2012년 4월 23일 월요일

가장 작은 안테나(the smallest antenna): 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)


[경고] 아래 글을 읽지 않고 "헤르츠 다이폴"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 가장 쉬운 안테나 이론
2. 균일 평면파

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헤르츠(Heinrich Rudolf Hertz)가 만든 기념비적인 안테나 개념이 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)이다. 전자파(electromagnetic wave)의 존재성을 실험적으로 처음 입증한 사람이 헤르츠이므로 최초의 안테나(antenna) 발명자도 당연히 헤르츠이다. 헤르츠는 [그림 1]에 있는 자신의 안테나 실험을 설명하기 위해 헤르츠 벡터 포텐셜(Hertzian vector potential)과 헤르츠 다이폴을 제안하였다.
[그림 1] 헤르츠의 1887년 안테나 실험 장치(출처: wikipedia.org)

[그림 2]의 헤르츠 다이폴은 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 이용해 전자파 복사 특성을 해석적으로 구할 수 있는 유일한 안테나이다. 다른 안테나들은 전류 분포(current distribution)를 알 수 없기 때문에 전자파 복사 특성을 근사없이 구하는 것이 불가능하다. 이 의미를 정확히 이해하려면 헤르츠 다이폴의 전자장 유도를 처음부터 끝까지 따라가야 한다.

[그림 2] 헤르츠 다이폴 안테나

헤르츠 다이폴은 [그림 2]와 같이 특정 방향으로 전류가 흐르고 있는 전류소이다. 이 전류소의 길이는 파장(wavelength)보다 굉장히 작아야 한다. (∵ 전류소 길이가 파장에 비해 매우 작다는 조건이 있어야 식 (2)의 적분이 간단해진다.) [그림 2]의 구조가 다이폴(dipole)이라는 이름의 붙은 이유를 찾아보자. 길이 매우 작은데 전류가 한 방향으로 계속 흐르고 있어 $z = +\Delta z/2$에는 (+) 전하가 계속 쌓이고 있고 반대로 $z = -\Delta z/2$에는 (-) 전하가 쌓인다. 이 모양이 [그림 3]과 같은 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)와 유사해서 헤르츠 다이폴이라 불린다.

[그림 3] 전기 쌍극자

[그림 2]의 전류 밀도(electric current density)는 디랙 델타 함수(Dirac delta function) 관점에서 다음처럼 표현할 수 있다.

                       (1)

식 (1)은 전류 $I$가 $(x, y) = (0, 0)$인 위치에만 있다는 것을 뜻한다. 헤르츠 다이폴의 전류 밀도가 식 (1)처럼 주어졌으므로 다음처럼 3차원 자유공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 이용해 헤르츠 다이폴의 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)을 구할 수 있다.

                       (2)

식 (2)의 근사가 성립하려면 아래 조건을 도입해야 한다.

                       (3)

식 (3)의 근사에서 가장 민감한 부분은 위상(phase)을 나타내는 $kR$이다. $z'$ 값 자체가 작더라도 복소 지수(complex exponential)의 위상항이므로 파장보다 작지 않으면 $z'$에 따라 $\exp(-jkR)$ 값이 변할 수 있다. 따라서, $z'$가 파장보다 작다는 강력한 조건이 필요하다.
식 (2)와 같이 자기 벡터 포텐셜을 얻었으므로 전기장(electric field)과 자기장(magnetic field)은 기계적으로 계산할 수 있다.

                          (4)

                          (5)

여기서 자류 밀도(magnetic current density) $\bar M$이 없으므로 전기 벡터 포텐셜(electric vector potential) $\bar F = 0$으로 둔다. 안테나 특성은 원점에서 매우 멀 때(원역장 조건: far-field condition) 정의되므로 구 좌표계(spherical coordinate system)로 처리하는 것이 편하다. 그래서 식 (2)의 자기 벡터 포텐셜은 식 (6)을 이용해서 식 (7)처럼 구 좌표계로 표현한다.

        (6)

                          (7)

식 (7)을 식 (5)에 대입해서 정리하면 다음처럼 자기장을 얻을 수 있다.

