조금은 느리게 살자: 프리스 전송 방정식(Friis Transmission Equation)

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[그림 1] 송신기와 수신기 간의 프리스 전송 방정식

무선 통신 시스템(wireless communication system)을 설명하는 가장 중요한 관계식은 송신기(transmitter, Tx)과 수신기(receiver, Rx) 사이에 전달되는 수신 전력(received power) $P_r$을 예측하는 프리스 전송 방정식(Friis transmission equation)이다[1]. 프리스 전송 방정식은 무선 시스템의 손실을 평가하기 위해 프리스Harald Friis(1893–1976)가 1946년프리스 53세, 미군정 시절에 발표하였다. 워낙 많이 사용되어서 프리스 전송 방정식이 만만해보일 수 있지만, 정확하고 꼼꼼하게 이 방정식을 증명하기는 매우 까다롭다. 프리스 전송 방정식의 개괄적인 유도는 그다지 어렵지 않다. 먼저 포인팅의 정리(Poynting's theorem)에 따라 송신기가 복사하는 전력 밀도(power density) 혹은 포인팅 벡터의 크기 $S$를 송신기의 출력 전력 혹은 송신 전력(transmitted power) $P_t$로 표현한다.

(1)

여기서 $G_t$는 송신기의 안테나 이득(antenna gain), $r$은 송신기와 수신기 사이의 거리, $\rm EIRP$ = $P_t G_t$는 유효 등방성 복사 전력(effective isotropic radiated power)이다. 등가 등방성 복사 전력(equivalent isotropic radiated power)이라고도 하는 EIRP는 등방성 안테나(等方性, isotropic antenna)에 비해 현재 송신기가 얼마나 좋은지를 나타내는 송신기의 대표적인 성능 지수이다. 송신기가 만든 전력 밀도 $S$는 수신기에 수신 전력 $P_r$을 만들어낸다.

(2)

여기서 $A_e$는 유효 면적(effective area)이다. 유효 면적은 수신 안테나가 전자파를 감지해 전력으로 바꿀 수 있는 실질적 면적이다. 유효 면적은 물리적 면적과 완전히 같지는 않지만, 실제 면적이 커지면 유효 면적도 함께 증가한다. 하지만 실험적으로 결정하기 어려운 유효 면적 $A_e$ 대신 측정이 쉬운 다른 매개변수를 수신 안테나에 도입한다. 보통은 $A_e$를 실무에 많이 쓰이는 안테나 이득 $G$와 연결짓는다. 이런 관점이 프리스 전송 방정식의 핵심 개념이다. 우리가 연계하려는 안테나 이득은 송신 안테나의 성질이고 유효 면적은 수신 안테나의 능력이라서 서로 다르게 보인다. 하지만 로렌츠 상반 정리(Lorentz reciprocity theorem)를 통해 두 지표의 관계성을 구해보면, 이 두 개념은 완전히 동등함을 발견할 수 있다.

[그림 2] 두 안테나 사이의 송수신 현상

안테나의 중요 지표인 안테나 이득을 유효 면적과 연결시키기 가장 쉬운 시작점은 안테나의 상반 정리(相反定理, reciprocity theorem of antennas)이다. [그림 2]에 제시한 전자파를 복사하는 두 안테나 1, 2 사이에는 다음 상호 임피던스(mutual impedance) 등식이 성립한다.

(3)

여기서 $Z_{mk}$ = $V_m / I_k$는 안테나 $k$에 입력한 전류 $I_k$가 상대편 안테나 $m$에 만드는 전압 $V_m$의 비율이다. 프리스 전송 방정식에서는 전압과 전류 대신 전력을 사용하기 때문에 식 (3)의 조건을 모두 전력으로 바꾸어준다. 그러면 안테나 1에서 입력 전류 $I_1$과 유기 전압 $V_1$의 제곱은 다음 특성을 만족한다.

