2022년 9월 18일 일요일

근역장, 프레넬, 원역장 영역(Near-field, Fresnel, and Far-field Regions)

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[그림 1] 근역장, 프레넬 영역, 원역장의 특성(출처: wikipedia.org)

안테나(antenna)와 같은 복사체(輻射體, radiator)가 전자파를 방출할 때는 전달 거리에 따라 파동의 크기와 위상이 심하게 변한다. 복사체에 매우 가까운 거리는 근역장(近域場, near field), 복사체에서 아주 멀리 떨어지면 원역장(遠域場, far field), 근역장에 맞지 않고 원역장도 아닌 애매한 경우는 프레넬 영역(Fresnel region or zone)으로 정한다. 다만 이러한 정성적인 개념만으로는 실제 문제에 적용하기가 어려워서, 먼저 원역장의 특성을 이용해 거리별 전자파의 변화 특성을 명확히 정의한다. 예를 들어, 점 전원(point source)에서 나온 파동이 원천에서 아주 멀리 전파되면, 이 파동의 진폭은 거의 고정이고 위상은 균일 평면파(uniform plane wave)처럼 $e^{-j k R}$로 변한다. 여기서 $k$ = $\omega \sqrt{\mu \epsilon}$ = $2 \pi / \lambda$, $R$은 안테나에서 관측점까지 거리이다. 그러면 원천에서 얼마나 멀어져야 파동을 원역장으로 대충 생각할 수 있을까? 유한한 크기를 가진 안테나에서 복사된 전자파를 원역장으로 근사할 수 있는 거리는 그대 원역장 조건(far-field condition)이 된다.

[그림 2] 원역장 조건을 정의하기 위한 안테나 구조

[그림 2]는 원역장 조건을 정의하기 위한 임의 안테나 구조를 보여준다. 관측점 $\bar r$은 안테나의 중심에서부터 재고, 원천점 $\bar r'$은 안테나 내의 특정 위치를 가리킨다. [그림 2]의 구조에 따라 위치 벡터(position vector) $\bar R$에서 생기는 위상 지연 $kR$은 다음처럼 공식화된다.

                  (1a)

                  (1b)

여기서 $r$ = $|\bar r|$, $r'$ = $|\bar r'|$, $\bar r$ = $r \hat r$, $\Delta \phi$는 원역장과 실제 위상의 차이이다. 위상차 $\Delta \phi$가 최대가 되는 경우는 $r'$ = $D/2$이다. 그러면 원역장으로 간주할 수 있는 최소 거리인 원역장 거리(far-field distance) $r_\text{ff}$가 유도된다.

                  (2)

여기서 $D$는 안테나를 모두 포함하는 원의 최소 직경이다. 만약 $r \ge r_\text{ff}$라면, 원역장과의 위상 오차는 많아야 $\Delta \phi_{\max}$만큼만 생긴다. 이때 $r_\text{ff}$를 명확히 정하려면, $\Delta \phi_{\max}$를 먼저 선택해야 한다. 보통은 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/8$ = $22.5^\circ$로 설정해서 식 (2)를 다시 간략화한다.

                  (3)

식 (3)은 간단한 원역장 기준인 프라운호퍼 거리(Fraunhofer distance)라 명한다.

[그림 3] 가우스 빔의 전파 특성(출처: wikipedia.org)

그런데 많은 숫자 중에서 왜 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/8$로 둘까? 이를 이해하기 위해 원역장의 특성을 상기한다. 원역장에서는 전달 거리가 증가할 때에 전자파의 진폭은 항상 작아진다. 조건 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/8$는 거리에 따라 진폭이 항상 축소되는 성질을 보장한다. 왜냐하면 안테나의 복사 특성은 [그림 3]에 소개한 가우스 빔(Gaussian beam)의 전파 경향과 비슷해서 레일리 길이(Rayleigh length or Rayleigh range) $z_R$을 넘어서는 빔은 항상 퍼지기 때문이다.