                          (8)

자기장이 완벽히 얻어졌으므로 암페어의 법칙(Ampere's law)에 대입하면 전기장을 얻을 수 있다.

                          (9)

이로써 모든 전자기장이 얻어졌으므로 헤르츠 다이폴의 모든 특성을 식 (8)과 (9)를 통해 계산할 수 있다.
식 (9)에서 $\eta = \sqrt{\mu/\epsilon}$는 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다. 고유 임피던스는 매질의 고유한 특성을 나타낸다. TEM(Transverse ElectroMagnetic: 진행방향으로 전기장과 자기장 성분이 없음)파인 경우 전기장과 자기장의 비율(파동임피던스: wave impedance)은 반드시 고유 임피던스가 된다.
관측점이 원점에서 매우 멀어지는 원역장 조건을 식 (8)과 (9)에 적용해보자. 원역장에서 전기장과 자기장은 $1/r$ 항이 우세하다.

                          (10)

식 (10)에서 전기장과 자기장은 진행방향($r$ 방향) 성분이 없으므로 TEM파가 된다. 사실 원역장에서 모든 전자기파는 TEM파가 된다. (∵ 전기장과 자기장의 발산(divergence)이 0이므로) TEM파이기 때문에 전기장과 자기장의 비율(파동 임피던스)은 항상 고유 임피던스가 된다.


[그림 4] 헤르츠 다이폴에서 방사되는 전자파(출처: wikipedia.org)

헤르츠 다이폴과 전기 쌍극자 모멘트 $\bar p$의 연결 고리를 찾기 위해 다음을 고려해보자.

                          (11)

여기서 헤르츠 다이폴의 길이 $\Delta z$는 고정되었다고 가정했다. 식 (11)을 통해 전류와 다이폴 길이의 곱은 전기 쌍극자 모멘트의 시간 변화라는 것을 알 수 있다. 즉, 헤르츠 다이폴이 전자파를 복사하는 크기는 전기 쌍극자 모멘트의 시간 변화에 비례한다. 전기 쌍극자 모멘트 $\bar p$를 이용해 식 (10)을 다시 표현하면 다음과 같다.

                          (12)

식 (12)에 있는 벡터 관계식은 식 (6)을 이용해 다음처럼 증명가능하다.

                          (13)

식 (12)에서 미분연산자 델(del: $\nabla$)이 벡터 $\hat r$로 바뀌는 이유는 원역장 조건 때문이다. 예를 들어 $x$에 대한 미분은 다음처럼 간략화된다.

                          (14)

헤르츠 다이폴이 복사하는 전력(radiated power)은 원역장 전자장인 식 (10)을 구 표면에 대해 적분해 쉽게 구할 수 있다.

                          (15)

식 (15)에 있는 적분은 삼각 함수의 3배각 공식(triple-angle formula)을 이용해 다음처럼 구할 수 있다.

                          (16)

포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 이용하면 식 (15)를 색다르게 증명할 수 있다.

                         (17)

자류 밀도(magnetic current density) $\bar M$은 0이므로 식 (15)는 다음으로 표현될 수 있다.

                         (18)

식 (18)에 전기장의 포텐셜 기반 정의를 대입하면 다음을 얻는다.

                         (19)

헤르츠 다이폴의 전류(or 자기 벡터 포텐셜) 성분이 만드는 전력 $P_A$는 다음과 같다.

                         (20)

헤르츠 다이폴의 전기 쌍극자(or 전압) 성분이 만드는 전력 $P_\phi$는 다음으로 계산된다.

                         (21)

식 (20)과 (21)을 이용하면 복사 전력은 식 (15)와 동일하게 얻어진다.

                         (22)

식 (22)의 의미는 다시 생각해볼 만 하다. 식 (20)에서 다이폴 안테나의 전류가 만드는 복사 전력은 식 (15)보다 크다. 헤르츠 다이폴의 복사 전력이 줄어드는 이유는 (-) 값을 가진 식 (21) 때문이다.  식 (21)은 전압의 공간적 차이 때문에 생긴 전력이므로 전기 쌍극자 모멘트가 만드는 전력이라 생각할 수 있다. 식 (21)의 전력은 복사되지 않기 때문에 헤르츠 다이폴에 축적되는 전력이다. 즉, 전하 (+)와 (-)가 서로 떨어져 생성되는 전력이므로 커패시터(capacitor)에 저장되는 전력이라 생각할 수 있다.

