구면 조화 미분 방정식(Spherical Harmonic Differential Equation)

[경고] 아래 글을 읽지 않고 "구면 조화 미분 방정식"을 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.

1. 버금 르장드르 함수

2. 구 좌표계

3. 구 좌표계의 전자장 표현식

[그림 1] 구면 조화 함수의 다양한 모양(출처: wikipedia.org)

잘 알려진 르장드르의 미분 방정식(Legendre's differential equation)에서 시작해 구면 조화 미분 방정식(spherical harmonic differential equation)을 도출한다. 구면 조화 미분 방정식의 해는 구 표면의 특성을 결정짓는 구면 조화 함수(spherical harmonics) $Y_n^m(\theta ,\varphi )$가 된다.

                       (1)

식 (1)은 $\theta$방향에 대한 특성만 가지고 있어서 식 (1)의 해는 $\mathrm{\Theta }(\theta )$로 놓는다. 또한 파동 방정식(wave equation) 관점에서 $\theta$에 대한 식 (1)은 $m^2$을 통해 또 다른 좌표축 $\varphi$와 연결된다.

             (2)

식 (2)에 $\mathrm{\Phi }(\varphi )$를 곱하고 $y$ = $\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\varphi )$로 두어서 구면 조화 미분 방정식을 얻는다.

                      (3)

식 (1)과 (2)로 만든 해 $y$는 구면 조화 함수 $Y_n^m(\theta ,\varphi )$로 불린다.

                      (3)

여기서 $P_n^m(\cos \theta )$는 버금 르장드르 함수(associated Legendre function)이다. 구면 조화 함수의 계수는 자기 자신에 대한 내적이 1이 되도록 선택한다. 구면 조화 미분 방정식을 살짝 바꾸어서 라플라시안(Laplacian) ${\mathrm{\nabla }}^2$을 포함하게 바꿀 수도 있다.

                       (4)

                      (5)

여기서 $\partial Y_n^m(\theta ,\varphi )/\partial r$ = $0$이다.

구면 조화 함수는 구 좌표계(spherical coordinate system)에서 포텐셜(potential)이나 파동(wave)을 다룰 때 꼭 필요한 함수라서 아주 오래전부터 맹렬하게 연구되었다. 구면 조화 함수를 구성하는 르장드르 함수는 중력 포텐셜(gravitational potential)을 연구하기 위해 1782년르장드르 30세, 라플라스 33세, 조선 정조 시절에 르장드르Adrien-Marie Legendre(1752–1833)와 라플라스Pierre-Simon Laplace(1749–1827)가 거의 동시에 제안했다.[르장드르가 라플라스보다 약간 더 빨리 발표했다.] 구면 조화 함수에 대한 라플라스의 기여를 강조하기 위해 $Y_n^m(\theta ,\varphi )$를 라플라스의 구면 조화 함수(Laplace's spherical harmonics)라 부르기도 한다. 르장드르와 라플라스의 머리에서 시작된 구면 조화 함수는 현재까지 꾸준하게 연구되는 매우 중요한 물리 함수이다.

   1. 기본(basics)   

[정의]

                      (1.1)

[차수와 계수의 관계]

                  (1.2)

[증명]

구면 조화 함수의 정의인 식 (3)에 $P_m^{\pm m}(\theta )$ 결과식을 넣어서 정리한다.

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[켤레 구면 조화 함수]

                      (1.3)

[증명]

식 (3)에 켤레 복소수(complex conjugate)를 취하고 음의 계수 혹은 계층수를 가진 버금 르장드르 함수의 정의를 적용한다.

                  (1.4)

                  (1.5)

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[그림 1.1] 구 좌표계에서 회전한 단위 벡터

[좌표 불변성(coordinate invariant)] [1]

                      (1.6)

여기서 $\theta ,\varphi$와 $\gamma ,\beta$는 각각 $z$축과 $\hat{n}$이 기준인 각도, $\mathrm{\Omega }$는 전체 공간을 감싸는 입체각(solid angle)이다. 

[증명]

고유 함수(eigenfunction) $Y_n^m(\theta ,\varphi )$가 가진 완비성(completeness)으로 인해 임의 함수를 $Y_n^m(\theta ,\varphi )$에 대한 무한 급수로 표현할 수 있다.