                  (4)

즉, $\Delta \phi_{\max}$ = $1$ $\approx$ $57.3^\circ$부터 빔이 유의미하게 확산되지만, 더 넉넉하게 원역장 기준을 정하기 위해 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/4$ $\approx$ $0.7854$보다 작은 $\pi/8$ $\approx$ $0.3927$을 선택한다. 식 (3)에 나온 원역장 거리 혹은 프라운호퍼 거리는 1946년프리스 53세, 미군정 시절에 프리스Harald Friis(1893–1976)자신의 전송 방정식(Friis transmission equation)이 성립하는 최소 거리로 사용했다.
근역장에서는 전자기장이 매우 커지거나 심하게 요동을 치고 저장된 에너지가 증가하므로, 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)에 바탕으로 두고 분모에 공통으로 출현하는 $kr$을 기준으로 근역장 거리(near-field distance) $r_\text{nf}$를 정한다.

                  (5)

식 (5)에 따라 $r \le r_\text{nf}$이면 근역장이 되어서 $r$이 작아질수록 전자기장의 크기는 매우 커진다.
위상 지연 $kR$의 근사를 $\Delta \phi$까지 포함해서 식 (1a)처럼 할 수 있는 경우는 프레넬 영역이라 부른다. 위상 오차에 기반을 두고 프레넬 영역을 세밀하게 정의하기 위해 식 (1a)에서 생략한 고차 항을 더 고려한다. 안테나 개구(開口, aperture)가 복사하는 방향은 주로 $\bar r' \cdot \hat r$ = $0$일 때가 많아서, 뉴턴의 이항 정리(Newton's binomial theorem)와 조건 $\bar r' \cdot \hat r$ = $0$을 써서 식 (1a)의 제곱근을 $(r')^4$까지만 포함한 급수 전개한다.

                  (6)

식 (2)와 비슷하게 프레넬 영역이 시작되는 거리인 프레넬 거리(Fresnel distance) $r_\text{fz}$는 다음과 같다.

                  (7)

여기서 최대 위상 오차 $\Delta \phi_{\max}$가 생기는 조건도 $r'$ = $D/2$이다. 프라운호퍼 거리의 정의처럼 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/8$ = $22.5^\circ$를 쓰면 프레넬 거리는 더욱 간단해진다.

                  (8)

식 (6)에 사용한 프레넬 위상(Fresnel phase)의 오차를 더 줄이려고 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/16$ = $11.25^\circ$를 써서 프레넬 거리를 더 정확히 표현하기도 한다.

                  (9)

안테나를 담는 가상 도형을 원이 아닌 정사각형으로 생각해서 $r'$ = $D/\sqrt{2}$와 $\Delta \phi_{\max}$ = $\pi/4$를 뽑기도 있다. 이 조건을 식 (6)에 대입해도 식 (9)와 같은 결과가 나온다. 최종적으로 근역장도 원역장도 아닌 프레넬 영역은 다음과 같이 다양하게 정의될 수 있다.

                  (10a)

                  (10b)

식 (10a)와 (10b)는 각각 근역장 및 프레넬 영역을 직접적인 기준으로 유도한 식이다. 프레넬 거리를 식 (9)로 선택할 경우에 식 (10a)와 (10b)가 같아지는 안테나 크기는 $D$ $\approx$ $\lambda / 2.81$이다.


   1. 근역장 영역(near-field region)   

안테나 혹은 복사체의 근방을 뜻하는 근역장 영역에서 생기는 전자기장의 특성은 다음과 같다.
  • 안테나에 근접할수록 전기장과 자기장이 매우 커지고 파동의 크기와 위상이 심하게 변한다.
  • 원역장으로 복사되는 전자기장보다 안테나에 저장되는 리액턴스(reactance) 성분이 우세하다.
  • 다이폴 안테나(dipole antenna) 종류는 안테나를 구성하는 금속 막대기의 양끝에 전하가 저장되므로, 전기장 성분이 대부분이고 리액턴스 중에서 전기 용량(capacitance)이 많다.
  • 금속 고리에 전류를 연속적으로 흘려서 복사시키는 루프 안테나(loop antenna) 부류는 자기장 성분이 커서 인덕턴스(inductance)가 중심이다.
  • 근역장에 생기는 리액턴스를 최대한 줄여야 임피던스 대역폭(impedance bandwidth)을 넓힐 수 있다. 리액턴스를 줄이는 가장 쉬운 방법은 안테나 크기 늘리기이다.

