2012년 4월 23일 월요일

가장 작은 안테나(The Smallest Antenna): 헤르츠 다이폴(Hertzian Dipole)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "헤르츠 다이폴"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
1. 가장 쉬운 안테나 이론
2. 균일 평면파

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헤르츠Heinrich Hertz(1857–1894)가 만든 기념비적인 안테나 개념이 헤르츠 다이폴(Hertzian dipole)이다. 전자기파(electromagnetic wave)의 존재성을 실험적으로 처음 입증한 사람[1]이 헤르츠이므로, 최초의 안테나(antenna) 발명자도 당연히 헤르츠이다. 헤르츠는 [그림 1]에 있는 자신의 안테나 실험을 설명하기 위해 헤르츠 벡터 포텐셜(Hertzian vector potential)과 헤르츠 다이폴도 제안하였다.
뛰어난 실험 및 이론 물리학자인 헤르츠가 전자기파에 관심을 가진 이유는 무엇일까? 헤르츠는 전자기파의 존재를 증명하기 위해 실험을 시작했다기보다 당대에 경쟁하던 전기 이론의 정확성을 판정하려 했다[4]. 19세기 중반에 유행하던 전기 이론은 수학자 노이만Carl Neumann(1832–1925)이 제안하고 물리학자 베버Wilhelm Eduard Weber(1804–1891)가 발전시켰다. 노이만–베버의 전기 이론은 전기력이 순식간에 전달된다는 전통적인 원격 작용력이 중심이었다. 하지만 맥스웰James Clerk Maxwell(1831–1879)은 패러데이Michael Faraday(1791–1867)의 장(field) 개념을 이용해서 맥스웰 방정식을 제안했다. 노이만, 베버, 맥스웰이 제시한 3가지 전기 이론 중에서 어떤 이론이 물리 현상을 바르게 설명하고 있을까? 각 전기 이론의 정확성 판정은 1879년조선 고종 시절에 프로이센 과학학술원(Prussian Academy of Sciences)이 만든 현상금 문제가 되었다. 당시 베를린 대학에 있던 헬름홀츠Hermann von Helmholtz(1821–1894) 교수가 지도 학생인 헤르츠에게 이론 판정 문제를 추천했고, 헤르츠는 여러 해를 고민하고 1886~1889년 동안 열심히 실험해서 말끔하게 맥스웰 방정식의 타당성을 증명했다[5]. [6]. 헤르츠는 1886년헤르츠 29세, 조선 고종 시절에 거리가 떨어진 전기 발진기(electric oscillator) 사이에 전자기 유도(electromagnetic induction)로 공진(resonance)이 생기는 현상을 관찰하고 안정적인 재현도 했다. 1887년에는 두 안테나 사이에 불꽃(spark)을 성공적으로 발생시키고 다양한 매질에도 전파시켰다. 또한 빛의 입자설이 필요한 광전 효과(光電效果, photoelectric effect)까지 실험했다. 1888년에는 전자파의 속도가 유한하다는 사실을 발견했고[7], 강당에서 정재파(standing wave)가 생기는 결과를 처음으로 확인했다[8]. 1889년에는 진공관에 생기는 전자파의 반사와 투과 실험까지 맥스웰 방정식의 응용 범위를 확장했다.

[그림 1] 헤르츠의 1887년 안테나 실험 장치(출처: wikipedia.org)

[그림 2]의 헤르츠 다이폴은 맥스웰 방정식(Maxwell's equations)을 이용해 전자파 복사 특성을 해석적으로 구할 수 있는 유일한 안테나이다. 이외 다른 안테나는 전류 분포(electric current distribution)를 알 수 없기 때문에, 전자파 복사 특성을 근사없이 구하기는 불가능하다. 이 의미를 정확히 이해하려면 헤르츠 다이폴의 전자장 유도를 처음부터 끝까지 따라가야 한다.

