2012년 11월 1일 목요일

평면파를 이용한 푸리에 변환 기법(Fourier transform technique using plane waves)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "푸리에 변환 기법"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다. 
1. 맥스웰 방정식
2. 전자기장 파동 방정식
3. 페이저를 이용한 맥스웰 방정식
4. 균일 평면파의 의미
5. 푸리에 변환

[확인] 본 페이지는 exp(-iωt) 시간 약속을 사용하고 있습니다.


전자기장 파동 방정식(electromagnetic wave equation)을 이용하면 전기장(electric field)에 대한 미분 방정식(differential equation)을 다음과 같이 얻을 수 있다.

                         (1)

식 (1)에서 시간 미분을 페이저(phasor)로 바꾸면 전기장에 대한 페이저 기반 파동 방정식을 만들 수 있다.

                          (2)

                         (3)

여기서 파수(wavenumber)와 라플라시안(Laplacian)은 다음처럼 정의한다.

                          (4)

                         (5)

식 (3)에서 $x, y$축으로는 변화가 없고($\partial \bar E/ \partial x = \partial \bar E/ \partial y = 0$) 오직 $z$축으로만 변한다고 생각하자. 그러면 식 (3)의 파동 방정식을 1차원으로 단순하게 생각할 수 있다.

                         (6)

그러면 식 (6)의 미분 방정식(differential equation) 해는 다음과 같은 균일 평면파(uniform plane wave)로 표현할 수 있다.

                         (7)

다음으로 2차원을 고려하기 위해 $\partial \bar E/ \partial z = 0$이라 가정해보자. 그러면 식 (3)은 다음처럼 표현할 수 있다.

                         (8)

식 (8)의 미분 방정식을 풀기 위해 전기장을 식 (7)처럼 평면파라고 간주해 다음처럼 풀 수 있다.

                         (9)

                         (10)

기서 $k_z = 0$. 하지만 실제 문제에서 식 (9), (10)과 같은 접근법은 문제가 있다. 왜냐하면 $k_x, k_y$가 정해지지 않아 임의의 값이 될 수 있기 때문이다.

이런 골치 아픈 문제를 어떻게 해결 할 수 있을까? 바로 다음과 같은 푸리에 변환(Fourier transform)을 쓰는 것이다[1].

                       (11)

푸리에 변환으로 보면 어떤 함수든지 이 함수의 쌍에 대한 무한 적분으로 표현할 수 있다. 그래서, 식 (11)처럼 임의의 2차원 전기장을 다음처럼 표현할 수 있다.

                       (12)

식 (12)를 식 (8)에 넣으면 다음과 같은 미분 방정식을 얻을 수 있다.

                       (13)

여기서 $\hat E_0$는 전기장의 방향을 나타내는 단위 벡터(unit vector)이다. 식 (13)의 둘째식은 식 (6)과 동일하므로 식 (7) 유도와 비슷하게 식 (13)의 세째식을 유도하였다. 식 (13)의 최종결과는 답이 두 개이다. 이 중에서 어떤 것을 택해야 하나? 이를 해결하려면 복사 조건(radiation condition)을 생각해야 한다. 전자파를 관찰하면 전자파는 항상 원천을 뚫고 나오는 방향으로 복사된다. 예를 들면 백열등을 켰을 때 전자파가 들어가는 것을 본 적이 있는가? 없다. 백열등 속으로 전자파가 들어가는 것은 이상하다. [∵ 백열등 속으로 빛이 들어간다면 그건 블랙홀(black hole)이다.]
따라서, 복사 조건을 이용하면 식 (13)의 세째식 부호는 다음처럼 결정되어야 한다.

                       (14)

그러면 임의의 2차원 전기장은 푸리에 변환을 이용해 항상 다음처럼 표현되어야 한다.

                    (15)

여기서 $\xi$는 $x$방향 파수(wavenumber)이다. $\xi$가 의미하는 것은 $x$방향으로 임의의 파수를 가질 수 있다는 것이다.
식 (15) 유도와 동일한 방법을 사용하면 임의의 3차원 전기장은 다음처럼 공식화할 수 있다.

