2020년 11월 2일 월요일

조르당의 보조 정리(Jordan's Lemma)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "조르당의 보조 정리"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.


[그림 1] 복소 평면 상에서 반원을 따라가는 닫힌 경로(출처: wikipedia.org)

실수 함수(real function)에 대한 적분을 복소 함수(complex function)의 적분으로 확장할 때는 [그림 1]과 같은 적분 경로를 많이 만난다. 왜냐하면 실수 영역에서는 적분이 매우 어렵지만 복소 함수의 근원적 특성인 유수 정리(residue theorem)로 인해 복소 적분(complex integration)이 매우 쉬워질 수 있기 때문이다. 예를 들어 우리가 구하고 싶은 적분이 실수 경로 $c_2$를 따라가는 적분이라면, 유수 정리에 따라 원래 적분을 다음처럼 다시 쓸 수 있다.

                  (1)

여기서 $a > 0$, $z_m$은 $m$번째 극점(pole)이다. 식 (1)의 마지막식에서 복소 적분이 어려운 부분은 복소 경로 $c_1$을 따라가는 적분 $I_1$이다. 반원의 반지름 $R$이 무한대로 갈 때 $I_1$이 $0$이라면, $c_1$과 $c_2$가 만드는 닫힌 경로 안에 있는 유수만으로 다음처럼 $I_2$를 편하게 구한다.

                  (2)

복소 함수론의 유수 정리를 이용해 실수 영역에 정의된 이상 적분(improper integral)을 식 (2)처럼 간단하게 계산하려면, 무한히 커지는 반원 $c_1$ 상을 따라 적분하는 $I_1$의 크기를 결정해야 한다. 이런 경우에 쓰이는 무한한 반원 상의 복소 적분 크기에 대한 부등식 관계는 조르당의 보조 정리(Jordan's lemma)라 한다. 당연히 조르당의 보조 정리는 수학자 조르당Camille Jordan(1838–1922)이 매우 큰 기여를 했다[1].
조르당의 보조 정리를 증명하기 위해 $R$이 고정된 상태에서 반원 상의 적분인 $I_1$을 편각(argument) $\phi$에 대한 적분으로 바꾼다.

                  (3)

식 (3)의 크기를 정하기 위해서, $R$이 커질 때 $f(z)$ < $\epsilon$이 항상 성립한다고 가정한다. 수학적으로 더 정확히 쓰면, 임의로 작은 양의 실수 $\epsilon$에 대해  $R$ > $R_\epsilon$이면 $|f(z)|$ < $\epsilon$을 만족하는 $R_\epsilon$이 항상 존재한다. 그래서 식 (3)의 크기는 다음처럼 제한된다.

                  (4)

여기서 사인 함수의 부등식 $2 \phi / \pi$ $\le$ $\sin \phi$이 성립한다. 식 (4)의 증명에 쓰인 사인 함수의 부등식은 조르당의 부등식(Jordan's inequality)이라고도 한다. 식 (4)에 의해 $R \to \infty$로 가면, $\epsilon$은 $0$에 근접해서 $|I_1|$은 $0$에 수렴한다. 그래서 조르당의 보조 정리를 다음처럼 명확히 기술한다.

                  (5)

식 (5)를 더 일반화해서 조르당의 보조 정리를 $I_1$의 크기에 대한 부등식 관계로 바꿀 수 있다. 만약 $c_1$ 상에서 $f(z)$의 크기가 $0$으로 가지 않고 유한한 최대값 $M$을 가지면, $I_1$의 크기는 다음과 같은 부등식을 만족한다.

                  (6)

여기서 $M$ = $\max(|f(z)|)$이다. 식 (5)의 확장인 식 (6)도 조르당의 보조 정리가 된다. 즉 무한히 커지는 $R$ 상에서 $|f(z)|$가 항상 0이면, 식 (6)에 의해 $I_1$ = $0$이 성립한다. 이 결과는 식 (5)와 동일해서 식 (6)은 식 (5)의 일반화이다.

[그림 2] 표본화 함수의 적분을 위한 닫힌 경로

조르당의 보조 정리는 다양한 실수 함수의 적분에 사용될 수 있다. 식 (2)를 기반으로 표본화 함수 $\operatorname{Sa}(x)$ = $\sin x / x$의 무한 적분을 해본다.

                  (7)

여기서 조르당의 보조 정리에 의해 $c_3$ 상의 복소 적분은 $0$이다.

[참고문헌]
[1] C. Jordan, Cours d'Analyse de l'École Polytechnique (Course of Analysis at the École Polytechnique), Paris: Gauthier-Villars, 1894, pp. 285–286.

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