2011년 10월 21일 금요일

유전 상수 재는 방법(how to measure dielectric constant)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "유전 상수 재는 방법"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 커패시터
2. 유전체의 비밀
3. 전송선 이론
4. 전압파의 반사 계수


안테나(antenna)를 설계하든 필터(filter)를 설계하든 기판위에 RF 소자를 설계하려면 먼저 사용하는 기판(substrate)의 특성을 알아야한다. 기판의 두께는 자나 캘리퍼스(calipers)로 재면 되지만 유전 상수(dielectric constant) 혹은 비유전율(relative permittivity) 측정법은 금방 떠오르지 않는다.
유전율이 생기는 원인은 물질내부에 있는 양성자와 전자가 분리되는 분극(polarization)이므로 양성자와 전자가 떨어지는 현상을 재면 되지만 너무 작은 영역에서 일어나는 일이라 이게 쉽지 않다.
그래서, 간접 측정법[1]을 사용하여 유전 상수를 측정하게 된다. 많이 쓰는 방법이 정전 용량(capacitance), 반사도(reflection coefficient) 혹은 공진 주파수(resonant frequency)를 잰다. 당연히 저주파에서는 정전 용량법이 많이 쓰이고 고주파에서는 반사도 법이나 공진 주파수 법이 자주 쓰인다.
유전 상수 측정에는 재미있는 일화가 있다. 맥스웰(James Clerk Maxwell)이 1862년부터 빛도 전자파의 일종이라고 주장했을 때 거의 대부분의 물리학자로부터 많은 비난을 받았었다. 스코틀랜드 출신의 듣도 보도 못한 신출내기 물리학자의 주장을 혁신적으로 보는 학자는 거의 없었다. 이 신출내기가 기반으로 삼은 개념도 비웃음거리였다. 수학을 전혀 모르는 실험 물리학자 패러데이(Michael Faraday)의 전기력 선과 전기장의 개념을 이용했기 때문이다. 맥스웰의 개인적인 상황도 이 당시는 좋지 못했었다[4]. 1860년에 대학 통합으로 교수직을 잃고(천하의 맥스웰이 1860년에는 구조 조정을 당했었다.) 에딘버러 대학교(University of Edinburgh)에 지원했으나 떨어졌다. 겨우 신생 학교인 런던 국왕 대학교(King's College London)에 다시 자리를 잡았다. 런던 국왕 대학교에서 절치부심하며 1865년에 만든 멋들어진 결과가 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)이다. (맥스웰 방정식과 관계된 정확한 날짜[7]: 논문 투고 - 1864년 10월 27일, 논문 공개 - 1864년 12월 8일, 논문 출판 - 1865년 1월) 이런 상황이었으니 주변 물리학자들이 맥스웰의 중대한 연구 결과에 주목하지 않았던 것은 당연해 보인다.
그 비난 중에서 가장 심각했던 것이 물의 유전율이다. 물의 유전 상수($\epsilon_r$)를 실온에서 재어보면 약 80 정도 나온다. 맥스웰은 빛도 전자파라고 했기 때문에 빛에 대한 굴절률(refractive index:  물은 약 1.33) $n$으로부터 물의 유전 상수($\epsilon_r = n^2$)를 환산할 수 있다. 애석하게도 빛 굴절률($n = 1.33$)로 환산한 물의 유전 상수값은 80이 아니고 약 1.8 정도로 계산된다. (물의 유전 상수는 온도와 압력에 따라 달라지므로 근사치로 표현했다.) 측정값들이 어마어마하게 차이나는 이 문제를 맥스웰도 해결하지 못했기 때문에 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)은 자기 고국인 영국에서도 버림받게 된다. 당시 주류였던 大물리학자 켈빈(William Thomson, Lord Kelvin: 온도 단위에 나오는 바로 그 아저씨)의 비판도 맥스웰에게는 큰 짐이었다. 켈빈은 너무나도 이상한 맥스웰의 방정식을 인정하지 않았다[5]. 밑도 끝도 없이 장(field) 개념을 소개하고 사원수(quaternion) 기반의 편미분 방정식(partial differential equation)을 20개나 쏟아내는 맥스웰 방정식(Maxwell's equations). 켈빈은 역학적 기반이 없이 수학적 상상에만 기반을 둔 맥스웰 방정식을 혹독하게 비판했다[5]. 이런 상황에서 맥스웰 지지자는 소수였지만 켈빈 지지자는 넘쳐났다.
하지만 이후 독일의 헤르츠(Heinrich Rudolf Hertz)가 1887년에 전자파 존재를 실험적으로 증명하여 맥스웰의 이론은 다시 주목을 받기 시작한다. 하지만, 안타깝게도 이때는 맥스웰이 위암으로 죽은 후이다. 전자파 존재 증명은 켈빈에게도 맥스웰에게도 비극이었다. 켈빈이 그렇게 비판하고 무시했던 맥스웰의 이론이 켈빈(1907년에 사망) 살아 생전에 존재가 증명되었고 맥스웰은 자신의 평생 역작이 빛을 보는 놀라운 광경을 보지 못하고 1879년에 사망했으니 말이다...

