가우스 빔(Gaussian Beam)

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1. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
2. 균일 평면파

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[그림 1] 가우스 빔(출처: wikipedia.org)

레이저(laser)와 같은 실제 전자파 빔(electromagnetic beam)은 균일 평면파(uniform plane wave)나 점 전원(point source)과는 전파 특성이 매우 다르다. 현실에 존재하는 전자파 빔과 유사하게 모형화 할 때 가장 많이 사용하는 기법이 가우스 빔 혹은 가우스식(式) 빔(Gaussian beam)이다[1]. 빔(beam)은 빛의 기둥인 빛줄기를 뜻한다. 가우스 빔은 균일 평면파나 점 전원보다는 수학 공식이 다소 복잡하지만 현실에 나타나는 전파 특성을 매우 잘 설명한다.

[그림 2] 가우스 빔의 전파 특성(출처: wikipedia.org)

[그림 2]는 가우스 빔의 특성을 보여준다. 초점[$z$ = $0$]을 향해 진행하는 파동은 빔폭이 계속 줄어들어 초점(focus)에서는 빔폭이 최소가 된다.[가우스 광학(Gaussian optics)에서 초점에는 빛이 한 점에 모이기 때문에, 빔폭은 $0$이 되어야 한다.] 초점을 지난 파동은 빔폭이 거의 선형적으로 커진다. 가우스 빔에 기반한 이런 설명은 실제 실험 결과를 잘 예측한다. 가우스 빔 공식을 유도하기 위해 전자파(electromagnetic wave)는 $+z$방향으로 진행 중이라고 가정한다. 또한, 가우스 빔은 진행 방향인 $z$축에 수직인 $x, y$축 방향으로는 가우스 함수(Gaussian function)처럼 변한다고 생각한다. 그러면 아래처럼 어림한 식을 얻을 수 있다.

                      (1)

여기서 $k$는 파수(wavenumber)이다. 프레넬 회절 적분(Fresnel diffraction integral)에서 출발해 실험 결과에 맞게 식 (1)과 같이 근사할 수도 있다. 이로 인해 $z \gg 1$인 조건에서 식 (1)은 프레넬 회절 적분에 온전하게 수렴한다. 가우스 빔 관점에서 $+z$방향으로 진행하면 빔폭(beamwidth)도 넓어지고[혹은 빔도 퍼지고] 위상도 변하므로, 식 (1)에 있는 $q(z)$를 복소수(complex number)로 고려한다. 치환 자체는 별것 아니라 생각할 수 있지만, 실제 전자파 빔의 많은 특성을 설명할 수 있는 창의적인 개념이다.

                       (2)

식 (2)에서 결정되지 않은 요소는 $z_R$이다. 길이 $z_R$을 정하기 위해 [그림 2]와 같은 구조를 선택한다.

                       (3)

[그림 2]를 참고하면 $w_0$는 빔폭이 가장 작은 부분[$z$ = $0$]이므로 측정 가능하다. 즉, $w_0$는 빔폭의 반이다. 그러면 식 (3)에 의해 $z_R$도 정해지게 된다. 여기서 $z_R$은 레일리 길이(Rayleigh length or Rayleigh range)라고 부른다. 식 (3)을 참고하면 $z$ = $z_R$에서 $w(z)$는 $\sqrt{2}$배 만큼 커진다. 즉, 빔 면적이 2배가 되는 $z$ = $z_R$ 위치가 레일리 길이가 된다. 마지막으로 진폭을 의미하는 $A(z)$를 결정해야 한다. 가우스 빔은 $+z$방향으로 진행하더라도 전체 전력은 변하지 않는다. 이 점을 이용해 $A(z)$를 결정한다.

                      (4)

식 (3)과 (4)를 식 (1)에 대입해 가우스 빔 공식을 다시 만든다.

                      (5)

여기서 $E_0$ = $A(0)$이다. 레일리 길이 $z_R$이 무한대로 가면 식 (5)는 평면파로 수렴한다. 식 (1)에 제시한 가정은 점 전원의 위상 특성을 이용해서 구할 수도 있다.

                      (6)

식 (6)이 성립하려면 $z$가 $\rho$보다 훨씬 커야 한다. 즉, $z$축과 가까운 곳에서만 식 (6)의 근사가 잘 성립한다는 뜻이다. 그래서 식 (6)과 같은 조건을 근축 근사(近軸近似, paraxial approximation)라고 한다. 예를 들어서 전기장을 $E(\bar r)$ = $\Psi(\bar r) e^{i k z}$로 두고, $\Psi(\bar r)$에 대한 파동 방정식을 만든다.

