2012년 7월 9일 월요일

천장에 매달린 사슬의 운동 방정식(Equation of Motion for a Hanging Chain)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "천장에 매달린 사슬의 운동 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미
2. 뉴턴의 운동 법칙
3. 줄에 대한 파동 방정식
4. 단진자의 운동 방정식


대가(大家, maestro)라는 사람들의 특징중 하나는 누구보다 먼저 고민하고 생각하기이다. 1732년베르누이 32세, 조선 영조 시절 다니엘 베르누이Daniel Bernoulli(1700–1782)는 [그림 1]과 같은 문제를 고민하여 답을 얻었다. 우리 관점에서 1732년은 조선(朝鮮) 영조(英祖) 8년에 해당한다. 조선 영조 시대에 사슬의 움직임을 고민하는 학자를 상상하기 어렵지만, 유럽에는 베르누이라는 수학자 겸 물리학자가 있었다. 시대를 새롭게 만드는 사람들은 거장이기 때문에, 그들에게 항상 찬사를 보내야 한다.
[그림 1] 늘어뜨린 사슬(출처: wikipedia.org)

천장에 사슬을 매달아 진동을 주면 그 사슬[1]은 어떻게 움직일까? 우리의 시작점은 줄에 대한 파동 방정식(wave equation for a string)이 되어야 한다.

[그림 2] 줄에 생기는 파동(출처: wikipedia.org)

[그림 2]의 줄에 생기는 $y$방향 장력(tension), 질량(mass), 위치(position)의 관계식은 아래와 같다. 자세한 유도는 줄에 대한 파동 방정식(wave equation for a string)에서 볼 수 있다.

                       (1)

파동 방정식(wave equation)서는 외부 힘이 없기 때문에, $x$방향 장력 $T_x$는 $x$에 대해 상수라고 가정했다. 하지만 [그림 1]과 같은 구조에서는 중력 때문에 $x$방향 장력의 변화를 다음처럼 고려해야 한다.

                       (2)

 (2)를 식 (1)에 대입하면 [그림 1]에 대한 운동 방정식(equation of motion)을 얻을 수 있다.

                       (3)

사슬에 작용하는 $x$방향 장력을 구하기 위해 [그림 3]을 보자.


[그림 3] 천장에 매달린 사슬

천장에 매달려 있기 때문에 중력(gravity)이 아래 방향[혹은 $-x$방향]으로 작용하여 $x$방향 장력이 위치별로 일정하지 않게 된다. 따라서, 다음 관계식이 성립한다.

                       (4)

여기서 $g$는 중력 가속도(gravitational acceleration)이다. 만약 $x = 0$이면 장력이 0이지만, $x$가 증가하는 방향으로 가면 질량이 늘어서 장력이 점점 커진다. [그림 3]에서 천장 부근까지 올라가면, 장력에 기여하는 사슬의 질량이 최대가 된다. 따라서 중력에 의해 천장점의 장력이 최대이다. 다음으로 식 (4)를 식 (3)에 대입해 정리하면 다음 미분 방정식(differential equation)을 얻는다.

                       (5)

식 (5)를  편하게 풀기 위해 페이저(phasor)를 가정해 시간 변화 성분을 없애자. 그러면 다음과 같은 미분 방정식을 유도할 수 있다.

                       (6)

이 미분 방정식이 최초의 베셀 미분 방정식(Bessel's differential equation)이다. 베셀의 미분 방정식은 아래처럼 표현된다.

                      (7)

식 (7)에서 $n = 0$을 대입하면 식 (6)과 (7)이 매우 닮았음을 볼 수 있다. 따라서 다음과 같은 변수 치환을 하자[1].

                      (8)

여기서 $a$는 결정해야할 상수이다. 다음으로 식 (8)을 식 (6)에 대입하여 식 (7)과 비교하자.

                      (9)

식 (9)에 의하면 식 (6)은 분명 0차 베셀 미분 방정식이며, $y$의 변동은 0차 베셀 함수(the zeroth Bessel function)로 주어진다.

                      (10)


[참고문헌]

[다음 읽을거리]
1. 베셀의 미분 방정식

댓글 7개 :

  1. 굉장히 어려울 것 같았는데, 생각보다는 깔끔하고 쉽게(?)나오네요. 물리도 잘 못해서 고등학교 물리만 봐도 두려운데도 재미있는 내용이에요

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    1. 처음 생각하는 것이 어렵지 따라가는 것은 크게 어렵지 않습니다, 천재들 생각을 따라가야 하니 시간은 많이 걸리지만요.

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  2. 좋은 글 잘 보고 있습니다. 한가지 질문을 드리고자 합니다.
    베르누이 정리 방정식으로 보면,
    "P + 1/2(밀도)(속도)square + (밀도)gh =일정"의 형태가 있고
    "dy/dx + p(x)y=g(x)(y)a square"의 비선형미분방정식 형태가 있는데,

    위 두식이 같은 것을 다르게 표현한 같은 방정식인가요? 아님, 다른 방정식인가요?
    아무리 찾아봐도 둘간의 연관성을 찾을 수가 없네요.
    많이 바쁘시겠지만, 시간되실 때 의견 부탁드립니다.
    감사합니다.

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  3. 1. 이름만 비슷하고 완전히 다른 방정식입니다.

    2. 베르누이 가문은 수학과 물리학에 혁혁한 기여를 했습니다. 그래서 수학과 물리학 분야에서 이 성을 많이 볼 수 있습니다. 책에 나올 정도로 저명한 수학자만 이 가문에서 12명 정도입니다.

    3. 베르누이 미분 방정식(비선형 미방 중에서 특이하게 쉽게 풀리는 미방)을 푼 수학자 야곱 베르누이의 동생이 수학자 요한입니다. 요한의 유명한 제자 중 하나가 대(大)수학자 오일러입니다. 이 요한의 아들이 물리학자 다니엘입니다. 다니엘이 만든 유명한 원칙이 베르누이의 원칙(or 베르누이 방정식)입니다. 즉 다니엘의 삼촌이 야곱입니다. 가족이니까 성은 베르누이로 같고요. ^^

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    1. 예, 매우 깔끔하게 이해되었습니다. 베르누이가 여러명이었군요.
      전파거북이님은 무슨 일을 하시는지 참으로 내공이 대단하십니다. 계속 좋은 글 많이 부탁드립니다.
      우주가 돌아가는 원리를 아주 조금이나마 이해해가는 기쁨이 매우 좋습니다.
      늘 건강하세요.

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  4. 베셀 함수에 대해 찾아보다가 알게 되었는데 이렇게 수준높은 글을 무료로 볼 수 있다는게 정말 감사드립니다 ㅜㅜ
    그런데 혹시 식(6)이 어떻게 식(7)이 되는지 간단히 설명해 주실 수 있을까요...?
    그 부분만 이해가 되질 않네요...ㅜㅜ

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    1. 익명님, 식 (8)부터 나오는 내용이 그 설명입니다.

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