[그림 1] 주파수에 대한 물의 유전 상수 변화(출처: [3])

요즘은 맥스웰을 고민하게 했던 물의 유전율 변화 현상을 쉽게 설명할 수 있다. [그림 1]처럼 물은 주파수에 따라 유전 상수가 심하게 달라지기 때문이다. 물의 유전 상수가 약 80이라는 것은 DC에 가까운 저주파에서 측정한 것이고 빛에 대한 유전 상수는 매우 높은 주파수에서 측정한 것이므로 약 1.8이 나오게 된다.

[그림 2] 커패시터의 구조(출처: wikipedia.org)

1. 정전 용량법(capacitance method)

[그림 2]과 같이 구조가 아주 전형적인 커패시터를 하나 준비한다. 커패시터의 물리적 크기(길이 혹은 면적)은 잘 알고 있다고 가정한다. (∵ 물리적 특성은 자로 재면 된다.) 그 다음에 [그림 3]과 같은 LCR 계측기(LCR meter)를 이용해 커패시터의 정전 용량을 실험적으로 정확하게 측정한다. LCR 계측기는 부하 임피던스(load impedance)를 정밀하게 재는 측정장비이다. LCR 계측기에 있는 'LCR'은 당연히 L(인덕터, inductor), C(커패시터, capacitor), R(저항, resistance)을 의미한다. 하지만 LCR 계측기는 소자의 저주파 특성(주로 kHz, 많아야 MHz)을 재는 장비이므로 GHz를 넘는 고주파는 LCR 계측기로 재지 못하고 아래 [그림 5]에 있는 회로망 분석기를 사용해야 한다.

[그림 3] LCR 계측기 - Keysight(Agilent) E4980A(출처: keysight.com)

LCR 계측기가 없다면 커패시터의 충전과 방전 실험을 통해 오차가 크지만 값싼 방법으로 정전 용량을 잴 수도 있다. 따라서, 커패시터의 물리적 크기와 정전 용량을 알면 수치 해석 기법을 통해 커패시터에 채워진 물질의 유전 상수를 결정할 수 있다. 물리적 크기가 고정되면 유전 상수가 커질수록 정전 용량이 커지기 때문에 가능한 것이다.
수치 해석 기법을 쓰기가 곤란하면 커패시터를 [그림 4]과 같이 평행판으로 만들면 된다.

[그림 4] 평행판 커패시터(출처: wikipedia.org)

[그림 4]와 같은 평행판 커패시터인 경우는 정전 용량 공식이 식 (1)과 같이 단순하게 결정된다.

                          (1)

식 (1)에서 물리적 크기$(A, d)$와 정전 용량 $C$가 결정되면 유전율(permittivity) $\epsilon$이 정해진다.

                                 (2)

유전 상수와 유전율은 식 (2)의 관계를 가지므로 유전 상수 $\epsilon_r$이 결정된다.


2. 반사도 법(reflection coefficient method)

반사도 법[6]은 [그림 5]와 같은 회로망 분석기(network analyzer)를 사용하기 때문에 굉장히 정밀한 유전 상수 측정법이다. 또한 회로망 분석기는 LCR 계측기와는 다르게 GHz까지도 측정 가능하므로 고주파 측정의 핵심 장비이기도 하다.

[그림 5] 회로망 분석기(출처: wikipedia.org)

유전율 측정은 번거운 과정이기 때문에 [그림 6]과 같은 자동화된 측정법을 많이 사용한다[2]. 요즘 나오는 회로망 분석기는 이를 지원하기 위해 GPIB(General Purpose Interface Bus)가 기본적으로 장착되어있다.

[그림 6] 자동화된 유전율 측정장치(출처: emtool.com) 

회로망 분석기에 기하구조가 단순한 부하(여기에 측정하고자 하는 유전체를 삽입: [그림 6]에서는 동축선 측정기)를 연결하고 [그림 7]과 같이 반사도를 측정한다. 회로망 분석기는 [그림 8]처럼 매질의 불연속에 의해 생성되는 반사파를 재는 정밀한 측정장비이다.
 
[그림 7] 전원과 부하가 있는 전송선 회로

[그림 8] 파동의 반사와 투과(출처: wikipedia.org)

반사도가 측정되면 식 (3)에 의해 부하임피던스(load impedance)를 알 수 있다. 부하의 유전율을 바꾸면 부하임피던스가 바뀐다.