[그림 1.1] 근역장 안테나 측정 시스템(출처: NSI-MI)

[그림 1.2] 끝이 열린 구형 도파관(출처: NSI-MI)

통신 시스템을 설계할 때에 근역장 특성을 고려할 필요는 거의 없고, 원역장으로 전달되는 복사 전력이 중요하다. 다만 근역장의 모습이 변하여 원역장이 되기 때문에, 근역장의 전자기장만을 관찰해도 원역장 특성을 짐작할 수 있다. 이런 개념으로 근역장을 적극적으로 사용하는 응용은 [그림 1.1]에 소개한 근역장 안테나 측정 시스템(near-field antenna measurement system) 혹은 근역장 시험대(near-field range)이다[2]. 근역장 측정에서 전기장 혹은 자기장을 감지하기 위해 [그림 1.2]와 같은 끝이 열린 구형 도파관(open-ended rectangular waveguide, OERW)을 주로 사용한다. OERW는 성능이 우수한 구형 도파관을 잘라서 만들므로, 구조가 간단하면서도 탐침(probe)으로써 성능이 우수하다.

[그림 1.3] 근역장 안테나 측정을 위한 데카르트 좌표계(출처: wikipedia.org)

[그림 1.3]은 근역장 시험대가 채택하는 데카르트 좌표계를 보여준다. OERW 탐침(probe)은 사전에 계획된 대로 $(x', y', 0)$ 평면을 움직이면서 전기장을 잰다. 이 전기장은 안테나 이득(antenna gain)을 가진 OERW로 획득되기 때문에, 안테나 이득이 1인 이상적인 탐침(ideal probe)으로 얻은 결과보다 전기장이 약간 크게 측정된다. OERW로 근역장에서 구한 접선 전기장 $\bar E_\text{nf}(\bar r')$ = $E_x \hat x + E_y \hat y$는 표면 자류 밀도 $\bar M_s (\bar r')$으로 바꾸어 계산한다. 

                  (1.1)

여기서 $\hat n$은 전자파가 표면을 뚫고 진행하는 방향이라서 $\hat z$가 된다. 표면 등가의 원리(surface equivalence principle)그린 함수(Green's function)에 따라 $\bar M_s (\bar r')$가 생성하는 전기장 $\bar E(\bar r)$을 공식화한다.

                  (1.2)

식 (1.2)에 유도한 $\bar E(\bar r)$은 어느 위치에서나 성립하기 때문에, 프라운호퍼 거리를 훨씬 넘게 해서 $kR$을 식 (1a)로 근사한다. 이런 간략화 방식은 원역장 근사(far-field approximation) 혹은 프라운호퍼 근사(Fraunhofer approximation)로 불린다. 그러면 $\bar E(\bar r)$은 원역장의 전기장 $\bar E_\text{ff}(\bar r)$로 간략화된다.

             (1.3)

여기서 $r \sim R$, $\bar \nabla$ $\sim$ $-j\bar k$ = $-jk \hat r$ = $-jk(\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)$이다. 근역장의 전기장을 구 좌표계로 바꾼 $\bar E_\text{nf}(\bar r')$ = $E_r \hat r + E_\theta \hat \theta + E_\phi \hat \phi$를 식 (1.3)에 대입해서 $\bar E_\text{ff}(\bar r)$을 구 좌표계의 단위 벡터 $\hat \theta, \hat \phi$로 다시 기술한다.

