조금은 느리게 살자: 해석적 연속(解析的連續, Analytic Continuation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "해석적 연속"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 복소 평면에서 중첩된 정의역

유용한 복소 함수(complex function)의 정의역(domain)을 합리적으로 확장하는 방법은 해석적 연속(解析的連續, analytic continuation)이다. 해석적 연속은 서로 겹치는 일부 정의역에서 함수값을 같게 만들어서 복소 함수의 정의역을 확장하는 표준적인 방법이다. 예를 들어, [그림 1]처럼 복소 평면에서 정의된 복소 함수 $f_1(z)$와 $f_2(z)$를 고려한다. 복소 함수 $f_1(z)$와 $f_2(z)$는 각각 정의역 $D_1$과 $D_2$에서 정의된다. 여기서 $D_1$과 $D_2$가 중첩된 영역은 $D_3$이라 한다. 그러면 더 커진 정의역 $D_1 \cup D_2$에서 새롭게 $f(z)$를 정의할 수 있다. 즉, $z$가 $D_1$에 속하면, $f(z)$ = $f_1(z)$로 선택한다. 마찬가지로 $D_2$에 있는 $z$의 함수값은 $f(z)$ = $f_2(z)$가 된다. 이 경우에 $D_1 \cup D_2$에 정의된 $f(z)$는 $f_1(z)$ 혹은 $f_2(z)$의 해석적 연속이다. 왜냐하면 $f(z)$는 $f_1(z)$ 혹은 $f_2(z)$를 해석적으로 확장(extension)하기 때문이다. 해석적 연속을 이해하기 위해 다음과 같은 해석 함수(analytic function)를 생각한다.

(1)

식 (1)은 기본적으로 무한 등비 급수(infinite geometric series)이므로, $f_1(z)$의 정의역은 $D_1$ = $\{z\,|\,|z| < 1\}$이다. 무한 등비 급수의 합을 이용해 식 (1)을 닫힌 형태로도 표현한다.

(2)

복소 함수 $f_2(z)$는 $|z| < 1$인 영역에서 $f_1(z)$와 완전히 같으면서도 $f_1(z)$와는 다르게 $|z| > 1$에서도 성립한다. 따라서 $f_2(z)$를 $f_1(z)$의 해석적 연속 혹은 확장이 된다[1]. 이와 비슷한 관계는 제2종 변형 베셀 함수(modified Bessel function of the second kind) $K_\nu (z)$에서도 발견할 수 있다. 즉, 복소수 $z$의 편각(偏角, argument) $\operatorname{arg}(z)$에 따라 $K_\nu (z)$를 다음처럼 다르게 정의한다.

(3)

식 (3)에 제시한 편각 영역은 [그림 1]처럼 중첩되는 부분과 각자 정의되는 부분이 있다. 이 두 영역을 합치면 모든 편각에서 $K_\nu (z)$를 정확히 정의할 수 있다. 또한 중첩되는 영역에서는 식 (1)의 첫째식과 둘째식은 동일하다. 따라서 로랑 급수(Laurent series)의 유일성에 의해 중첩 영역에서 무한 급수로 전개한 결과는 항상 동일하다. 추가적으로 해석 함수는 미분과 적분에 대한 완전한 특성을 가지기 때문에, 중첩 영역상에 정의된 곡선에서만 함수값이 같아도 모든 중첩 영역에서 함수값이 동일해져서 해석적 연속을 만족한다.

[해석적 연속과 곡선] [1]

중첩 영역에 정의된 곡선 $c$에서 복소 함수 $f_1(z)$와 $f_2(z)$의 함수값이 같으면, 모든 중첩 영역에서 함수값이 같다.

[증명]

[그림 1]과 같은 중첩 영역 $D_3$에서 두 복소 함수의 차를 $\phi(z)$ = $f_1(z) - f_2 (z)$로 정의한다. 여기서 곡선 $c$상에서는 당연히 $\phi(z)$ = $0$이다. 중첩 영역 $D_3$에서 $\phi(z)$ $\ne$ $0$인 점중의 하나는 $z$ = $z_0$라 정한다. 이 경우에 [그림 1]처럼 곡선 $c$에서 $z$ = $z_0$으로 연결되는 부드러운 곡선 $d$를 그릴 수 있다. 또한 곡선 $c$부터 $d$까지 따라가면서 $\phi(z)$ = $0$을 만족하는 마지막 점을 $z$ = $\zeta$라 할 때, $z$ = $\zeta$을 지난 점에서는 $\phi(z)$ $\ne$ $0$이며 $\zeta$ $\ne$ $z_0$이다. 이러한 조건을 이용해 $z$ = $\zeta$에서 $\phi(z)$의 테일러 급수(Taylor series)를 전개한다. 그러면 $d$를 따라가는 $z$ = $\zeta$ 근방에서는 위치에 관계없이 $\phi(z)$가 항상 $0$이므로, $\phi'(z)$ = $\phi''(z)$ = $\phi'''(z)$ = $\cdots$ = $0$이 된다. 따라서 $z$ = $\zeta$를 중심으로 한 테일러 급수는 항상 $0$이므로, $d$상의 모든 점에서 $\phi(z)$ = $0$이다. 이 결과는 이미 설정한 가정에 위배되므로, $\phi(z_0)$ $\ne$ $0$을 만족하는 $z$ = $z_0$은 존재하지 않는다.

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위 정리에 따라 중첩 영역의 함수값을 모든 지점에서 계산할 필요는 없고, 계산하기 편한 해석적인 곡선의 일부에서만 두 함수값을 서로 비교해도 해석적 연속을 판정하기에 충분하다.

[참고문헌]

[1] 줄리언 해빌, 오일러 상수 감마, 승산, 2008.

[다음 읽을거리]

1. 리만 제타 함수