                       (3)

기하구조가 알려졌기 때문에 유전율값을 바꾸어가면서 측정한 반사도와 수치해석기법으로 계산한 반사도가 최대한 같아지도록 한다. (이 방식은 [그림 9]처럼 역방향 문제(inverse problem)를 풀 때 주로 쓰는 방법이다.)

[그림 9] 유전율값을 예측하는 알고리즘(출처: emtool.com)

[그림 9]에서처럼 측정한 반사도와 계산한 반사도의 오차가 가장 작은 유전율값이 답이다[2]. 오차를 더 줄이기 위해 단일주파수에 대해 측정하지 않고 넓은 주파수범위에 대해 측정한다.
유전체를 장착할 수 있는 부하구조는 도파관(waveguide)이나 동축선(coaxial cable)을 많이 사용한다.


3. 공진 주파수 법(resonant frequency method)

유전율이 바뀌면 공진 주파수가 바뀌는 특성을 이용해 기판의 유전 상수를 결정한다. [그림 5]와 같은 회로망 분석기에 RF 필터(여기에 측정하고자 하는 유전체를 삽입)를 물리고 공진 특성을 측정한다. 공진 주파수가 측정되면 [그림 9]과 같이 유전율을 바꾸어가면서 측정한 공진 주파수와 수치해석기법으로 계산한 공진 주파수가 최대한 같아지도록 한다. 측정한 공진 주파수와 계산한 공진 주파수의 오차가 가장 작은 유전율값이 답이다. 이 방법은 공진 주파수만 찾기 때문에 반사도 법과는 다르게 넓은 주파수 범위를 측정할 필요는 없다.

[참고문헌]
[1] Measuring dielectric constant, Microwave Encyclopedia, 2008.
[2] 동축선 기반 유전율 측정장치 제어시스템, 이엠툴, 2010.
[3] T. Meissner and F. Wentz, "The complex dielectric constant of pure and sea water from microwave satellite observations," IEEE Trans. Geo. Rem. Sens., vol. 42, no. 9, pp. 1836-1849, Sept. 2004.
[4] L. Campbell and W. Garnett, James Clerk Maxwell with a Selection from his Correspondence and Occasional Writings and a Sketch of his Contributions to Science, Macmillan, 1882.
[5] K. Johnson, The Electromagnetic Field, James Clerk Maxwell - The Great Unknown, 2002.
[6] "Basics of measuring the dielectric properties of materials," Application Note, Agilent.
[7] G. Pelosi, "A tribute to James Clerk Maxwell on the 150th anniversary of his equations (1864-2014)," IEEE Antennas Propagat. Mag., vol. 56, no. 6, pp. 295-298, Dec. 2014.

댓글 27개 :

  1. 전파거북이님? 서울과학고등학교 1학년 학생입니다. 학교에서 '절연지'연구를 하느라 유전상수를 측정할 일이 생겨서 찾아보다가 님의 글을 발견했습니다. 메일로 질문할 수 있을까요?

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  2. 제 메일은 rlgk231@naver.com입니다.

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  3. 언제든 환영입니다. iGhebook@gmail.com으로 메일보내면 제가 볼 수 있습니다.

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  4. 전자기학이 싫어서 맥스월을 미워 했는데, 그러면 안되겠네요.
    너무 불쌍하네요. 살면서 가장 억울할 때가 무자게 고생했는데, 아무것도 하지 않은 것으로 될떼...
    열심히 공부해야겠네요.
    익명:곰유 올림

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    1. 너무 그러실 것까지야...
      조금 관점을 바꾸어보면 학문이라는 것도 사람이 하는 것이고 어려운 학문을 만든 연구자는 배우는 사람보다 수백, 수천 배의 노력을 기울였겠지요. 선구자들에게 감사와 찬사를 보냅니다.

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  5. 정말 많은 도움이 되었습니다~ 좋은글 감사합니다!!

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    1. 저도 방문 감사합니다, 익명님. ^^

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  6. 저 대전과학고등학교 1학년 학생인데 탐구대회때문에 유전율을 측정해야되요
    저도 윗분처럼 질문좀 하겠습니다.

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  7. 저는 대전동신과학고등학교 1학년 학생인데 함수발생기와 휘트스톤을 이용해서 미지 축전기 유전율을 측정중입니다. 그런데 안되는 게 있어서요... 메일로 질문좀 하겠습니다.

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    1. 그러세요, 시간될 때 답변하겠습니다. ^^

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  8. 주파수에따른 유전율의 자세한 원리를 알 수 있는 방법이 없을까요?

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    1. 물질을 구성하는 원자 특성이 외부 전기장에 의해 변화되기 때문에 나타나는 현상이 유전율입니다. 이건 물질마다 다른 특성이 나오기 때문에 유전율에 대한 기초 연구는 거대한 학문 분야 중의 하나입니다. 자세한 원리는 관련 전공 서적을 보셔야 합니다. ^^

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  9. 잘읽었습니다. ^^ 감사합니다. 여쭙고싶은게있는데 메일드려도 될까요? 실례지만 메일 주소가 어떻게되시는지요 ㅎㅎ

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    1. 제 이메일은 iGhebook@gmail.com입니다.