                       (16)

여기서 $\xi, \eta$는 $x, y$방향 파수(wavenumber)이다.
식 (16)은 전기장이 특정한 방향($\hat E_0$)으로 향해 있을 때만 맞는 식이다. 일반적인 전기장은 식 (16)을 확장해야 한다. 즉 전기장은 일반적으로 $x,y,z$방향을 가질 수 있으므로 임의의 전기장 표현식은 다음과 같아야 한다.

                       (17)

식 (15)-(17)처럼 푸리에 변환을 이용하여 전기장이나 자기장을 표현하는 방식을 푸리에 변환 기법(Fourier transform technique)이라 한다. 푸리에 변환만 알면 식 (15)-(17)을 쉽게 유도할 수 있기 때문에 이걸 별 것 아니라고 생각할 수 있지만 푸리에 변환 기법 자체는 다소 난이도가 있다. 단순한 것이 아니기 때문에 이미 책으로도 한 권 나와있다[1].
전기장의 푸리에 변환에 해당하는 $\widetilde{E}$는 식 (16)에 푸리에 변환을 취해 다음처럼 구할 수 있다.

                       (18)

식 (17)을 통해 전기장 푸리에 변환의 의미를 알 수 있다. 바로 전기장이 변하는 빈도수가 푸리에 변환이 된다. 이 빈도수를 알면 근사없이 전기장을 정확히 표현할 수 있다.
식 (17)과 아래 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 이용하면 자기장도 전기장의 푸리에 변환으로 표현할 수 있다.

                       (19: 패러데이의 법칙)

                       (20)

자기장 자체를 푸리에 변환으로 표현하면 다음 관계를 얻는다.

                       (21)

$\sqrt{\xi^2 + \eta^2} \le k$인 경우는 최종식을 더 간략화할 수 있다.

                       (22)

여기서 $\hat{\bf E}, \hat{\bf H}$는 $\widetilde{\bf E}, \widetilde{\bf H}$의 단위 벡터이다. 다시 아래 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)에 식 (17)을 대입하면 다음 관계를 얻는다.

                       (23: 쿨롱의 법칙)

                       (24)

또한 다음 맥스웰 방정식의 특성으로 인해 식 (19)에 회전 연산자(curl operator)를 적용하면 식 (16)의 전기장 표현식이 얻어져야 한다.

                  (25: 변위 전류 포함 암페어의 법칙)

                    (26)

전기장의 원역장 특성을 알기 위해 식 (17)에 SDP(Steepest Descent Path, 급속 하강 경로) 방법을 적용해보자. SDP 방법은 식 (27)에 소개되어 있다.

                    (27)

식 (27)을 이용하면 $z \ge 0$인 경우 전기장의 원역장은 다음으로 표현된다.

                    (28)

따라서 식 (28)에 의해 전기장의 푸리에 변환에 해당하는 $\widetilde{\bf E}$는 전기장의 원역장에 정비례한다[2]. 또한, 식 (24)를 고려하면 전기장의 푸리에 변환 $\widetilde{\bf E}$는 전자파의 전달 방향($\bar k_0$)에 반드시 수직한 것을 알 수 있다. 이것은 평면파(uniform plane wave)의 주요 성질이다.

[참고문헌]
[1] H. J. Eom, Wave Scattering Theory: A Series Approach Based on the Fourier Transformation, Berlin: Springer, 2001.
[2] D. T. Paris, W. M. Leach Jr., and E. Joy, "Basic theory of probe-compensated near-field measurements," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 26, no. 3, pp. 373-379, May 1978.

[다음 읽을거리]
1. 데카르트 좌표계의 전자장 표현식
2. 원통 좌표계의 전자장 표현식

댓글 34개 :

  1. 안녕하세요? 이 블로그를 통해 자주 공부에 참고를 하는 전자과 학생인데요.. 여기다가 할 질문은 아니지만, 정말정말 궁금한데, 알아내기가 막막해서 지푸라기라도 잡는 심정으로 질문드립니다ㅜ 죄송합니다.

