2011년 10월 4일 화요일

자성체의 비밀(Secret of Magnetic Material)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자성체"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 자기장
2. 자기 쌍극자 모멘트


자기장(magnetic field)의 특성을 정의할 때 주변에는 아무런 물질이 없는 진공상태를 가정하였다. 사실 이런 가정은 현실과는 매우 동떨어져 있다. 현실에 존재하는 [그림 1]과 같은 물질은 자기장 관점에서 어떻게 모형화하여야 하나?

[그림 1] 자성체의 모형화(출처: wikipedia.org)

전자기학에서는 [그림 1]처럼 모든 물질이 자화(磁化, magnetization)를 가진다고 가정한다. 이 가정은 당연하다. 물질은 양성자(陽性子, proton)와 전자(電子, electron)로 구성되어 있고 전자가 양성자 주위를 돌기 때문에 [그림 1]처럼 물질 내부에 매우 작은 자석이 있는 것처럼 가정할 수 있다. 물질 내부에 있는 매우 작은 자석은 미소 전류(infinitesimal current)로 모형화할 수 있다. 미소 전류의 특성은 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)로 정의한다. 하지만, 모든 물질이 자화 특성을 가진다는 가정은 양성자와 전자가 발견되기 이전에 나온 개념임을 기억하자. 잘 모르고 했지만 제대로 정의한 자화라는 개념은 당연히 실험 결과를 너무나 잘 설명했다. 거꾸로 보면 양성자와 전자의 존재성은 물질에 자기장을 걸어줌으로써 증명할 수도 있다. 이와 같이 자화를 일으키는 물질은 자성체(磁性體, magnetic material)라 한다. 자화는 전자들 각각이 일으키기 때문에 이산적(discrete)으로 접근해야 하지만 수학적으로 표현하기가 무척 어려우므로 연속 함수(continuous function)를 이용해 모형화한다.[∵ 적분(연속 함수)보다 덧셈(이산 함수)이 쉽기는 하지만 무한 급수를 생각하면 적분이 더 쉽다.] 그래서, 식 (1)의 전하 밀도(electric charge density) $\rho$ 개념을 기준으로 식 (2)의 자화 밀도(magnetization density) $\bar M$을 정의하자. 자화 밀도는 자화도(magnetization)로도 부른다.

                       (1)

                       (2)

여기서 $V$는 체적(volume), $N$은 물질 구성 요소의 전체 숫자, $q$와 $Q$는 전하(electric charge), $\bar m$은 자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)이다. 전하 밀도와 자화 밀도를 정의하기 위해서는 식 (1)과 (2)의 체적을 0으로 보내야 한다. 자화 밀도 정의인 식 (2)에서 조심할 부분은 식 (3)처럼 맥스웰 방정식을 대칭으로 만들기 위해 도입한 자류 밀도(magnetic current density)와는 다름을 기억해야 한다.

               (3: 패러데이의 법칙)

전자기학에서는 헷갈리게도 자화 밀도와 자류 밀도를 같은 문자인 $\bar M$으로 쓰기 때문에 읽을 때나 사용할 때 항상 조심해야 한다. 구별을 위해 자류 밀도를 $\bar M_s$, 자화 밀도를 $\bar M_m$이라 하면, 자화 밀도와 자류 밀도의 관계는 $\bar M_s = \mu_0 \partial \bar M_m / \partial t$가 된다.[∵ 식 (16)을 식 (3)에 넣고 전개하면 얻을 수 있다.]
식 (2)를 이용하면 식 (4)에 있는 하나의 자기 쌍극자 모멘트가 만드는 자기 벡터 포텐셜 $\bar A(\bar r)$을 식 (5)의 일반적인 물질에 대한 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)로 확장할 수 있다.

                       (4)

                       (5)

식 (5)를 이용해서 자성체의 성질을 탐구하기는 어려우므로 진공 중의 자기 벡터 포텐셜인 아래 식을 고려해보자.

                         (6)

다음으로 아래 벡터 항등식(vector identity)도 생각하자.

                         (7)

                         (8)

                         (9)

식 (7)–(9)를 식 (5)에 대입해 정리하면 자성체에 대해서도 식 (6)과 유사한 형태를 얻을 수 있다.

                  (10)

식 (10)의 마지막줄 증명에는 식 (11)에 있는 발산 정리(divergence theorem)를 이용하였다.

