2012년 11월 5일 월요일

다이폴 안테나(dipole antenna)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "다이폴 안테나"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 가장 쉬운 안테나 이론
2. 안테나의 복사 저항
3. 헤르츠 다이폴

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다이폴 안테나(dipole antenna)는 실제로 사용할 수 있는 안테나(antenna) 중에서 기하학적으로 가장 단순하며 가장 부피가 작은 안테나이다. 이론적으로 가장 단순하며 작은 안테나는 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)이지만 안테나 공진(resonance)이 거의 일어나지 않아 실제로는 사용할 수 없다.

[그림 1] 반파장 다이폴 안테나의 구조(출처: wikipedia.org)

[그림 2] 반파장 다이폴 안테나의 실제 모습(출처: wikipedia.org)

다이폴 안테나는 존재하는 안테나 중에서 기하학적으로 가장 단순하지만 안테나 복사 문제가 쉽게 풀린다는 뜻은 아니다. 헤르츠(Heinrich Hertz) 이후 많은 연구자들이 다이폴 안테나 문제를 풀었지만 아직 정확한 답을 알지는 못한다[1]-[3].

[그림 3] 헤르츠 다이폴 안테나

그래서, 식 (1)과 (2)에 있는 헤르츠 다이폴의 전자기장을 이용하여 다이폴 안테나의 전자기장을 근사적으로 계산한다.

                          (1)

                          (2)

즉, [그림 4]처럼 다이폴 안테나를 가장 작은 안테나인 헤르츠 다이폴을 이용해 표현한다.

[그림 4] 헤르츠 다이폴을 이용한 다이폴 안테나의 근사

그러면 굳이 다시 맥스웰 방정식을 풀 필요없이 식 (1)과 (2)에 제시한 안테나 식으로 다이폴 안테나의 전자기장을 모두 표현할 수 있다.

                          (3)

                          (4)

식 (4)에 있는 벡터 $\bar R$은 [그림 4]에 제시되어 있다. 각 헤르츠 다이폴이 만드는 전자기장을 표현하는 벡터 $\bar R$은 다음 공식으로 정의한다.

                          (5)

쉽게 생각하면 벡터 $\bar R$은 원점이 $(0, 0, z')$에 있는 구 좌표계(spherical coordinate system)의 위치 벡터(position vector)이다. 벡터 $\bar R$의 복잡성으로 인해 식 (3)과 (4)를 적분하는 것은 매우 난해하다. 더군다나 $z'$ 지점의 전류값 $I(z')$도 모르는 상태이다. 그래서 식 (3)과 (4)에 원역장 조건(far-field condition)을 다음처럼 적용한다.

                       (6)

원역장 조건은 기하학적으로 다음처럼 간단하게 생각할 수 있다.

[그림 5] 원역장 조건의 기하학적 의미

중앙의 검정색 화살표 길이를 기준으로 보자. 그러면 주황색 화살표 길이는 검정색보다 $d \cos \theta$만큼 짧아진다. 바다색 화살표는 검정색보다 $d \cos \theta$만큼 길어진다. 이를 수식적으로 표현한 것이 식 (6)이다. 우리 경우에는 식 (7)처럼 간단하게 원역장 조건을 기술할 수 있다.

                       (7)

                       (8)

그러면 원역장에서 $\Theta = \theta$, $\Phi = \phi$가 성립하여 벡터 $\bar R$의 단위 벡터는 벡터 $\bar r$의 단위 벡터와 동일하다. 그러면 식 (3), (4)는 원역장에서 다음처럼 간단하게 표현된다.

                       (9)

여기서 $I_m$은 안테나에 흐르는 최대 전류이다. 식 (9)에서 재미있는 것은 안테나 복사 패턴(antenna radiation pattern) 함수 $P(\theta)$이다.

                       (10)

식 (10)이 의미하는 것은 전류 분포(current distribution)의 푸리에 변환(Fourier transform)이 안테나 복사 패턴이 된다는 것이다. 예를 들어 전류 분포가 공간상에 광범위하게 분포되어 있으면 안테나 복사 패턴은 매우 날카로워진다. 혹은 전류 분포가 헤르츠 다이폴처럼 매우 작다면 안테나 복사 패턴은 각도에 대해 거의 일정해진다. 식 (10)을 정확히 계산하려면 다이폴 안테나의 전류 분포 $I(z')$를 알아야 한다. 하지만 정확한 전류 분포는 알 수가 없어 다이폴 안테나의 경계 조건(boundary condition)을 이용한다.  즉, $z' = l/2$에서 전류가 0인 것은 확실하다. 그래서 전류 분포를 다음처럼 가정한다.

                       (11)

식 (11)로부터 $z' = 0$(안테나 입력부)에서 전류가 최대가 되기 위해서는 [그림 4]의 다이폴 길이 $l$이 반파장(half wavelength)이 되어야 한다. 그래서 보통 다이폴 안테나라고 하면 반파장 길이를 의미한다. 식 (11)을 식 (10)에 대입하여 다이폴 안테나의 복사 패턴 $P(\theta)$을 구해보자.

                       (12)

식 (12)에서 $\theta = 0, \pi$일 때는 특이점(singular point)이 될 것 같지만, 로피탈의 정리(L'Hôpital's rule)를 이용해 계산해 보면 $\theta = 0, \pi$의 복사 패턴은 유한하게 잘 정해진다.

                       (13)

식 (13)은 매우 중요한 의미를 가진다. 즉, 다이폴 안테나는 주파수나 안테나 길이에 관계없이 어떤 경우에도 안테나가 놓인 방향으로 전자파를 복사하지 않는다. 반파장 다이폴 안테나는 복사 패턴이 다음처럼 굉장히 간단해진다.

                       (14)

[참고문헌]
[1] C. Butler, "Evaluation of potential integral at singularity of exact kernel in thin-wire calculations," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 23, no. 2, pp. 293- 295, March 1975.
[2] L. Pearson, "A separation of the logarithmic singularity in the exact kernel of the cylindrical antenna integral equation," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 23, no. 2, pp. 256-258, March 1975.
[3] D. H. Werner, J. A. Huffman, and P. L. Werner, "Techniques for evaluating the uniform current vector potential at the isolated singularity of the cylindrical wire kernel," IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. 42, no. 11, pp. 1549-1553, Nov 1994.

[다음 읽을거리]
1. 다이폴 안테나의 복사 저항

댓글 2개 :

  1. 안녕하세요, 반파장 다이폴 안테나를 설계하고 있는 학생입니다. V형으로 벌어진 다이폴 안테나를 설계하고 있습니다. 약 10*10cm^2 면적의 PCB 판위에 딱 붙여서 설계하고 있습니다. 이렇게 되면 어떤 영향이 있을까요?

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    1. 주파수와 관계가 있지만 PCB판에 바짝 붙여서 설계하면, PCB판에 영상 전류(image electric current)가 생겨 입력부 입장에서는 거의 전반사가 일어납니다. 그래서, 정상적인 안테나 역할을 못합니다. 이 경우는 반드시 MS 패치 안테나(microstrip patch antenna)를 참고해서 PCB판의 두께와 안테나 크기를 조정해야 합니다.

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