2022년 10월 4일 화요일

복사 패턴과 안테나 이득(Radiation Pattern and Antenna Gain)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "복사 패턴과 안테나 이득"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

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(a) 다이폴 안테나(dipole antenna)가 만드는 3차원 복사 패턴

(b) 나선 안테나(helical antenna)에 대한 2차원 복사 패턴(출처: wikipedia.org)
[그림 1] 다양한 복사 패턴의 표현 모습

안테나(antenna)가 3차원 공간으로 복사하는 전자파의 분포 특성을 구 좌표계(spherical coordinate system)에서 보여주는 중요 지표가 [그림 1]에 소개한 복사 패턴(radiation pattern)이다. 여기서 복사 패턴은 안테나에서 아주 먼 원역장 영역(far field region)을 가정해서 정의한다. 3차원에서 원점에 안테나가 있다고 가정하고 각도 $(\theta, \phi)$방향으로 향하는 복사 패턴을 도형[그림 1(a)에서는 알록달록한 표면, 그림 1(b)에서는 파란색 선]으로 표현한다. 도형을 그릴 때에 원점에서 멀어져 반지름 $r$방향으로 커질수록, 전자파가 많이 복사된다고 복사 패턴을 해석한다. 즉, 도형이 원점에 가까우면 전자파 복사가 작고, 원점에서 훌쩍 떨어진 도형은 매우 큰 전자파 복사를 뜻한다. 안테나가 복사하는 전자장은 대소 관계가 극단적이어서 복사 패턴을 그릴 때는 데시벨(decibel, dB)을 많이 쓴다. [그림 1(a)]와 같은 3차원 복사 패턴은 안테나의 복사 특성을 3차원 공간에 보여주고 있어서, 평면에 그리기는 매우 힘들다. 그래서 [그림 1(b)]처럼 3차원 공간을 절단해서 강제로 2차원으로 만든 복사 패턴을 더 흔하게 볼 수 있다. 2차원 복사 패턴은 반지름과 각도의 관계를 평면에 가시화하기 위해 극 좌표계(polar coordinate system)를 도입한다.
포인팅 정리에 따라 안테나의 복사 패턴은 원역장에서 구한 전기장 $\bar E(\theta, \phi)$이나 복사 전력(radiated power) $P_r (\theta, \phi)$의 크기를 이용해 그릴 수 있다.

                  (1)

여기서 $\eta$는 파동 임피던스(wave impedance), $\Delta \Omega$는 $(\theta, \phi)$방향으로 복사되는 전력을 정의하는 미소 입체각(solid angle), $U(\theta, \phi)$는 거리 $r$에 독립적인 복사 세기(radiant intensity)이다. 통상적으로 통신 시스템의 송신 특성을 직관적으로 보이기 위해 주로 복사 전력을 선택해서 복사 패턴을 그린다. 또한 복사 전력이 복사 패턴의 주된 기준이라서 데시벨이 더욱 유용하다. 다만 식 (1)은 입력 전력(input power) $P_\text{in}$에 의해 전기장이나 복사 전력이 변할 수 있어서 좋은 관계식은 아니다. 그래서 평균 복사 세기[= $P_\text{rad}/(4\pi)$]를 기준으로 식 (1)을 정규화한 방향도(方向度, directivity) $D(\theta, \phi)$를 정의함으로써, 입력 전력에 관계없이 복사 패턴이 안테나의 집중도를 정량적으로 표현하게 한다.

                  (2)

여기서 $P_\text{rad}$는 전체 복사 전력(total radiated power, TRP)이다. 방향도 정의에 복사 세기를 쓰는 이유는 분명하다. 광학에서 복사 측정을 위해 사용되는 여러 개념이 있지만, 원천과 수신면 사이의 거리 $r$에 관계없이 일정한 복사 양을 나타내는 대표적 항목은 복사 세기이다. 복사 세기로 방향도를 공식화하기 때문에 방향도는 $r$에 따라 변하지 않는다, 거리에 독립적인 특성은 원역장의 기본 성질에 부합한다.
방향도의 기본은 모든 방향으로 복사되는 전력을 모은 $P_\text{rad}$이지만, 전방향의 전자파 신호를 실제로 재기는 매우 어렵다. 그래서 측정이 쉬운 안테나에 들어가는 전력인 입력 전력 $P_\text{in}$을 바탕으로 하는 안테나 이득(antenna gain) $G(\theta, \phi)$가 실무적으로 많이 사용된다.

