2011년 9월 19일 월요일

전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전기 쌍극자 모멘트"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 전기장
2. 전압


전기장(electric field)의 관계식을 유도할 때는 단 하나의 전하(electric charge)만을 고려했다. [그림 1]처럼 두 개의 서로 다른 전하를 고려하면 어떻게 될까?

[그림 1] 전기 쌍극자

[그림 1]의 전하 분포는 매우 중요하다. 왜냐하면 일반적인 물질에 전기장을 가하면 [그림 1]과 같이 전하들이 서로 분리되기 때문이다. (∵ 전기장이 가해지면 (+) 전하는 (-)쪽으로, (-) 전하는 (+)쪽으로 움직이기 때문이다.) 전기장에 의해 전하들이 분리되는 현상은 분극(分極, polarization)이라 한다.
식 (1)에 있는 전압(voltage)의 정의를 이용해 [그림 1]의 전기 쌍극자(electric dipole) 특성을 식 (2)와 같이 계산해 보자.

                           (1)

                           (2)

관측점(observation point) $r$이 매우 멀리 있다고 하면($r \gg d$) 식 (2)를 아래처럼 근사화할 수 있다.

                         (3)

여기서 $\theta$는 [그림 2]에 제시한 극고도각(極高度角, polar angle: $\theta$는 꼭대기부터 시작해 내려오기 때문에 일반 고도각과는 정의가 약간 다름)이며 벡터 $\bar d$는 변위 벡터(displacement vector)이다.


[그림 2] 구좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

[그림 1]에서 변위 벡터의 정의를 보면 특이하다. [그림 3]처럼 (-) 전하에서 (+) 전하로 가는 방향이 벡터 $\bar d$의 기준 방향이 된다. 이것은 전기장의 방향과는 반대이다. (∵ 전기장은 (+) 전하에서 나와 (-) 전하로 들어간다.) 이렇게 전기 쌍극자 모멘트의 기준방향을 전기장과 반대로 정하면 유전체(dielectric)의 성질을 표현할 때 매우 편리해진다.

[그림 3] 전기 쌍극자 모멘트의 방향(출처: wikipedia.org)

식 (3)에 있는 벡터 $\bar p$가 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)이다. 모멘트(moment)라는 것은 어떤 것이 변하는 경향을 뜻한다. 식 (3)에서는 전기 쌍극자가 변하는 경향을 나타내는 지표로 모멘트를 사용하였다. 조금 더 전문적으로 설명하면 모멘트는 어떤 형태나 특성을 표현하는 핵심 측정량(measure)을 뜻한다. 물리학에서는 주로 수직한 길이를 모멘트라 하지만 반드시 이럴 필요는 없다. 식 (3)에서는 길이와 더불어 전하량까지 곱한 값을 모멘트로 정의했다.
식 (3)에 구배 연산자(gradient operator)를 적용해서 전기장을 계산하자.

                       (4)

                       (5)

그런데, 식 (5)가 성립하는 영역은 $r \gg d$이므로 전기 쌍극자가 있는 곳($r \approx d$)과는 거리가 매우 먼 곳이다.

[그림 4] 전기 쌍극자가 만드는 전기장(출처: wikipedia.org)

전기 쌍극자 가까이에서는 식 (5)가 맞지 않으므로 $d \gg r$이라 가정하고 식 (3)의 방법론을 적용해보자.

                       (6)

식 (6)에 구배 연산자를 적용하면 전기 쌍극자 가까이의 전기장을 구할 수 있다.

                       (7)

만약 $d$가 매우 작아지면 어떻게 되는가? 편하게 계산하기 위해 전기 쌍극자 모멘트 $\bar p$는 $d$에 관계없이 일정하고 $d$만 작아진다고 가정하자. 그러면 다음 극한이 성립한다.

                       (8)

3차원 디랙 델타 함수(Dirac delta function) $\delta (\bar r)$는 아래처럼 정의한다. 식 (8) 유도를 위해 반지름이 $d/2$인 구의 부피가 0으로 간다고 가정했다.

                          (9)

[참고문헌]
[1] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, 3rd ed., 1999.

[다음 읽을거리]
1. 유전체의 비밀
2. 자기 쌍극자 모멘트

댓글 12개 :

  1. R+ 와 R- 에 대한 식이 처음에 이해가 안됐습니다. 전자기학책을 펼쳐보니, r>>d 면 R+, R-, r 이 평행이 된다고 가정할 수가 있는거네요. 그래서 R+ 는 r 보다 d/2*cos(theta) 만큼 작고, R-는 r보다 d/2*cos(theta) 만큼 크다고 표현할 수 있네요. 혹시 이해안되신 분들은 참고 되시길 바랍니다.

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    1. 조언 감사합니다, 해리님. ^^

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    2. 아닙니다. 너무 기초적인 내용이라 다들 이해하실 것 같습니다만, 혹시나 해서 남겼습니다. ^^

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  2. 저.. 식4번에서 5번으로 넘어가는 과정에서 -cosθ(r)+sinθ(θ)가 어떻게 단위벡터 z가 되는지 알수 있을까요?

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    1. 구 좌표계의 단위 벡터 변환을 보면 됩니다. 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2011/07/spherical-coordinate-system.html

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  3. 블로그 항상 잘보고있습니다. 혹시 dipole 말고 multipoles는 포스팅하실 계획없으신가요? 광학공부하고있는 학생인데 되게 도움많이될것같아서요. 혹은 도서추천도 좋은데 혹시 가능하신가요 ㅠㅠ

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    1. 시간될 때 다중극(multipole)에 대한 내용도 써볼게요. ^^
      본문에 참고문헌도 추가했습니다.

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    2. 지금 jackson책으로 하고있긴한 데 이해하고있는 게 올바르게 이해한건지 판단하기가 힘들었는 데 ㅠㅠ 감사합니다!

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  4. r>>d라서 R+에서 R-d/2*cos(theta)라 하셨는데 식을 어떻게 표현해봐도 d/2*cos(theta)라는 식이 나오질 않네요.. 혹시 알 수 있을까요?

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    1. 아래 링크에 있는 식 (3)과 유사합니다. 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2012/04/smallest-antenna-hertzian-dipole.html

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  5. 전파거북이님이 쓰신 글들 덕분에 도움많이 받고있습니다.
    저 한가지 궁금한점이 있는데 쌍극자 모멘트 p를 그림1 에서의 벡터로 표현하면 p의 크기가 d가 될것 같은데.... 분명 쌍극자 모멘트는 Q와 d의 곱이지만 저 벡터는 Q와 관련없고 d와만 관련되어 보입니다.
    제가 어디를 잘못 생각하고 있는지 알려주시면 감사하겠습니다.

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    1. 전기 쌍극자 모멘트는 정의라고 생각해야 합니다. 이렇게 정의한 이유가 식 (3)에 있고요.

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