(4)

(5)

여기서 $P_{t1}, P_{r1}$은 각각 안테나 1의 송신 및 수신 전력, $Z_{01}$는 1번 안테나 선로의 특성 임피던스(characteristic impedance), $V_{\text{oc}1}$ = $V_1$은 안테나 1에 부하를 달지 않고 측정한 개방 회로 전압(open-circuit voltage), $G_2$는 안테나 2의 안테나 이득, $A_{e1}$은 안테나 1의 유효 면적이다. 수신 전력 $P_{r1}$은 안테나 1이 얻을 수 있는 최대 전력이므로, 원천과 부하 임피던스가 정합된 조건으로 계산해서 부하 전압을 $V_{\text{oc}1}/2$ = $V_1/2$로 둔다. 안테나 2에 대해서도 식 (5)와 같은 결과를 얻어서 식 (3)에 대입한다. 결국 모든 송수신 안테나가 가진 안테나 이득과 유효 면적의 등식이 도출된다.

(6)

특정한 안테나를 정해 안테나 이득 $G$와 유효 면적 $A_e$를 계산해서 식 (6)에 대입함으로써, 모든 안테나에서 성립하는 $G$와 $A_e$의 관계식을 증명할 수 있다. 아래에 상세한 논증 과정을 제시한다.

[안테나 이득과 유효 면적의 관계]

(7)

여기서 $G$는 수신 안테나를 송신 안테나로 사용해서 구한 안테나 이득이다.

[증명: 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)] [1]

구조가 간단해서 정확히 복사 패턴(radiation pattern)을 얻을 수 있는 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)을 이용해서 식 (7)을 증명한다. 복사 효율(radiation efficiency)을 $\eta_r$ = 100%로 잡은 후에 안테나 이득을 $G$ = $D$ = $1.5$로 놓는다. 여기서 $D$는 방향도(directivity)이다. 다음 절차로 헤르츠 다이폴의 복사 저항(radiation resistance) $R_r$을 써서 유효 면적도 유도한다.

(8)

(9)

여기서 $\eta$는 파동 임피던스(wave impedance), $S$ = $E^2 \mathbin{/} (2 \eta)$, 수신 전력이 최대로 되도록 부하를 임피던스 정합해서 $P_r$ = $(V/2)^2 \mathbin{/}(2 R_r)$로 두며, $\Delta z$는 헤르츠 다이폴의 길이, $V$와 $E$는 각각 안테나에 유기된 전압과 전기장, $V$ = $E \Delta z$이다. 마지막으로 $G$ = $1.5$와 식 (9)를 식 (6)에 넣어서 식 (7)을 구한다.

[증명: 초대형 안테나]

아래에 보인 로렌츠 상반 정리의 적분형을 관찰하면, 입사하는 원역장 전자기장을 수신 안테나를 둘러싸는 표면적에서 적분한 결과는 유효 면적과 직접 연결된다.

(10)

여기서 $a, b$는 전자파의 원천이다. 안테나 개구(開口, aperture) 혹은 구멍이 파장에 비해 극단적으로 큰 경우에 원역장 전자기장은 개구와 반응하지 않고 개구를 그대로 통과한다. 그래서 개구의 물리적 면적(physical area) $A_p$는 유효 면적 $A_e$와 같아진다. 즉, 면적이 무한대로 가는 초대형 안테나의 유효 면적은 $A_e \sim A_p$가 성립한다. 여기서 물리적 면적은 안테나를 자로 잰 넓이이다.

[그림 3] 직사각형 전류 분포의 모습(사진 출처: wikipedia.org)

초대형 안테나에 생기는 전류 분포를 [그림 3]처럼 간단한 사각형으로 가정한다. 이 사각형이 만드는 물리적 면적은 $A_p$ = $L_x L_y$이다. 프라운호퍼 회절 적분(Fraunhofer diffraction integral)으로 획득한 방향도 $D$ 혹은 안테나 이득 $G$[$\eta_r$ = 100%로 가정]는 다음과 같다.

(11)

따라서 $G$와 $A_e$가 따르는 간단하지만 만능인 비례식에 도달하게 된다.

