2011년 10월 3일 월요일

자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자기 쌍극자 모멘트"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 자기장
2. 전기 쌍극자 모멘트


[그림 1] 자기 쌍극자

전체(誘電體, dielectric)의 성질을 설명하기 위해 분극(分極, polarization) 개념을 이용하는 것처럼 자성체(磁性體, magnetic material)를 정의하기 위해 자화(磁化, magnetiziation)를 이용한다. 즉, 자성체라는 것은 자화를 만들 수 있는 물질이라고 정의한다.

[그림 2] 자기 쌍극자가 만드는 자기장(출처: wikipedia.org)

자기장(magnetic field)은 전기장(electric field)과는 다르게 자하(磁荷, magnetic charge)가 없기 때문에 독특한 성질을 가진다. 따라서, 자성체도 유전체와는 다르게 정의한다. [그림 1]에 있는 것처럼 자기 쌍극자(magnetic dipole)를 정의하기 위해 N극과 S극을 가진 자하를 가정하지 않고 미소 전류(infinitesimal current)가 [그림 2]와 같은 자기 쌍극자 자기장을 만든다고 생각한다. 즉, 자성체가 자기를 띠는 이유는 물질 내부에 [그림 1]과 같은 미소 전류가 많기 때문이다.
[그림 1]과 같이 자기 쌍극자를 정의하는 것은 상상이었지만 물질 내부의 특성을 매우 잘 설명한다. [그림 1]과 같은 개념을 발명한 사람은 우리가 잘 아는 암페어(André-Marie Ampère)이다. 암페어는 미소 전류를 이용해 자성체의 특성을 명쾌하게 설명했다. 암페어의 천재성을 볼 수 있는 것은 전자(電子, electron)와 양성자(陽性子, proton)가 발견되기 훨씬 이전에 이런 설명을 한 것이다.
그러면, 식 (1)의 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential) 정의를 이용해 [그림 1]의 미소 전류가 만드는 자기장을 계산해보자.

                         (1)

관측점(observation point) $r$이 미소 전류가 있는 $(x', y', 0)$보다 멀리 떨어져 있다고 가정하면 자기 벡터 포텐셜을 아래로 근사화할 수 있다.

        (2)

여기서 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$이며, $\sqrt{1+x}$, $1/(1+x)$ 형태 함수를 근사화하기 위해 테일러 급수(Taylor series) 전개를 이용하여 $1/R$을 간략히 하였다. 또한, 식 (2) 계산에는 [그림 3]과 같은 구 좌표계(spherical coordinate system)를 사용하였다. 즉, $x = r \cos \phi$, $y = r \sin \phi$, $x' = a \cos \phi'$, $y' = a \sin \phi'$를 근사화된 $1/R$ 식에 대입하면, 식 (2)의 마지막 식이 얻어진다. ($\oint_0^{2 \pi} 1/r ~d \phi' \hat \phi' =0$인 것을 기억하자.)

[그림 3] 구 좌표계의 표현(출처: wikipedia.org)

식 (2)를 선적분하기 위해서는 식 (3)처럼 단위 벡터(unit vector) $\hat \phi$를 데카르트 좌표계(Cartesian coordinate system) 단위 벡터 $\hat x$, $\hat y$로 바꾸어야 한다. (∵ 단위 벡터 $\hat \phi$는 위치에 따라 계속 방향이 변하기 때문에 적분에 대해 상수가 아니다.)

                       (3)

식 (3)을 식 (2)에 대입해 적분하면 아래와 같다.

                       (4)

식 (4)에 등장하는 전류와 면적의 곱자기 쌍극자 모멘트(magnetic dipole moment)로 정의한다. 모멘트(moment)라는 것은 어떤 것이 변하는 경향을 뜻한다. 식 (4)에서는 자기 쌍극자가 변하는 경향을 나타내는 지표로 모멘트를 사용하였다. 조금 전문적으로 말하면 모멘트는 어떤 형태나 특성을 표현하는 핵심 측정량(measure)을 뜻한다. 물리학에서는 주로 수직한 길이를 모멘트라 하지만 반드시 이럴 필요는 없다. 식 (4)에서는  전류와 면적의 곱을 모멘트라 정의했다.

