평면파를 이용한 푸리에 변환 기법(Fourier Transform Technique Using Plane Waves)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "푸리에 변환 기법"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다. 
1. 맥스웰 방정식
2. 전자기장 파동 방정식
3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
4. 균일 평면파의 의미
5. 푸리에 변환

6. 급속 하강 방법

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전자기장 파동 방정식(electromagnetic wave equation)을 이용하면 전기장(electric field)에 대한 미분 방정식(differential equation)을 다음과 같이 얻을 수 있다.

                         (1)

식 (1)에서 시간 미분을 페이저(phasor)로 바꾸면 전기장에 대한 페이저 기반 파동 방정식을 만들 수 있다.

                          (2)

                         (3)

여기서 파수(wavenumber)와 라플라시안(Laplacian)은 다음처럼 정의한다.

                          (4)

                         (5)

식 (3)에서 $x, y$축으로는 변화가 없고[$\partial \bar E/ \partial x$ = $\partial \bar E/ \partial y$ = $0$] 오직 $z$축으로만 변한다고 생각하자. 그러면 식 (3)의 파동 방정식을 1차원으로 단순하게 생각할 수 있다.

                         (6)

그러면 식 (6)의 미분 방정식(differential equation) 해는 다음과 같은 균일 평면파(uniform plane wave)로 표현할 수 있다.

                         (7)

다음으로 2차원을 고려하기 위해 $\partial \bar E/ \partial z$ = $0$이라 가정해본다. 그러면 식 (3)은 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (8)

식 (8)의 미분 방정식을 풀기 위해 전기장을 식 (7)처럼 평면파라고 간주해 다음처럼 풀 수 있다.

                         (9)

                         (10)

여기서 $k_z$ = $0$이다. 하지만 실제 문제에서 식 (9), (10)과 같은 접근법은 문제가 있다. 왜냐하면 $k_x, k_y$가 정해지지 않아 임의의 값이 될 수 있기 때문이다. 이런 골치 아픈 문제를 어떻게 해결할 수 있을까? 바로 다음과 같은 푸리에 변환(Fourier transform)을 쓰면 해결된다[1].

                       (11)

푸리에 변환으로 보면 어떤 함수든지 이 함수의 쌍에 대한 무한 적분으로 표현할 수 있다. 그래서, 식 (11)처럼 임의의 2차원 전기장을 다음처럼 표현할 수 있다.

                       (12)

식 (12)를 식 (8)에 넣으면 다음과 같은 미분 방정식을 얻을 수 있다.

                       (13)

여기서 $\hat E_0$는 전기장의 방향을 나타내는 단위 벡터(unit vector)이다. 식 (13)의 둘째식은 식 (6)과 동일하므로 식 (7) 유도와 비슷하게 식 (13)의 셋째식을 유도하였다. 식 (13)의 최종결과는 답이 두 개이다. 이 중에서 어떤 답을 선택해야 하나? 이를 해결하려면 복사 조건(radiation condition)을 생각해야 한다. 전자파를 관찰하면 전자파는 항상 원천을 뚫고 나오는 방향으로 복사된다. 예를 들면 백열등을 켰을 때 전자파가 백열등에 들어가는 현상을 본 적이 있는가? 아무도 없다. 백열등 속으로 들어가는 전자파는 매우 이상하다.[∵ 만약 백열등 속으로 빛이 들어가면, 이 현상은 바로 블랙홀(black hole)이다.] 따라서, 복사 조건을 이용하면 식 (13)의 셋째식 부호는 다음처럼 결정되어야 한다.

                       (14)

그러면 임의의 2차원 전기장은 푸리에 변환을 이용해 항상 다음처럼 표현되어야 한다.

                    (15)

여기서 $\xi$는 $x$방향 파수(wavenumber)이다. 파수 $\xi$는 $x$방향으로 임의의 파수를 가질 수 있음을 의미한다. 식 (15) 유도와 동일한 방법을 사용하면 임의의 3차원 전기장은 다음처럼 공식화할 수 있다.

                       (16)

여기서 $\xi, \eta$는 $x, y$방향 파수(wavenumber)이다. 식 (16)은 전기장이 특정한 방향[$\hat E_0$]으로 향해 있을 때만 맞는 식이다. 일반적인 전기장은 식 (16)을 확장해야 한다. 즉 전기장은 일반적으로 $x,y,z$방향을 가질 수 있으므로 임의의 전기장 표현식은 다음과 같아야 한다.