                  (3)

여기서 $P_\text{in}$은 안테나에 실제적으로 들어가는 입력, $\eta_r$ = $P_\text{rad}/P_\text{in}$는 복사 효율(radiation efficiency)이다. 안테나의 순수 입력 전력 $P_\text{in}$은 전력 증폭기(power amplifier, PA)의 출력 전력인 $P_\text{tot}$와 안테나 입력단에 의한 반사도 $\Gamma$까지 고려해서 $P_\text{in}$ = $(1-|\Gamma|^2) P_\text{tot}$로 설정한다. 이 $P_\text{in}$은 안테나에서 일부 손실되고 대부분은 공간으로 복사되어서 전체 복사 전력 $P_\text{rad}$에 기여한다. 여기서 안테나의 손실 전력은 $P_\text{loss}$이며, $P_\text{in}$ = $P_\text{rad} + P_\text{loss}$가 성립, 손실 전력 $P_\text{loss}$는 대부분 저항성 손실(ohmic loss)에 기인한다. 이를 바탕으로 복사 효율을 더 구체적인 $\eta_r$ = $P_\text{rad} \mathbin{/}(P_\text{rad} + P_\text{loss})$로 쓰기도 한다.
방향도와 안테나 이득은 전방향에서 정의 가능하지만, 간략화를 위해 보통 방향도와 안테나 이득의 최대값을 대표값으로 설정한다.

                  (4)

그러면 [그림 1]처럼 복잡한 복사 패턴을 숫자 하나인 방향도나 안테나 이득으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 어떤 안테나의 방향도가 $D$ = $100$[= 20 dBi]이라면, 안테나가 특정 방향으로 전력을 100배 집속해서 복사하는 패턴을 나타낸다. 하지만 안테나 이득에는 큰 오해가 있다. 명칭에 이득이 있기 때문에 안테나가 증폭기 역할을 한다고 잘못 생각하기도 한다. 전혀 아니다. 금속이나 유전체로 만드는 안테나가 반도체로 구현하는 증폭기와 같은 특성을 보일 수 없다. 안테나는 증폭기가 아니고 돋보기 노릇을 한다. 즉, 안테나의 구조나 매질을 바꾸어서 안테나는 복사가 원하는 방향으로 집중하도록 돕는다. 이 특성을 용어적으로 안테나 이득이라 할 뿐이다.

[그림 2] 등방성 안테나의 복사 모습(출처: wikipedia.org)

방향도 혹은 안테나 이득은 전방향으로 전자파를 골고루 복사하는 등방성 안테나(等方性, isotropic antenna)가 기준이다. 예를 들어, 등방성 안테나의 복사 세기를 $U(\theta, \phi)$ = $U_0$라고 하면, $P_\text{rad}$ = $4 \pi U_0$가 되어서 $D(\theta, \phi)$ = $1$이 된다. 데시벨 관점에서 방향도나 안테나 이득은 등방성 안테나를 기준으로 $10 \log_{10} |D(\theta, \phi)/1|$ 혹은 $10 \log_{10} |G(\theta, \phi)/1|$처럼 계산된다. 이때 데시벨의 단위는 등방성을 강조해서 dBi[디비아이라고 읽음]라 쓴다.

[그림 3] 다이폴 안테나의 복사 전자기장(출처: wikipedia.org)

2차원 복사 패턴은 3차원 복사 패턴을 특정한 방향으로 잘라 만들어서 2차원 복사 패턴을 정의하는 방법은 무한대의 가지수가 있다. 보통 많이 쓰는 기준은 전기장 혹은 자기장 벡터 방향이므로, 전기장과 자기장이 놓 방향을 따라가면서 그린 도표는 각각 E평면(E-plane)H평면(H-plane) 복사 패턴이 된다. [그림 3]에 보이는 $z$축으로 놓인 다이폴 안테나(dipole antenna)를 예로 든다. 다이폴 안테나의 전류는 $z$방향으로 흘러서, 복사되는 전기장은 $\hat \theta$에 생긴다. 이에 방위각 $\phi$는 고정하고 극고도각 $\theta$를 바꾸면서 그리면 E평면이 된다. 비슷하게, $z$방향 전류에 대해 오른손 법칙으로 구한 자기장은 $\hat \phi$에 발생된다. 이번에는 자기장을 좇아 $\theta$를 바꾸지 않고 $\phi$를 변화시킬 수 있다. 이 경우는 H평면 복사 패턴이다.