                       (5)

자기 쌍극자 모멘트가 들어있는 식 (5)는 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)가 들어있는 식 (6)과 매우 유사하다.

                         (6)

다음으로 식 (1)을 이용해 자속밀도(magnetic flux density)를 계산해보자.

            (7)

식 (5)를 식 (7)에 대입하면 자기 쌍극자가 만드는 자속밀도를 얻을 수 있다.

                       (8)

식 (8)은 전기 쌍극자가 만드는 전기장과 동일한 형태를 가진다.

                       (9)

식 (8)과 (9)의 결과는 놀랍도록 서로 닮아있다. 전기 쌍극자와 자기 쌍극자에서 출발한 식들이 서로 같은 것은 [그림 1]의 미소 전류가 자기 쌍극자 역할을 분명히 한다는 것을 보여준다.
[그림 4] 원의 면적 정의(출처: wikipedia.org)

식 (5)의 자기 쌍극자 모멘트는 [그림 1]처럼 (circle)에 대해서만 정의되어 있으므로 이를 확장할 필요가 있다. [그림 4]처럼 원의 면적 정의(= 삼각형을 무수히 모으면 원의 면적이 됨)를 이용해 자기 쌍극자 모멘트 $\bar m$을 일반화하자.

                       (10)

식 (10)에 있는 1/2는 삼각형 면적 때문에 도입된 것이다. 식 (10)에 있는 벡터 $\bar r$과 $d \bar r$은 같은 평면에 있다고 가정하고 원의 면적 정의를 적용하였다. 벡터 $\bar r$과 $d \bar r$이 다른 평면에 있으면 자기 쌍극자 모멘트를 어떻게 정의해야 하는가? 벡터의 원점을 바꾸기 위해 새로운 원점을 벡터 $\bar r_0$라고 하자. 그러면 식 (10)은 아래처럼 바뀐다.

                       (11)

여기서 벡터 $\bar r_0$는 상수이며 벡터의 차이 $\bar r - \bar r_0$는 $\bar r_0$에서 $\bar r$로 향하는 벡터이다. 식 (11)이 의미하는 것은 어떤 위치 벡터(position vector) $\bar r$에 대해서도 식 (10)은 자기 쌍극자 모멘트라는 것이다.

[다음 읽을거리]
1. 자성체의 비밀
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댓글 10개 :

  1. 자기쌍극자가 자기장속에서 만드는 전기장도 있나요? 있다면 어떻게 생겼을까요?

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    1. 정자장의 경우, 자기 쌍극자는 자기장만 만듭니다. 전기장은 만들 수 없습니다.
      교류가 되면, 당연히 전자파가 되기 때문에 전기장과 자기장이 함께 나오고요.

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  2. 1/R 을 근사화 하는 과정을 좀더 자세하게 적어주실순없나요 ? ㅠㅠ

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    1. 신재현님, 본문을 약간 수정했습니다. 계속 헷갈리면 아래 테일러 급수 부분을 다시 보세요. ^^

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/07/taylor-series.html

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  3. 전파거북이님. 식 (2)에서 xx'/r^2-yy'/r^2에서 2*가 빠진 것 같아요 :)

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    1. 음.. 1/R 을 x'^+y'^2+z'^2을 탈락시키고 근사하면 r(1-2*xx'/r^2-2*yy'/r^2)^1/2이 되는데, 여기서 더 근사를 하는 방법이 있나요?

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    2. 식은 맞습니다, 이재님. 다 전개한 후에 테일러 급수 이용해 추가로 근사화합니다.

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    3. 아 두번 테일러 전개를 한 거네요. 감사합니다 ㅎㅎ

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  4. 자기 쌍극자에 대해 이해는 했는 데 결국 이걸 뭘로 정의해야할까요? 자기장에 반응하여 토크를 변화시키는 경향 정도로 정의시켜야하나요? 뭔가 정의를 보면 딱 느낌이 오는 식으로 정리하고 싶은데 좀 애매해서 그런데 혹시 알려주실 수 있나요?

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    1. 자기 쌍극자가 모여서 자성체가 됩니다. 즉 자성체의 물성을 설명하는 기본 단위가 자기 쌍극자여서 매우 중요한 개념입니다.

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