(12)

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안테나의 물리적 면적이 파장에 비해 상당히 커서 주파수에 따라 유효 면적이 거의 변하지 않는다면, 복사 패턴(radiation pattern)의 집중도인 안테나 이득은 주파수 제곱에 정비례한다. 반대로 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)처럼 안테나가 거의 점 전원(point source)인 경우에 안테나 이득은 대략 1.5로 고정된다. 이때는 파장이 커질수록 오히려 유효 면적이 증가한다. 왜냐하면 식 (9)에 따라 파장이 늘어나면 $R_r$이 줄어들어 $A_e$는 거꾸로 커지기 때문이다.[혹은 수신 전기장이 고정되어서 저항이 작아질수록 수신 전력이 커지기 때문이다.] 또 다른 관점으로 원역장 거리(far-field distance) $r_\text{ff}$를 도입해 유효 면적 증가를 설명할 수도 있다. 주파수가 낮을수록 위상 변화 $\exp(i k r)$이 줄어서 더 균일 평면파(uniform plane wave)처럼 보인다. 그래서 낮은 주파수는 파동을 더 평면적으로 만들어서 안테나 수신을 용이하게 만들므로, 주파수에 반비례 혹은 파장에 비례해서 수신 안테나의 유효 면적이 커진다.

안테나의 손실을 알려주는 복사 효율 $\eta_r$에 빗대서, 안테나가 가진 물리적 면적이 유효 면적을 얼마나 충실히 생성하는지 판단하는 새로운 지표로 개구 효율(aperture efficiency) $\eta_a$를 도입한다.

(13)

식 (10)에 따라 안테나 면적이 커지면 $\eta_a$는 100%에 수렴한다. 반대로 안테나가 작아지는 경우에 $\eta_a$는 100%를 초과하기도 한다.

식 (7)을 식 (2)에 대입해서 우리가 자주 보는 쓰기 쉬운 프리스 전송 방정식을 완전하게 유도한다.

(14)

여기서 $G_r$은 수신 안테나의 안테나 이득이다. 식 (14)에서 마지막 항의 역수 $[(4 \pi r) \mathbin{/} \lambda]^2$은 경로 손실(path loss)이라 이름 붙이고 $\text{PL}$로 표기한다. 통신 시스템이 자유 공간(free space)에 배치된 경우는 더 구체적으로 자유 공간 경로 손실(free-space path loss)이라 하고 $[(4 \pi r) \mathbin{/} \lambda_0]^2$로 계산한다. 여기서 $c$ = $f \lambda_0$이다. 다만 이름에 손실이 들어가 있지만 실제로 손해가 생기지는 않고, 전자파가 공간상으로 퍼져서 자연적으로 전력 밀도가 낮아지는 현상을 손실로 명명할 뿐이다.[모든 전력을 한곳으로 다 모으면, 원래 전력이 나와서 전력 보존은 잘 성립하고 물리적 손실은 없다.] 식 (14)는 보통 공학용 단위인 데시벨(decibel)로 기술된다.

(15)

여기서 dBm[디비엠으로 읽음]은 전력 기준을 1 mW로 설정한 데시벨 정의, dBi[디비아이로 읽음]는 등방성 안테나에 대한 현재 안테나 이득의 데시벨 표현이다. 프리스 전송 방정식은 모든 경우에 사용될 수 있는 범용 방정식이 아니고, 분명한 한계와 적용 조건을 가지고 있다.