                         (11)

이와 같은 복잡한 과정을 따라온 이유는 식 (6)처럼 만들기 위해서다. 식 (6)과 (10)을 비교하면 새로운 전류 밀도(current density)를 정의할 수 있다.

                         (12)

여기서 $\bar J_{ms}'$는 표면 전류 밀도(surface current density)이며 $\bar J_m'$은 체적 전류 밀도(volume current density)이다. 그러면 자화를 일으키는 자기 쌍극자 모멘트를 마치 전류처럼 취급할 수 있다. 자화를 만드는 전류는 자화 전류(magnetization current) 혹은 구속 전류(bound current)라 하고 자유 전자가 흘러 생기는 전류는 자유 전류(free current)라 한다. 이 개념을 이용해서 자성체가 있는 경우의 자속 밀도를 구해보자. 먼저 진공 중의 자속 밀도는 아래와 같이 표현된다.

                         (13)

자성체가 있으면 자유 전류 밀도 $\bar J_f$와 자화 전류 밀도 $\bar J_m'$이 함께 있으므로 식 (13)을 아래처럼 바꾸어야 한다.

                         (14)

여기서 $\bar H$는 자기장(magnetic field)이다. 회전 연산자의 의미에 의하면 자기장의 원천은 자유 전류이다. 반면에 자속 밀도의 원천은 자유 전류 및 자화 전류와 관련된다. 만약 자유 전류는 없고 자화 전류만 있다면 $\bar H = 0$이 될까? 아니다. 식 (14)를 보자. 자기장의 회전이 0이지[∵ 자유 전류가 없으므로] 자기장이 0임은 아니다. 이 점은 주의해야 한다. 또한 식 (12)에 있던 표면 전류 밀도는 식 (14)의 체적 전류 밀도에 포함되어 있다고 생각해야 한다.[∵ 체적 전류 밀도의 특별한 경우가 표면 전류 밀도이다.] 예를 들면 어떤 면적 $s'$[오른손 법칙으로 정한 둘레 방향은 $c'$]에 존재하는 전체 자화 전류($I_\text{tot}$)를 다음처럼 생각하자.

                         (15)

여기서 $\hat a' = \hat n' \times \hat l'$, $\hat a'$는 면적 $s'$의 방향이며 $\hat n'$은 둘레를 구성하는 폐곡선 $c'$를 바깥으로 뚫고나가는 방향이다.[$\hat n'$는 $\hat a'$에 수직이다. 예를 들어 원기둥의 부피를 똑바로 자른 단면이 $s'$라면 $\hat n' = \hat \rho$, $\hat l' = \hat \phi$, $\hat a' = \hat z$가 된다.] 유전체 속의 전체 구속 전하($Q_\text{tot}$)처럼 자성체의 전체 자화 전류는 항상 0이다. 이는 물질의 자화 특성을 보여준다. 외부 자기장이 가해지지 않으면 물질은 자성이 없다.[물론 외부 자기장이 없어도 영구 자석은 자기장이 있다.] 자기장이 가해지면 자화하지만 원래 자화 전류는 없었기 때문에, 자기장에 의해 생성된 표면과 체적 자화 전류 밀도는 식 (15)처럼 서로 상쇄한다. 식 (14)의 마지막식은 자성체까지 적용될 수 있는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)의 일반형이다. 식 (14)에 의하면 자화 밀도를 알 경우 자성체가 있는 문제도 쉽게 해결할 수 있다. 그런데, 자화 밀도를 정확히 알기는 쉬운 문제가 아니다.[∵ 식 (2)에 의해 물질내에 있는 모든 자기 쌍극자 모멘트를 계산해서 벡터적으로 더해야 한다.] 그래서, 근사이기는 하지만 자화 밀도는 자기장과 선형 비례한다고 가정하자.