             (1.4)

원역장 근사를 적용한 식 (1.4)는 산란체에서 매우 멀리 떨어진 전자장을 표현하는 공식이라서 광학에 나오는 프라운호퍼 회절 적분(Fraunhofer diffraction integral)과 등가이다. 프라운호퍼 회절 적분은 산란체에 의해 원역장에서 얻어지는 빛의 회절 크기를 예측하기 위해 사용된다. 식 (1.4)에 등장하는 무한 적분은 2차원 푸리에 변환(2D Fourier transform)이므로, $\bar E_\text{nf}(\bar r')$의 크기가 큰 영역만 선택한 후 FFT(고속 푸리에 변환, fast Fourier transform)를 이용하면 적분값을 매우 빠르게 계산 가능하다.

                  (1.5)

                  (1.6)

                  (1.7)

여기서 $k_x$ = $k \sin \theta \cos \phi$, $k_y$ = $k \sin \theta \sin \phi$, $|\bar E_p (\theta, \phi)|^2$는 안테나 이득(antenna gain)이다. 따라서 근역장을 탐침으로 측정해서 2차원 푸리에 변환한 결과는 우리가 얻기 원하는 원역장의 복사 패턴(radiation pattern) $\bar E_p (\theta, \phi)$이 된다.
좀더 간단한 공식을 얻기 위해 $\theta \approx 0^\circ$ 근처만 고려하는 근축 근사(paraxial approximation)를 식 (1.3)에 적용한다.

                  (1.8)

여기서 $\cos \alpha$ = $x/r$, $\cos \beta$ = $y/r$, $\cos \alpha, \cos \beta$는 $x, y$축에 대한 방향 코사인(direction cosine)이다. 근축에서는 근역장 편파(polarization)와 동일한 방향으로 원역장 편파가 생기고, 원역장의 크기와 위상은 2차원 푸리에 변환과 같다. 더 쉽게 말해, 근역장을 푸리에 변환하면 원역장의 복사 패턴이 그대로 만들어진다. 또한 식 (1.8)의 크기 제곱[= $|\cdot|^2$]은 우리가 주로 보는 프라운호퍼 회절 적분과 같은 모양이 된다.

                  (1.9)

여기서 $I_e(\theta, \phi)$는 복사 측정에 쓰이는 복사 세기(radiant intensity)이다.


   2. 프레넬 영역(Fresnel region)   

[그림 2.1] 거리에 따른 전자기장의 변화(출처: wikipedia.org)

식 (10b)로 정의하는 프레넬 영역은 전자파 이론을 전개할 때에 고민이 되는 참 애매한 공간이다. 근사화 관점에서 프레넬 영역은 원역장 근사를 하기에는 복사체와 조금 가깝고, 근역장으로 온전하게 계산하기에는 파동이 느리게 변해서 간략화할 여지가 있다. 프레넬 영역에서 전자기장이 가지는 특성을 다음처럼 기술할 수 있다.
  • 원역장처럼 전자기장의 크기는 $1/r$로 작아진다.
  • 근축[$\theta \approx 0^\circ$]에서 전자기장의 위상은 근사적으로 $r'$의 제곱에 비례한다.

[그림 2.2] 프레넬 영역 안테나 측정의 원리(출처: [4])

응용이 많지 않은 프레넬 영역을 단순화할 때는 식 (1a)에 바탕을 둔 프레넬 근사(Fresnel approximation)를 도입한다.

                  (2.1)

여기서 $R$ = $|\bar r - \bar r'|$, $\phi_\text{ff}$ = $k \sin \theta(\cos \phi x' + \sin \phi y')$ = $k (\cos \alpha x' + \cos \beta y')$이다. 좀더 정확한 프레넬 근사를 안테나 측정에 적용하면, [그림 1.1]에 있는 근역장 안테나 측정 시스템보다 더 먼 거리에서 재는 프레넬 영역 안테나 측정 시스템(Fresnel region antenna measurement system)을 개발할 수 있다[3]–[5]. 프레넬 영역 측정의 원리는 [그림 2.2]처럼 단순하다. 보정 위상 $\phi_\text{fz}$의 존재로 인해, 프레넬 영역을 기준으로 식 (1.3)에서 측정하는 전기장은 $\bar E_\text{ff} (\bar r)$가 아닌 프레넬 영역의 전기장 $\bar E_\text{fz} (\bar r)$이다.