    Spherical plane wave equation 에 대한 질문인데요.

    ∂ψ(r)/∂x = ψ(r)'(∂r/∂x) 라는 식이 있습니다.
    제가 보기엔,(틀리면 지적부탁드립니다. ㅠ)

    ψ 라는 파동방정식에서(아마, general wave equation 인 ψ = C1exp(+jβr)+C2exp(-jβr) )

    구면파를 xyz의 변수를 다루는 직각좌표계로 옮겨서 해석하기 위해, x에 대해서 편미분을 하는 것이라고 생각합니다.

    이 상태에서 한번 더 미분하게 되는데요.(총 두번 미분)
    임의의 x 점에서 그 파동이 가진 힘을 구하기 위해 2계편미분을 하는 것이라고 생각합니다.

    그래서 나오는 식이,
    (∂/∂x)^2 ψ = ψ''(∂r/∂x)^2 + ψ'(∂/∂x)^2 r

    이라는 결과가 나옵니다.
    이게 어떻게 나오는지 이해가 되지 않습니다.

    식이 잘 이해가 안 되시면, 메일로 사진이라도 보내겠습니다. ㅠ

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    1. Spherical plane wave라는 말은 생소합니다. 구면 평면파라는 것이 있나요?
      지금 말씀하시려는 것이 혹시 구면파인가요(spherical wave)?

      구면파라면 ψ = exp(+jβr)로 간단하게 표현되지 않습니다. 미분방정식이 상당히 다릅니다. 한 번 확인해보세요.
      또한 구좌표계에 대한 파동방정식은 데카르트 좌표계와도 상당히 다릅니다. 로렌츠 게이지도 다르게 정의해야 합니다.

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  2. 저는 방사선 전공자로서 퓨리에 변환과 convolution을 공부하다가 선생님 자료를
    접하게 되었습니다.

    많은 도움 받았습니다.

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  3. 우선 위글을 이해 하지 못한 상태에서 문의를 드리는 것입니다.
    기초적인 질문이고요, 전체적인 큰산을 보고, 접근을 하려고 합니다.
    너무 성의가 없는 질문이라는 것도 압니다. 헤~

    1. 프리에 변환으로 일반화를 하면, 모든 파에 대해서 일반화가 되는건가요?
    평면파의 진행 방향과 관련된 부분만 일반화가 되는건가요?

    2. ξ(크시)는 x방향 파수, η(에타)는 y방향 파수, ς(시그마) z방향 파수 이렇게 되는건가요?

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    답글
    1. 1. 푸리에 변환은 연속된 모든 파동을 표현할 수 있어 일반적인 접근법입니다.

      2. 예, 맞습니다. $\zeta$는 제타라고 읽습니다.

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    2. 감사드립니다. 또 기초적인 질문인데요.
      식(12)에서 vector A ( y ; ξ ) 함수 표현은 어떤 의미가 되는 건가요?

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    3. $x$축에 대한 푸리에 변환입니다. 식 (11)과 비교해 보세요.

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  4. 1. 죄송요. 식(13)에 정의가 나와 있었네요. 낫 놓고 기역자도 모르는 형상이네요 T.t

    2. "식 (13)의 둘째식은 식 (6)과 동일하므로 " 에서 (6)- -> (8)이 되어야 하는거 아닌가요?

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    1. 편미분항이 하나라서 식 (6)이 맞습니다. ^^

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    2. 1. 아, 식이 비슷하므로, 같은 방식으로 식을 만들겠다는 의미군요.

      2. 식(17)의 두번째 줄은 직각 죄표계에서 전기장의 basis function이라고 볼 수 있는건가요?
      basis function <-- 이게 먼지 몰라요. 식의 형태가 비슷하게 보여서요.

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    3. 이 경우에 기저 함수라는 표현을 쓰는 것은 어색합니다. 전기장이 x,y,z축에 모두 있으므로 3차원을 표현하기 위해 벡터를 사용한 것 뿐입니다.