                         (16)

여기서 $\chi_m$는 자기 감수율(magnetic susceptibility)이며 $\mu_r$은 비투자율(relative permeability)이라 한다. 식 (16)의 둘째식은 자기장과 자속 밀도의 구성 관계식(constitutional relation)이라 부른다. 자성체 매질을 측정하는 관점에서 보면, 당연히 자기장과 자화 밀도의 관계는 식 (16)의 첫째식처럼 표현된다. 현재 매질의 투자율을 재려면 외부 도선에 전류를 흘려서 자기장을 만들어야 한다. 그 다음에 진공일 때와 매질이 있을 때의 자기력 혹은 자속 밀도[정확히는 인덕턴스(inductance)]를 재면 자화 밀도를 측정할 수 있기 때문에, 식 (16)처럼 정의함이 타당하다. 다만 강자성(强磁性, ferromagnetism)은 선형으로 표현되지 않고 복잡한 비선형 특성을 가지므로 식 (16)은 잘 맞지 않지만, 자기장을 이용해 자화 밀도를 표현한다는 기본 개념은 강자성에도 여전히 통한다.
자성체 내부에 생기는 자속 밀도도 식 (16)으로 계산할 수 있다. 왜냐하면 식 (10)의 자성체에 대한 자기 벡터 포텐셜 관계식은 자기 쌍극자 모멘트 근처[$R \approx 0$]에서는 맞지 않지만 주변에 워낙 많은 원자가 있기 때문에 $R = 0$에 있는 하나의 자기 쌍극자 모멘트에 의한 기여는 무시할 수 있다고 가정한다.[혹은 식 (10)에서 체적을 0으로 가져가면 체적 적분도 0으로 간다.]
우리가 사용하는 MKS(meter–kilogram–second) 단위에 쓰는 자기장 $\bar H$의 표준 단위는 A/m, 자속 밀도 $\bar B$의 표준 단위는 T[테슬라, tesla]이다. 예전에 쓰던 혹은 CGS(centimeter–gram–second) 단위로 표현한 자기장의 단위는 Oe[외르스테드, oersted], 자속 밀도의 예전 단위는 Gs[가우스, gauss]이다. 자기장에 대한 MKS와 CGS 단위는 다음처럼 변환할 수 있다.

                         (17)

식 (17)에 있는 1 Gs가 만분의 1 T인 이유는 지구 자기장(earth's magnetic field or geomagnetic field)과 관계 있다. 지구 자기장은 지역마다 차이가 나지만 대략 1 Gs 정도[정확히는 0.25~0.65 Gs]이다. 그런데 수학자인 가우스Carl Friedrich Gauss(1777–1855) 이름이 왜 지구 자기장과 관계된 단위인 Gs에 쓰일까? 가우스는 수학자이기도 하지만 천문학자 겸 물리학자이다.[예전에는 수학만으로 밥벌이하기가 무척 어려웠다.] 가우스는 동료 교수인 베버Wilhelm Eduard Weber(1804–1891)와 함께 1831년가우스 54세, 조선 순조 시절부터 유럽을 돌아다니면서 지구 자기장을 측정하고 연구했다[2]. 가우스와 베버는 지구 자기장에 대해 놀라운 통찰력이 있었다. 바로 지구 자기장은 N극과 S극, 딱 두 곳만 있다는 믿음이다. 지구 자기장에 대한 놀라운 통찰[Gauss' new theory of geomagnetism]을 실험적으로 검증하면서 드디어 1839년에 새로운 지자기 이론을 완성했다. 이후 1840년에 가우스의 지자기 이론을 출판해서 학계에 널리 알렸다. 이 중에서 가장 중요한 과학적 결과가 지금도 쓰고 있는 지자기를 이용한 위치 측량이다[2]. 또한 CGS 단위는 1832년가우스 55세, 조선 순조 시절에 가우스가 제안한 길이, 질량, 시간에 대한 절대 단위에 기반을 두고 있어서 가우스 단위(Gaussian units)라고도 한다.

[참고문헌]
[1] H. Föll, Fields, Fluxes and PermeabilityElectronic Materials, University of Kiel.
[2] K. Reich and E. Roussanova, Gauss’ and Weber’s “Atlas of Geomagnetism” (1840) Was not the First: the History of the Geomagnetic Atlases, Handbook of Geomathematics, Berlin, Heidelberg: Springer, Sep. 2014.

댓글 40개 :

  1. 적분보다 덧셈이 쉽기는 하지만
    으로 수정해야되지않나요? 본문에서요

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  2. 오타 지적, 정말 감사합니다, 가딘님. ^^ 수정했습니다.

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  3. 전파거북님의 좋은 글들 읽는것이 정말 즐겁습니다.
    다만 H에 관해 설명이 좀더 필요한것 같아 제 생각을 아래에 적어 보았습니다.
    제가 가진의 생각의 틀을 깨는 것이 어려워서 같이 논의하며 생각을 더 발전시켰으면 합니다.
    전파거북님의 조언을 부탁합니다.