                  (2.2)

여기서 $\cos \gamma$ = $z/r$, $\cos \gamma$는 $z$축의 방향 코사인이다. 그러면 측정한 프레넬 영역의 전기장 $\bar E_\text{fz} (\bar r)$을 시작으로 원역장의 전기장 $\bar E_\text{ff} (\bar r)$을 도출해서 프레넬 영역의 안테나 측정 이론을 완성한다. 먼저 식 (1.3)과 (2.2)를 비교해서 원역장과 프레넬 영역의 위상 항이 서로 연결되도록 한다.

                  (2.3)

푸리에 급수를 이용해서 $e^{j \phi_\text{fz}}$를 원역장의 위상처럼 바꾼다. 그러면 $\bar E_\text{ff} (\bar r)$은 관측점 각도 $(\alpha, \beta)$가 $(\alpha_m, \beta_n)$으로 보정된 $\bar E_\text{fz} (\bar r)$의 단순 합으로 표현된다[4].

                  (2.4)

                  (2.5)

                  (2.6)

여기서 $a_m$ = $2 \pi m \mathbin{/} L_x$, $b_n$ = $2 \pi n \mathbin{/} L_y$, $|a_m|^2 + |b_n|^2$ $\le$ $k^2$, $L_x$와 $L_y$는 각각 $x,y$방향으로 측정한 길이다.
식 (1.8)과 (1.9)에 나온 프라운호퍼 회절 적분처럼 근축 근사를 쓰면, 식 (2.2)는 더 간단한 형태로 표현된다. 프레넬 근사를 쓰지 않고 정확한 거리인 $R$ = $\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + z^2}$으로 도출한 결과물은 레일리–좀머펠트 회절 적분(Rayleigh–Sommerfeld diffraction integral)이라 부른다.

                  (2.7)

여기서 $\cos \theta$ = $z/R$이다. 식 (2.7)에 프레넬 근사와 $r \approx z$를 적용한 경우는 매우 간단한 형태인 프레넬 회절 적분(Fresnel diffraction integral)이 된다.

                  (2.8)

식 (2.8)에 등장한 가우스 함수(Gaussian function) 혹은 오차 함수(error function)와 비슷한 적분은 프레넬 적분(Fresnel integral)과 연결된다.


   3. 원역장 영역(far-field region)   

원역장은 안테나의 여러 매개변수가 정의되는 매우 중요한 영역이다. 하지만 원천으로부터 식 (3)보다 훨씬 멀리 떨어져야 원역장 성질에 비슷해지므로, 현실에서는 원역장 조건을 실제로 구현하기가 굉장히 힘들고 예산도 많이 필요하다. 통신과 안테나 분야에 요긴하게 쓰이는 원역장의 개괄적인 특성을 아래에 소개한다.
  • 전자기장의 크기는 점근적으로 $1/r$처럼 변한다. 복사 전력(radiated power)은 $1/r^2$에 비례한다.
  • 거리에 따라 변하는 전자기장의 위상 특성은 균일 평면파와 동일하다.
  • 프리스 전송 방정식이 측정과 수% 오차 범위 안에서 거의 정확하게 성립하는 영역이다.