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  10. 많은 도움 되었습니다.
    윗분과 마찮가지로 메일로 여쭙겠습니다
    고견 부탁드립니다 ^^

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    1. 질문은 언제든 환영입니다, 김인덕님. ^^
      그렇다고 모든 문제의 답을 할 수는 없으므로, 원하시는 결과가 아닐 수도 있습니다.

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  11. 안녕하세요. RF 분야에서 일하는 3년차 직장인 입니다. 처음 일할 때부터 일하며 가끔 필요한 때에 쓰신 내용들 참조하며 도움을 많이 얻어왔고 진심으로 감사 드립니다. 오랜만에 필요해서 전자기학 내용을 찾아보다가 위의 포스팅을 보다가 한 가지 보여서 글을 답니다. 그림 3에서 인용하신 애질런트 사의 제품은 LCR 미터가 아니라 보통 function generator라 불리는 것으로 PCB에 Test를 위해 소량의 전압, 전류, 전력을 생성하여 인가하고자 할 때 사용하는 녀석 입니다. 정말 성의와 실력, 겸손함이 엿보이시는 양질의 내용들에 수저 하나 보태봅니다. ^^ 행복하세요...

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    1. 안녕하세요, 조건희님. [그림 3]은 E4980A를 표시한 것입니다. 말씀하신 함수 발생기(function generator) 모델 번호를 알려주시면 확인한 후에 수정하도록 하겠습니다. ^^

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  12. 안녕하세요? 물질에 따른 주파수와 유전율의 상관관계를 알고싶어서 메일을 작성하게 되었습니다
    즉 소재는 Teflon(PTFE) 과 Ultem이며 특정 주파수 (20GHz ~ 40GHz) 에서 각 물질별 유전율을 알고 싶은데 가능하신지요? 아님 찾아볼수 있는 문헌이 있으면 답변 부탁드립니다 감사합니다
    제 메일로 회신주시면 정말 감사하겠습니다 nhchlee@naver.com

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    1. 테플론 같은 물질은 제조사마다 유전율이 다르게 때문에 제조사 홈페이지에서 자료 검색하는 것이 가장 좋습니다. 예를 들면 아래 로저스 회사(Rogers Corporation)나 타코닉(Taconic)을 참고하세요.

      - http://www.rogerscorp.com/
      - http://www.taconic-add.com/

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  13. 안녕하세요. 윗분처럼 물질에 따른 주파수와 유전율의 상관관계를 알고싶습니다. Thz영역에서 알루미늄의 유전율변화를 알고싶습니다. 아니면 참고논문이나 문헌이 있다면 알려주세면 감사하겠습니다. 제 이메일은 dkrlal123@naver.com입니다. 감사합니다^^

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    1. 경우마다 종류마다 다르기 때문에 인터넷 검색이 필수입니다. 예를 들면 아래 자료 같은 것입니다.

      https://www.ecse.rpi.edu/~schubert/Educational-resources/Materials-Refractive-index-and-extinction-coefficient.pdf

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  14. 안녕하세요. 유전상수를 측정하고 싶은데, 혹시 측정의로도 받으시나요?

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    1. Donga님, 측정 의뢰는 받지 않습니다. 가까운 정부 지원 측정실에 문의해보세요. 유전 상수 측정은 흔하지 않아서, 여러 군데 알아봐야 할 것입니다.

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  15. 거북이님 제가 이쪽은 모르는데 답답한 마음에 검색하다 위의내용을 다읽었습니다
    저는핸드폰관련 일을합니다
    정전용량 cap방식 입니다^^
    궁금한게 너무많은데 화학지식이 너무없어 답답하네요
    어려운 내용도 많고요 지금배운다 하기에는 시간이
    짧고 이해도 부족할듯합니다

    해서 알루미늄 유전율 과 플라스틱 유전율중
    핸드폰에 적용시 어떤게 안정적인지 궁금합니다
    제연락처 남기겠습니다
    전화로 알려주시면 안될까요?
    거부하신다면 어쩔수 없다고 생각하겠습니다
    저한테는 큰 중요한 일입니다
    010-4728-5250 희덕 입니다

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    답글
    1. 개인 정보는 지우셔야 할 텐데요, Jason님. ^^

      저도 화학 지식은 상식 수준이라 답변이 가능하려나요?
      알루미늄은 금속이라 유전율 고려는 이상합니다. 테라헤르츠 이상이 아니라면, 금속은 전도도가 매우 우세합니다.
      혹시 알루미나인가요?

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