    위 글에서 자유전류밀도가 없어도 H=0 이 아닐수 있다고 하는데 그렇다면 자유전류밀도뿐만 아니라 H를 만드는 다른 근원이 있어야 하는 것 아닌가요?

    Vector field H를 완전히 알기 위해서는 역시 curl과 div 모두 알아야 합니다.
    H의 또다른 근원은 div H에 숨겨져 있습니다.
    1. H=B/mu0 - M 에서 양변에 curl 을 취하면 curl H= curl (B/mu0)- curl M= 자유전류밀도+속박전류밀도)- 속박전류밀도 = 자유전류밀도.
    2. H=B/mu0 - M 에서 양변에 div 취하면 div H = div (B/mu0)- div M = -div M.
    H 가 B 와 다른점은 curl B =(자유전류밀도+속박전류밀도), div B=0, 이며, curl H= 자유전류밀도, div H = -div M 입니다. 그래서 자유전류밀도가 0일때도, div H가 0 이 아닐때 H 가 0 이 아닌값을 가집니다. 이 성질을 이용하면 H를 E와 완전히 같도록 만들수 있습니다. 정자계에서 자유전류밀도가 없는 경우 - div (mu0 M) 을 마치 magnetic monopole인 것처럼 생각하면 H는 전계 E와 수학적으로 완전히 같아져서 magnetic scalar potential 을 만들어 줄수 있습니다. 정전계에서 [-div P= 체적전하밀도] 인것과 수학적으로 대응됩니다. 물론 H를 그려보면 모양이 E와 완전히 일치합니다.
    curl H는 자유전류밀도만 포함하고 있어, 자유전류밀도만 알면 H 의 값이 알수 있을 것 같지만 자화벡터 M의 발산을 반드시 알아야 합니다. 그래서 H의 근원은 자유전류밀도와 자화벡터의 발산입니다.

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    1. 환영합니다, Eugene님. ^^

      1. 자유 전류 밀도가 0이어도 H가 존재한다는 것은 회전 연산자 특성 때문입니다. H가 어떤 스칼라 함수(or 자기 스칼라 포텐셜)의 구배이면 당연히 H가 존재하더라도 H의 회전은 0입니다.

      2. 자기장을 만드는 것은 명확히 자유 전류 밀도입니다. 이게 식 (14)처럼 자기장을 정의한 이유입니다.

      3. D, E 관계를 구하는 것처럼 B, H는 자기장의 회전, 자속 밀도의 발산, 관련된 구성 관계식으로 명확히 정의하고 구합니다. 다른 군더더기를 붙이면 (유일성 때문에 답은 같겠지만) 문제가 필요 이상으로 복잡해질 수 있습니다.

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    2. 답변감사합니다.
      제질문은 다음과 같습니다.
      자유전류밀도는 자기장 H를 만듭니다. 이것은 참인 명제입니다. 그러면 그 역 명제도 참인가요?
      즉 자기장 H는 자유전류밀도에 의해서만 만들어 지는가?
      이것은 참이 아닙니다. 그 반례가 자유전류밀도가 0 일때도 자기장 H 가 0이 아니기 때문입니다. 그러면 자유전류밀도 이외의 어떤 근원이 자기장 H를 만들까요?
      1. 그 이유가 회전연산자 특성때문이라고 하셨는데 의미가 다소 불분명합니다. 회전연산자의 어떤 특성때문인지 정확히 설명해주시겠어요? 수식으로 설명해 주시면 더 좋고요. : )
      2. 식(14) (curl H = 자유전류밀도) 만으로는 H를 완전히 정의할 수 없습니다. div H 의 값도 정해 주어야 합니다. div H의 값은 H=B/mu0 - M 에서 -div M 임을 알수 있습니다. 그래서 속박전류밀도에 의한 자화 벡터 M을 알아야지만 H를 완전히 구할수 있기 때문에 -div M 이 H를 만들어 내는 두번째 근원입니다. 이건 magnetic monople이라고 물리적 의미를 줄 수 있습니다. 그런데 magnetic monople은 존재 하지 않으므로 어디선가는 맞지 않는 부분이 나타납니다. 물질 밖에서 H는 B와 모양이 일치하며 B나 H 둘다 올바른 전기장을 나타냅니다. 그러나 물질 내부에서는 H는 B와 달라집니다. 그래서 H보다는 B를 전기장으로 사용합니다.