[다음 읽을거리]
1. 안테나의 복사저항
2. 다이폴 안테나

댓글 19개 :

  1. 안녕하세요 전파거북이님 전파거북이님이 올리시는 포스팅들 너무 잘 보고 있습니다 모두 저의 피와 살과 뼈가된답니다 :)

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  2. 답글
    1. 정말 죄송한데요. 마그네트론 관련 발표때문에 여기서 공부하다가 도저히 이해가 안되는 부분이 있어서 그럽니다 ㅠ,, 부탁드릴게요! 혹시 메신져를 이용해서 질문을 좀 받아 주실수 있는지 궁금합니다 ㅠㅠ,, 답글로 물어보기엔 실시간으로 대화를 하는게 좋을것같아서 ㅠㅠ, 정말 부탁드려보구요 ㅠ 010 7766 7640으로 연락주시거나, 이 답글에 어떤방법으로든 연락할 방법을 남겨주시면 바로 연락해드릴게요 ㅠㅠㅠ

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  3. 메신저는 하지 않는데요. --;;
    이곳에 질문을 올려주시든지 아니면 이메일 보내시면 제가 거의(?) 실시간으로 볼 수 있습니다.
    감사합니다.

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    1. 마그네트론 포스트에 댓글을 달아볼게요!!

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    2. 네. 제 이메일과 연결되어 있어 쉽게 볼 수 있습니다.

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  4. 아따 어렵다..역시 전자는 어려워 아름다운 수식 잘보고가요.ㅎ
    지나가는 공익.올림

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    1. 안테나 이론은 너무 어려워서 역설적이게도 헤르츠 다이폴 이상의 수식을 보는 경우는 드뭅니다.
      여기 있는 것 정도만 알면 안테나 이론은 두려워할 필요가 없습니다.
      방문 감사합니다.

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    2. 너무수식이많아요

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    3. 안테나 중에서는 가장 단순한 것입니다. 수식도 가장 간단하고요. -.-;;

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  5. far field를 구하기 위해 평행근사법을 사용한다는데 이에 관한 방법은 어떻게 되나요

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    1. 식 (3)처럼 근사하는 것입니다. 즉, 안테나에서 복사된 전자파를 평행인 광선으로 취급해 경로차를 계산하는 방법입니다.

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    2. 감사합니다 항상 많이 배워갑니다 :)

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  6. 오타인것같은데요. 그림 2,3사이 문장에 다이폴 양쪽끝에 +-전하가 쌓이는 각 z축의 좌표가 하나는 -가 되어야할것같은데요

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    1. 지적 정말 감사해요, 익명님. ^^ 고쳤습니다.

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  7. 읽다가 의문가는점이 하나 있어서 글을 남겨봅니다.
    J= conductivity*E 라는 식으로도 표현될수 있는걸로 알고 있는데요, 이 식에서의 J와
    이 글에서 말하는 J가 다른 것인가요???

    같은것을 의미하는 것 같은데... 그렇다면 왜 E를 구하기 위해서 이 글에서는 이렇게 복잡한 수식을 이용하여 구한 것인가요???

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    1. 1. 전류 밀도는 동일합니다.

      2. 유도할 때 가정은 완전 도체이며, 완전 도체가 아니더라도 전기장은 다시 자기장을 만들기 때문에 쉽게 표현되지 않습니다. 또한 자기장은 다시 전기장을 만들며, 전류 밀도는 자기장도 만들어야 합니다. 이게 딱 맞는 것이 전자기장 방정식의 해입니다.

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  8. 미소다이폴 헤르츠다이폴 반파장다폴 ... 전부 다른건가요..?

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    1. 안테나 동작 원리 측면에서는 모두 동일합니다. 안테나 길이로 보면, 미소와 헤르츠 다이폴은 같고 반파장 다이폴은 다소 긴 안테나입니다.

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