                  (1.7)

함수 $Y_n^m(\gamma ,\beta )$의 특성을 이해하기 위해, 각도 $\gamma ,\beta$를 정의한 단위 벡터 ${\hat{n}}^{\prime }$을 움직여 ${\hat{n}}^{\prime }$ = $\hat{z}$로 둔다. 그러면 $\gamma$ = $\theta$가 되어 $Y_n^m(\gamma ,\beta )$는 고유치가 $n(n+1)$인 식 (5)를 만족하므로, 식 (1.7)에서 차수는 $l$ = $n$만 가능하다. 그 다음에 ${\hat{n}}^{\prime }$을 임의의 다른 위치로 움직이더라도 고유치 $n(n+1)$은 변하지 않는다. 왜냐하면 라플라시안 ${\mathrm{\nabla }}^2$은 텐서량이라서 좌표 불변성이 있고, ${\hat{n}}^{\prime }$은 반지름 $r$이 같은 조건으로 움직이기 때문이다. 따라서 ${\hat{n}}^{\prime }$의 위치에 관계없이 $Y_n^m(\gamma ,\beta )$는 항상 고유치 $n(n+1)$를 가진 식 (5)의 해이므로, 식 (1.6)처럼 차수는 $l$ = $n$만 될 수 있다.

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   2. 함수 표현식(function representation)   

[덧셈 정리(addition theorem)] [3]

                  (2.1)

여기서 각 매개변수는 [그림 1.1]에 정의되며, ${\hat{n}}^{\prime }$은 고정된다고 가정한다.

[증명]

식 (1.6)에 따라 $P_n(\cos \gamma )$를 $Y_n^m(\theta ,\varphi )$의 합으로 나타낸다.

                  (2.2)

함수 $Y_n^0(\theta ,\varphi )$를 $Y_n^m(\gamma ,\beta )$로도 다시 기술한다.

                  (2.3)

식 (2.2)와 (2.3)의 결과를 비교해서 계수 $a_{nm},b_{nm}^0$의 관계를 확정한다.

                  (2.4)

마지막으로 [그림 1.1]에 나온 단위 벡터 $\hat{n},{\hat{n}}^{\prime }$을 일치시켜서 $\gamma$ = $0$으로 만든 후에 식 (2.3)의 첫째식을 계산한다.

                  (2.5)

식 (2.5)를 식 (2.4)에 대입하면 증명이 완성된다.

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식 (2.1)에서 $\cos \gamma$를 $x,x^{\prime }$으로 바꾸어 쓸 수 있다.

                  (2.6)

여기서 $x$ = $\cos \theta$, $x^{\prime }$ = $\cos {\theta }^{\prime }$, $\phi$ = $\varphi -{\varphi }^{\prime }$이다.

[평면파 전개(plane-wave expansion) 혹은 레일리 전개(Rayleigh expansion)]

                  (2.7)

여기서 사용하는 좌표계는 [그림 1.1]이다.

[증명]

르장드르 함수로 구한 평면파 전개식에 덧셈 정리인 식 (2.1)을 대입해서 정리한다.

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[구면 조화 함수의 계수 합]

                  (2.8)

[증명]

식 (2.1)에 $\gamma$ = $0$을 넣어서 간략화한다.

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   3. 특정값(specific value)과 극한(limit)   

                  (3.1)

[증명]

함수값 $P_n^m(1)$은 $m$ = $0$인 경우를 제외하고는 모두 0이고, $P_n^0(1)$ = $1$이라서 식 (3.1)에 크로네커 델타(Kronecker delta)가 나온다.

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   4. 정적분(definite integral)   

[구면 조화 함수의 직교성(orthogonality of spherical harmonics)]

                  (4.1)

[증명]

복소 지수 함수(complex exponential function)와 버금 르장드르 함수의 직교성을 차례로 적용한다.

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[참고문헌]

[1] R. S. Maier, "Associated Legendre functions and spherical harmonics of fractional degree and order," Constr. Approx., vol. 48, no. 2, pp. 235–281, Oct. 2018.

[2] J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., John Wiley & Sons, 1999.

[3] G. B. Arfken, H. J. Weber, and F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th ed., Academic Press, 2013.

[4] G. Borzì, "Trigonometric approximations for the computation of radar cross sections," IEEE Trans. Antennas Propag., vol. 52, no. 6, pp. 1596–1602, Jun. 2004.

[다음 읽을거리]

1. 3차원 자유 공간 그린 함수

2. 구면 한켈 변환