2013년 2월 2일 토요일

코사인 적분(cosine integral)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "코사인 적분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 지수 적분
2. 사인 적분


[그림 1] 코사인 적분(출처: wikipedia.org)

식 (1)에 있는 사인 적분(sine integral)의 정의를 이용해 식 (2)의 코사인 적분(ci: cosine integral)을 새롭게 만들어 보자.

                       (1)

                       (2)

식 (1)의 사인 적분은 다음과 같은 미분 방정식(differential equation)을 만족했다. 코사인 적분도 동일한 미분 방정식을 만족할 것인가?

                       (3)

사인 적분에 대한 미분 방정식 증명과 마찬가지로 코사인 적분도 여러번 미분을 해서 관계식을 만들어보자.

                       (4)

식 (4)에 의해 코사인 적분도 사인 적분과 동일하게 아래 미분 방정식을 만족한다.

                       (5)

식 (1), (2)와 같은 정의는 적분의 점근식(asymptote)을 유도할 때 유용한 것이다. 따라서, 코사인 적분의 경우에도 사인 적분 유도 때와 동일한 방법으로 점근식을 만들어보자.

                       (6)

그러면 최종 점근식은 다음처럼 표현된다.

                       (7)

식 (2)처럼 코사인 적분 구간을 $x$에서 무한대로 정의할 수도 있지만, 0에서 $x$까지로도 정의할 수 있을 것이다. 하지만 $x$가 0 가까이로 가면 발산하는 문제가 있다. 이 특성은 다음처럼 증명할 수 있다.

                       (8)

그래서 0에서 $x$까지 가는 적분으로 코사인 적분을 정의하려면 특별한 조치가 필요하다. 이 과정을 위해 먼저 아래 지수 적분(exponential integral)을 생각하자.

                      (9)

                         (10)

                         (11)

식 (10)으로 인해 전체 복소 평면(complex plane)에서 지수 적분은 로그 함수의 특이성을 가지므로 아래와 같은 가지 자름(branch cut)을 정의해야 한다.

[그림 2] 로그 함수를 위한 가지 자름

그러면 복소 평면에서 지수 적분은 다음으로 표현할 수도 있다.

                         (12)

신기하게도 복소 영역에서 지수 적분은 사인 적분(sine integral)과 코사인 적분의 합으로 표현된다. 식 (12)의 정의식을 식 (10)에 대입해 정리해보자.

                         (13)

그러면 코사인 적분은 다음으로 정의될 수 있다.

                         (14)

식 (14)처럼 코사인 적분이 0에서 $x$로 정의된 경우는 소문자가 아닌 대문자를 이용해 $\text{Ci}(x)$로 표현한다. 특히 식 (14)에 있는 적분을 강조하여 코사인 적분(Cin: Cosine integral)을 다음처럼 표현하기도 한다.

                         (15)

                         (16)

코사인 적분을 표현하는 이름이 $\text{ci}(x), \text{Ci}(x), \text{Cin}(x)$와 같이 다양하다는 것도 꼭 기억하자.

[참고문헌]
[1] C. M. Bender and S. A. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers I: Asymptotic Methods and Perturbation Theory, Springer, 1999.
[2] J. D. Mahony, "On alternative evaluation of the integrals $\text{Cin}(z)$ and $\text{Si}(z)$," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 56, no. 2, pp. 156-160, April 2014.
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