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    3. 질문하신 부분은 헬름홀츠 정리에 해당합니다. 맥스웰 방정식에서는 자기장의 회전과 자속 밀도의 발산을 통해 헬름홀츠 정리를 만족시킵니다.
      예를 들어, 자기장의 회전을 자유 전류 밀도로 정한다는 것은 자기장의 접선 성분을 정하는 것입니다. 아래 내용 참고하세요.

      "헬름홀츠 정리는 일견 복잡해보이지만 벡터로 생각하면 단순하다. 경계 조건 관점에서 벡터의 회전을 정의하는 것은 벡터의 접선 경계 조건을 정해주는 것이다. 마찬가지로 벡터의 발산을 정하면 벡터의 법선 경계 조건이 확정된다. 따라서, 벡터의 회전과 발산을 정의한 것은 벡터의 접선과 법선, 즉 모든 벡터 성분을 결정한 것이 되어 벡터 함수가 유일해진다."
      http://ghebook.blogspot.kr/2010/08/helmholtz-theorem.html

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  4. 질문 좀 드릴게요
    물질의 특성을 결정하는 상수들간에 어떤 관계가 있는것인지 독립적인것인지 궁금합니다.

    1.유전율 도전율 투자율은 서로 관계가 없는 값들인가요?

    2. 그렇다면 만약 어떤 물체에 대해 비유전율이 주어지고, 비전도체 라는 사실만 알려져
    있을때 이 물질의 투자율에 대해서는 '알수없다' 라고 말하는 것이 옳은 건가요?

    전자기학은 정말 공부를 하면 할수록 늪에 빠져드는 기분입니다...ㅜㅜ

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    1. 1. 비유전율과 비투자율은 서로 독립적인 성질입니다. 비유전율은 정적, 비투자율은 동적 특성이라서, 비유전율을 안다고 해서 비투자율을 결정할 수는 없습니다.

      2. 원론적으로 보면 비유전율과 전도도도 서로 관계가 없습니다. 이 경우도 전도도가 동적 특성이라 서로 다릅니다.
      - 유전율을 복소수로 간주하면 유전율의 허수부가 전도도와 관계된 양입니다. 인과성(causality)에 기반한 크라머스-크로니히 관계(Kramers-Kronig relation)에 잘 표현되어 있습니다.
      - 전자파 경우에도 유전율이 매우 큰 물질은 전도체로 근사할 수 있습니다.

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    2. 아 네 답변 감사드립니다~~

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  5. 한가지 어리석은 질문을 해도 될까요? 전송선로에서 전송도체간을 보통 유전체로 채우는데..유전율이 쿨경우 파장이 짧아지고 속도가 느려지는걸로 알고 있습니다..그런데 문득 든 생각이 파장이 짧아지고 속도가 느려지는데는 투자율도 가능한데 전송선로에 유전체 대신 자성체를 쓰지 않는 이유가 알고 싶어졋습니다..혹시 어리석은 질문일지라도ㅜㅜ 자성체를 대신 안쓰는 이유가 재질을 채우기가 어려워서인지 아니면 다른이유가 뭔지 잘 모르겟습니다..

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    1. 자석의 특성을 생각하시면 됩니다. 자성체는 철이 들어가기 때문에 무겁습니다. 잘못 다루면 자성체는 쉽게 깨어집니다.

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  6. 안녕하세요. 너무 궁금한게 많아서 죄송하네요ㅠㅠ

    질문은: 물질이 각기 다른 자성체를 보이는 이유가 무엇인지 궁금합니다.

    유전체의 경우 물체의 양전하의 인력에 정도에 분극의 정도가 결정이 되고 그래서 물체마다 유전율이 다르다고 생각했는데, 자성체의 경우 각각의 양성자를 돌고 있는 전자를 하나의 자기 쌍극자 형태로 생각하면 각각의 물체가 갖는 전자의 개수가 다르기 때문에 전자가 많으면 더 많은 자기 쌍극자가 존재하고 자화가 잘된다 이렇게 생각하는 것이 맞을까요?

    간략하게 말하면, 각각의 물체가 갖는 전하의 개수는 다르고 이에 따라 자기 쌍극자의 개수가 결정되며 많을 수록 자화가 잘되기 때문에 물체마다 각기 다른 자성체를 갖는다.