                      (7a)

                          (7b)

여기서 $\nabla^2_{xy}$ = $d^2 / dx^2 + d^2 / dy^2$, $\Psi(\bar r)$는 $z$를 따라서 매우 느리게 변하는 포락선(包絡線, envelope)으로 생각한다. 근축 근사를 써서 $\Psi(\bar r)$는 진행 방향으로 위상이 느리게 변하므로 $\partial^2 \Psi(\bar r)\mathbin{/} \partial z^2$ $\approx$ $0$으로 둘 수 있다. 그러면 식 (7b)는 전형적인 근축 파동 방정식(paraxial wave equation)이 된다.

                          (8)

주파수가 아주 높다는 고주파 근사(high-frequency approximation)를 쓴 경우도 $k \gg 1$이 되어서 식 (7)이 식 (8)로 근사된다. 이와 같은 근축 파동 방정식은 장거리 전자파 전파 모형화(long-range electromagnetic propagation modeling)에 빈번하게 사용된다.

문제를 단순화하기 위해 우리 논의의 범위를 2차원으로 설정해 $\partial / \partial y$ $\equiv$ $0$으로 가정한다. 그러면 식 (8)을 $z,x$만의 편미분으로 관계 지을 수 있다.

                          (9a)

식 (9a)에 켤레 복소수 형태의 $\Psi(\bar r)$을 곱해서 $|\Psi(\bar r)|^2$ = $\Psi(\bar r) \Psi^*(\bar r)$의 편미분을 얻는다.

                          (9b)

식 (9b)의 최종식을 $x$에 대해 적분해서 전자파의 전력이 전파 방향 $z$에 대해 변하는 비율을 얻는다[2].

                          (9c)

여기서 $P(a)$는 $x$ = $a$ 평면으로 들어가는 전력, $P(b)$는 $x$ = $b$를 빠져나가는 전력이다. 식 (9c)를 이해하기 위해 전력 보존 법칙을 고려한다. 특정 영역을 기준으로, $P(a)$만큼 들어와서 $P(b)$ 정도만 나가면 남는 전력은 $P(a) - P(b)$이다. 이 값이 전자파가 전파할 때 $z$방향으로 커질 수 있는 양이 된다. 따라서 $x$방향 파수 $k_x$를 도입해 $x$ = $b$에서 위상 관계를  $\Psi(\bar r)$ = $\Psi_0 e^{i k_x x}$로 두고 $P(b)$에 대입한다.

                          (9d)

여기서 $k_x$는 복소수이다. 만약 $\Re[k_x] > 0$이면, $P(b) > 0$이 되어서 $z$방향으로 전력을 항상 줄인다. 이 결과는 전자파의 복사 조건(radiation condition)과 동일하다. 유한 차분법(finite difference method, FDM)으로 파동을 계산하는 경우, 경계 조건 $\Psi(\bar r)$ = $\Psi_0 e^{i k_x x}$는 매우 유용하다. 예를 들어서 $x_m$ = $m \Delta x$, $z_n$ = $n \Delta z$로 이산화해 경계면 $x$ = $x_M$ 근방의  $\Psi_m^n$ = $\Psi(x_m, z_n)$으로부터 $k_x$와 $\Psi_M^n$을 근사화한다.

                          (10)

여기서 복사 조건을 보장하기 위해 $\Re[k_x] > 0$을 선택한다. 식 (10)처럼 경계면의 파수를 유추하여 다음 단계의 경계 조건으로 삼는 기법을 투명 경계 조건(transparent boundary condition, TBC)이라 부른다[2], [3]. 

[참고문헌]

[1] H. J. Eom, Electromagnetic Wave Theory for Boundary-Value Problems: An Advanced Course on Analytical Methods, Springer, 2004.

[2] G. Hadley, "Transparent boundary condition for beam propagation," Opt. Lett., vol. 16, no. 9, pp. 624–626, May 1991.

[3] M. F. Levy, "Transparent boundary conditions for parabolic equation solutions of radiowave propagation problems," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 45, no. 1, pp. 66–72, Jan. 1997.

[다음 읽을거리]

1. 가우스 광학

2. 장거리 전자파 전파 모형화