자율 미분 방정식(Autonomous Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "자율 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 미분 방정식의 의미

2. 선형 상미분 방정식

[그림 1] 자율계의 예인 시불변 시스템: $y_2(t)$ = $y_1(t-t_0)$(출처: wikipedia.org)

자율 미분 방정식(autonomous differential equation) 혹은 자율계(autonomous system)는 미분 방정식을 규정하는 항에 독립 변수 $x$는 없고 오직 종속 변수 $y$의 함수 $f(y)$만 있는 식이다. 예를 들면, 아래와 같은 1계 상미분 방정식은 우변에 $x$의 영향이 없기 때문에 1계 자율 미분 방정식(the first-order autonomous differential equation)으로 분류된다.

                          (1)

미분 $dy/dx$를 미분소 $dx, dy$의 나눗셈으로 생각해서 식 (1)의 해를 구한다.

                          (2)

식 (2)의 우측식과 같은 음함수(implicit function)는 라그랑주 반전 정리(Lagrange Inversion Theorem)를 써서 양함수(explicit function) 형태 혹은 역함수(inverse function)인 $y$ = $g(x)$로 만들 수 있다. 독립 변수 $x$가 시간 $t$인 경우는 시간 이동에 대해 시스템 특성이 변하지 않는 [그림 1]과 같은 시불변 시스템(time-invariant system)이 된다. 왜냐하면 항상 $dt$ = $d(t-t_0)$이기 때문이다.

2계 자율 미분 방정식(the second-order autonomous differential equation)은 $u(y)$ = $dy/dx$ = $y'$인 변수 치환을 통해 해결한다.

                          (3)

식 (3)에 $u$ = $dy/dx$를 대입해서 $u$의 미분에 대해 정리한다.

                          (4a)

식 (4a)의 최종 결과는 1계 상미분 방정식의 표준형이라서 그 해를 $u$ = $g(y)$로 둘 수 있다. 이를 다시 $u(y)$ = $dy/dx$로 치환해서 1계 자율 미분 방정식으로 만들면, 식 (2)에 의해 최종해가 결정된다.

                          (4b)

여기서 $du/dy$를 풀 때 필요한 적분 상수는 $g(y)$에 포함되어 있다.

[다음 읽을거리]

1. 라그랑주 반전 정리