    항상 좋은답변 감사합니다. 모든 연재 꼼꼼히 정독하고 있습니다!



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    1. HYUN WOONG님, 강자성체 성질은 대부분 비선형이라서 이론화가 쉽지 않습니다. 말씀하신 단순 가정은 약한 반자성체 정도만 설명 가능합니다. 강자성체는 자기 영역(magnetic domain) 개념과 통계 역학을 도입해 설명하려 노력합니다.

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  7. 자성체는 자기쌍극자 모멘트의 집합으로 이루어져있습니다. 자기쌍극자모멘트는 자기장을 만들기 때문에 벡터자위를 이용해서 자화된 자성체에 의한 외부 자속밀도와 자기장을 구할 수 있습니다. 그런데 왜 자유전류와 같이 있을 때 자기장은 자유전류에 의한 자기장뿐이죠? 자성체의 자기장과 자유전류의 자기장이 더해져있어야하지 않나요? 그리고 외부자계가 인가될 때 자성체가 있을 때 자성체 내부에서만 뮤제로 뮤알 H가 성립하나요? 머리 속이 명쾌하게 이해가 가지 않습니다. 전파거북이님

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    1. 자기장($H$)과 자속 밀도($B$)를 구분한 이유가 물질 속의 자기장을 좀 더 쉽게 구하기 위한 것입니다. 식 (14)를 한 번 더 보세요.
      자성체 속에서만 $\bar B = \mu_0 \mu_r \bar H$이 됩니다. 진공 중에서는 당연 $\bar B = \mu_0 \bar H$이고요.

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  8. 안녕하세요 항상 잘보고 있습니다만 질문은 이번에 처음하게됩니다. 이글에다 올려야할 질문같아 말씀드립니다. 자성체에서 속박전류밀도가 부피와 표면으로 나뉘는데, 어떤 경우에는 부피속박전류밀도를 자성체 전체 부피로 곱해주고, 표면속박전류밀도를 자성체표면의 넓이와 곱해준 것의 총합, 즉 속박전류밀도들에 의한 효과들이 총전류밀도가 0인경우가 있는 반면, 어떤경우는 자화가 고르게 분포되어있어서 부피속박전류밀도는 0이고 표면속박전류는 여전히 남아 있는 경우가 있더라고요. 어떤경우에 자성체의 속박전류밀도의 총효과가 0이거나 혹은 그렇지않거나를 판단할 기준이 있는지요?? 아니면 그냥 주어진 상황과 자화밀도함수에의해서 그때그때 판단할수밖에 없는지요??

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    1. 혹시 방금 든 생각인데, 총속박전류들에 의한 효과가 0인경우는 상자성체처럼 외부자기장이 걸려서 자화되었다 멈추면 총속박전류가 다시 0이되고, 강자성체처럼 외부자기장이 걸렸다멈추면 자화된게 남아있어서 총속박전류가 0이 아니게되는, 즉 총속박전류효과가 0인지 아닌지를 판단하는 기준이 자성체의 종류에의한 것인지 다른 기준이 있는것인지 궁금하네요. 제의견이 맞는지 검토해주시고 아니라면 선생님의 고견을 부탁드립니다!!

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    2. 여기서 공식화한 자성체는 식 (16)을 만족한다고 가정하고 있어요. 강자성(ferromagnetism) 혹은 준강자성(ferrimagnetism)는 통계 역학이 들어가야 해서 여기 있는 이론으로는 설명할 수 없어요. 또한 표면과 체적 자화 전류 밀도는 서로 다르지 않고, 식 (15)처럼 서로 상쇄하는 관계예요.

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    3. 죄송합니다 일이있어서 확인이 늦었네요 감사합니다!! 찬찬히 읽어보고 말씀하신거 다시 생각해보겠습니다 :-)

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  9. 항상 글 잘 보고있습니다. 다름이 아니라 자기장에 의해 생성된 체적 전류밀도와 표면 전류밀도가 서로 상쇄된다는 말은 자기장에 의해 표면 전류밀도가 생성되면, 그에 반하여 마치 작용 반작용처럼 표면 전류밀도를 상쇄하는 쪽으로 체적 전류밀도가 생성된다고 생각할 수 있을까요? 그렇다면 자기장에의해 표면 전류밀도와 체적전류밀도가 항상 생기니까 자화에 의한 전류는 고려하지 않아도 되는게 아닌지.. 식으로 이해하려니 힘드네요

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    1. 식 (15)는 전체(global) 자기장 전류를 계산해본 거예요. 국소(local)적으로 보면 당연히 자화 전류가 존재합니다.