[그림 3.1] 152 m 간격을 가진 원역장 안테나 측정 시설(출처: [6)

[그림 3.2] PTB에서 건설한 야외 시험장(open-area test site, OATS)의 모습(출처: ptb.de)

[그림 3.1]은 20 MHz에서 90 GHz까지 안테나 특성을 측정할 수 있는 원역장 안테나 측정 시설(far-field antenna measurement facility)을 보여준다. 충분한 원역장을 확보하기 위해 왼쪽의 안테나 설치대와 오른쪽의 관측탑(observable tower)을 152 m나 떨어뜨린다. 관측탑은 비금속으로 구축되고, 지상의 영향을 줄이기 위해 높이를 30 m로 설계한다. [그림 3.2]는 30 MHz에서 3 GHz까지 원역장 안테나 특성이나 전자파 간섭(electromagnetic interference, EMI) 수준을 재는 야외 시험장(open-area test site, OATS)의 모습이다. 야외 시험장은 예산을 많이 먹는 시설이라서 국가 기관이나 전문 시험소만 가지고 있다. [그림 3.2]의 야외 시험장은 독일의 국가 표준 연구소인 PTB(연방물리기술청, Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Physical-Technical Federal Institution)가 보유하고 있다. 야외 시험장이 비싼 이유는 넓은 공간과 지면에 있다. 주변 환경이 방출하는 전자파에 영향을 받지 않을려면, 당연히 시험장 면적을 가능한 크게 잡아야 한다. 또한 사진에 보이는 안테나 깃대(antenna mast)의 아래 부분은 그냥 땅처럼 보이지만 모두 금속 평판이다. 여름의 뜨거운 햇빛과 겨울의 혹한을 겪는 금속 평판은 온도에 따라 길이가 바뀌고 변형도 생기므로, 그냥 땅바닥에 고정시킬 수는 없다. 이 문제는 통상적으로 금속 평판을 가벼운 망이나 천 형태로 만들고 지상에서 일정 거리를 띄워서 해결한다.

[그림 3.3] 간결 안테나 시험대(compact antenna test range, CATR) 개념도(출처: [7])

원역장 안테나 측정 시설이나 야외 시험장은 비싼 설비라서, 저가형으로 원역장 측정을 흉내내고 싶을 때는 [그림 3.3]과 같은 간결 안테나 시험대(compact antenna test range, CATR) 혹은 줄여서 간결 시험대(compact range)라 부르는 시스템을 제작한다. 원역장에서는 파동이 균일 평면파(uniform plane wave)로 보이므로, 간결 시험대는 큰 반사판(reflector)을 이용해서 급전부(feeder)에서 복사한 전자파를 근사적인 평면파로 만든다. 그러면 송신과 수신 사이의 간격을 짧게 만들더라도 원역장처럼 측정할 수 있다.


[참고문헌]
[1] K. T. Selvan and R. Janaswamy, "Fraunhofer and Fresnel distances: unified derivation for aperture antennas," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 59, no. 4, pp. 12–15, Aug. 2017.
[2] A. Yaghjian, "An overview of near-field antenna measurements," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 34, no. 1, pp. 30–45, Jan. 1986.
[3] C. Polk, "Optical Fresnel-zone gain of a rectangular aperture," IRE Trans. Antennas Propag., vol. 4, no. 1, pp. 65–69, Jan. 1956.
[4] S.-S. Oh, J.-M. Kim, and J. Yun, "Antenna measurement on cylindrical surface in Fresnel region using direct far-field measurement system," ETRI J., vol. 29, no. 2, pp. 135–142, Apr. 2007.
[5] B. Levin, "About antenna gain measurement in a Fresnel zone," IEEE Antennas Propag. Mag., vol. 52, no. 2, pp. 64–70, Apr. 2010.
[6] D. Kremer, A. Morris, R. Blake, T. Park, and J. Proctor, "Outdoor far-field antenna measurements system for testing of large vehicles," 2012 Eur. Conf. Antennas Propag. (EuCAP), pp. 2256–2260, 2012.
[7] M. W. Shields and A. J. Fenn, "A new compact range facility for antenna and radar target measurements," Linc. Lab. J., vol. 16, no. 2, pp. 381–391, Jun. 2007. (방문일 2022-09-18)

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