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    4. 1. 식(17)E˜(ξ,η)는 vector인가요? 여기에서는 vector 같은데요.
      식(18)에서 단위 vector E0^와 같이 E˜(ξ,η)E0^ 되어 있어서 vector 아닌가 싶기도 하구요.

      2. 식(17)은 프리에 역변환, (18)은 프리에 변환이 되는건가요?


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    5. 감사드립니다. 그리고 죄송합니다. 시험삼아 댓글 삭제 한번 해보았습니다. 지송요.

      좀 아주 많이 거시기한 질문인데요.
      정주행을 하지 않아서 인지(열방정식, 프리에 급수/변환을 재대로 보지 않음),
      프리에 변환을 하면, 직관적으로 파동을 일반화 할 수 있다는게 느껴지지가 않습니다. 문제가 멀까요?
      (프리에와 같은 천재가 아니어서 일까요? 프리에는 직관적으로 만들어 냈다고들 하는데요.)

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    6. 굉장히 수학적인 내용이라 그렇습니다.
      초보자가 식 (11)을 보면 $f(t)$로 표현된 좌변식이 쉬워 보입니다. 하지만 $f(t)$에는 시간 변화를 보여주는 부분이 전혀 없습니다. 식 (11)의 우변은 푸리에 변환 표현식으로 인해 시간 변화가 $e^{i \omega t}$라는게 보입니다.

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  5. 안녕하세요? 관련 분야를 공부하는 학생입니다.
    이 글 내용을 공부하다가 궁금 혹은 평소에 헷갈리던 부분이 있어서 몇가지 여쭙습니다.

    식 14에서 +y 방향에 대해 eta*y 가 되는 이유가 시간약속 exp(-jωt) 을 사용하기 때문이 맞는지요? 제가 보아왔던 몇몇 전자기학/초고주파 책에는 +y 방향으로 진행하는 경우 exp(-**y) 로 표기하고, 시간 약속을 exp(jωt) 로 썼던 걸로 기억합니다. (무지하게 기본적인 질문같지만서도 답변해주시면 감사하겠습니다.) 추가적으로 두 가지 시간약속에 물리적인 의미가 있는지도 좀 궁금합니다^^

    전파거북이님이 써주신 글 내용을 다 이해하기에는 지식이 얕은지라 참고문헌 링크를 열어봤는데
    [1] 의 페이지에 들어가서 무료 제공되는 부분인 front matter 의 끝페이지에서 또 의문점이 생겼는데요.
    Transform Definitions 에 Fourier Transform 의 식을 보면
    f(x) 의 푸리에 트랜스폼 틸드f(ζ) 를 나타내는 식의 exponential 항이 exp(iζx) 로 되어 있는데
    전파거북이님이 쓰신 푸리에 트랜스폼에 나온 부분과 부호가 반대이기도 하고, 다른 책 및 인터넷 자료와 반대인 것 같아서 초보의 입장에서 굉장히 헷갈리게 되었습니다. 오타일 것 같지는 않고, 왜 그런지 설명 좀 부탁드립니다.

    질문이 길었습니다^^;

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    1. 1. 보통 물리학하는 사람들은 공간을 주로 다루기 때문에 $\exp(-i \omega t)$를 사용하고 공학에서는 시간 변화만 주로 고려해서 $\exp(j \omega t)$를 사용합니다. 시간 약속에 대한 자세한 설명은 아래 링크 참고하세요.

      http://ghebook.blogspot.kr/2010/10/maxwells-equations-using-phasor.html

      2. 우리가 보통 보는 푸리에 변환은 시간에 대해 정의하기 때문에 원칙만 따지면 공간에서는 (-) 부호 만큼 차이가 나야 합니다. 하지만 이럴 경우 푸리에 변환, 역변환이 헷갈리게 되어 시간과 공간 정의에 관계없이 식 (17)을 푸리에 역변환, 식 (18)을 푸리에 변환으로 정의합니다.
      물론 이렇게 하지 않더라도 틀린 것은 아닙니다.

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    2. 다른 글에 시간약속에 대한 설명이 더 있었네요. 보지도 않고 무턱대고 질문부터 드린 것 같아 죄송스럽습니다.
      이 블로그는 처음부터 차근차근 공부해보고싶은 블로그네요 ^^
      답변 감사드리고, 다른 글도 감사히 읽어보겠습니다.