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    2. 정말 실례지만, 자화 체적전류밀도와 자화 면전류밀도가 서로 상쇄한다는 말을 좀 더 자세히 알 수 있을까요??

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    3. 전체 영역에서 보면 그렇다는 뜻이고, 그 증명이 식 (15)입니다.

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  10. 윗글 작성자입니다! 식에서 " 여기서 n^′은 둘레 방향 c′를 뚫고나가는 방향을 가르키며, a^′는 면적 s′의 방향이며 " 이 부분이 이해가 안갑니다. 면적 s' 를 이루는 둘레가 c' 이니까 둘레 방향 c′를 뚫고나가는 방향벡터 n^ 와 면적 s'의 방향벡터 a^' 는 같지 않나요?

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    1. Unknown님, 말씀하신 두 벡터는 수직이어야 합니다. 글로 설명한 부분이 애매해서 본문에 내용을 더 추가했어요.

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    2. 이해가 됩니다. 감사합니다 항상 잘 보고있어요 !!

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  11. 혹시 자화밀도 M이 왜 B가 아닌 H와 선형비례 한다고 가정했는지 여쭤봐도 될까요? 분극밀도는 E에 비례한다고 가정해서 D를 도출해냈는데, 그냥 대칭적으로 생각해보면 분극밀도 P가 E에 비래했듯이, M도 B에 비례하는 게 더 대칭적으로 보이는데 왜 그런지 알려주시면 감사드리겠습니다!

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    1. 좋은 질문입니다, 익명님 ^^ 식 (16)에 아래에 관련 내용을 추가했어요.

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    2. 감사합니다. 혹시 하나만 더 여쭤봐도 될까요?

      경계면이 있고 양쪽 매질의 도전율이 유한한 값일 때, 전류는 체적전류밀도로 결정되고 표면자유전류밀도는 경계면에서 존재하지 않는다고 하는데, 이게 어떤 의미인지 궁금합니다. 완전도체이거나 초전도체일 때만 불연속이라고 하는데, 대체 어째서일까요..

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    3. 전파거북이님. 나름대로 생각해봤는데, steady state일 경우에 도전율이 유한한 값이고 전압원이 없다면 초전도체거나 완전도체가 아닌 이상 전류가 죽어버리기 때문이라고 생각했는데 이게 맞을까요?

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    4. 익명님, 질문이 잘 이해되지 않네요 ㅠㅠ
      표면 자유 전류 밀도는 존재할 수 있어요. 경계 조건을 적용할 때는 전기장과 자기장의 접선 성분만 적용하면 됩니다. 또한 전류에 대한 경계 조건은 반드시 자기장과 연결되어야 합니다.

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    5. 감사합니다. 이게 Cheng에서 나온 설명인데 뭔가 두루뭉실하게 세 문장으로 설명하고 넘어가서 너무 헷갈리더라구요;;


      "a_n2 X (H_1-H_2) = J_s 가 접선방향 경계조건인데 경계면을 따라 표면전류가 있다면 H의 접선 성분은 불연속이다."

      "양쪽 매질의 도전율이 유한한 값일 때 전류는 체적전류밀도에 의해 정의되고, 표면자유전류는 경계면에서 존재하지 않는다,"

      "따라서 J_s는 0이 되고, H의 접선성분은 거의 모든 물리적 매질의 경계면을 가로질러 연속이다. 이상적인 완전도체나 초전도체를 갖는 경계면을 가정할 때만 불연속이다."


      이게 정자기장 경계조건 파트에서 나온 설명이라, steady state일 때의 경계조건 이야기인 것 같거든요. 만약 매질 내에 전류가 존재한다면 두 매질 1,2에 각각 유한한 sigma_1, sigma_2가 있을테고 거기에 비례해서 H와 경계면에 직교하는 체적전류밀도가 각각 흐를 거라고 생각헀습니다.근데 이게 steady state (time invariant)이니까 결국 도전률에 따라서 전류는 열에너지로 감쇄 되어 사라진다고 생각했거든요. 만약 적어도 한 매질이 완전도체나 초전도체면 저항이 없으니까 표면에서 전류가 흐를 수 있구요.