(a) 극 좌표계에 표현

 
(b) 데카르트 좌표계에 표현
[그림 4] 2차원 복사 패턴의 도식화 방법(출처: wikipedia.org)

[그림 4]은 복사 패턴의 여러 모양을 정의하고 있다. 복사 패턴에서 전자파가 가장 크게 복사되는 부분은 주엽(主葉, main lobe)이라 한다. 주엽 대신 가장 밝은 곳이란 의미로 주빔(main beam)이라 할 수도 있다. 복사 패턴은 귓불이나 나뭇잎 모양을 하고 있어서, 패턴 모양을 지칭하는 용어에 엽을 주로 붙인다. 주엽이 아니면서 귓불을 닮은 곳은 부엽(附葉, sidelobe)이라 이름한다. 주엽이 생기는 방향과 180˚ 위치에 생기는 패턴은 후엽(後, back lobe)이 된다. 복사 패턴이 귓불 모양을 만들면서 필연적으로 생기는 영점은 무효 혹은 (null)이라 부른다. [그림 4(b)]처럼 안테나를 배열로 배치한 경우에 주기성으로 인해 주엽처럼 큰 패턴이 되풀이해서 생기기도 한다. 이런 귓불 유형은 격자엽(格子, grating lobe)이라 명명한다. 격자엽과 부엽은 주엽이 아닌 측면에서 같지만, 전체적 특성은 조금 다르다. 부엽은 주엽보다 확실히 작지만 격자엽과 주엽은 거의 비슷한 크기라서, 두 용어는 분명히 구별된다.

[그림 5] 직사각형 전류 분포의 모습(사진 출처: wikipedia.org)

여러 복사 패턴을 분석할 때, 간단해서 기본이 되는 전류 분포는 [그림 5]에 제시한 직사각형 모양이다. [그림 5]에서 직사각형의 가로 및 세로 길이는 각각 $L_x, L_y$이다. 프라운호퍼 회절 적분(Fraunhofer diffraction integral)의 개념에 따라, 근역장(near field)에 있는 전류 밀도 $\bar J_s (\bar r')$ = $\bar J_0$의 2차원 푸리에 변환(2D Fourier transform)은 원역장의 복사 패턴이 된다. 여기서 간략화를 위해 전류 밀도는 일정하다고 가정한다. 근축 근방[$\theta \approx 0^\circ$]에서 최종적인 복사 패턴은 다음과 같다.

                  (5)

여기서 $\operatorname{Sa}(x)$는 표본화 함수(sampling function), $\cos \alpha, \cos \beta$는 각각 $x, y$축의 방향 코사인(direction cosine), $l$ = $\cos \alpha$ = $\sin \theta \cos \phi$, $m$ = $\cos \beta$ = $\sin \theta \sin \phi$이다. 식 (5)를 식 (4)에 넣고 야코비 행렬식(Jacobian determinant or Jacobian)을 도입해서 방향도 $D$를 유도한다.

                  (6)

                  (7)

여기서 $\bf J$는 야코비 행렬(Jacobian matrix), $u(\cdot)$는 단위 계단 함수(unit step function)이다. 직사각형의 면적이 $\lambda^2$보다 매우 크다는 $L_x \gg \lambda$, $L_y \gg \lambda$ 조건을 활용해서 식 (7)을 적극적으로 근사한다.

                  (8)

여기서 첫째식에 $\theta \approx 0^\circ$ 혹은 $l^2 + m^2 \approx 0$이라는 근축 근사를 적용, $\Delta$는 매우 작은 양의 실수이다. 식 (8)과 표본화 함수의 제곱 적분을 식 (7)에 대입하고 간략화해서 최종 결과를 얻는다.

                         (9)

                         (10)

따라서 직류 분포를 계속 키우면 방향도 혹은 안테나 이득은 지속적으로 증가하기 때문에, 방향도 혹은 안테나 이득의 최대값은 없다.
방향도와 안테나 이득을 전공간에 대해 적분하면 어떻게 될까? 우리 예측과 다르게, 식 (2)와 (3)의 정의로 인해 전공간 적분은 놀랍도록 간단해진다.