[그림 2] 헤르츠 다이폴 안테나

헤르츠 다이폴은 [그림 2]와 같이 특정 방향으로 전류가 흐르고 있는 전류소이다. 이 전류소의 길이는 파장(wavelength)보다 굉장히 작아야 한다.[∵ 전류소 길이가 파장에 비해 매우 작다는 조건이 있어야 식 (2)의 적분이 간단해진다.] [그림 2]의 구조가 다이폴(dipole)이라는 이름의 붙은 이유를 찾아보자. 길이 매우 작은데 전류가 한 방향으로 계속 흐르고 있어 $z$ = $+\Delta z/2$에는 ($+$) 전하가 계속 쌓이고 있고 반대로 $z$ = $-\Delta z/2$에는 ($-$) 전하가 쌓인다. 이 모양이 [그림 3]과 같은 전기 쌍극자 모멘트(electric dipole moment)와 유사해서 헤르츠 다이폴이라 불린다.

[그림 3] 전기 쌍극자

[그림 2]의 전류 밀도(electric current density)디랙 델타 함수(Dirac delta function) 관점에서 다음처럼 표현할 수 있다.

                       (1)

식 (1)은 전류 $I$가 $(x, y)$ = $(0, 0)$인 위치에만 있음을 뜻한다. 헤르츠 다이폴의 전류 밀도가 식 (1)처럼 주어졌으므로, 다음처럼 3차원 자유 공간 그린 함수(3D free-space Green's function)를 이용해 헤르츠 다이폴의 자기 벡터 포텐셜(magnetic vector potential)을 구할 수 있다.

                       (2)

식 (2)의 근사가 성립하려면 아래 조건을 도입해야 한다.

                       (3)

식 (3)의 근사에서 가장 민감한 부분은 위상(phase)을 나타내는 $kR$이다. $z'$ 값 자체가 작더라도 복소 지수(complex exponential)의 위상 항이므로 파장보다 작지 않으면 $z'$에 따라 $\exp(-jkR)$ 값이 변할 수 있다. 따라서, $z'$가 파장보다 작다는 강력한 조건이 필요하다. 식 (2)와 같이 자기 벡터 포텐셜을 얻었으므로 전기장(electric field)자기장(magnetic field)은 기계적으로 계산할 수 있다.

                          (4)

                          (5)

여기서 자류 밀도(magnetic current density) $\bar M$이 없으므로 전기 벡터 포텐셜(electric vector potential) $\bar F$ = $0$으로 둔다. 안테나 특성은 원점에서 매우 멀 때[원역장 조건: far-field condition] 정의되므로, 구 좌표계(spherical coordinate system)로 처리해야 편하다. 그래서 식 (2)의 자기 벡터 포텐셜은 식 (6)을 이용해서 식 (7)처럼 구 좌표계로 표현한다.

        (6)

                          (7)

식 (7)을 식 (5)에 대입해서 정리하면 다음처럼 자기장을 얻을 수 있다.

                          (8)

자기장이 완벽히 얻어졌으므로 암페어의 법칙(Ampere's law)에 대입하면 전기장을 얻을 수 있다.

                          (9)

이로써 모든 전자기장이 얻어졌으므로 헤르츠 다이폴의 모든 특성을 식 (8)과 (9)를 통해 계산할 수 있다. 식 (9)에서 $\eta$ = $\sqrt{\mu/\epsilon}$는 고유 임피던스(intrinsic impedance)이다. 고유 임피던스는 매질의 고유한 특성을 나타낸다. TEM(횡전자기, Transverse ElectroMagnetic: 진행 방향으로 전기장과 자기장 성분이 없음)파인 경우 전기장과 자기장의 비율[파동 임피던스: wave impedance]은 반드시 고유 임피던스가 된다.
관측점이 원점에서 매우 멀어지는 원역장 조건을 식 (8)과 (9)에 적용해보자. 원역장에서 전기장과 자기장은 $1/r$ 항이 우세하다.

                          (10)

식 (10)에서 전기장과 자기장은 진행 방향[$r$ 방향] 성분이 없으므로 TEM파가 된다. 사실 원역장에서 모든 전자기파는 TEM파가 된다.[∵ 전기장과 자기장의 발산(divergence)이 0이므로] TEM파이기 때문에 전기장과 자기장의 비율[파동 임피던스]은 항상 고유 임피던스가 된다.


[그림 4] 헤르츠 다이폴에서 복사되는 전자파(출처: wikipedia.org)

헤르츠 다이폴과 전기 쌍극자 모멘트 $\bar p$의 연결 고리를 찾기 위해 다음을 고려해보자.