                       (17)

여기서 2차원 평면을 생성하는 기저 벡터(basis vector) $\hat t, \hat u$를 도입해서 $\widetilde{\bf E}(\xi, \eta)$ = $\widetilde{E_t}(\xi, \eta) \hat t + \widetilde{E_u}(\xi, \eta) \hat u$로 정의해도 된다. 식 (15)-(17)처럼 푸리에 변환을 이용하여 전기장이나 자기장을 표현하는 방식을 푸리에 변환 기법(Fourier transform technique)이라 한다. 푸리에 변환만 알면 식 (15)–(17)을 쉽게 유도할 수 있어서 별것 아니라고 생각할 수 있지만, 푸리에 변환 기법 자체는 다소 난이도가 있다. 푸리에 변환은 세밀하게 접근하면 사실 단순하지 않기 때문에, 관련 내용이 책으로도 한 권 나와있다[1].

전기장의 푸리에 변환에 해당하는 $\widetilde{E}$는 식 (16)에 푸리에 변환을 취해 다음처럼 구할 수 있다.

                       (18)

식 (17)을 통해 전기장 푸리에 변환의 의미를 알 수 있다. 바로 전기장이 변하는 빈도수가 푸리에 변환이 된다. 이 빈도수를 알면 근사없이 전기장을 정확히 표현할 수 있다. 식 (17)과 아래 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 이용하면 자기장도 전기장의 푸리에 변환으로 표현할 수 있다.

                       (19: 패러데이의 법칙)

                       (20)

자기장 자체를 푸리에 변환으로 표현하면 다음 관계를 얻는다.

                       (21)

유도된 결과에 따라 자기장의 푸리에 변환 $\widetilde{\bf H}$는 파수 벡터 $\bar k$와 $\widetilde{\bf E}$의 외적으로 바로 구해진다.

                       (22)

여기서 $\hat{\bf E}, \hat{\bf H}$는 $\widetilde{\bf E}, \widetilde{\bf H}$의 복소 단위 벡터(complex unit vector)이며[$|\hat {\bf E}|$ = $|\hat {\bf H}|$ = $1$], $\hat{\bf H}$ = $\widetilde{\bf E} / |\widetilde{\bf E}|$ 및 $\hat{\bf H}$ = $\widetilde{\bf H} / |\widetilde{\bf H}|$로 정의한다. 다시 아래 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에 식 (17)을 대입해서 다음 관계도 얻는다.

                       (23: 쿨롱의 법칙)

                       (24)

또한 다음 맥스웰 방정식의 특성으로 인해 식 (19)에 회전 연산자(curl operator)를 적용한 결과는 다시 식 (16)에 기술한 전기장 표현식으로 돌아가야 한다.

                  (25: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

                    (26)

전기장의 원역장 특성을 알기 위해 식 (17)에 급속 하강 방법(method of steepest descent) 방법을 적용해보자. 급속 하강 방법은 식 (27)에 소개되어 있다.

                    (27)

식 (27)을 이용하면 $z \ge 0$인 경우 전기장의 원역장은 다음처럼 표현된다.

                    (28)

따라서 식 (28)에 의해 전기장의 푸리에 변환에 해당하는 $\widetilde{\bf E}$는 전기장의 원역장에 정비례한다[2]. 또한 식 (24)를 고려하면 전기장의 푸리에 변환 $\widetilde{\bf E}$는 전자파의 전달 방향[$\bar k_0$]에 반드시 수직함을 알 수 있다. 이 특성은 균일 평면파(uniform plane wave)의 주요 성질이다.

조건 $\sqrt{\xi^2 + \eta^2} \le k$는 소멸파(evanescent wave)가 아닌 진행파(traveling wave or propagating wave)를 나타낸다. 왜냐하면 독립 변수 $\xi, \eta$의 종속 변수인 $\zeta$가 실수라서 $e^{i \zeta |z|}$는 전파하는 파동을 나타내기 때문이다. 반대로 $\sqrt{\xi^2 + \eta^2} > k$인 경우에 $\zeta$는 순허수이므로, $e^{i \zeta |z|}$가 급속히 작아져서 소멸파를 형성하며 원천에서 멀어진 영역에서는 파동이 매우 약해진다. 그래서 근사적으로 빠르게 식 (17)을 계산하려면, 전영역이 아닌 진행파만 존재하는 조건인 $\sqrt{\xi^2 + \eta^2} \le k$에서만 $\xi, \zeta$를 계산한다.

                    (29)

그 다음에 고속 푸리에 변환(fast Fourier transform, FFT)을 식 (29)에 적용해서 모든 곳의 파동을 거의 정확하게 환산할 수 있다.

[참고문헌]

[1] H. J. Eom, Wave Scattering Theory: A Series Approach Based on the Fourier Transformation, Berlin: Springer, 2001.

[2] D. T. Paris, W. M. Leach Jr., and E. Joy, "Basic theory of probe-compensated near-field measurements," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 26, no. 3, pp. 373–379, May 1978.

[다음 읽을거리]
1. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식
2. 원통 좌표계의 전자장 표현식