2012년 7월 9일 월요일

천장에 매달린 사슬의 운동 방정식(equation of motion for a hanging chain)



[경고] 아래 글을 읽지 않고 "천장에 매달린 사슬의 운동 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 뉴턴의 운동 법칙
3. 줄에 대한 파동 방정식


대가(大家, maestro)라는 사람들의 특징중 하나는 누구보다 먼저 고민하고 생각한다는 것이다. 1732년 베르누이(Daniel Bernoulli)는 [그림 1]과 같은 문제를 고민하여 답을 얻었다. 우리 관점에서 1732년은 조선(朝鮮) 영조(英祖) 8년에 해당한다. 조선 영조 시대에 사슬의 움직임을 고민하는 학자를 상상하기 어렵지만 유럽에는 베르누이라는 수학자 겸 물리학자가 있었다. 시대를 새롭게 만드는 사람은 거장들이기 때문에 그들에게 항상 찬사를 보내야 한다.
[그림 1] 늘어뜨린 사슬(출처: wikipedia.org)

천장에 사슬을 매달아 진동을 주면 그 사슬[1]은 어떻게 움직일 것인가? 우리의 시작점은 줄에 대한 파동 방정식(wave equation for a string)이 되어야 한다.

[그림 2] 줄에 생기는 파동(출처: wikipedia.org)

[그림 2]의 줄에 생기는 $y$방향 장력(tension), 질량(mass), 위치(position)의 관계식은 아래와 같다. 자세한 유도는 줄에 대한 파동 방정식(wave equation for a string)에서 볼 수 있다.

                       (1)

파동 방정식(wave equation)에서는 $x$방향 장력 $T$는 외부힘이 없기 때문에 $x$에 대해 상수라고 가정했지만 [그림 1]과 같은 구조에서는 중력 때문에 $x$방향 장력의 변화를 다음처럼 고려해야 한다.

                       (2)

 (2)를 식 (1)에 대입하면 [그림 1]에 대한 운동 방정식(equation of motion)을 얻을 수 있다.

                       (3)

사슬에 작용하는 $x$방향 장력을 구하기 위해 [그림 3]을 보자.


[그림 3] 천장에 매달린 사슬

천장에 매달려 있기 때문에 중력(gravity)이 아래 방향(or $-x$방향)으로 작용하여 $x$방향 장력이 위치별로 일정하지 않게 된다. 따라서,

                       (4)

$x = 0$이면 장력이 0이지만 $x$가 증가하는 방향으로 가면 질량이 늘어서 장력이 점점 커진다. [그림 3]에서 천장 부근까지 올라가면 사슬의 질량이 최대가 되어 중력에 의해 천장점의 장력이 최대가 된다.
다음으로 식 (4)를 식 (3)에 대입해 정리하면 다음 미분 방정식(differential equation)을 얻는다.

                       (5)

식 (5)를  편하게 풀기 위해 페이저(phasor)를 가정해 시간 변화 성분을 없애자. 그러면 다음과 같은 미분 방정식을 유도할 수 있다.

                       (6)

이 미분 방정식이 최초의 베셀 미분 방정식(Bessel's differential equation)이다. 베셀의 미분 방정식은 아래로 표현된다.

                      (7)

식 (7)에서 $n = 0$을 대입하면 식 (6)과 (7)이 매우 닮았다는 것을 볼 수 있다. 따라서, 다음과 같은 변수 치환을 하자[1].

                      (8)

여기서 $a$는 결정해야할 상수이다. 다음으로 식 (8)을 식 (6)에 대입하여 식 (7)과 비교하자.

                      (9)

식 (9)에 의하면 식 (6)은 분명 0차 베셀 미분 방정식이며 $y$의 변동은 0차 베셀 함수(the zeroth Bessel function)로 주어진다.

                      (10)

[참고문헌]
[1] C. Byrne, Notes on Bessel's Equation and the Gamma Function, University of Massachusetts Lowell, April 2009.

[다음 읽을거리]
1. 베셀의 미분 방정식

댓글 5개 :

  1. 굉장히 어려울 것 같았는데, 생각보다는 깔끔하고 쉽게(?)나오네요. 물리도 잘 못해서 고등학교 물리만 봐도 두려운데도 재미있는 내용이에요

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    1. 처음 생각하는 것이 어렵지 따라가는 것은 크게 어렵지 않습니다, 천재들 생각을 따라가야 하니 시간은 많이 걸리지만요.

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  2. 좋은 글 잘 보고 있습니다. 한가지 질문을 드리고자 합니다.
    베르누이 정리 방정식으로 보면,
    "P + 1/2(밀도)(속도)square + (밀도)gh =일정"의 형태가 있고
    "dy/dx + p(x)y=g(x)(y)a square"의 비선형미분방정식 형태가 있는데,

    위 두식이 같은 것을 다르게 표현한 같은 방정식인가요? 아님, 다른 방정식인가요?
    아무리 찾아봐도 둘간의 연관성을 찾을 수가 없네요.
    많이 바쁘시겠지만, 시간되실 때 의견 부탁드립니다.
    감사합니다.

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  3. 1. 이름만 비슷하고 완전히 다른 방정식입니다.

    2. 베르누이 가문은 수학과 물리학에 혁혁한 기여를 했습니다. 그래서 수학과 물리학 분야에서 이 성을 많이 볼 수 있습니다. 책에 나올 정도로 저명한 수학자만 이 가문에서 12명 정도입니다.

    3. 베르누이 미분 방정식(비선형 미방 중에서 특이하게 쉽게 풀리는 미방)을 푼 수학자 야곱 베르누이의 동생이 수학자 요한입니다. 요한의 유명한 제자 중 하나가 대(大)수학자 오일러입니다. 이 요한의 아들이 물리학자 다니엘입니다. 다니엘이 만든 유명한 원칙이 베르누이의 원칙(or 베르누이 방정식)입니다. 즉 다니엘의 삼촌이 야곱입니다. 가족이니까 성은 베르누이로 같고요. ^^

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    1. 예, 매우 깔끔하게 이해되었습니다. 베르누이가 여러명이었군요.
      전파거북이님은 무슨 일을 하시는지 참으로 내공이 대단하십니다. 계속 좋은 글 많이 부탁드립니다.
      우주가 돌아가는 원리를 아주 조금이나마 이해해가는 기쁨이 매우 좋습니다.
      늘 건강하세요.

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