                          (11)

여기서 헤르츠 다이폴의 길이 $\Delta z$는 고정되었다고 가정했다. 식 (11)을 통해 전류와 다이폴 길이의 곱은 전기 쌍극자 모멘트의 시간 변화임을 알 수 있다. 즉, 헤르츠 다이폴이 전자파를 복사하는 크기는 전기 쌍극자 모멘트의 시간 변화에 비례한다. 전기 쌍극자 모멘트 $\bar p$를 이용해 식 (10)을 다시 표현하면 다음과 같다.

                          (12)

식 (12)에 있는 벡터 관계식은 식 (6)을 이용해 다음처럼 증명 가능하다.

                          (13)

식 (12)에서 미분 연산자 델(del, $\nabla$)이 벡터 $\hat r$로 바뀌는 이유는 원역장 조건 때문이다. 예를 들어 $x$에 대한 미분은 다음처럼 간략화된다.

                          (14)

헤르츠 다이폴이 복사하는 전력(radiated power)은 원역 전자장인 식 (10)을 구 표면에 대해 적분해 쉽게 구할 수 있다.

                          (15)

식 (15)에 있는 적분은 삼각 함수의 3배각 공식(triple-angle formula)을 이용해 다음처럼 구할 수 있다.

                          (16)

포인팅의 정리(Poynting's theorem)를 이용하면 식 (15)를 색다르게 증명할 수 있다.

                         (17)

자류 밀도(magnetic current density) $\bar M$은 0이므로 식 (15)는 다음으로 표현될 수 있다.

                         (18)

식 (18)에 전기장의 포텐셜 기반 정의를 대입하면 다음을 얻는다.

                         (19)

헤르츠 다이폴의 전류[혹은 자기 벡터 포텐셜] 성분이 만드는 전력 $P_A$는 다음과 같다.

                         (20)

헤르츠 다이폴의 전기 쌍극자[혹은 전압] 성분이 만드는 전력 $P_\phi$는 다음으로 계산된다.

                         (21)

식 (20)과 (21)을 이용하면 복사 전력은 식 (15)와 동일하게 얻어진다.

                         (22)

식 (22)의 의미는 다시 생각해볼 만 하다. 식 (20)에서 다이폴 안테나의 전류가 만드는 복사 전력은 식 (15)보다 크다. 헤르츠 다이폴의 복사 전력이 줄어드는 이유는 ($-$) 값을 가진 식 (21) 때문이다. 식 (21)은 전압의 공간적 차이 때문에 생긴 전력이므로 전기 쌍극자 모멘트가 만드는 전력이라 생각할 수 있다. 식 (21)의 전력은 복사되지 않기 때문에 헤르츠 다이폴에 축적되는 전력이다. 즉, 전하 ($+$)와 ($-$)가 서로 떨어져 생성되는 전력이므로 커패시터(capacitor)에 저장되는 전력이라 생각할 수 있다.

[참고문헌]
[1] H. Hertz, "Ueber Strahlen electrischer Kraft (On radiation of electric power)," Annalen der Physik und Chemie (Annals of Physics and Chemistry), vol. 272, no. 4, pp. 769–783, 1889.
[2] S. A. Schelkunoff, "Theory of antennas of arbitrary size and shape," Proc. IRE, vol. 29, no. 9, pp. 493–521, Sep. 1941. (방문일 2020-10-08)
[3] S. A. Schelkunoff, "Forty years ago: Maxwell's theory invades engineering—and grows with it," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 18, no. 3, pp. 309–322, May 1970.
[4] D. O. Forfar, "An homage to Heinrich Hertz," IEEE Microw. Mag., vol. 23, no. 2, pp. 38–43, Feb. 2022.
[5] S. D'Agostino, "Hertz's researches on electromagnetic waves," Historical Studies in the Physical Sciences, vol. 6, pp. 261–323, 1975.
[6] Fraunhofer Heinrich Hertz Institute, "The most important experiments of Heinrich Hertz," History of HHI. (방문일 2022-07-17)
[7] H. Hertz, "On the finite velocity of propagation of electromagnetic actions," Annalen der Physik und Chemie (Annals of Physics and Chemistry), 1888.
[8] H. Hertz, "On electromagnetic waves in air and their reflection," Annalen der Physik und Chemie (Annals of Physics and Chemistry), 1888.