                         (11)

여기서 $\Omega$는 전공간을 아우르는 입체각(solid angle), $d\Omega$ = $\sin \theta\,d\theta d\phi$이다. 식 (11)이 안테나 종류에 관계없이 성립하며, 복사 효율을 전공간에 대한 안테나 이득의 평균값으로 쓸 수도 있다는 관점은 더욱 신기하다.


   1. 빔폭(beamwidth)   

주빔의 각도 방향 간격을 나타내는 빔폭(beamwidth)은 복사 패턴을 단순화시키기 위해 사용한다. 빔폭 대신 빔 직경(beam diameter)이란 용어도 쓰인다. 통상적으로 사용하는 빔폭 정의는 반전력 빔폭(half power beamwidth, HPBW)이다. 반전력 빔폭은 주빔에서 전력이 1/2 혹은 3 dB만큼 떨어지는 범위를 의미한다.

[그림 1.1] 반전력 빔폭(half power beamwidth, HPBW)으로 재정의한 복사 패턴(사진 출처: wikipedia.org)

새로 채택한 반전력 빔폭을 쓰면, [그림 4(b)]처럼 복잡한 복사 패턴[빨간색 선]을 [그림 1.1]에 보인 파란색 선으로 훨씬 더 간략화할 수 있다. 반전력 빔폭 범위 내의 전자파는 같은 크기로 복사하고, 빔폭 밖으로 나가는 전자파는 0이라고 땡처리한다. 이 결과가 [그림 1.1]에 있는 파란색 선이다. 근사적으로 반전력 빔폭 안에만 전자파가 존재하므로, 식 (2)에 정의한 방향도도 매우 쉽게 계산할 수 있다.

                         (1.1)

여기서 $\Theta_\alpha, \Theta_\beta$는 각각 $\alpha, \beta$방향의 반전력 빔폭, $\Theta_\alpha, \Theta_\beta$ 안에서는 $U \approx 1$이고 나머지는 $U \approx 0$으로 가정한다. 식 (1.1)은 반전력 빔폭의 제곱에 방향도가 반비례하는 관계를 명시적으로 보여준다. 반전력 빔폭으로 유도한 식 (1.1)은 간단해서 실무에서도 많이 쓰이는 유용한 근사식이다. 하지만 증명 과정이 우리가 선택한 반전력 빔폭의 정의에 의지하기 때문에 거의 동어반복이다. 정확하게 복사 패턴을 근사해서 식 (1.1)을 이끌어내기 위해 다시 식 (5)를 본다. 반전력 빔폭의 정의에 따라 식 (5)에서 $\Theta_\alpha, \Theta_\beta$를 구해본다.

                         (1.2)

여기서 $x_\text{3dB}$[= ${\rm Sa}^{-1}(1/\sqrt{2})$ $\approx$ $1.39156$]복사 패턴의 제곱이 1/2인 표본화 함수의 $x$값이다. 식 (1.2)를 식 (10)에 넣고 간단히 표현한다.

                         (1.3)

어림 계산을 많이 한 결과이지만 식 (1.1)은 근본과 족보가 있는 훌륭한 근사식이다. 그래서 안테나 면적이 파장보다 충분히 크다면, 식 (1.1)은 반전력 빔폭만으로 방향도를 유추할 수 있게 한다. 라디안(radian)이 아닌 각도(degree)로 빔폭을 측정한 경우는 더 정확하면서도 아름답게 방향도를 공식화할 수 있다.

                         (1.4)

여기서 $\Theta_{\alpha,d}, \Theta_{\beta,d}$은 각도로 잰 빔폭이다. 예를 들어, 빔폭이 $\Theta_{\alpha,d}$ = $\Theta_{\beta,d}$ = $18^\circ$라면 방향도는 근사적으로 $D$ $\approx$ $20$ dBi가 된다.


   2. 부엽 수준(sidelobe level, SLL)   

안테나의 복사 패턴이 생긴 모양을 부엽에 바탕으로 두고 보여주는 중요 요소는 [그림 1.1]에 나온 부엽 수준(sidelobe level, SLL)이다. 데시벨 단위로 기술한 SLL의 정의는 다음과 같다.

