2011년 10월 21일 금요일

선형 상미분 방정식(線形 常微分方程式, linear ordinary differential equation)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "선형 상미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 미분 방정식의 의미


식 (1)과 같은 1차 상미분 방정식(the first order ordinary differential equation)은 해의 존재성과 유일성이 수학적으로 증명되었기 때문에 안심하고 사용할 수 있다.

                       (1)

하지만 식 (1)은 필요 이상으로 복잡해서 좀더 단순화된 상미분 방정식을 고려할 필요가 있다. 그래서, 실제로는 식 (1)의 함수 $f(x, y)$가 선형성을 가진다고 가정해 식 (2)와 같은 선형 상미분 방정식(線形 常微分方程式, linear ordinary differential equation: ODE)을 다룬다.

                       (2)

직선을 표현하는 선형 함수 $f = py+q$를 고려하면 식 (2)가 가진 선형성은 이해가 된다.만약 $q(x) = 0$이라면 식 (2)는 더욱 재미있는 성질을 가진다. $y_1, y_2$가 식 (2)를 만족하는 해일 때 선형 결합 $y_3$도 당연히 해가 된다. 이 성질은 다음과 같은 고차 선형 상미분 방정식에도 성립한다.

                 (3)

즉, 식 (3)은 미분 방정식이 생긴 모양만 선형인 것이 아니라 미분 방정식의 해도 선형성을 가진다. 그래서, 식 (3)에 대한 미분 방정식의 해를 일반해(general solution) $y_g$라고 한다. 왜냐하면 초기 조건이 주어지지않은 경우 해를 무한히 많이 만들 수 있기 때문이다.
$q(x) = 0$인 경우는 다른 말로 동차 선형 상미분 방정식(homogeneous linear ODE)이라 부른다. 왜냐하면 미분 연산자가 동차 함수(homogeneous function) 관계를 만족하기 때문이다. (∵ 해 $y$에 $\alpha$를 곱하면 미분 연산자 바깥으로 $\alpha$가 나와서 1차 동차 함수가 된다.)
식 (4)에서 $q(x) \ne 0$을 고려한 경우는 특수해(particular solution) $y_p$라고 한다. 또한, 동차의 반대말로 $q(x) \ne 0$인 경우는 비동차(nonhomogeneous)라고 부른다.
일반해 $y_g$와 특수해 $y_p$를 모두 합치면 $n$차 선형 상미분 방정식인 식 (4)를 만족하는 해 $y$가 된다.

             (4)

식 (4)에 있는 상수 $c_1, c_2, \cdots, c_n$은 초기 조건으로 정해야한다.
그런데, $n$차 선형 상미분 방정식인 경우 일반해와 상수의 갯수는 왜 $n$개일까? 이를 이해하려면 식 (5)에 있는 $n$차 상미분 방정식 해의 유일을 고려해야한다.

                   (5)

일반해는 식 (4)처럼 $y_1, y_2, \cdots, y_n$의 선형 결합으로 구성할 수 있다. 만약 일반해가 $n-1$개만 있다면 식 (5)의 초기 조건 $n$개 중에서 $n-1$개만 만족시킬 수 있다. 이것은 문제이다. 만약 일반해가 $n+1$개라면 식 (5)의 초기 조건 $n$개를 대입하더라도 나머지 1개의 상수값을 결정할 수 없다. 이것은 상미분 방정식 해의 유일성에 위배된다. 그래서, 당연히 일반해와 상수의 갯수는 $n$개여야한다.
해의 유일성으로 인해 생겨나는 또다른 재미있는 성질은 식 (6)의 함수 행렬 $W$이다.


                                                                                                        (6)

해의 유일성이 있기 때문에 식 (6)에 있는 함수 행렬 $W$는 반드시 역행렬(inverse matrix)을 가져야한다. 역행렬 존재성을 손쉽게 표현하는 방법은 행렬식(determinant)이므로 새롭게 아래와 같은 함수 행렬식(Wronskian)을 정의한다.