[다음 읽을거리]
1. 안테나의 복사저항
2. 다이폴 안테나

댓글 23개 :

  1. 안녕하세요 전파거북이님 전파거북이님이 올리시는 포스팅들 너무 잘 보고 있습니다 모두 저의 피와 살과 뼈가된답니다 :)

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  2. 답글
    1. 정말 죄송한데요. 마그네트론 관련 발표때문에 여기서 공부하다가 도저히 이해가 안되는 부분이 있어서 그럽니다 ㅠ,, 부탁드릴게요! 혹시 메신져를 이용해서 질문을 좀 받아 주실수 있는지 궁금합니다 ㅠㅠ,, 답글로 물어보기엔 실시간으로 대화를 하는게 좋을것같아서 ㅠㅠ, 정말 부탁드려보구요 ㅠ 010 7766 7640으로 연락주시거나, 이 답글에 어떤방법으로든 연락할 방법을 남겨주시면 바로 연락해드릴게요 ㅠㅠㅠ

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  3. 메신저는 하지 않는데요. --;;
    이곳에 질문을 올려주시든지 아니면 이메일 보내시면 제가 거의(?) 실시간으로 볼 수 있습니다.
    감사합니다.

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    1. 마그네트론 포스트에 댓글을 달아볼게요!!

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    2. 네. 제 이메일과 연결되어 있어 쉽게 볼 수 있습니다.

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  4. 아따 어렵다..역시 전자는 어려워 아름다운 수식 잘보고가요.ㅎ
    지나가는 공익.올림

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    1. 안테나 이론은 너무 어려워서 역설적이게도 헤르츠 다이폴 이상의 수식을 보는 경우는 드뭅니다.
      여기 있는 것 정도만 알면 안테나 이론은 두려워할 필요가 없습니다.
      방문 감사합니다.

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    2. 너무수식이많아요

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    3. 안테나 중에서는 가장 단순한 것입니다. 수식도 가장 간단하고요. -.-;;

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  5. far field를 구하기 위해 평행근사법을 사용한다는데 이에 관한 방법은 어떻게 되나요

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    1. 식 (3)처럼 근사하는 것입니다. 즉, 안테나에서 복사된 전자파를 평행인 광선으로 취급해 경로차를 계산하는 방법입니다.

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    2. 감사합니다 항상 많이 배워갑니다 :)

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  6. 오타인것같은데요. 그림 2,3사이 문장에 다이폴 양쪽끝에 +-전하가 쌓이는 각 z축의 좌표가 하나는 -가 되어야할것같은데요

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    1. 지적 정말 감사해요, 익명님. ^^ 고쳤습니다.

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  7. 읽다가 의문가는점이 하나 있어서 글을 남겨봅니다.
    J= conductivity*E 라는 식으로도 표현될수 있는걸로 알고 있는데요, 이 식에서의 J와
    이 글에서 말하는 J가 다른 것인가요???

    같은것을 의미하는 것 같은데... 그렇다면 왜 E를 구하기 위해서 이 글에서는 이렇게 복잡한 수식을 이용하여 구한 것인가요???

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    1. 1. 전류 밀도는 동일합니다.

      2. 유도할 때 가정은 완전 도체이며, 완전 도체가 아니더라도 전기장은 다시 자기장을 만들기 때문에 쉽게 표현되지 않습니다. 또한 자기장은 다시 전기장을 만들며, 전류 밀도는 자기장도 만들어야 합니다. 이게 딱 맞는 것이 전자기장 방정식의 해입니다.

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  8. 미소다이폴 헤르츠다이폴 반파장다폴 ... 전부 다른건가요..?

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    1. 안테나 동작 원리 측면에서는 모두 동일합니다. 안테나 길이로 보면, 미소와 헤르츠 다이폴은 같고 반파장 다이폴은 다소 긴 안테나입니다.

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    2. 반파다이폴은 공진이 일어나지만 헤르쯔 다이폴은 공진이 일어나나요!?
      그리고 전류가 다이폴에 못흐를것 같은데 설명 부탁드립니다!?

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    3. 필마온님 말씀대로 헤르츠 다이폴은 공진이 제대로 일어나지 않아요. 전류가 거의 흐르지 않지만, 약간은 흐르니까 그 전류를 $I$로 근사해서 계산합니다.

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  9. 헤르츠 다이폴 은 공진이 일어나지 안을건데 어떻게 안테나로 해석하죠!?

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