                         (2.1)

여기서 $P_\text{ml}$과 $P_\text{sl}$은 각각 주엽 및 부엽 방향의 최대 복사 전력이다. SLL은 주엽을 기준으로 부엽 전력을 데시벨로 재어서 항상 0 혹은 음의 값을 가진다. 전류 분포가 [그림 5]와 같은 사각형 모양일 때의 SLL은 표본화 함수의 1번 극단값(extreme point) $p_1$[$\approx$ 4.49341]으로 계산한다.

                         (2.2)

SLL은 전류 분포 혹은 복사 패턴을 이루는 함수가 결정하므로, 분포 모양을 그대로 둔 상태에서 안테나의 크기를 아무리 바꾸어도 SLL은 변화가 별로 없다. SLL을 다르게 설계하려면 전류 분포를 사각형에서 원형이나 다른 모양으로 교체해야 한다.


   3. 포락선 상관 계수(envelope correlation coefficient, ECC)   

MIMO(multiple-input and multiple-output) 기술처럼 다중 안테나(multiple antennas)를 쓰면, 송신 안테나 주변에 여러 대의 수신 안테나가 있어서 안테나 상호간에 간섭이 필연적으로 생긴다[1]–[3]. 이를 정량화하기 위해 안테나 상관 계수(antenna correlation coefficient, ACC) $\rho_{ij}$를 정의한다. 안테나 상관 계수는 편파 효율(polarization efficiency)을 염두에 두고 정한다.

                         (3.1)

여기서 $\Omega$는 전체 공간에 대한 입체각(solid angle), $\bar F_i (\theta, \phi)$는 $i$번 안테나의 복사 패턴이다. 만약 $i$ = $j$라면 동일한 복사 패턴이라서, 분모의 정규화로 인해 당연히 $\rho_{ij}$ = $1$이 나온다. 두 안테나가 모든 방향에서 서로 교차 편파(cross-polarization)인 경우는 상호 영향이 전혀 없어서 $\rho_{ij}$ = $0$로 계산된다. 또한 안테나의 주빔 방향이 서로 많이 떨어질수록, $\bar F_i (\cdot) \cdot \bar F_j(\cdot)$의 크기는 작아져서 $|\rho_{ij}|$도 계속 감소한다. 일반적으로 복소수인 $\rho_{ij}$를 실수화해서 보기 좋게 만든 포락선 상관 계수(envelope correlation coefficient, ECC)도 많이 쓰인다. 용어 ECC에 쓰인 포락선(包絡線, envelope)은 내용물을 싸는 봉투처럼 $\bar F_i (\cdot) \cdot \bar F_j(\cdot)$의 진폭 궤적을 그대로 따라가는 곡선이다.

                         (3.2)

여기서 $0 \le \operatorname{ECC}_{ij} \le 1$이다. 안테나 이득을 위한 벡터식 복사 패턴(vectorial radiation pattern) $\bar E_p(\theta, \phi)$를 도입해서 ACC와 ECC를 더욱 간략화할 수 있다.

                         (3.3)

여기서 $\bar E_{p, i}(\theta, \phi)$, $\eta_{r,i}$는 $i$번 안테나의 벡터식 복사 패턴 및 복사 효율이다.

[그림 3.1] 두 안테나 간에 생기는 전력파와 안테나 이득

인접한 안테나 간의 간섭을 정의할 때에 ACC 혹은 ECC는 유용한 도구이지만 한 가지 문제점이 있다. 그냥 복사 패턴도 아니고 벡터식 복사 패턴을 전공간에 대해 구해서 적분하기가 쉽지 않다. 그래서 [그림 3.1]과 같이 두 안테나의 단자(端子, port)에 존재하는 입사 전력파(incident power wave) $a_1, a_2$와 반사 전력파(reflected power wave) $b_1, b_2$를 측정해서 ECC를 간단히 환산해본다[2]. 먼저 안테나에 입력되어 실질적으로 복사에 관여하는 입력 전력 $P_\text{in}$은 다음과 같다.

