2013년 2월 1일 금요일

사인 적분(sine integral)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "사인 적분"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 적분법의 의미
2. 테일러 급수
3. 미분방정식의 의미
4. 지수 적분


[그림 1] 사인 적분(출처: wikipedia.org)

사인 함수(sine function)으로 구성된 적분(integration) 중에서 가장 유명한 것은 다음의 사인 적분(Si: Sine integral)일 것이다.

                       (1)

사인 적분이 중요한 이유는 피적분 함수가 표본 함수(sampling function) $\text{Sa}(x)$이기 때문이다.

                       (2)

사인 적분의 의미를 찾기 위해 표본 함수의 다음 적분을 고려하자.

                       (3)

                       (4)

식 (3)과 (4)처럼 표본 함수의 적분 구간이 무한대이면 적분값을 정확히 구할 수 있다. 만약 적분 구간이 식 (1)처럼 유한하다면 어떻게 될까? 여기에 대한 답을 주는 것이 식 (1)의 사인 적분이다.
식 (1)의 적분값은 사인 함수의 테일러 급수(Taylor series)를 이용해 쉽게 구할 수 있다.

                         (5: 삼각 함수의 합차 공식)

                       (6)

식 (6)은 사인 함수에 대한 적분결과이므로 식 (6)의 무한 급수(infinite series)는 모든 영역에서 수렴한다. 하지만 이건 수학적으로만 맞는 말이고 실제 수치계산에서는 맞지 않다. x가 커지면 무한급수의 항들이 빠르게 커져 매우 많은 항을 합쳐 주어야 수렴하게 된다. 그래서 수치계산을 효율적으로 하려면 사인 적분의 점근식(asymptote)이 필요하다. 사인 적분의 점근식을 구하기 위해 식 (4)와 부분 적분(integration by parts)을 이용하자.

                       (7)

식 (7)의 과정을 계속 반복하면 다음 결과식을 얻을 수 있다.

                     (8)

다음으로 사인 적분이 만족하는 미분 방정식(differential equation)을 찾아보자. 찾는 법은 비교적 간단하다. 사인 적분을 미분하여 계수를 서로 비교하면 쉽게 관계되는 미분방정식을 만들 수 있다.

                       (9)

세번 미분한 것을 한번과 두번 미분한 것과 연립할 수 있으므로 다음 미분방정식의 해가 사인 적분이 된다.

                       (10)

어차피 적분해서 식 (2)의표본 함수가 나오면 식 (10)의 미분 방정식을 만족하므로 새로운 사인 적분을 다음처럼 정의할 수 있다.

                       (11)

식 (7)을 참고하면 식 (11)의 정의는 점근식 유도에 매우 유용하다. 사인 적분들 간의 관계식은 다음과 같다.

                       (12)

식 (4)에 소개한 이상 적분(improper integral)은 신기하게도 수렴한다. 하지만 아래 절대값을 가진 적분은 발산한다[2]. 식 (4)와 (5)의 예는 절대값 유무에 따라 적분값이 수렴 혹은 발산하는 좋은 예이다.

                       (13)

식 (13)의 증명은 의외로 간단하다. 식 (13)의 적분 구간 일부를 다음과 같은 수열로 표현하자.

                (14)

수열 $a_n$은 조화 급수(harmonic series)의 항보다 항상 크고 조화급수는 발산하므로 식 (13)은 발산한다.

[참고문헌]
[1] SI Sine Integral, The Encyclopedia of Special Functions.
[2] Andrés Caicedo, "175 -The sine integral," Teaching Blog, 2008.
[3] J. D. Mahony, "On alternative evaluation of the integrals $\text{Cin}(z)$ and $\text{Si}(z)$," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 56, no. 2, pp. 156-160, April 2014.

[다음 읽을거리]
1. 코사인 적분
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