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  6. 우선 이해를 하지 못한 상태의 질문 입니다.
    http://ghebook.blogspot.kr/2010/09/electromagnetic-wave-equation.html 의 일부 내용
    "원천이 없는 파동 방정식은 미분 방정식 풀이에 나타나는 일반해(general solution)를 구하기 위해 사용한다. 일반해와 차별화되는 원천에 대한 특수해(particular solution)는 보통 그린 함수(Green's function)를 이용해 구한다."

    즉 프리에 변환을 하면, 파동을 일반화 할 수 있다는 것은 결국 미분 방정식을 푼다는 것과 같은 건가요?

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    답글
    1. 일반해와 특수해는 미분 방정식 해법의 기본 개념입니다. 언급하신 문장은 전자파보다는 미분 방정식과 관련된 내용입니다.

      마지막 문장은 좀 모호합니다. 제가 표현한다면 "푸리에 변환을 이용하면 파동을 수식으로 표현할 수 있다." 정도 될 것 같습니다. 수식으로 표현되면 적절한 방법을 써서 문제를 풀 수 있습니다.

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    2. 감사드립니다. 감이 좀 잡히네요.
      그런데 어떤 원리로 푸리에 변환을 활용하여, 미분 방정식을 풀 수 있는지에 대한 이유를 모르고 있네요. 그냥 받아 들였던 거지요. T.T

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    3. 식(10)아래에
      "왜냐하면 kx,ky가 정해지지 않아 임의의 값이 될 수 있기 때문이다."
      이게 무슨 뜻인지 모르겠습니다.

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    4. 말뜻 그대로입니다. $k_x, k_y$를 제한할 어떤 조건도 없기 때문에 실제 적용에 문제가 생깁니다.

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    5. 식(13)관려하여, 질문댓글을 달았다가, 아~ 했는데, 다시 모르겠습니다. 지송요. T.T
      1. 식(13)의 둘째줄은 적분이 0이되기 위해서 둘째줄이 성립이 되어야 하는 건가요?
      2. 식(13)의 3째줄은 x를 변환하면 ξ(크시)가 나오는거와 같이. y도 변환을 하면, η(에타)가 나올 수 있다는 것이 예상이 되므로,
      k^2 - ξ^2 - η^2 = 0
      이 되는 것을 짐작이 되는데요.
      이렇게 되기 위해서(for k^2 - ξ^2 - η^2 = 0)는 식(13) 의 3째줄이 어떻게 되는 건지 모르겠습니다.

      2-1. 식(13) 3째줄의 ^E_0와 식(7)의  ̄E_0는 같은 건가요?
      ^E_0 =  ̄E_0

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    6. 1. 푸리에 변환으로 생각하시면 됩니다. 푸리에 변환값이 0이면 원래 함수가 0이어야 합니다.

      2. 식 (13)의 세째줄을 둘째줄에 넣어 보세요. 0이 나오는 것을 확인할 수 있습니다.

      2-1. 다릅니다. 하나는 벡터, 하나는 단위 벡터입니다.

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    7. 식(20)관련.
      1. 대수적으로 입력만 하면 나올거라 생각을 했는데요. 막상 해보니 k ̄ 가 다르네요. 어떻게 유도를 해야하는건가요?
      1-1. k ̄ 도 fourier 변환을 해야 하는건가요?
      k ̄ = kx x^ + ky y^ + ky z^ 였는데, 식 (20)에서는 ξ(크시),η(에타) 등으로 표현이 되어 있잖아요.
      파수백터를 프리에 변환을 한 형태가 되는건가요?

      1-2. H ̄(r ̄) = [ k ̄ X E ̄(r ̄)]/wu
      위식의 우측 항([ k ̄ X E ̄(r ̄)]/wu )을 프리에 변환하고 또 역변환을 해야 하는건가요?

