2011년 9월 13일 화요일

가우스 빔(Gaussian beam)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "가우스 빔"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
2. 균일 평면파

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[그림 1] 가우스 빔(출처: wikipedia.org)

레이저(laser)와 같은 실제 전자파 빔(electromagnetic beam)은 평면파(plane wave)나 점전원(point source)과는 전파 특성이 매우 다르다. 현실에 존재하는 전자파 빔과 유사하게 모형화하려 할 때 가장 많이 사용하는 기법이 가우스 빔(Gaussian beam)이다[1]. 가우스 빔은 평면파나 점전원보다는 수학 공식이 다소 복잡하지만 현실에 나타나는 전파 특성을 매우 잘 설명한다.

[그림 2] 가우스 빔의 특성(출처: wikipedia.org)

[그림 2]는 가우스 빔의 특성을 보여준다. 초점($z = 0$)을 향해 진행하는 파동은 빔폭이 계속 줄어들어 초점(focus)에서는 빔폭이 최소가 된다. 초점을 지난 파동은 빔폭이 거의 선형적으로 커진다. 가우스 빔에 기반한 이런 설명은 실제 실험 결과를 잘 예측한다. 가우스 빔 공식을 유도하기 위해 전자파(electromagnetic wave)는 $+z$방향으로 진행중이라고 가정하자. 또한, 가우스 빔은 진행 방향인 $z$축에 수직인 $x, y$축 방향으로는 가우스 함수(Gaussian function)처럼 변한다고 가정하자. 그러면 아래 식을 얻을 수 있다.

                      (1)

여기서 $k$는 파수(wavenumber)이다. 가우스 빔은 $+z$방향으로 진행하면서 빔폭(beamwidth)도 넓어지고(or 빔도 퍼지고) 위상도 변하므로 식 (1)에 있는 $q(z)$를 복소수(complex number)라 생각하자. 이게 별게 아니라 생각할 수 있지만 실제 전자파 빔의 많은 부분을 설명할 수 있는 창의적인 개념이다.

                      (2)

식 (2)에서 결정되지 않은 것은 $z_R$이다. $z_R$을 정하기 위해 [그림 2]를 고려하자.

                      (3)

[그림 2]를 참고하면 $w_o$는 빔폭이 가장 작은 부분($z = 0$)이므로 측정 가능하다. 즉, $w_o$는 빔폭의 반이다. 그러면 식 (3)에 의해 $z_R$도 정해지게 된다. $z_R$은 레일리 길이(Rayleigh length or Rayleigh range)라고 한다. 식 (3)을 참고하면 $z = z_R$에서 $w(z)$는 $\sqrt{2}$배 만큼 커진다. 빔의 면적으로 치면 2배가 되는 $z = z_R$ 위치가 레일리 길이가 된다. 마지막으로 결정해야 하는 것이 진폭을 의미하는 $A(z)$이다. 가우스 빔은 $+z$방향으로 진행하더라도 전체 전력은 변하지 않아야 된다. 이 점을 이용해 $A(z)$를 결정하자.

                      (4)

식 (4)를 식 (1)에 대입해 가우스 빔 공식을 다시 만들자.

                      (5)

레일리 길이 $z_R$이 무한대로 가면 식 (5)는 평면파로 수렴한다.
식 (1)에 제시한 가정은 점전원의 위상 특성을 이용해서 구할 수도 있다.

                      (6)

식 (6)이 성립하려면 $z$가 $\rho$보다 훨씬 커야한다. 즉, $z$축과 가까운 곳에서만 식 (6)의 근사가 잘 성립한다는 뜻이다. 그래서, 식 (6)과 같은 근사는 근축 근사(近軸近似, paraxial approximation)라 한다.

[참고문헌]
[1] H. J. Eom, Electromagnetic Wave Theory for Boundary-Value Problems: an Advanced Course on Analytical Methods, Springer, 2004.

댓글 9개 :

  1. 식 2가 유도되는 과정이 이해가 잘 안가는데요.. 왜 저렇게 되는건가요?ㅜㅜ

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    1. 단순한 복소수 나눗셈입니다. 어렵게 접근할 필요없습니다. ^^

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    2. 감사합니다 거북이님! 그런데 제가 모르겠는것은, 복소수 나눗셈 뒤에있는 R(z)와 관련된 식이 왜 나왔는지 도무지 이해가 안갑니다..

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    3. 식 (2)에 있는 둘째 식의 우변은 정의입니다. 그렇게 두고 물리적인 의미를 추적한 것이 식 (3)입니다. 그러면 최종적으로 아름다운 가우스 빔 표현식인 식 (5)가 얻어집니다.

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  2. 안녕하세요. 많은 도움 되었습니다.
    그런데 궁금증이 원래 w는 진동수를 표현하는 기호인데 여기서는 range나 length로 표현되는 것은 전혀 무관한건가요? 여기서 w는 그냥 실제 빔의 크기(빔의 반지름)를 나타낼 뿐인가요?
    그리고 위에서 진폭a는 횡모드가 아닌 종모드로 봐야 것인가요?
    감사합니다!!

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  3. 마지막 문장: 종모드로 봐야 확인할 수 있는 것인가요? 입니다... 감사합니다 ㅎㅎ

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    1. 1. 각 주파수는 보통 $\omega$로 쓰고요, 여기서는 $w$입니다. 서로 다른 기호입니다.

      2. $w$는 $z$에 대한 빔의 반지름입니다.

      3. 이론이 전개된 배경은 평면파 기반 전자파이기 때문에 횡파(transverse wave)입니다.

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