송신과 수신 안테나 간의 거리 $r$은 원역장 거리(far-field distance) 혹은 프라운호퍼 거리 $r_\text{ff}$ = $2 D^2 \mathbin{/} \lambda$보다 훨씬 커야 한다. 여기서 $D$는 안테나를 둘러싸는 원의 직경이다. 거리가 $r \approx r_\text{ff}$인 경우는 전송 방정식과 측정간의 오차가 수% 정도 생긴다.
송신과 수신 사이에 장애물이 없는 가시선(line-of-sight, LoS) 조건에서 전파(propagation)되어야 한다. 지면과 다중 경로 반사(multipath reflection)도 존재할 수 없다.
통신이 이루어지는 두 안테나의 편파(polarization)는 일치되어야 한다. 편파 부정합(polarization mismatch)이 생기면, 편파 효율(polarization efficiency) $\eta_p$ 혹은 편파 손실 계수(polarization loss factor) PLF를 식 (14)에 곱해서 수신 전력을 줄어야 한다. 송수신 안테나의 편파를 각각 표현하는 단위 벡터 $\hat {\bf p}_t, \hat {\bf p}_r$을 써서 $\eta_p$ = $|\hat {\bf p}_t \cdot \hat {\bf p}_r^*|^2$로 공식화한다. 편파가 잘 맞아 동일 편파(co-polarization)로 되면 $\eta_p$ = 100%가 되고, 교차 편파(cross-polarization)와 만날 때에는 $\eta_p$ = 0%라서 통신을 할 수 없다.

프리스 전송 방정식은 무선 통신이 가진 본질을 잘 보여준다. 무선 통신 시스템의 파장을 키우면, 수신 전력이 커져서 전자파가 전송되는 거리는 크게 늘어난다. 요즘 기술 수준에서 파장의 만 배까지는 쉽게 정보를 전송할 수 있다. 대신 파장이 크면 주파수가 낮아져서 전자파를 복사시키기 어려우므로 $G_t, G_r$이 줄어든다. 또한 낮은 주파수로 공진시키는 안테나는 큰 파장으로 인해 시스템의 물리적 크기가 너무 커진다.[다이폴 안테나(dipole antenna)를 채택한 시스템의 크기는 대략 반 파장 정도이다.] 따라서 무선 통신 시스템의 변조 주파수(modulation frequency)는 통신 환경을 고려해서 적절하게 선택되어야 한다. 주파수가 너무 낮은 경우는 시스템 크기가 커지고 전자파 복사는 잘 안되는 반면에 복사된 전자파는 아주 멀리 도달할 수 있다. 거꾸로 높은 주파수를 가진 시스템은 크기가 작고 안테나 복사는 잘 되지만 전자파는 멀리 갈 수 없다. 결국 무선 통신 시스템의 변조 주파수는 선호되는 영역이 따로 있다. 통상적으로 사람이 다루기 쉬운 크기인 10 cm~1 m 정도의 파장[반파장 기준 5 cm~50 cm 정도]과 도시 범위를 고려한 약 1~10km의 전달 범위[파장의 만 배로 계산]를 가진 대역이 좋다. 그래서 300 MHz~3 GHz 범위를 가진 UHF(극초단파, Ultra High Frequency) 대역이 무선 통신에 최적이다.

[그림 4] 송신과 수신 안테나를 위한 좌표계

프리스 전송 방정식은 스칼라인 전력 전달만을 다루고 있어서, 전자파의 중요한 특징인 벡터 요소 혹은 편파(polarization)가 고려되지 않고 있다. 이 문제를 해결하기 위해 안테나 이득과 유효 면적을 벡터 형태로 바꾼다. 먼저 전기장 $\bar E(\bar r)$의 표현식에 안테나 이득 요소를 결합한다.

(16)

여기서 $\bar E_n (\bar r)$은 그린 함수(Green's function)를 기준으로 정규화한 전기장 계수, $\bar E_p (\bar r)$은 원역장에서 안테나 이득을 표시하는 복사 패턴(radiation pattern), $\bar E_n (\bar r)$ = $2 \sqrt{\pi} \bar E_p (\bar r)$다. 거리 $r$을 무한대로 보내서 $\bar E_p (\bar r)$을 원역장의 복사 패턴으로 바꾼다. 이 경우에 원역장으로 보낸 복사 패턴 $\bar E_p (\theta, \phi)$의 크기 제곱은 안테나 이득이 되도록 $\bar E_p (\bar r)$을 정한다. 이때 안테나로 입력되는 전력 $P_\text{in}$까지 고려해서 식 (16)을 변형하면 다음과 같다.

