터넷을 지지합니다.