조금은 느리게 살자: 구면 조화 미분 방정식(Spherical Harmonic Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구면 조화 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

[그림 1] 구면 조화 함수의 다양한 모양(출처: wikipedia.org)

잘 알려진 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)에서 시작해 구면 조화 미분 방정식(spherical harmonic differential equation)을 도출한다. 구면 조화 미분 방정식의 해는 구 표면의 특성을 결정짓는 구면 조화 함수(spherical harmonics) $Y_n^m(\theta, \phi)$가 된다.

(1)

식 (1)은 $\theta$방향에 대한 특성만 가지고 있어서 식 (1)의 해는 $\Theta(\theta)$로 놓는다. 또한 파동 방정식(wave equation) 관점에서 $\theta$에 대한 식 (1)은 $m^2$을 통해 또 다른 좌표축 $\phi$와 연결된다.

(2)

식 (2)에 $\Phi(\phi)$를 곱하고 $y$ = $\Theta(\theta) \Phi(\phi)$로 두어서 구면 조화 미분 방정식을 얻는다.

(3)

식 (1)과 (2)로 만든 해 $y$는 구면 조화 함수 $Y_n^m(\theta, \phi)$로 불린다.

(3)

여기서 $P_n^m(\cos \theta)$는 버금 르장드르 함수(associated Legendre function)이다. 구면 조화 함수의 계수는 자기 자신에 대한 내적이 1이 되도록 선택한다. 구면 조화 미분 방정식을 살짝 바꾸어서 라플라시안(Laplacian) $\nabla^2$을 포함하게 바꿀 수도 있다.

(4)

(5)

여기서 $\partial Y_n^m(\theta, \phi) / \partial r$ = $0$이다.

구면 조화 함수는 구 좌표계(spherical coordinate system)에서 포텐셜(potential)이나 파동(wave)을 다룰 때 꼭 필요한 함수라서 아주 오래전부터 맹렬하게 연구되었다. 구면 조화 함수를 구성하는 르장드르 함수는 중력 포텐셜(gravitational potential)을 연구하기 위해 1782년르장드르 30세, 라플라스 33세, 조선 정조 시절에 르장드르Adrien-Marie Legendre(1752–1833)와 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)가 거의 동시에 제안했다.[르장드르가 라플라스보다 약간 더 빨리 발표했다.] 구면 조화 함수에 대한 라플라스의 기여를 강조하기 위해 $Y_n^m(\theta, \phi)$를 라플라스의 구면 조화 함수(Laplace's spherical harmonics)라 부르기도 한다. 르장드르와 라플라스의 머리에서 시작된 구면 조화 함수는 현재까지 꾸준하게 연구되는 매우 중요한 물리 함수이다.

1. 기본(basics)

[정의]

(1.1)

[차수와 계수의 관계]

(1.2)

[증명]

구면 조화 함수의 정의인 식 (3)에 $P_m^{\pm m}(\theta)$ 결과식을 넣어서 정리한다.

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[켤레 구면 조화 함수]

(1.3)

[증명]

식 (3)에 켤레 복소수(complex conjugate)를 취하고 음의 계수 혹은 계층수를 가진 버금 르장드르 함수의 정의를 적용한다.

(1.4)

(1.5)

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[그림 1.1] 구 좌표계에서 회전한 단위 벡터

[좌표 불변성(coordinate invariant)] [1]

(1.6)

여기서 $\theta, \phi$와 $\gamma, \beta$는 각각 $z$축과 $\hat n$이 기준인 각도, $\Omega$는 전체 공간을 감싸는 입체각(solid angle)이다.

[증명]

고유 함수(eigenfunction) $Y_n^m(\theta, \phi)$가 가진 완비성(completeness)으로 인해 임의 함수를 $Y_n^m(\theta, \phi)$에 대한 무한 급수로 표현할 수 있다.

(1.7)

함수 $Y_n^m(\gamma, \beta)$의 특성을 이해하기 위해, 각도 $\gamma, \beta$를 정의한 단위 벡터 $\hat n'$을 움직여 $\hat n'$ = $\hat z$로 둔다. 그러면 $\gamma$ = $\theta$가 되어 $Y_n^m(\gamma, \beta)$는 고유치가 $n(n+1)$인 식 (5)를 만족하므로, 식 (1.7)에서 차수는 $l$ = $n$만 가능하다. 그 다음에 $\hat n'$을 임의의 다른 위치로 움직이더라도 고유치 $n(n+1)$은 변하지 않는다. 왜냐하면 라플라시안 $\nabla^2$은 텐서량이라서 좌표 불변성이 있고, $\hat n'$은 반지름 $r$이 같은 조건으로 움직이기 때문이다. 따라서 $\hat n'$의 위치에 관계없이 $Y_n^m(\gamma, \beta)$는 항상 고유치 $n(n+1)$를 가진 식 (5)의 해이므로, 식 (1.6)처럼 차수는 $l$ = $n$만 될 수 있다.

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2. 함수 표현식(function representation)

[덧셈 정리(addition theorem)] [3]

(2.1)