(17a)

(17b)

여기서 $P_t$ = $P_\text{in}$, $V_e$는 식 (17b)를 만족시키는 안테나의 등가 여기 전압(equivalent excitation voltage), $V_\text{in}$은 안테나의 입력 전압, $Z_0$는 입력 선로의 특성 임피던스(characteristic impedance), $G(\theta, \phi)$ = $|\bar E_p (\theta, \phi)|^2$이 된다. 식 (17a)에 따라 $|V_e|^2$ = $ 2\eta P_\text{in}$이 되며, $P_\text{in}$ = 1 W일 때는 $|V_e|^2$ = $2\eta$로 간략화된다. 실효값(root mean square, RMS) 전압 $V_{e,\text{rms}}$ = $V_e / \sqrt{2}$를 쓰면, 더 간단한 $|V_{e,\text{rms}}|^2$ = $\eta$도 얻는다. 결국 $V_e$는 송신기의 출력 전력[안테나를 뺀 RF 시스템의 출력]인 $P_t$ = $P_\text{in}$을 포함하고 $|\bar E_p (\theta, \phi)|^2$은 여전히 안테나 이득을 나타낸다. 수신 전력 계산에 쓸 수 있도록 안테나 이득을 벡터 형태로 바꾼 복사 패턴 $\bar E_p (\theta, \phi)$는 벡터식 복사 패턴(vectorial radiation pattern)이라 이름 붙인다. 비슷한 방식으로 식 (7)을 적용해서, 유효 면적을 벡터 모양으로 변경한 벡터식 유효 길이(vectorial effective length) $\bar L_e (\theta, \phi)$도 정의한다.

(18)

여기서 $|\bar L_e (\theta, \phi)|^2$ = $A_e(\theta, \phi)$이다. 식 (17)과 (18)을 활용해서 벡터 연산으로 획득하는 수신 전력 $P_r$은 다음과 같이 공식화된다.

(19)

여기서 송신 및 수신 안테나의 좌표계는 [그림 4]처럼 각각 $(r, \theta, \phi)$ 및 $(r, \vartheta, \varphi)$로 설정, $\bar E_p(\theta, \phi)$ = $|\bar E_p(\theta, \phi)| \hat {\bf p}_t$, $\bar L_e(\vartheta, \varphi)$ = $|\bar L_e(\vartheta, \varphi)| \hat {\bf p}_r$로 둔다. 식 (19)에서 벡터식 유효 길이에 켤레 복소수를 취한 이유는 수신기를 켤레 정합(conjugate matching)한다는 가정 때문이다. 즉, 수신기에서 최대 전력 이송 정리(maximum power transfer theorem)를 만족하도록 원천과 부하의 임피던스를 $Z_S$ = $Z_L^*$로 설정하는 상황을 $\bar L_e^* (\vartheta, \varphi)$로 표시한다.

전공간의 입체각(solid angle) $\Omega$에 대해 식 (7)을 적분하면, 멋지게 간단한 관계식 하나를 얻을 수 있다.

(20)

(21)

여기서 $\eta_r$은 복사 효율(radiation efficiency)이다.

자유 공간에서 정의된 프리스 전송 방정식을 현실 문제에 적용할 때는 전파 인자(propagation factor)가 유용하다. 전파 인자는 전자파가 실제 공간으로 전송될 때 생기는 손실을 표현한다. 전기장 기준으로 정의한 전파 인자 $F$는 보통 패턴 전파 인자(pattern propagation factor)라 부른다.

(22)

여기서 $\bar E_0 (\bar r)$은 자유 공간의 전기장, $\bar E (\bar r)$은 손실 있는 실제 공간에서 잰 전기장이다. 식 (22)에 따라 $F \le 1$이 항상 성립한다. 흔히들 전파 인자로 통칭하는 $\text{PF}$는 전력 비율로 계산한다.

(23)

여기서 $\text{PF} \le 1$이다. 동일한 수신 위치에서 손실이 거의 없는 환경과 현재 조건에서 두 번 측정함으로써 전파 인자 $\text{PF}$를 쉽게 결정할 수 있다. 식 (23)에 정의한 전파 인자를 이용해서 현실적인 수신 전력 $P_r$을 나타낸 표현은 다음과 같다.

(24)