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    6. 다시 생각해봤는데 대체 왜 J_s가 0이 되어야 한다고 했는지 아직까지 이해가 잘 가지 않네요. Cheng의 다른 예제를 보면, 자화밀도 M이 매질 내에서 균일하다면, bound current는 내부에서 서로 모두 상쇄되고, 표면전류밀도 J_ms = M X a_n이므로 0이 아니게 되는데 이 경우에는 경계면에서 항상 J_ms가 있습니다.


      텍스트북이 잘못 썼을 리는 없고 제가 어디서 뭔가를 잘 이해 못하고 있는 것 같은데 어느 부분에서 헷갈린 건지 아직 감이 안 오네요 ㅠㅠ

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    7. 1. 자기장의 접선 성분에 대한 경계 조건은 정자장과 전자파 모두 경우에 적용할 수 있어요.
      - 자기장의 접선 성분은 완전 도체든 초전도체든 항상 성립합니다.
      - 전도도를 가정하면 정자장이 아니고 전자파 조건입니다. 정자장에는 전도도란 개념이 없어요.
      - 문장 하나를 고민하기보다는 경계 조건이란 전체 개념을 보시는 방식도 있어요. 교재 번역이 부족할 수도 있어요.

      2. 자기장의 경계 조건이므로 자화 밀도까지 가면 안 됩니다. 자화 밀도에 대한 조건은 자속 밀도의 경계 조건입니다. 자기장과 자속 밀도의 경계 조건은 반드시 구별해야 합니다.

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    8. 감사합니다. 전역하고 나서 보니까 모든 게 다 헷갈리네요..
      혹시 하나만 더 여쭤봐도 될까요ㅠ? 정자기장 파트인데 매질까지 들어가니까 알 것 같으면서도 자꾸 헷갈립니다ㅠ.

      원통형 막대자석에 관한 문제인데,

      1. 표면전류밀도가 J_ms = M_0 이고 phi 방향으로 흐른다고 가정했습니다.
      2. 이 때 원형자석이 z축 상에 놓여 있다고 가정할 때
      3. z축의 B성분이 자기장 접선성분 경계조건 a_n2 X (H_1-H_2) = J_s에 의해 mu_0 * M_0에 해당하는 양만큼 바뀐다고 합니다.
      4. 이 때 두 매질은 원통형 막대자석과 외부 자유공간으로 구성되어 있습니다.

      이게 계속 고민해도 헷갈립니다.

      (1) 같은 매질 내부에서 z축상 위에서 mu_0*M_0 만큼 변한다는 건지(vertical)
      (2) 아니면 그 z축선상의 z점에 있는 B성분이 외부자기장에 대하여 mu_0*M_0 만큼 차이가 난다는 건지(horizontal)
      (3) 그리고 (2)의 경우라면 B_1t = mu_0*H_1t = mu_0*M_0 + mu_0*H_2,t 인데 mu_0*H_2,t = B_1t 일 때만 식이 성립하는데 매질이 다르므로 말이 안 되는 것 같거든요.

      하;;; 경계서다가 공부하려니까 너무 힘드네요 ㅠ

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    9. 경계 조건 적용은 명확합니다. 자기장(H)은 접선 성분을 적용하고 자속 밀도(B)는 법선 성분에 적용해야 합니다.
      질문에 있는 내용은 봐도 잘 모르겠어요. 자기장은 B가 아니고 H로 쓰고 H라면 구속 전류 밀도는 관계없고 오직 자유 전류 밀도만 고려해야 합니다.

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    10. 감사합니다 전파거북이님! 코로나바이러스가 한창인데 몸 조심하시고 정말 감사드립니다!

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  12. 혹시 유전체/자성체 경계면애서의 표면전류밀도를 구하는 방법을 알 수 있을까요??

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    1. 코로나 조심..님, 전자기장 문제는 경계 조건을 정해서 풀면 풀려요. 다만 대부분 적분 방정식이 나오기 때문에, 풀 때 주로 수치 해석을 많이 사용해요.

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    2. 문제가 보통 자성체/자성체이거나 유전체/유전체 경계면인 경우를 풀어서....잘 모르겠습니다..
      그래도 답변 감사합니다!!

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