                         (3.4)

여기서 $\bf a$ = $[a_1~a_2]^T$, $\bf b$ = $[b_1~b_2]^T$, $\bf S$는 산란 행렬(scattering matrix), $(\cdot)^H$는 에르미트 행렬(Hermitian matrix)이다. 다른 관점으로 벡터식 복사 패턴을 이용해 입사 전력파 $a_1, a_2$가 동시에 만드는 전체 복사 전력 $P_\text{rad}$를 유도한다[2].

                         (3.5)

                         (3.6)

여기서 $\bar F_i(\theta, \phi)$는 $a_i$에 대응하는 벡터식 복사 패턴, 상관 계수(correlation coefficient) $C_{ij}$는 상관 행렬(correlation matrix) $\bf C$의 원소, $C_{12}$ = $C_{21}^*$이다. 강제로 $P_\text{in}$ = $P_\text{rad}$로 맞춘 후에 등식을 비교해서 $\bf C$를 $\bf S$로 공식화한다.

                         (3.7)

식 (3.7)에서 상관 계수 $C_{11}, C_{22}$를 구해서 $a_i$에 의한 $\bar F_i(\theta, \phi)$와 안테나 이득용 $\bar E_{p,i}(\theta, \phi)$의 관계도 구한다.

                         (3.8)

여기서 $\eta_{r,i}$는 $i$번 안테나의 복사 효율이다. 그러면 1, 2번 안테나에 형성된 ECC는 복사 패턴이 아닌 산란 행렬의 원소로 환산된다.

                         (3.9)

MIMO처럼 다중 안테나를 다루는 환경에서 식 (3.9)은 단순하지만 강력하다. 식 (3.9)로 인해 복사 패턴의 측정 없이 안테나의 정합(matching)과 결합(coupling)만으로 ECC를 빠르게 결정할 수 있다.


   4. 평균 유효 이득(mean effective gain, MEG)   

MIMO 안테나에 쓰이는 중요한 지표로 평균 유효 이득(mean effective gain, MEG)가 있다. 원래 안테나 측정은 주변 반사가 없는 차폐된 장소에서 이루어져야 한다. 하지만 MIMO는 풍부한 산란(rich scattering)을 전제로 하기 때문에, 기존 측정법을 그대로 MIMO 안테나에 적용하기가 곤란해진다. 그래서 실제 환경에서 다중 안테나가 가지는 복사 특성을 표현하기 위해 다음과 같은 MEG $G_e$를 정의한다[4].

                         (4.1)

여기서 $P_\text{rx}$는 피시험 안테나(antenna under test, AUT)를 수신기(receiver, Rx)로 써서 측정한 개방 회로 전압(open-circuit voltage) $V_\text{oc}(t)$의 제곱에 대한 앙상블 평균(ensemble average), $P_\text{ref}$는 $P_\text{rx}$를 잴 때와 완벽히 동일한 조건에서 기준 안테나(reference antenna)를 앙상블 평균한 값이다. 식 (4.1)에 나온 개방 회로 전압의 제곱[단위는 전력이 되지만, 전류가 없어서 전력은 0이다.]을 앙상블 평균 $\langle X(t)\rangle$로 기술하면 다음과 같다.

                         (4.2)

                         (4.3)

여기서 $X(t)$는 시변 확률 변수(time-varying random variable), $p_{X(t)}$는 $X(t)$가 일어날 확률 밀도 함수(probability density function, PDF)이다. 안테나 측정에서 앙상블 평균은 안테나가 놓일 수 있는 모든 가능한 시행에 따라 바뀌는 개방 회로 전압의 확률적 평균을 의미한다. 여기서 안테나가 어떻게 놓일지에 대한 확률은 $p_{X(t)}$가 결정하며, 안테나에 변화를 주면 주로 수신 편파(received polarization)가 바뀐다. 기준 안테나는 모든 편파를 다 수신할 수 있도록 설정하므로, 단일 편파만 얻어서 잰 $P_\text{rx}$보다 $P_\text{ref}$는 평균적으로 2배 정도 크게 측정되며 $G_e$의 최대값은 보통 $-3$ dB가 된다. 결국 MEG는 현재 설계한 MIMO용 안테나가 얼마나 $-3$ dB에 근접하는지를 보여주는 훌륭한 규격이 된다.
MEG는 각 안테나 단자별로 정의될 수도 있다. 이 경우에 반사와 투과를 제거하고 안테나로 들어가는 전력 $P_\text{in}$만 고려해서 $i$번 안테나의 MEG $G_{e,i}$를 다음처럼 근사적으로 정의한다.

