전염병 확산 미분 방정식(Epidemic Spread Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "전염병 확산 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 미분 방정식의 의미

2. 람베르트 W 함수

[그림 1] 코로나-19의 감염 경로(출처: wikipedia.org)

코로나-19(coronavirus disease 2019, COVID-19) 시대를 거치면서 유명해진 미분 방정식(differential equation)이 하나 있다. 전염병이 퍼지는 속도를 표현하는 전염병 확산 미분 방정식(epidemic spread differential equation)을 풀기 위해 전염의 통계 지표인 기초 재생산수(basic reproduction number) $R_0$을 추정하고 감염자의 초기 조건을 설정한다. 그후 이 미분 방정식으로 미래의 감염 결과를 대략적으로 예측한다. 여러 전염병 확산 미분 방정식 중에서 가장 간단한 모형은 SIR 모형(susceptible-infectious-recovered model)이다[1]. SIR 모형은 문제를 어렵게 풀지 않고 전염될 수 있는 사람들인 감수군(susceptible) $S$, 병을 옮기는 감염군(infectious) $I$, 치료로 다 나은 회복군(recovered) $R$로 집단을 나눈다. 우리가 고려하는 집단과 그 상호 관계를 설정해 문제를 푸는 방식은 구획 모형(compartmental model)이라 한다. SIR 모형은 구획 모형의 성공적인 예이다. SIR 모형을 구성하는 연립 상미분 방정식(simultaneous ordinary differential equation)은 아래와 같다.

                          (1)

여기서 $S(t),I(t),R(t)$는 각각 감수군, 감염군, 회복군의 수, $N$은 변하지 않는 전체 인구수, $\beta$는 감염율(infection rate), $\gamma$는 회복률(recovery rate)이다. 회복률의 역수 $\gamma$는 평균 회복 시간이다. 식 (1)에서 $N$ = $1$로 두면, $S(t),I(t),R(t)$는 각각 감수군, 감염군, 회복군의 비율이 된다. 간략화를 위해 SIR 모형에서는 $S(t),I(t),R(t)$를 보통 비율로 가정한다. SIR 모형에서 통상적으로 선택하는 조건은 $I(0)$ $\approx$ $0$, $R(0)$ = $0$, $S(0)$ = $1-I(0)$ $\approx$ $1$이다. 여기서 $S(0)\gg I(0)$이다.

식 (1)이 나타내는 의미는 분명하다. 전염은 감수군과 감염군이 만날 때 나타나므로, 모든 가능한 접촉 비율은 $I(t)S(t)$이다. 이 접촉 중에서 시간당 및 사람당 감염이 되는 확률이 바로 $\beta$이다. 또 다른 매개변수 $\gamma$는 감염군이 시간당 회복하는 확률이다. 특히 $R_0$ = $\beta /\gamma$는 전염병 확산의 중요 지표인 기초 재생산수 혹은 기초 재생산율(basic reproduction rate)이다. 중요한 설정값인 $R_0$의 의미를 이해하기 위해서는 식 (1)을 풀어서 해를 관찰해야 한다.

식 (1)은 $I(t),S(t)$의 곱이 우변에 있어서 선형이 아닌 비선형 미분 방정식(nonlinear differential equation)이다. 어려워 보이지만 $\beta ,\gamma$를 시간에 대한 상수로 두면, 식 (1)은 $R(t)$에 대한 상미분 방정식으로 간략화되면서 풀린다. 먼저 식 (1)의 첫째식에서 유추해 $S(t)$ = $S(0)e^{f(t)}$로 가정해서 원래식에 대입한다.

                          (2)

여기서 $f(0)$ = $0$, $R(0)$ = $0$이다. 식 (2)를 식 (1)의 셋째식에 대입해서 $R(t)$에 대한 상미분 방정식을 유도한다.

                          (3a)

                          (3b)

여기서 $\xi$ = $R(t)$이다. 마지막으로 우리가 쓰지 않은 식 (1)의 둘째식에 집중한다.

                          (4)

만약 $S(0)$ = $1/R_0$이면, $t$ = $0$에서 감염군은 일정하게 유지되고 감수군이 줄어들면서 감염군이 서서히 줄어든다. 혹은 $S(0)$ $<$ $1/R_0$라면 우변이 0보다 작아서 감염군이 지속적으로 감소한다. 하지만 $S(0)$ $>$ $1/R_0$인 경우는 처음부터 감염군이 커지면서 현재 계산하는 질병은 전염병으로 판정된다. 다만 $S(t)<S(0)$인 이유로 시간이 한참 흐른 후 발생하는 회복군 $R(\mathrm{\infty })$의 크기는 전염병마다 다를 수 있다.

최종 회복군 $R(\mathrm{\infty })$를 예측하기 위해 식 (3a)를 관찰한다. 무한대 시간이 흐른 후에는 함수값이 수렴해 변동이 없으므로, 식 (3a)의 우변은 0이 되어야 한다[1].

                          (5a)

식 (5a)의 해는 람베르트 W 함수(Lambert W function) $W(x)$이다.

                          (5b)

식 (5b)에 따라 최종 감수군 $S(\mathrm{\infty })$도 얻어진다.

                          (5c)

여기서 최종 시간의 감염군 $I(\mathrm{\infty })$는 당연히 0이다.

[참고문헌]

[1] F. Wang, "Application of the Lambert W function to the SIR epidemic model," Coll. Math. J., vol. 41, no. 2, pp. 156–159, Mar. 2010.