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    8. 1.1 아닙니다. 제목을 보시면 "평면파를 이용한"이 있습니다. 평면파처럼 간주하기 때문에 나온 것입니다. 임의의 평면파를 모으면 푸리에 변환과 관계를 가집니다.

      1.2 식 (17)에 전기장 표현식을 유도했기 때문에 식 (19)에 넣으면 바로 자기장이 나옵니다.

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    9. 1.2 처음에 그렇게 생각했는데,
      k ̄ = kx x^ + ky y^ + ky z^ 가
      식(20)에서는 where ξ(크시),η(에타) 등으로 표현이 되있잖아요.
      그래서 식(7)과 식(13)을 비교를 해보면, 식(13)은 프리에 변환이 들어 가서 ξ(크시),η(에타)가 나타나서요.

      1-3. kx=ξ(크시) 이렇게 되는건가요?

      질문의 요지는 식(20)에서 where k ̄ = kx x^ + ky y^ + ky z^ 가 아니고,
      어떻게 하면 식(20)에서의 where~로 나올수 있는가 입니다.

      삭제
    10. 식 (20)도 단순하게 보면 푸리에 변환입니다. 다른 표현식이 아닙니다.

      푸리에 변환의 파수들이 공간의 파수가 되는 것은 SDP 방법 때문입니다. 고급 복소 함수론을 보면 식 (27)의 증명을 찾을 수 있습니다.

      삭제
    11. 죄송합니다. 재가 말씀 하신 부분까지 할 수 있는 basis가 없습니다. T.T
      재가 40 넘어서 EM 해석의 이해의 기틀을 마렬하고 싶어서,
      전자기학을 공부하기로 하였을때, 몇가지 원칙을 세웠습니다.
      그중하나가 너무 수학 집착하지 말자. 단 전파거북이님이 있는 자료 한에서만 공부하자.
      학부때 공부를 하려고 하니, 수식이 많이 있어 이해가 안가서 수식 관련 자료만 찾아 댔습니다.
      물론 이해들을 전혀 못했으니, 지금 다시 공부를 하게 된거구요. 복사해 놓고, 수집 해놓았던 자료들은 어느 순간 모두 부질 없다고 생각해서 저의 주위에서 사라졌구요.
      (그리고 다른 원칙들은 너무 열심히 하려고 하지 말자(지져서 포기하지 않기 위해서요.) 등과 전파거북이님 왼쪽에 나와 있는 소개 내용들~~)

      일단 이렇게 이해 하려고 합니다.
      k ̄ = kx x^ + ky y^ + ky z^로 생각 하지않고, 일단 식(20)에서 where~ 형식으로 생각 하면,
      그냥 입력하면 나오게 될거 같아서요.
      kx가 ξ(크시)가 같은 것 인지는 모르겟으나, k^2 으로 보면 비슷 한듯 하고, 일단 같은 거로 생각을 하려고 합니다.
      아래 링크 보면, 왠지 같은 거 같기도 하구요. ξ(크시)
      http://ghebook.blogspot.kr/2013/02/electromagnetic-field-representations_9.html

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    12. 전자파를 전문으로 공부하는 사람들에게도 푸리에 변환법은 쉽지 않은 주제입니다. 이 부분은 그린 함수와도 관계 있고 학부 과정에 배우는 수리 물리 수준을 넘는 심오한 복소 함수론이 기반이 되어야 합니다. 그래서, 더 어렵지요.

      하지만 계속 하다보면 언젠가는 이해가 됩니다. 천천히 가시기 바랍니다. ^^

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    13. 1. 식(24)와 식(24)는 원천없는(Sourceless) 방정식 기반으로 하는거지요?
      2. 식(22)의 조건 √(ξ^2 + η^2) ≤ k 없이도 식(22)가 될 수 있는거 같은데요.
      이조건이 무엇을 의미 히는 것인가요?

      삭제
    14. 1. 예, 맞습니다.

      2. 말씀하신 조건은 평면파처럼 생각할 수 있는 조건입니다. 이 조건을 만족 못하면 진행파가 아닌 감쇄파가 되기 때문에 식 (22)처럼 쓸 수 없습니다.

      삭제

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