                         (4.4)

여기서 $|S_{ij}|^2$은 $j$번 단자로의 반사 혹은 투과 전력, $n$은 안테나의 개수이다.


   5. 전체 능동 반사 계수(total active reflection coefficient, TARC)   

배열 안테나(array antenna)는 기본적으로 내부에 많은 원소 안테나(element antenna)가 존재하기 때문에, 모든 입력 단자에 전원을 연결해서 출력을 주면 각 단자로 전달되는 반사가 매우 복잡해진다. 이 경우는 전체 단자를 고려하지 않고 입력 전부가 $i$번 단자에 만드는 반사도 $\Gamma_a^i$만 선택해서 $i$번 단자의 능동 반사 계수(active reflection coefficient, ARC) $\Gamma_a^i$로 정의한다.

                         (5.1)

여기서 $a_i$는 $i$번 단자의 입력 전력파, $n$은 안테나 원소의 개수이다. ARC를 조금 더 확장해서 단자 전체에 입력을 넣고 각 단자로 다시 나오는 모든 출력의 비율로 정의하는 전체 능동 반사 계수(total active reflection coefficient, TARC) $\Gamma_a^t$도 있다[1].

                         (5.2)

여기서 $0 \le \Gamma_a^t \le 1$, $P_\text{tot}$는 안테나의 유효 전력(effective power or available power)이다. 식 (5.2)에 보인 $\Gamma_a^t$의 정의는 간단하지만 아무리 봐도 반사 계수처럼 보이지 않는다. 입사 및 반사 전력파를 식 (5.2)에 대입해야 비로소 반사 계수 모양을 가지게 된다.

                         (5.3)

복사 효율이 매우 좋아서 $P_\text{loss} \approx 0$에 가까운 경우에는 식 (5.3)이 더욱 간략화된다.

                         (5.4)

드디어 식 (5.4)의 분자와 분모는 총단자에 대한 입사와 반사 전력파의 비율이라서 분명히 전체 반사 계수로 보인다. TARC는 다수의 안테나를 가진 배열 안테나의 복사 전력 $P_\text{rad}$을 간접적으로 보여준다. TARC가 0에 가까울수록 $P_\text{rad}$가 커져서 복사 전력은 증가하며, 반대로 TARC가 1인 경우는 $P_\text{rad}$ = $0$이 되므로 안테나 원소 전부에서 복사가 없다. 또한 TARC는 배열 안테나의 유효 임피던스 대역폭(effective impedance bandwidth)을 정의할 때도 사용할 수 있다[1]. 각 단자로 반사되는 $b_i$를 측정함으로써 $\Gamma_a^t$를 환산하고 $\Gamma_a^t$가 특정값 이하가 되는 주파수 범위[예를 들어, $\Gamma_a^t \le -10$ dB로 설정]를 배열 안테나가 잘 동작하는 등가적인 대역폭으로 결정한다. 이 대역폭이 바로 모든 안테나 원소를 입력을 쓸 때에 적합한 유효 임피던스 대역폭이다. 통상적인 대역폭은 단일 안테나가 조건이라서 여러 단자로 확장하기 어렵지만, 식 (5.4)는 단자 개수에 관계없이 쉽게 유효 대역폭을 도출할 수 있다.   


[다음 읽을거리]

[참고문헌]
[1] M. S. Sharawi, "Printed MIMO antenna systems: performance metrics, implementations and challenges," Forum Electromagn. Methods Appl. (FERMAT), 2014. 
[2] S. Blanch, J. Romeu, I. Corbella, "Exact representation of antenna system diversity performance from input parameter description," Electron. Lett., vol. 39, no. 9, pp. 705–707, May, 2003.
[3] S. A. Saputro, S. Nandiwardhana, and J.-Y. Chung, "Estimation of antenna correlation coefficient of N-port lossy MIMO array," ETRI J., vol. 40, no. 3, pp. 303–308, Jun. 2018.
[4] A. A. Glazunov, A. F. Molisch, F. Tufvesson, "Mean effective gain of antennas in a wireless channel," IET Microw. Antennas Propag., vol. 3, no. 2, pp. 214–227, Mar. 2009.

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