  (7)

상수 $c_1, c_2, \cdots, c_n$은 유일하게 정해져야 하므로 함수 행렬식은 항상 0이 아니다. 식 (7)에 정의한 함수 행렬식은 이를 도입한 브룅스키(Józef Maria Hoene-Wroński) 이름을 따서 브룅스키안(프랑스말) 혹은 론스키안(영어)으로 부른다. 함수 행렬식 개념이 좋기 때문에 초기 조건 뿐만 아니라 어떤 임의 함수들의 상호 독립성을 따질 때도 사용한다. 예를 들어 함수 $f, g$의 함수 행렬식은 $W(f, g) = fg' - f'g$가 된다. 함수 $f, g$가 종속이 아니라면 당연히 함수 행렬식이 0이 아니므로  함수 행렬식을 계산함으로써 함수들의 종속성 혹은 독립성을 판별할 수 있다.

식 (4)에서 $q(x) = 0$이고 $p(x)$가 상수인 경우는 상수 계수 선형 상미분 방정식(linear ODE with constant coefficients)이 된다.

                       (8)

식 (8)처럼 상수 계수인 경우는 상미분 방정식의 해가 매우 단순하게 표현된다. 예를 들어 식 (8)의 해를 지수 함수(exponential function)라고 가정하자.

                       (9)

식 (9)의 첫째줄과 같은 단순 치환에 의해 식 (8)의 미분 방정식이 식 (9)의 마지막줄에 있는 대수 방정식(代數方程式, algebraic equation)으로 바뀐다. 이 대수 방정식은 대수학의 기본정리(代數學 基本定理, fundamental theorem of algebra)에 의해 $n$개의 해를 복소수 영역에서 반드시 가진다.
식 (9)에 제시한 방법론은 깔끔하지만 식 (9)의 대수 방정식이 중근(重根, multiple root)을 가지면 문제가 된다. 중근인 경우 식 (6)에 있는 일반해 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 중에서 같은 함수가 반드시 있기 때문에 상수 $c_1, c_2, \cdots, c_n$을 조정해서 임의의 초기 조건을 만족시킬 수는 없다. (∵ 식 (6)에 있는 함수 행렬 $W$의 역행렬이 존재하지 않기 때문에 초기 조건을 만족하는 상수 $c_1, c_2, \cdots, c_n$이 없을 수도 있고 무한히 많을 수도 있다.)
이를 이해하기 위해 다음 미분 방정식을 고려하자.

                       (10)

식 (10)의 미분 방정식을 식 (9)의 방법대로 대수 방정식으로 바꾸면 다음과 같다.

                       (11)

식 (10)의 미분 방정식은 식 (11)과 같이 이중근을 가지므로 일반해 $y_1, y_2$는 서로 같다. 그래서, $c_1, c_2$를 아무리 조정해도 식 (10)의 초기 조건을 만족시킬 수 없다. (or $y_0' = 1$이라면 $y = \exp(x)$가 답이 된다.) 즉, 식 (11)의 마지막줄에 제시한 $y_1, y_2$는 식 (10)의 해가 될 수 없다.
따라서, 식 (10)의 해를 구하려면 피카르의 반복법(Picard's iteration method)을 이용해야한다.

                       (12)

           (13)

식 (13)과 같은 해를 좀더 체계적으로 구하는 방법이 차수축소법(reduction of order)이다.
그래서, 하나의 해 $y_1$을 알 때 독립적인 해 $y_2$를 아래와 같이 가정해보자.

                       (14)

여기서 $u$는 상수가 아닌 $x$의 함수이다. 식 (14)에서 $y_2$를 $y_1$의 단순 치환으로 표현했기 때문에, $a,b,c$가 상수 계수가 아니어도 식 (14)의 최종식은 항상 성립한다.
만약 $y_1$이 식 (11)과 같이 중근을 가진다면 $u$는 아래와 같이 표현된다.

                       (15)

식 (15) 관점에서 식 (13)의 최종 결과를 보면 우리 접근법이 성공적임을 알 수 있다. 일반해를 다음과 같이 가정해 식 (10)의 초기 조건을 대입하면 식 (13)의 최종결과가 얻어진다.

                       (16)

[다음 읽을거리]
1. 멱급수 기반 상미분 방정식
2. 1차 선형 상미분 방정식
3. 스투름-리우빌 이론

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댓글 21개 :

  1. 식(7)와 (8)사이 설명에서는
    W(f,g)=fg′−fg′
    이렇게 되어 있는데,
    W(f,g)=fg′−f′g
    로 바꾸어야 하는건 아닌런지요?

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    1. 벌써 두 개째네요, 지적 계속 감사드립니다, 곰유님. ^^

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  2. 상미분방정식의 실생활 속의 예로는 어떤 것들이 있나요?

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    1. 선형 상미분 방정식은 매우 일반적인 미분 방정식입니다.
      물리학책에 나오는 대부분의 응용들이 미분 방정식의 훌륭한 예입니다.

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  3. uy1 의 꼴이 모든 함수의 형태를 표현하는 방법이 될수있나요? 아니면 상수계수같은 어떤 특정형태에서만 사용가능한 가정인가요?

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    1. 식 (14)를 말씀하시는 것이지요?

      - 임의의 함수를 표현한다고 생각해도 됩니다, 어차피 $u$가 정해지지 않았기 때문에요.
      - 식 (14)는 상수 계수가 아니어도 성립하는 방정식입니다.

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  4. 그런데, n차 선형 상미분 방정식인 경우 일반해와 상수의 갯수는 왜 n개일까? 이를 이해하려면 식 (5)에 있는 n차 상미분 방정식 해의 유일성을 고려해야한다.

    -> 유일성 증명할 때 썼던 방법대로 하자면, 예를 들어 2계 상미분일 경우 초기조건이 2개 주어지므로 만약 답이 2개 y1, y2가 있다고 가정하면

    1. y1(0)이 y(0)을 만족하고 y2(0)=0
    2. y2'(0)이 y'(0)을 만족하고 y'1(0)=0

    이런 식으로 고차도 따라가는 게 맞나요?

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    1. 반드시 그럴 필요는 없습니다. 단순하게 미지수가 2개, 방정식이 2개라 생각하면 됩니다.

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    2. 음.. 그렇다면 차수에 상관없이 총 초기 조건이 n개만 주어지면 풀 수 있는 거네요. 그런데 그럴 경우 미분 방정식의 의미에 써 놓으셨던 마지막 예시처럼 해의 유일성이 성립 안될 수도 있는 거 맞나요..?

      감사합니다

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    3. 차수가 n차이기 때문에 초기 조건이 n개입니다. 이걸 만족해야 해의 유일성이 성립합니다.

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    4. 아, 죄송합니다. 제가 말을 잘못해서.. n차일 경우, 초기조건이 n개만 주어 진다면.. 예를 들어 y에 대해 n개 주어지든 y'에 대해 n개 y''에 대해 n개든 주어지든 답을 구할 수 있긴 한데, 미분 방정식의 의미에서 써 놓으셨던 마지막 예시처럼 해의 유일성이 성립 안될 수도 있는 거네요.

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    5. 네, 초기 조건은 적절하게 주어져야 해의 유일성이 성립합니다.

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    6. 음.. 해가 n개여야 하는 이유는 식 (4)에서 계수들을 구하기 위함인데.. 이게 해를 구하는 충분조건이라서 이런 식을 쓰는 건가요?

      음.. n차 ode의 solution space basis가 n개인걸 보여주실 수 있나요 ㅠㅠ 제가 좀 모자라서 뭔가 이해가 안가면 자꾸 찝찝하네요 ㅜㅜ

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    7. 상미분 방정식 해의 유일성이 먼저 입니다. 이게 증명이 된 후 나온 결과가 질문하신 부분입니다. 이 부분을 집중해서 생각해보세요, 이재님. ^^

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    8. 으아 감사합니다. 붙들고 있으니 느리나마 진전이 있네요 ㅎㅎ..

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  5. 전파거북이님이 올려주신 정말 귀한 자료들 틈틈히 들어와 정말 잘 보구 있습니다 ^^ 그런데 오늘 들어와보니 올려주신 글들에서 표시가 되지 않는 식들이 꽤 많이 보입니다.(이 포스트에서 식 (11) (13) 등 ) 이번 방학중에 블로그 글들을 정주행하려는데 이부분들이 빠지면 이해가 되지 않을까 싶어 염려되네요 ㅜㅜ 확인 부탁드립니다!

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    1. 지금은 잘 나오네요. 구글쪽이 문제인지는 모르겠지만, 가끔씩 나올 때가 있어요. F5 눌러서 다시 한 번 보세요. ^^

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  6. 항상볼때마다 감탄하고갑니다

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